數學 解析

發行人 陳炳亨 總召集 周耀琨 總編輯 蔣海燕 主　編 蘇宜庭 校　對 葉瑞賢 出　版 民國一○三年二月 發行所
   臺南市新樂路 76 號 編輯部
   臺南市新忠路 8－1 號 電　話 （06）2619621#314 E－mail periodical@hanlin.com.tw 【試題•答案】依據大考中心公布內容

數學考科

家齊女中 黃峻棋 老師 NO.00847

試題分析

數學考科

大學學測數學考科在  月   日考完。針對今年的試題，我們做了以下的分析： 一 大學學測範圍每個單元的考試重點： 1數與式：1有理數與無理數　2實數的性質　3乘法公式　4數線上的幾何 2多項式函數：1簡單多項式函數及圖形　2因式定理、餘式定理與插值多項式　 3多項式方程式　4多項式不等式 3指數與對數函數：1指數、對數比較大小　2函數圖形的性質　3首數、尾數與查表 4數列與級數：1數列的規律性　2等差與等比數列　3遞迴數列 5排列、組合：1邏輯、集合與計數原理　2直線排列、重複排列　3組合、重複組合 4二項式定理、巴斯卡三角形 6機率：1古典機率的定義　2條件機率、貝氏定理 7數據分析：1平均數、標準差　2標準化　3散佈圖、相關係數、最小平方法 8三角：1廣義角與極坐標　2正弦定理、餘弦定理　3三角測量與查表 9直線與圓：1直線方程式及其圖形　2線性規劃　3圓與直線的關係　 0平面向量：1向量的線性組合　2向量內積及應用　3面積與二階行列式　 4兩直線的幾何關係 q空間向量：1空間坐標化　2向量內積及應用　3外積的性質 w空間中的平面與直線：1平面方程式　2空間直線表示法　3平面與直線的關係　 4三元一次聯立方程組 e矩陣：1線性方程組與矩陣列運算　2矩陣的運算與乘法反方陣　3轉移矩陣 r二次曲線：1二次曲線的定義　2二次曲線的圖形　3二次曲線的標準式 二 試題分析 題號 命題出處 考試重點  第一冊 第三章　指數與對數函數 對數的運算性質 第四冊 第一章　空間向量 空間坐標系 第三冊 第二章　直線與圓 圓方程式的圖形  第一冊 第一章　數與式 數線上的幾何（絕對值不等式）  第二冊 第二章　排列、組合 二項式定理 第二冊 第三章　機率 條件機率與貝氏定理、獨立事件  綜合題型（方程式的圖形） 格子點  第一冊 第一章　數與式 根式運算（比較大小）  第三冊 第三章　平面向量 平面向量的坐標表示法、向量的平行 家齊女中 黃峻棋 老師

  第一冊 第二章　多項式函數 二次函數的圖形、勘根定理   第二冊 第一章　數列與級數 等差數列  第二冊 第四章　數據分析 平均數  第三冊 第一章　三角 三角形的邊角關係  第一冊 第二章　多項式函數 二次函數圖形的平移  第三冊 第二章　直線與圓 直線方程式、坐標化  第四冊 第二章　空間中的平面與直線 空間直線的參數方程式、空間向量的內積  第三冊 第三章　平面向量 向量的內積  第二冊 第二章　排列、組合 基本計數原理  第四冊 第三章　矩陣 轉移矩陣  第三冊 第一章　三角 正弦定理 第一冊：  分；第二冊：  分；第三冊：  分；第四冊：  分；綜合試題： 分。 三 試題特色 整體而言，這份試題比去年簡單，屬於中等偏易的試題。它的特性如下： 1試題難易度中間偏易，沒有特別艱深的題目，大部分的考生均有充份的時間可作答。 2單選題具有穩定軍心的效果，同學應該都可以拿到基本分數。 3部分試題，如多選  、 、  、 ，選填  、 會用到較精細數據的判斷或大量計算， 可明顯區分出學生的計算能力，具鑑別度。 4個人覺得這份考題美中不足的地方是第四冊第四章的二次曲線居然沒有考題。雖然較 難的部分沒有命題，學生可能很高興，但是試題分布不均恐怕是命題委員要儘量避免 的。

