高中數學科差異化評量—+99學年度高一下第1次定期考

高中數學科差異化評量—

_{99 學年度高一下第 1 次定期考}

1.1.1 等差數列與等比數列 基礎級試題 1.1.1 等差數列與等比數列 精熟級試題 1. 設a11且a a a 1, ,2 3 為等差數列。請選出正確的選項。 (1)若a100 0,則a1000 0 (2)若a1000,則a1000 0 (3)若a1000 0,則a1000 (4)若a1000 0,則a1000 (5)a1000a10 10(a100a1) 參考答案：(2)(3)(5) 出處：103 年學測 2. 設實數組成的數列

 

an 是公比為0.8的等比數列，實數組成的數 列

 

bn 是首項為10 的等差數列。已知a9 b9 且a10 b10。請選出 正確的選項。 (1)a9a100 ₍₂₎b100 ₍₃₎b9 b10 ₍₄₎a9 a10 (5)a8 b8 參考答案：(1)(3) 出處：102 年學測 1. 已知a a a1, ,2 3　為一等差數列，而b b b1, ,2 3為一等比數列,且此六數 皆為實數。請選出正確的選項。 (1)a1a2與a2 a3可能同時成立　 (2) b1b2　與　b2 b3　可能同時成立　 (3)若a1a2 0，則a2a3 0　(4)若b b1 2 0，則b b2 3 0 (4)若b b b1, ,2 3皆為正整數且　b1b2，則b1整除　b2 參考答案：(2)(4) 出處：97 年學測 2. 假設實數 a a a a1, , ,2 3 4 是一個等差數列，且滿足 0a12 及 a3 4。若定義 2 n a n b  。請選出正確的選項。 (1) b b b b1, , ,2 3 4 是一個等比數列 (2) b1b2 (3) b2 4

3. 請選出正確的選項？ (1)若前 4 項為 1, 2, 3, 4 的數列，則第 5 項為 5 (2)若前 4 項為 2, 4, 8, 16 的等比數列，則第 5 項為 32 (3)數列

 

an _中,已知an  12 22 32 42  (2n1)2 (2 )n 2_, 1 n _，則第k_項為ak (2k1)2(2 )k 2 (4)若數列

 

an _{為等差數列，則數列}





2 ( )a_n 亦為等差數列(5)若數 列

 

an _{為等比數列，則數列}





2 ( )a_n 亦為等比數列 參考答案： (2)(5) 出處：新竹高中 (4) b4 32 (5) b b2 4 256 參考答案：(1)(2)(3)(4)(5) 出處：95 年學測 3. 設（ 1 n a _ ）2＝

1

√

10

（a ）n 2_， n　為正整數，且知a 　皆為正數。n 令 log n n b  a ，則數列b b b 1, ,2 3 為下列哪ㄧ種數列?　 (1)公差為正的等差數列　(2)公差為負的等差數列　 (3)公比為正的等比數列　(4)公比為負的等比數列　 (5)既非等差亦非等比數列 參考答案：(2) 出處：100 年學測 1.1.2 觀察圖形的規律找出遞迴性 基礎級試題 1.1.2 觀察圖形的規律找出遞迴性 精熟級試題 1. 用大小相同的黑、白兩種顏色的正方形地磚依照如下的規律拼成 若干圖形： 　 　 　 1. 設同一平面上的n條直線最多可將該平面分割成an個區域。請選 出正確的選項。

第 1 個　　 第 2 個　　　 第 3 個… 則拼第95 個圖需用＿＿＿＿塊白色地磚。 參考答案：478 出處：北港高中 2. 已知一正方形T1的面積為1024，以其各邊中點為頂點連成的四 邊形T2也是正方形，如此下去，得到一序列的正方形 1, 2, 3, T T T  ，如圖所示。設an是正方形Tn的面積。 (1)寫出數列

