兒童幾何形體概念

本研究主要是以國小學童從立體圖畫表徵去觀察學童的幾何形體概念，是故 對學童幾何形體的概念有進一步釐清的必要，從文獻中來探討學童的幾何形體概 念。

一、幾何形體概念的定義

歐幾里得的著作幾何原本，正式開啟了「幾何」一詞，在明朝末年由傳教士 利瑪竇和徐光啟合譯而成。內容包括平面幾何與立體幾何。具體的幾何形體分為 平面幾何與立體幾何兩種，平面幾何是指組成一個形體上的所有點，都在同一個 平面上，也就是說只有一個平面來包含整個形體，如圓形、正方形、三角形、長 方形等：相對的立體幾何是指形體上所有的點無法包容在一個平面上，這樣的形 體稱之為立體的幾何形體，如立方體、長方體、球體等，又稱為空間幾何形體。

概念（concept）只是對同類事件或是事物所獲得的概括性的名稱與符號，（張 春興，2000；劉秋木，1996）。概念是一個象徵的建構（symbolic construction），

它是用來代表外界的事物或事件的共同性，，我們能夠將外界的事物或是事件進 行歸納整理，於是產生概念（鄭昭明，1997）。概念的基本意義是每個人對世界 上所觀察事物或是其性質的反應，概念可分為具體的概念，以及定義的概念，具 體的概念，是以知覺上的特徵為分類上的依據，如「冷熱」、「大小」、「香臭」等，

綺穗，1995）

單純幾何圖形並非實際存在的東西，而是將真實的物體的種種性質，如材 質、粗細、顏色、味道等特質移除後抽象而得到的幾何概念，而進行如此抽象的 概念，是為了得到單純且純粹的立體幾何圖形（劉好，1994）。布魯納（1964）

明白的指出概念包含了五種要素：命名、事例、屬性、屬性價值、與規則。於是 幾何形體概念是指個體對平面幾何與立體幾何的命名，幾何形狀的認知、幾何形 體的基本性質，性質之間的關係，以及幾何形體之間性質的規則與變化，例如：

研究中所畫的五種立體物、長方體、圓柱、圓錐、三角柱、三角錐等都是屬於幾 何形體的一種，他們分別具有點、線、面以及平行垂直等組合特性，柱與錐之間 的關連等都是屬於幾何形體的概念，個體對這些幾何形體，都擁有自己的具體或 是抽象的理解。

二、幾何形體概念的形成

兒童透過他們的眼睛看到形式、圖形、物體移動、他們從空間來看到所有的 幾何形體，藉由眼睛所看到的每項幾何形體的刺激線索，從中抽取之前對於幾何 的相關經驗，進行統整，再組成新的幾何形體概念（張英傑，2001）。在學童的 視覺知覺系統中，我們的眼睛進入外在訊息，這些訊息以鄰近部分的秩序分佈在 視網膜上形成影像，經過層層的訊息處理程序後，在學童的視覺皮層裡被重新建 構出來（Churchland ＆ Sejnowski, 1992），多次建構出來的幾何形體轉入學童 的思考活動的心智裡，便是學童的幾何形體概念。

(一)概念心像(concept image)與原型心像（prototype image）

學童的幾何思考發展與學習歷程，都是由具體的立體物開始，日常生活中的 立體物便是學習最重要的媒介，由視覺上的觀察與生活上實際的操弄，藉由這些 幾何經驗的累積，而將其幾何的性質轉入心智形成圖像的概念心像。而概念心像

是指：學童對於一個數學物件是否屬於某個概念，是以心中對那概念存在的影像 來決定，學童一開始都是以概念心像的認知來認識幾何形體。數學中除了原始的 概念之外，每個數學概念都有一個嚴謹且形式化的定義存在，稱之為概念定義，

在學校上課時，這些定義會被介紹出來，但是學童在學習幾何形體時，並不是從 幾何的概念定義而來，而是從學童本身的概念心像去試圖理解幾何形體，而幾何 形體的概念定義是很後面的學習才能賦於學童的，所以，幾何形體的辨識，往往 不是經由幾何概念的定義，而是透過幾何形體的概念心像，然而直觀是概念心像 的形成要素，這些直觀形成的概念心像，是基於學童幾何經驗的累積（陳創義，

2003；Vinner & Dreyfus, 1989； Fischbein, 1996）。

原型心像（prototype image）是指，當教師在教學童數學概念時，常常用一 些原型的範例或是範例的子集，而這些範例會侷限這些數學概念的發展，在傳統 的幾何教室裡，教師為了便利性，使用這些原型的範例，即使這個範例有其代表 性及便利性，但卻侷限了幾何一般性及抽象性的概念發展，學童可能就依少數幾 個典範例子所表現出來的視覺特性去建構自己的概念心像，使得心像只具某些特 定種類，形成原型心像。而原型心像會阻撓學童操弄以及瞭解不符合原型範例的 例子。而學童在學習幾何形體時，會因為這些原型心像而做出原型判斷，所謂的 原型判斷分為兩種：

1.視覺的（visual）：所謂的視覺的判斷，是指學童利用原型範例的形狀，來 當作判斷一個答案的準則，這樣的判斷會導致學童錯誤的結論。

2.自我屬性歸因（self-attribute）：學童將原型的範例過度的一般化歸納到其 他的圖形上，如無法接受正三角形旋轉 30 度還是正三角形，因為正三角 形必須有一個邊是水平的(Fischbein, 1996)。