試題解析

第壹部分：選擇題（占 ! " 分） 一、單選題（占# " 分） 說明：第1題至第6題，每題有 $ 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項， 請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 $ 分；答錯、 未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。 1 請問下列哪一個選項等於 % & ' （ ( （ ) * ）_）+ 1 $ % & ' （ ( ) ） 2 , $ % & ' ( 3 $ % & ' ( % & ' , 4 $（% & ' ( % & ' ,） 5 , -% & ' ( 答 案 5 命題出處 第一冊第三章　指數與對數函數 測驗目標 對數的運算性質 解 析 由對數的運算性質可知 % & ' （ ( （ ) * ）_） , -•% & ' ( 故選5 難 易 度 易 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 . /0 冊》第0 1 頁範例 ( 2 令2 （$ & 3 &. ( ）、4 （$ & 3 &. ( ）為坐標空間中之兩點，且令5 為6 7 平面上滿 足5

#

2 5

#

4 . , 的點。請問下列哪一個選項中的點可能為 5 ？ 1（$ & 3 &3 ） 2（$ &$ & 3 ） 3（3 &. ( &3 ） 4（3 &3 &3 ） 5（3 &3 &( 0 ） 答 案 4 命題出處 第四冊第一章　空間向量 測驗目標 空間坐標系 解 析 ∵5 在6 7 平面上

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∴令5 （6 &7 &3 ） 又5

#

2 ＝

A

（6 － $） 8

S

＋7 8 ＋. ( 8 ＝. , Ÿ（ 6 － $ ） 8 ＋7 8 ＝( $ 99999 9991 　5

#

4 ＝

A

（6 ＋ $） 8

S

＋7 8 ＋. ( 8 ＝. , Ÿ（ 6 ＋ $ ） 8 ＋7 8 ＝( $ 99999 9992 解1、2得6 ＝ 3 ，7 ＝ 3 ∴5 （3 &3 &3 ），故選4 （本題亦可直接將點代入驗算） 難 易 度 易 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 . /0 冊》第 . : ; 頁範例 <

3 在坐標平面上，以（. &.）&（. &.）&（. &.）及（. &.）等四個點為頂點

的正方形，與圓6 8 7 8 ( 6  ( 7  .  3 有幾個交點？ 1 . 個 2( 個 3 , 個 40 個 53 個 答 案 2 命題出處 第三冊第二章　直線與圓 測驗目標 圓方程式的圖形（作圖） 解 析 圓方程式（6 .） 8 （7 . ） 8 . 圓心（. ，.），半徑. 作圖如右　∴有( 個交點 故選2 難 易 度 易 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 . /0 冊》第 . < , 頁範例 . . 4 請問滿足絕對值不等式∣0 6 . ( ∣( 6 的實數6 所形成的區間，其長度為下列哪 一個選項？ 1 . 2( 3 , 40 5 < 答 案 4 命題出處 第一冊第一章　數與式 測驗目標 數線上的幾何（絕對值不等式）

解 析 │0 6 . ( │( 6 Ÿ ( 6 0 6 . ( ( 6 Ÿ　 ( 6 0 6 . ( 　 ! @ # $ %0 6 . ( ( 6 ∴　< 6 . ( 　 ! @ # $ % ( 6 . ( Ÿ ( 6  < ∴不等式的長度為 < ( 0 ，故選4 難 易 度 易 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 . /0 冊》第 . , 頁範例 : 5 設（. 

Q

( ）= >  ?

Q

( ，其中> & ? 為整數。請問? 等於下列哪一個選項？ 1 @A = ( @ 8 = ( 8 @B = ( ) @ = = 2 @C = ( @ ) = ( 8 @ -= 3 @A = ( @C = ( 8 @ 8 = ( ) @ ) = ( B @B = ( -@ -= ( = @ = = 4( @C = ( 8 @ ) = ( ) @ -= 5 @A = ( 8 @ 8 = ( B @B = ( = @ = = 答 案 2 命題出處 第二冊第二章　排列、組合 測驗目標 二項式定理 解 析 由二項式定理可知 （. 

Q

( ） = =@A = @C = •

Q

( @ 8 = •（

Q

( ） 8 @ ) = •（

Q

( ） ) @B = •（

Q

( ）B = @ -= •（

Q

( ） -@ = = •（

Q

( ）= = > ?