 

an 的遞迴關係式 　(2)求a11_之值 (1)a2 4 ₍₂₎a36 (3)a5 15 (4)an an1n n( 2) (5) 2 ₄ 2 n n n a    參考答案：(1)(4) 出處：金門高中 2. 設　a a a  ,1, ,2 3 a n 為一實數數列，且對所有的正整數n滿足 1 ( 1) 2 n n n n a _    。請選出正確的選項。　a (1)如果　a11，則　a2 1　　 (2)如果a1是整數，則此數列的每一項都是整數　 (3)如果a1是無理數，則此數列的每一項都是無理數　 (4)　 a2 a4 a2n （n　為正整數）　 (5)如果ak是奇數，則　ak2,ak4, , ak2n,都是奇數（n為正整 數） 參考答案：(2)(3)(4) 出處：99 年學測

參考答案：(1) 1 1 = 1024 1 , 2 n n a a _ a n       其中為正整數 (2) 1 出處：屏東女中 3. 如圖，第1 層由一個正三角形所形成，第 2 層由三個正三角形所 形成，第3 層由五個正三角形所形成，依此類推，若每個正三角 形的每邊由一根火柴棒構成，且由第1 層至第n層共需a 根火柴n 棒(如a3 18)，則a20之値為＿＿＿＿ 參考答案：630 出處：基隆女中 3. 如圖，若把一個正方形紙對摺兩次後，變成邊長為原來一半的小 正方形，再沿虛線剪去四個角後展開，可看到正方形內部有一個 小洞(如圖)。 　 原正方形對摺兩次沿虛線剪去四角展開後 小芯依此對摺的方式做了四次，把一張夠大的正方形色紙，摺 成為原來邊長( )1₂ 4的正方形，再將其四個角剪去後展開成原來 大正方形，此時她會看到正方形內部有＿＿＿＿個洞。 參考答案：9 出處：臺中二中 4. 伸出你的左手數數字，第一輪從大拇指到小指依次為1, 2, 3, 4, 5，第二輪從無名指到大拇指依次為 6, 7, 8, 9，第三輪從食指 到小指依次為10, 11, 12, 13，如圖所示繼續下去。

(1)數到 2011 時，所指的是那根手指頭？（大拇指，食指，中 指，無名指，小指） (2)前 20 輪所有數的總和為何? 參考答案：(1)中指；(2)3321 出處：馬公高中 1.1.3 由遞迴式求數列的ㄧ般項 基礎級試題 1.1.3 由遞迴式求數列的ㄧ般項 精熟級試題 1. 已知數列

 

an 滿足遞迴關係式: 1 1 1 = 7 7 (1 ) , 2 n n n a a _ a a n     _{ }  其中為正整數 則a101a100= ________ 1. 已知數列

 

an 滿足遞迴關係式: 1 1 , 3 3 4 1 , 3 n n n n n a a a a a       _  是 是 是 是 是 是 是 是 是 ,其中_n為正整數 若 1 2 a  ，則 2011 1 2 2011 1 ... n n a a a a      



＿＿＿＿ 參考答案：276

參考答案：3₇ 出處： 92 年指乙 2.已知數列

 

an 滿足遞迴關係式: 1 1 1 3 1 , 4 1 n n n a a a n a       _  _  其中為正整數 則此數列的第十項a10為＿＿＿＿ 參考答案： 10₁₉ 出處：精誠高中 出處：鳳新高中 1.1.4 數學歸納法 基礎級試題 1.1.4 數學歸納法 精熟級試題 1.利用數學歸納法證明：對任意正整數　n， 1 +2 +3 +2 2 2 +n =2 n n（ ）+1 (2n+1)₆ 恆成立 參考答案：略 出處:一般高中數學教科用書 1. 已知數列

 

an 滿足遞迴關係式: 1 1 1 1 , 3 n n n a a a n a       _  _  是 是 是 是 是 是 (1)試由前幾項的關係，歸納出一般項an（以n表示）。