所以如何在教學上，如何可以預防使用原型的典範，而使學童產生原型心 像，以致於影響孩童在學習幾何概念的困擾，這是教育者應該要認真思考，以及

（二）皮亞傑幾何認知的形成

「基模」(schema)是指行動的組織或結構，是主體以之認識周圍世界的基 礎，人類吸收知識的基本架構 (Piaget & Inhelder, 1969)。皮亞傑認為基模是從 遺傳中獲得的，基模是透過行動建構出來的。在後天生活中，這些遺傳性基模 會不斷地分化和複雜化，由最初互不相關的反射動作漸漸發展成相互協調的行 為模式，稱之為動作基模。動作基模一經形成之後，主體進一步就會利用這個 工具去探索周圍的世界，這些動作基模分化、整併的結果，就會越來越大、愈 變愈複雜，而成相互交錯的結構，即「認知結構」(cognitive structure)。與完形 學派的結構觀點是不相同，皮亞傑眼中的認知結構會隨著主體的認知發展而呈 系統性及整體性的改變，並非僵化不能改變的心理結構(Piaget &

Inhelder,1969)。

1.行動與運思

知識不是來自先天的遺傳，也不是來自後天的環境，而是來自主體的「行 動」(action)。主體為了認識幾何形體，他就必須操弄它、改變它、轉換它；

亦即，必須對該幾何形體採取行動。從最基本的感覺運動（如：觸摸、視覺）

至最複雜的思維活動（如：分類、說出性質），幾何形體的概念的發生與發展 始終跟行動結合在一起。就皮亞傑而言，行動不僅是知識的泉源，它更是主 體建構知識的首要條件(王文科，1991； Piaget, 1970)。

行動產生運思(Piaget & Inhelder, 1969)，幾何形體行動產生幾何概念運 思，是以抽象語言的幾何思維活動。當主體幾何概念的低層次進步的較高層 次，主體便產生了內化的效應，也就將高層次的能力內化成心裡的能力，亦 即內化為運思。此時，主體在其頭腦裡即可進行幾何概念思考而不需藉助於 實物操弄。主體運思能力的獲得，是日後擴展幾何概念抽象思考的必要前提。

2.同化與調適

皮亞傑認為，所謂「同化」(assimilation)是指主體對輸入刺激的過濾或 改造(Piaget & Inhelder, 1969)。當輸入幾何形體的刺激作用於主體時，先用 自己現有的幾何認知結構，將這一刺激進行過濾或改造這便是調適的過 程，，使之變為主體能夠吸收的形式，然後再將之併入原有的幾何形體認知 結構（王文科，1991）。

3.平衡與失衡

同化和調適兩種互補的適應過程，兒童的知識因其與環境中事物的互動 而增加，且智力隨生活經驗的擴大而成長，當個體既有基模能輕易同化環境 中新知識經驗時，在心理上會感到平衡，當個體既有基模不能同化環境中新 知識經驗時，在心理上就會感到失衡，智力成長是因為個體對環境適應時在 心理上連續不斷地交替出現平衡與失衡的狀態所致。每經一次由失衡而恢復 平衡的經驗，個體的基模就會產生改變。個體的基模經過改變後即能吸納更 多的知識經驗，而使其智力水平上升(Piaget & Inhelder,1969)。

三、幾何形體概念的瞭解

學童如何去理解幾何形體的概念，Duval（1995）提出四種方式去瞭解幾何 概念，而Duval 認為以"圖形暸解類型"作為理論基礎，去觀察學生如何瞭解及領 悟出幾何的概念：

（一）Duval（1995）將這四種類型分述如下：

1.知覺性瞭解(perceptual apprehension)

知覺包括五種，視覺、聽覺、嗅覺、味覺、觸覺，利用知覺的感覺去 試圖瞭解幾何的圖形概念，一個可以被察覺到的圖形和僅呈現在視網膜上 的圖形，其最大的差別在於圖形組織的原則，當提起一個圖形或圖案，必 定會引起知覺性的瞭解，圖像所帶給視覺者的暗示，而且我們也可以區分

和辨識出圖形中的子圖形。

2.操弄性瞭解(Operative apprehension)

當學習一個圖形概念時，可以透過操弄圖形或是幾何形體來得到幾何 概念，利用操弄性的瞭解，在以不同的方式更改圖形後，變更圖形的方法 大致可分為以下幾種形式(1) 幾何圖形的分解與組合 (2) 幾何圖形的放 大與縮小(3) 幾何圖形的平移與旋轉…等，這些方式可實際地操弄去改變 它，也可在心靈中操作，這些操弄可使圖形的幾何概念具有啟發性的功 能，因此，可以在操弄的過程中，突顯出圖形的變化，而得到某種證明步 驟或增加幾何概念的進步。

3.作圖性瞭解(Sequential apprehension)

當在構圖的過程中，也就是學童在畫立體圖時的造型活動、或者是描 述該圖形的結構時，必須同時對圖形作構圖性的瞭解。而所謂構圖性的瞭

當在構圖的過程中，也就是學童在畫立體圖時的造型活動、或者是描 述該圖形的結構時，必須同時對圖形作構圖性的瞭解。而所謂構圖性的瞭