Q

( ∴? @C = ( @ ) = ( 8 @ -= 故選2 難 易 度 易 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 . /0 冊》第 : . 頁範例 . < 6 某疾病可分為兩種類型：第一類占 1 3 D ，可藉由藥物2 治療，其每一次療程的 成功率為 1 3 D ，且每一次療程的成功與否互相獨立；其餘為第二類，藥物2 治 療方式完全無效。在不知道患者所患此疾病的類型，且用藥物2 第一次療程失 敗的情況下，進行第二次療程成功的條件機率最接近下列哪一個選項？ 13 9 ( $ 23 9 , 33 9 , $ 43 9 0 53 9 0 $

答 案 2 命題出處 第二冊第三章　機率 測驗目標 條件機率與貝氏定理、獨立事件 解 析 ∴第一次療程失敗的機率為 1 . 3 × , . 3  , . 3 ×.  $ . . 3 3 　而第一次失敗且第二次成功的機率為 1 . 3 × , . 3 × 1 . 3 　（∵第二次成功表示此疾病必定是第一類型） ∴5 （第二次成功│第一次失敗） 1 . 3 × , . 3 × 1 . 3 $ . . 3 3 ~3 9 ( ; ; ~ 3 9 , 故選2 難 易 度 中 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 . /0 冊》第 . 3 0 頁範例 : 二、多選題（占# " 分） 說明：第7題至第w題，每題有 $ 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正 確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所 有選項均答對者，得 $ 分；答錯 . 個選項者，得 , 分；答錯 ( 個選項者，得 . 分；答錯多於 ( 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。 7 設坐標平面上，6 坐標與7 坐標皆為整數的點稱為格子點。請選出圖形上有格 子點的選項。 17 6 8

2

, 7 : 6 . 37 8 6 ( 46 8 7 8 , 57 % & ' E6  . ( 答 案 135 命題出處 綜合題型（方程式的圖形）

測驗目標 格子點 解 析 1○：令6 . ， 7 . 2×：, 7  : 6  . Ÿ 7  , 6  . , 　 　　∴當6 為整數時，7 不可能為整數 3○：令6 < ， 7 ± ( 4×：6 8 7 8 , 的圖形上沒有格子點 5○：7 % & ' E6  . ( % & ' E 6 % & ' E , % & ' E , 6 　 　　∴令6 , ， 7 . 故選135 難 易 度 中偏易 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 . /0 冊》第 . $ 1 頁範例 $ 8 關於下列不等式，請選出正確的選項。 1

Q

.

W

, , 9 $ 2

Q

.

W

, , 9 < 3

Q

.

W

,

Q

, 

Q

.

W

3 4

Q

.

W

, 

Q

, 

Q

.

W

< 5 .

Q

.

W

,

Q

, 3 9 < 答 案 14 命題出處 第一冊第一章　數與式 測驗目標 根式運算（比較大小） 解 析 1○：（

Q

.

W

, ） 8 . , ，, 9 $ 8 . ( 9 ( $ 　∴

Q

.

W

, ＞, 9 $ 2×：（

Q

.

W

, ） 8 . , ，, 9 < 8 . ( 9 : < 　∴

Q

.

W

, ＞, 9 < 3×：（

Q

.

W

, ） 8 . , ，（

Q

.

W

3 

Q

, ） 8 . ,  (

Q

,

W

3 　 　　∴

Q

.

W

, ＜

Q

.

W

3 

Q

, Ÿ

Q

.

W

,

Q

, ＜

Q

.

W

3 4○：（

Q

.

W

, 

Q

, ） 8 . <  (

Q

,

W

: ，（

Q

.

W

<） 8 . < 　 　　∴

Q

.

W

, 

Q

, ＞

Q

.

W

< 5×： .

Q

.

W

,

Q

, 

Q

.

W

, 

Q

, . 3 ＜ , 9 1  . 9 ; . 3  3 9 $ $ 故選14 難 易 度 中偏易 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 . /0 冊》第 . . 頁範例 <