(2)利用數學歸納法證明，對所有正整數n，(1)中的一般項an恆 成立。 參考答案：(1) n 1₁ n a n    (2)略 出處：蘭陽女中 2. 對任意正整數n2, 2 3 3 5 3 5_ n _2 n 恆為p的倍數,其中p為質數 (1)試求 p 之值 (2)利用數學歸納法證明：於(1)中，你的答案正確 參考答案：(1)17 (2)略 出處：鳳新高中 1.2.1等差級數與等比級數的應用 基礎級試題 1.2.1等差級數與等比級數的應用 精熟級試題 1. 某巨蛋球場 E 區共有 25 排座位，此區每一排都比其前一排多 2 個座位。小明坐在正中間那一排(即第 13 排)，發現此排共有 64 個座位，則此球場E 區共有____________個座位。 參考答案：1600 出處： 96 年學測 2. 已知一等差數列共有十項，且知其奇數項之和為 15，偶數項之 和為30，則下列哪一選項為此數列之公差？ (1) 1　(2) 2　(3) 3　(4) 4　(5) 5 1. 有一數列

 

an 之前n項之和 2 ₆ n S n  n k ，其中k為常數。請 選出正確的選項。 (1)a1 7 k (2)若

 

an 為等差數列時，k 0 (3)an an1 2，其中n2, n為正整數

參考答案：(3) 出處：93 年學測 3.將所有的正整數依序排列如圖所示： 第一列為1，第二列為 2, 3, 4，第三列為 5, 6, 7, 8, 9， 第四列為10, 11, 12, 13, 14,15,16，以此類推。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …… (1)求第n列左數第一個數字（以n表示）。 (2)設an為第n列中所有數的總和，利用(1)求an（以n表示）。 參考答案：(1) 2 _{2 2} n  n (2) 3 2 2n 3n 3n1 出處：馬公高中 3. 有一等差數列

 

an ，它的每一項皆為實數且公差為負數，設Sn_表 此數列之前n項和。若 a8  a13 ，則當n為多少時，Sn_有最大 值？ (4)a10 25 參考答案：(1)(2)(4) 出處：金門高中 2. 一個面積為1024的正方形，先將其等分成 4 個相同的小正方形， 並將右上角和左下角的二個正方形塗成黑色，如第1圖。再將第1 圖中左上角的正方形等分成 4 個相同的更小正方形，並將右上角 和左下角的二個更小的正方形塗成黑色，如第 2 圖。依照這樣的 規律作成若干圖形： 設an是第n圖中白色區域的面積，則a5之値為________ 參考答案：342 出處：馬公高中

(1)9　(2)10　(3)11　(4)12　(5)13 參考答案：(2) 出處：臺中一中 4. 將 16 個正數排列成 4 列 4 行如下: 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a             其中每一橫列的數成等差數列，每一直行的數成等比數列，且所 有等比數列的公比相等，已知 24 1 a  , 42 1 8 a  , ₄₃ 3 16 a  _，則 11 22 33 44 a a a a 之値為＿＿＿＿ 參考答案：13 8 出處：武陵高中 5. 如圖，在一個邊長為 1 的正方形中有 5 個黑色的三角形，這 5 個 三角形均是相似的三角形，試求黑色部分的總面積為何？

參考答案：341₅₁₂ 出處：新店高中 1.2.2



的意義性質與公式求和 基礎級試題 1.2.2



的意義性質與公式求和 精熟級試題 1. 利用公式 2 3 3 3 3 ( 1) 1 2 3 2 n n n        _{  }   L ，可計算出 3 3 3 3 11 12 13  L 20 之値為何? (1)41075 (2)41095 (3)41115 (4)41135 (5)41155 參考答案：(1) 出處：94 年學測 1. 求 40 以下所有正奇數的立方和為＿＿＿＿ 參考答案：319600 出處：臺南二中 2. 已知 3 2 1 ( ) 30 x ax bx   



_, 3 2 1 ( ) 48 x ax b   



_{，則數對 ( , )a b =_____} 參考答案： (3, 2) 出處：臺中一中

2. 數列　a12,a24, ,L ak2 ,k L a1020共有十項，且其和為 240，則a1a2 L ak L a10之值為何? (1)　31　(2)　120　(3)　130 (4)　185　(5)　218。 參考答案：(3) 出處：98 年學測 3. 級數 21 16 11 6 1 4      (5k  1)  489可表成下列哪 一個式子？ (1) 98 3 (5 1) k k  



