國立臺灣師大附中
96 學年上學期 第二次期中考 數學科 數理班試卷 p1.
＜＜請在答案卷上作答＞＞ 班級 姓名 座號 一. 單選題:（每題 4 分，共 12 分） 1. 關於＜an＞:3,-3,3,-3,3……下列敘述何者正確？①＜an＞在正負之間擺盪，不能稱為數列 ②＜an＞是 一等差數列 ③＜an＞是一等比數列 ④＜an＞是一數列，但非等差，亦非等比。 2. 下列何者可化成一純循環小數？①8998 ② 74 12 ③ 65 17 ④ 64 13 。 3. 設多項式 f(x)被(x－2)除所得之餘式為 r，則① f(x)被(3x－6)除所得之餘式為 r/3 ②f(x)被(2x－4) 除所得之餘式為2r ③2f(x)被(x－2)除所得之餘式為 r ④f(2x)被(x－1)除所得之餘式為 r。 二.多選題:（每題 6 分,共 18 分；每題全對得 6 分,錯一選項得 3 分, 錯二選項以上不得分） 1. 已知等差數列＜an＞的公差為d，設 bn＝a2n+1，cn＝a3n-2＋a3n-1＋a3n，則①＜bn＞是一等差數列 ②＜cn＞非 等差數列 ③＜bn＞的公差為2d ④＜cn＞的公差為9d ⑤ 以上皆非。 2. 已知數列＜an＞及＜bn＞為收斂，而＜cn＞及＜dn＞為發散，則①＜an＋bn＞必為收斂 ②＜an．bn＞有可 能是發散 ③＜bn－cn＞有可能是收斂 ④＜cn．dn＞必為發散 ⑤＜cn / dn＞有可能是收斂 3. 下列哪些數列的極限為 0？①＜ n 2 3 ＞ ②＜ n n 510 1 ＞ ③＜ n n nn 4 3 2 3 1 3 ＞ ④＜1+(-1)n＞ ⑤＜ 3 2 4 2 2 n n n ＞ 三.填充題:（1～6 題,每題 4 分；7～12 題,每題 5 分，共 54 分） 1. 數列＜an＞的定義如下：a1＝1, a2＝3, an+2＝an+1＋2 an ；則 a6＝ 。 2. 設二等差數列的第 n 項比為 an：bn＝(2n+9)：(4n-17)，則
25 1 k k a ：
25 1 k k b 的比值為 。 3. 設等比數列＜an＞的前5 項和為 15，前 10 項和為 495，則＜an＞的公比＝ 。 4. 在等比數列＜an＞中，已知a1＋a3＝5，a2＋a4＝10，則 a3＋a5＝ 。 5. 設 an＝ n n n n 2 3 3 2 2 3 1 2 ，則 n na
lim
＝ 。 6. 已知
10 0 2 k b k ＝1210，則 b 的可能為 。 7. 設＜an＞的前n 項和 Sn＝2n2－3n，則
1 (4 ) 5 k k k k a ＝ 。 8. 設 a1＝3，an+1＝ 2 n n an，則
n k k n a 1lim
＝ 。 9. 假設兩列對開火車，相距 50 公里，右列火車的速度為 30 公里/時，左列火車的速度為 20 公里/時。今有 一 機動鴿子，跟左列火車一起出發，爾後在兩列火車之間來回地飛。又假設鴿子的速度為40 公里/時，並且 反轉的瞬間速度不變。問當兩列火車相遇時，鴿子共飛了多少距離？答： 公里。(發現趣談 P114。)國立臺灣師大附中
96 學年上學期 第二次期中考 數學科 數理班試卷 p2.
10. 將球堆成一正三角錐垛：最上層 1 個，第二層 3 個，第三層 6 個，依此類推；共堆 15 層，需球 個。 11. 已知 2x4－x3＋3x2＋ax＋b 除以 x2＋2x－1 的餘式為 5，則 a＋b＝ 。 12. 設 P(x)＝8x3－4x2－12x＋3，取 P(0.999)的近似值到小數第三位＝ 。 四.證明題：（每題 8 分，共 16 分） 1.以數學歸納法證明：對一切自然數 n， 3n＋7 n－2 恆被 8 整除。2.試證：托勒密（Ptolemy）定理。設 ABCD 的為圓內接四邊形，邊長 分別為a, b, c, d，對角線為 x, y，則 xy＝ac + bd。 【參考方法提示】： (發現趣談 P56。作一條補助線CE，…)