9 一物體由坐標平面中的點（, &<）出發，沿著向量 @ F 所指的方向持續前進， 可以進入第一象限。請選出正確的選項。 1 @F （. & ( ） 2 @F （. &.） 3 @F （3 9 3 3 . & 3 ） 4 @F （3 9 3 3 . &.） 5 @F （3 9 3 3 . &.） 答 案 234 命題出處 第三冊第三章　平面向量 測驗目標 平面向量的坐標表示法 解 析 設5 （6 &7 ），其中6 ＞ 3 ，7 ＞ 3 令2 （, &<）　∴@ 2 5 （6  , & 7 <） 1若 @2 5 GG ! F （ .& ( ）， 6 , .  7 < (  H 　 則6 H , ＞ 3 且7 ( H < ＞ 3 　 ∴H ＞, 且 H ＜, （矛盾） 2若 @2 5 GG ! F （ .&.）， 6 , .  7 < . H 　 則6 H , ＞ 3 且7 H < ＞ 3 　 ∴, ＜ H ＜< （合） 3若 @2 5 GG ! F （3 9 3 3 . & 3 ），亦即將2 點往右平移　∴必過第一象限 4若 @2 5 GG ! F （3 9 3 3 . &. ）， 6 , 3 9 3 3 .  7 < . H 　 則6 3 9 3 3 . H , ＞ 3 且7 H < ＞ 3 　 ∴H ＞, 3 3 3 （合） 5若 @2 5 GG ! F （3 9 3 3 . &.）， 6 , 3 9 3 3 .  7 < . H 　 則6 3 9 3 3 . H , ＞ 3 且7 H < ＞ 3 　 ∴H ＞< 且 H ＜, 3 3 3 （矛盾） 故選234 難 易 度 中 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 . /0 冊》第 . 1 ( 頁範例(

0 設I （6 ）為實係數二次多項式，且已知 I （.） 3 、I （( ）3 、I （, ） 3 。 令J （6 ） I （6 ）（6 ( ）（6 ,），請選出正確的選項。 17 I （6 ）的圖形是開口向下的拋物線 27 J （6 ）的圖形是開口向下的拋物線 3J （ .） I （.） 4J （6 ） 3 在 . 與 ( 之間恰有一個實根 5若 a 為I （6 ） 3 的最大實根，則J （a） 3 答 案 34 命題出處 第一冊第二章　多項式函數 測驗目標 二次函數的圖形、勘根定理 解 析 ∵I （6 ）為二次函數且 I （.）＞ 3 ，I （( ）＜3 ，I （, ）＞ 3 ∴I （6 ）為開口向上的拋物線，如右圖 　且I （6 ） 3 在（. & ( ），（( &,）之間各有一實根 1×：開口向上 2×：J （6 ） I （6 ）（6 ( ）（6 ,）為開口向上之拋物線 3 ○：J （ .） I （.） ( ＞I （.） 4○：承3，J （ .）＞ 3 ，J （ ( ）I （( ）＜3 　　　 ∴J （6 ） 3 在（. & ( ）之間恰有一實根 5×：∵a 為I （6 ） 3 的最大實根　∴( ＜a＜, 　　　 ∴J （a） I （a）（a( ）（a,）＜ 3 故選34 難 易 度 中 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 . /0 冊》第 , 1 頁範例 . : ，第 , ; 頁範例 ( 3 q 設> C . 且 > C ， > 8 ，> ) ，… 為等差數列。請選出正確的選項。 1若> CAA  3 ，則> CAAA  3 2若> CAA  3 ，則> CAAA  3 3若> CAAA  3 ，則> CAA  3 4若> CAAA  3 ，則> CAA  3 5> CAAA > CA . 3 （> CAA > C ） 答 案 235 命題出處 第二冊第一章　數列與級數 測驗目標 等差數列 解 析 1×：∵> C . ， > CAA . : : K ＞3 ŸK ＞ . : :

　　　 ∴> CAAA . : : : K 可能小於3 2○：> CAA ＜ 3 ŸK ＜ . : : 　　　 ∴> CAAA ＜ 3 3○：> CAAA . : : : K ＞3 ŸK ＞ . : : : 　　　 ∴> CAA . : : K ＞3 4×：> CAAA . : : : K ＜3 ŸK ＜ . : : : 　　　 ∴> CAA . : : K 有可能大於3 5○：> CAAA > CA : : 3 K 　　　> CAA > C : : K 　∴> CAAA > CA . 3 （> CAA > C ） 故選235 難 易 度 中偏易 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 . /0 冊》第 < : 頁範例 ( w 所謂某個年齡範圍的失業率，是指該年齡範圍的失業人數與勞動力人數之比， 以百分數表達（進行統計分析時，所有年齡以整數表示）。下表為去年某國四 個年齡範圍的失業率，其中的年齡範圍有所重疊。 年齡範圍 , $ ∼ 0 0 歲 , $ ∼, : 歲 0 3 ∼0 0 歲 0 $ ∼ 0 : 歲 失業率 . ( 9 < <（ D ） : 9 ; 3 （D ） . , 9 . 1（ D ） 1 9 3 ;（ D ） 請根據上表選出正確的選項。 1在上述四個年齡範圍中，以0 3