₍₂₎ 97 4 (5 1) k k  



₍₃₎102 0 (5 21) k k  



(4) 102 1 (5 26) k k  



₍₅₎102 1 (5 21) k k  



參考答案：(3) 出處：金門高中 4. 下列敘述哪些正確？ (1)等比級數1 2 4  _1024共有10 項 3. 求(1)+(1+4)+(1+4+7)+…+(1+4+7+…+58)之值為 ＿＿ ＿＿ （上式中，第n個括號內為：首項1，公差 3 之等差級數的前n 項和） 參考答案：4200 出處：臺南二中 4. 下列敘述哪些正確？ (1) 1 1 1 ( ) n n m k k k k k m k a a  a      







_{(m n , ,m n 為正整數)} (2) 100 0 1 2 2 1 99 ( 1)k ( 1) (k 1) k k k k         





(3)若一數列{ }an _的前n_項之和 2 3 2 1 n S  n  n ，則此數列為等差 數列 (4)若一數列{ }an ，對任意正整數n，皆滿足anan2 2an1，則 此數列為等差數列 (5)對任意正整數n, 2 ₄₁ n  n 為質數 參考答案：(1)(2)(4) 出處：鳳新高中

(2) 5 4 3 3 2 1 ( 1) k k k k    





₍₃₎ 5 2 4 2 2 1 k k k k   





(4) 99 2 1 99 100 199 6 k k    



₍₅₎ 99 2 1 99 99 k 



參考答案：(2)(4)(5) 出處：屏東女中 1.2.3 觀察圖形的規律再用



配合求和 基礎級試題 _{1.2.3 觀察圖形的規律再用}

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_{配合求和 精熟級試題} 1. 將邊長為　1　公分的正立方體堆疊成一階梯形立體，如圖所示，其 中第　1　層（最下層）有　10　塊，第　2　層有　9　塊，……，依此類 推。當堆疊完　10　層時，該階梯形立體的表面積（即該立體的 前、後、上、下、左、右各表面的面積總和）為何？ 　 (1)　75　平方公分　(2)　90　平方公分　(3)　110　平方公分　 (4)　130　平方公分 (5)　150　平方公分。 1.用大小一樣的鋼珠可以排成正三角形、正方形與正五邊形陣列， 其排列的規律如圖所示：設an表示每邊n 個鋼珠所構成正三角形 陣列所需要鋼珠的總數；bn表示每邊n 個鋼珠所構成正方形陣列 所需要鋼珠的總數；cn表示每邊n 個鋼珠所構成正五邊形陣列所 需要鋼珠的總數。請選出正確的選項。 (1)a5  　(2)b4 b6  　(3)c5 10 1 385 k k b  



₍₄₎ 10 1 1 1.8 k ak 





參考答案：(5) 出處：101 年學測 2. 將邊長為1公分之正立方體的小積木堆疊，方式如圖所示：第一 層用1個積木，第二層用9個積木，第三層用25個積木，以此類 推。如果堆高20 層，那麼這 20 層共用多少個積木？ 　　　　　 　 參考答案：10660 出處：馬公高中 (5)a10b10c10 300 正三角形陣列 正方形陣列 正五邊形陣列 每邊1 個鋼 珠 每邊2 個鋼 珠 每邊3 個鋼 珠 每邊4 個鋼 珠 參考答案：(1)(3)(4) 出處：員林高中 2. 用單位長的不锈鋼條焊接如圖系列的四面體鋼架，圖中小圈圈 「。」表示焊接點，圖 E-1 有兩層共 4 個焊接點，圖 E -2 有三 層共10 個焊接點，圖 E -3 有四層共 20 個焊接點，試問依此規 律，推算圖 E-5 有六層共有焊接點 個。

參考答案：56 出處:91 年指乙 1.2.4 利用分項對消法求級數和 基礎級試題 1.2.4 利用分項對消法求級數和 精熟級試題 1. 若 100 2 1 1 4 1 k s k t   

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_{(最簡分數)，則 t s  ＿＿＿＿} 參考答案：101 出處：基隆女中 1. 求級數 28 1 1 ( 2) k k k

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_{的和為＿＿＿＿} 參考答案： ₈₇₀623