∼

0 0 歲的失業率為最高 20 3

∼

0 0 歲勞動力人數多於0 $

∼

0 : 歲勞動力人數 3L M ∼L N 歲的失業率等於

（

. , 9 . 1 1 9 3 ; (

）

O 4 , $

∼

, : 歲勞動力人數少於 0 3

∼

0 0 歲勞動力人數 5如果0 3

∼

0 0 歲的失業率降低，則0 $

∼

0 : 歲的失業率會升高 答 案 14 命題出處 第二冊第四章　數據分析 測驗目標 平均數 解 析 年齡範圍 , $ ∼, : 歲 0 3 ∼0 0 歲 , $ ∼ 0 0 歲 0 $ ∼ 0 : 歲 勞動人口 P C P 8 P C P 8 P ) 失業人數 6 C 6 8 6 C  6 8 6 ) 失業率 : 9 ; 3 ％ . , 9 . 1 ％ . ( 9 < < ％ 1 9 3 ; ％

1○：由圖表可知失業率 . , 9 . 1 ％最高 2×：P 8 可能小於或等於 P )

（

∵ 6 8 P 8 ＞ 6 ) P )

）

3×：0 3 ∼0 : 歲的失業率等於 6 8 6 ) P 8  P ) ×. 3 3 ％ 4○：由題意知 6 C P C 3 9 3 : ; 99 9999991， 6 8 P 8 3 9 . , . 1 9999999 2， 　 　　　　　　 6 C  6 8 P C P 8 3 9 . ( < < 999999999 99999999999999 9999999999999 3 　　　 ∴6 C  3 9 3 :P; C ， 6 8  3 9 . , . 1 P 8 代入3 　　　 ∴3 9 3 :P; C  3 9 . , . 1 P 8  3 9 . ( <P< C  3 9 . ( <P< 8 　　　Ÿ3 9 3 ( ;P< C  3 9 3 3 $ P. 8 　　　 ∴P C ＜P 8 5×：每個年齡層的失業率不一定有相關（由圖表無法解讀） 故選14 難 易 度 中偏易 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 . /0 冊》第 . . ( 頁範例 . 第貳部分：選填題（占 Q " 分） 說明：1 第 R 至 S 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的 列號（e∼n）。 2 每題完全答對給 $ 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。 R 9 設圓 T 之半徑為 ( 0 ，

#

T @  ( < ，

#

T @ 交圓T 於 2 點，

#

@ U 切圓 T 於U 點， 4 為2 點到

#

T U 的垂足，如右邊 的示意圖。則2

#

4 　 ert yu 　。（化為最簡分數） 答 案 e . 　r ( 　t3 　y . 　u , 　 命題出處 第三冊第一章　三角 測驗目標 三角形的邊角關係 解 析 如右圖 △T @U 為 $ . ( . , 的直角三角形

且△T 2 4 2△T @U 　∴ ( 0

#

2 4  ( < . 3 Ÿ

#

2 4 . ( 3 . , （另解：本題亦可用恆等關係解之） 難 易 度 中偏易 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 . /0 冊》第 . ( 1 頁範例 . V 9 坐標平面上，若直線 7 > 6  ? （其中> ， ? 為實數）與二次函數7 6 8 的圖形恰 交於一點，亦與二次函數7 （6 ( ）8 . ( 的圖形恰交於一點，則> 　i　， ? 　op　。 答 案 i < 　o　p : 命題出處 第一冊第二章　多項式函數 測驗目標 二次函數圖形的平移 解 析 G8 ：7 （6 ( ） 8 . ( 表示將 GC ： 7 6 8 向右平 移( 單位，向上平移 . ( 單位，略圖如右， 其中直線W ：7 > 6 ? 與直線X 平行 且X 為過（3 &3 ），（( &. ( ）的直線 ∴直線X 的斜率等於 . ( 3 ( 3 < ，即 > < 令7 < 6 ? ，且　 7 6 8 ! @ # $ %7 < 6 ? 恰有一交點 ∴6 8 < 6  ? Ÿ6 8 < 6 ? 3 恰有一實根 ∴判別式U , <  0 ? 3 Ÿ? : 故>  < ， ? : 難 易 度 中 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 . /0 冊》第 ( , 頁範例 $ Y 9 小鎮 2 距離一筆直道路 < 公里，並與道路上的小鎮 4 相距 . ( 公里。今欲在此道 路上蓋一家超級市場使其與2 &4 等距，則此超級市場與2 的距離須為 　a

A

s　公里。（化為最簡根式） 答 案 a0 　s , 命題出處 第三冊第二章　直線與圓 測驗目標 直線方程式、坐標化 解 析 由題意作圖如右，其中W 為2

#

4 之中垂線 而X 為超級市場所在地 ∵2

#

4 . ( Ÿ

A

6 8

S



S

, < . ( Ÿ6  <

Q

, ∴2

#

4 之斜率為 .

Q

故W 之斜率為

Q

, Ÿ W 之方程式為

Q

, 6 7 < ∴W 與6 軸交點 X （(

Q

, & 3 ） Ÿ2

#

X 

A

（(

SQ

, ）

S

8 < 8 

Q

.

W

( 

W

, <  0

Q

, 難 易 度 中 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 . /0 冊》第 . $ , 頁範例 ( Z 9 坐標空間中有四點 2 （( &3 &3 ）、4 （, & 0 & ( ）、@（ ( &0 & 3 ）與 = U （. &, &.）。若點 5 在直線 @U 上變動，則內積 @ 5 2 •@5 4 之最小可能值為 d f 。（化為最簡分數） 答 案 d $ 　f 0 命題出處 第四冊第二章　空間中的平面與直線 測驗目標 空間直線的參數方程式、空間向量的內積 解 析 @@U （. &. &.） ∴

%

@U 方程式： 6 ( .  7 0 .  [ . （H ） ∵5 在

%

@U 上　∴令 5 （H ( &H 0 & H ） 又 @5 2 （0 H ，H 0 ， H ），@ 5 4 （$ H &H &( H ） ∴@5 2 •@5 4 （0 H ）（$ H ）（H 0 ） H （H ）（( H ） = H 8 : H ( 3 H 8 0 H H 8 ( H = , H 8 . $ H ( 3 ,

（

H $ (

）

8  $ 0 故當H  $ ( 時，@ 5 2 •@5 4 有最小值 $ 0 難 易 度 中 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 . /0 冊》第 ( . 3 頁範例 1 \ 9 設 @ ] &@ F 為兩個長度皆為 . 的向量。若 @] @ F 與 @ ] 的夾角為 1 $ q，則 @] 與 @ F 的內積 為 g

A

h j 。（化為最簡根式） 答 案 g　h , 　j ( 命題出處 第三冊第三章　平面向量 測驗目標 向量的內積 解 析 由題意知│!] ││! F │ . 又（!] ! F ）•! ] !] •!] !] •! F Ÿ │!] ! F │•│! ] │• ^ & _ 1 $ q. !] •! F 99999999999 99991

其中│!] ! F │ 8 │!] │ 8 │!F │ 8 ( •!] •! F = ( ( •!] •! F 99 999999999999999 99999999999999 99992 令 !] •! F H ，則│!] ! F │

Q

(

W

(

W

H 3 ∴由1、2可得

Q

(

W

(

W

H ×. ×

Q

<

Q

( 0 .  H Ÿ( （.  H ）× ; 0

Q

, . < （.  H ）8 ŸH . .

Q

, ( ∴H 

Q

, ( 難 易 度 中 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 . /0 冊》第 . 1 < 頁範例 < ` 9 一個房間的地面是由 . ( 個正方形所組成，如右圖。今 想用長方形瓷磚舖滿地面，已知每一塊長方形瓷磚可 以覆蓋兩個相鄰的正方形，即 或 。則 用 < 塊瓷磚舖滿房間地面的方法有　kl　種。 答 案 k . 　l . 　 命題出處 第二冊第二章　排列、組合 測驗目標 基本計數原理 解 析 用 < 個 和 3 個 Ÿ3 種 用 $ 個 和 . 個 Ÿ , 種 用0 個 和 ( 個 Ÿ3 種 用 , 個 和 , 個 Ÿ < 種 用( 個 和0 個 Ÿ 3 種

用 . 個 和 $ 個 Ÿ ( 種 用3 個 和 < 個 Ÿ 3 種 ∴共 . . 種 難 易 度 中 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 . /0 冊》第 ; ( 頁範例( a 9 已知 > 　 ? b 　 K 是一個轉移矩陣，並且其行列式（值）為 $ ; 。則> K  ;z x 。 （化為最簡分數） 答 案 ; . 　z , 　x ; 　 命題出處 第四冊第三章　矩陣 測驗目標 轉移矩陣 解 析 ∵ > 　 ? b 　 K 為轉移矩陣　∴ > ，? ，b ，K 均大於等於3 且> b  . ， ? K . 99999999999999 91 又

│

> 　 ? b 　 K

│

 > K ? b  $ ; 99999999 992 由1得? . K ，b . > 代入2 ∴> K （. K ）（. > ）> K （. > K > K ） $ ; Ÿ>  K .  $ ; 故> K  . , ; 難 易 度 中偏易 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 . /0 冊》第 ( ( . 頁範例 $

S 9 如圖，正三角形 2 4 @ 的邊長為 . ，並且 ∠. ∠ ( ∠, . $ q。已知 _c d . $ q

Q

<

Q

( 0 ，則正三角 形U e f 的邊長為

A

c v

A

b n 。（化為最簡分數） 答 案 c < 　v ( 　b( 　n( 　 命題出處 第三冊第一章　三角 測驗目標 正弦定理 解 析 令U

#

f  6 ，

#

@f  7 則△2 U @ 中，由正弦定理可知 7 _ cd . $ q  6 7 _ cd 0 $ q  . _ c d . ( 3 q ∴ 7

Q

<

Q

( 0  6 7

Q

( (  .

Q

, ( = Ÿ7 

Q

<

Q

( 0 × (

Q

, 

Q

<

Q

( (

Q

, 又6 7 

Q

(

Q

, ∴6 

Q

(

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,

Q

<

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( (

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,  (

Q

(

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< 

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,  ,

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< ,

Q

( < 

Q

< (

Q

( ( 難 易 度 中 類 似 題 《大滿貫複習講義•數學 . /0 冊》第 . , , 頁範例 <

參考公式及可能用到的數值 1 首項為> ，公差為K 的等差數列前P 項之和為 g  P （ ( > （P .） K ） ( 首項為> ，公比為h （h ≠ .）的等比數列前P 項之和為 g  > （ . h i ） . h 2 三角函數的和角公式：_c d （ 2 j 4 ）_ cd 2 ^ & _ 4 ^ & _ 2 _ c d 4 ^ & _ （ 2 j 4 ）^ & _ 2 ^ & _ 4 _ c d 2 _ cd 4 k l d （ 2 j 4 ） k l d 2 k l d 4 . k l d 2 k l d 4 3 △2 4 @ 的正弦定理： > _ cd 2  ? _c d 4  b _ cd @ ( m （m 為 △2 4 @ 外接圓半徑） △2 4 @ 的餘弦定理： b 8 > 8 ? 8 ( > ? ^ & _ @ 4 一維數據n ：6 C ， 6 8 ，…，6 i ，算術平均數Po  . P （6 C ＋ 6 8 ＋…＋6 i ） . P p

¦

q r 6 s 標準差Vo  . P p

¦

q r （6 s －Po ） 8  . P

（（

p

¦

q r 6 s 8

）

－P P o 8

）

5 二維數據（n &t ）：（ 6 C & 7 C ），（ 6 8 &7 8 ），…，（6 i &7 i ）　 相關係數h o &u  p

¦

q r （6 s －Po ）（ 7 s －Pu ） P V o Vu 迴歸直線（最適合直線）方程式7 －P u  h o &u Vu Vo （6 －P o ） 6 _{參考數值：}( ~. 9 0 . 0 ， , ~. 9 1 , ( ，$ ~ ( 9 ( , < ，< ~ ( 9 0 0 : ，S~, 9 . 0 ( 7 對數值：% & ' CA ( ~3 9 , 3 . 3 ，% & ' CA ,~ 3 9 0 1 1 . ，% & ' CA $ ~ 3 9 < : : 3 ，% & ' CA 1 ~ 3 9 ; 0 $ . F

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