中學生通訊解題第三十九期題目參考解答及評註

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- 58 - I D B C A

中學生通訊解題第三十九期題目參考解答及評註

臺北市立建國高級中學數學科

用四個邊長為 1 的正方形組成的「四連方」有如圖的七種：用這些四連方拼成一塊 7 × 4 的矩形最多可以用這七種連方中的幾種？參考解答： (1) 將 7 × 4 的矩形塗成黑白相間如圖：其中黑格與白格各有 14 個，再將七種「四連方」也塗成黑白相間，除了下者為 3 黑 1 白或 1 黑 3 白以外，其餘必定為 1 黑 1 白。若要放入七種「四連方」，則必為 15 黑 13 白或 13 黑 15 白，但 7 × 4 的矩形為 14 黑 14 白，故不可能。 (2) 又下列例子說明可以放入六種「四連方」拼成一塊 7 × 4 的矩形，故最多可以用六種「四連方」拼成一塊 7 × 4 的矩形。解題評註：本題除了要證明不可能放入七種「四連方」拼成一塊 7 × 4 的矩形以外，還要再舉出一個例子說明可以放入六種「四連方」拼成一塊 7 × 4 的矩形，如此才算完整。如右圖：AD 是 ∠ A 的平分線，I 在 AD 上，且 ∠BIC＝90o＋

2

1

∠BAC。求證：I 是 △ ABC 的內心。問題編號 3901 問題編號 3902

(2)

中學生通訊解題第三十九期題目參考解答及評註 - 59 - B C A I M₂ M₁ D D I A C B Q R J P 解題評註：幾何證明的逆定理常用的方法是反證法，利用另一個假設成立然後證明其矛盾，或者證明其重合，此題發覺大部分的學生用此法來證明。但也有利用做輔助線直接來證明，這也是非常漂亮的證法，我們將此兩種漂亮的證法皆提供給大家參考。參考解答： 方法一： 如下圖，設 M 為ΔABC 的內心，因未知 M 在 I 的上方或下方，分別將 M 於上方及下方設

M

₂與

M

₁分開來討論：當 M 在 I 的上方 ∠B

M

₂C=∠BAC+∠AB

M

₂+∠AC

M

₂<∠ BAC+∠ABI+∠ACI=∠BIC=900 +

1

2

∠BAC ∵

M

₂ 為ΔABC 的內心，故 ∠B

M

₂C=900 +

1

2

∠BAC (矛盾) 同理當 M 在 I 的下方

∠ B

M

₁C=∠BAC+ ∠AB

M

₁+ ∠AC

M

₁> ∠

BAC+∠ABI+∠ACI=∠BIC=900 +

1

2

∠BAC ∵

M

₁ 為ΔABC 的內心，故 ∠B

M

₁C=900 +

1

2

∠BAC (矛盾) 所以 I 為ΔABC 的內心（北市師大附中王思貽同學、北市士林國中姜駿宇同學提供） 方法二： 1. 作∠B，∠C 外角的平分線交於 J，J 為ΔABC 的傍心， ∠BJC=900 -

1

2

∠BAC 2. 作ΔABC 的外接圓交 AD 直線於 P 點，連接 BP，CP ∵ ∠BAP=∠CAP， ∴

IB

3. ∠BIC+∠BJC=900 +

1

2

∠BAC+90 0 -

1

2

∠BAC=1800 ∴ B、I、 C、J 四點共圓，作此圓 4. ∠BCJ=∠PCJ+∠BCP=∠PCJ+

1

2

∠BAC， ∠JCQ=∠PJC+

1

2

∠BAC ∵ ∠ BCJ= ∠ JCQ ∴ ∠ PCJ= ∠ PJC ∴

PC PJ

=

(3)

科學教育月刊第 289 期中華民國九十五年六月 - 60 - ∴

PC PJ

=

BP

P 是 B、I、C、J 四點共圓的圓心 ∠ICJ=∠ICB+∠DCJ=900 5. ∠ICJ=∠ICB+∠BCJ=900 ，又 ∵∠ACI+∠JCQ=900 ∠BCJ=∠JCQ ， ∴ ∠ICB=∠ACI ∴

IC

是 ∠C 的內角平分線 6. 同理可證

IB

是 ∠B 的內角平分線， ∴ I 是ΔABC 的內心（北縣中和國小夏誌陽同學提供）以 90 個單位立方體與一個邊長為 a，一個邊長為 c 的立方體，構成一個邊長為 c 的立方體，其中 a,b,c 都是正整數，試求出 a,b,c。參考解答：根據題意：可以列式子 c3＝a3＋b3＋90。易知，c > a ＋ b，所以，90＝c3－a3－b3 ≧ 3ab(a＋b)⇒ ab(a＋b)≦30 不妨假設 a≦b ⇒ a 的可能值為:1.2.3.5.6.10,15,30。但是，5 及 5 以上的值明顯地不可能。經驗算易得 a＝2，b＝3，c＝5 或 a＝1，b＝5，c ＝6，加上 a,b 的對稱情形共四種。解題評註：本題解題的關鍵和大多的數論問題相同，就是設法找出滿足這個等式中未知數的範圍。同學們大致也能抓住這個重點，當中的差別僅僅在於敘述的繁簡不同。基本上同學的寫法都相當的不錯，這點是相當值得嘉許的。 被扣分的最主要的原因是沒有考慮到 a3_{＋ b}3_{< c}3 _{的情形。} 斯諾克是一種撞球遊戲 ,遊戲的簡要規則如下： 1. 正常情況：一次最多只有一球進袋，沒有違規情事發生(以下規則皆在正常情況下) 2. 遊戲的開始，在球台上規定的位置擺上 15 顆紅球與 6 顆色球(分別是黃，綠，棕，藍，橙，及黑色球各一顆)；並在規定的區域擺一顆白球(也稱母球) 3. 遊戲由兩人進行 4. 每人每次出桿撞擊白球，使白球撞擊紅球或色球進袋(稱將紅球或色球打進袋)，可連續出桿至無球進袋時，換對手出桿 5. 在球台上有紅球時，每打一顆(任一)色球前皆需先打進一顆紅球；紅球進袋不需拿出來；而色球進袋需要拿出來再放至在球台上規定的位置，直至球台上最後一顆紅球 6. 打進最後一顆紅球後，仍可選擇任一顆色球將其打進；並隨即將該色球拿出來放至在球台上規定的位置；此後需按照黃，綠，棕，藍，橙，黑的順序將色球打進，此時打進的色球不需拿出來 7. 每打進一顆紅球可得 1 分，打進黃球一次可得 2 分，打進綠球一次可得 3 分，打進棕球一次可得 4 分，打進藍球一次可得 5 分，打進橙球一次可得 6 分，打進黑球一次可得 7 分問題編號 3903 問題編號 3904

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中學生通訊解題第三十九期題目參考解答及評註 - 61 - 8. 一人的最高分為 147 分(一顆紅球，一顆黑球，一顆紅球，一顆黑球 … 直到最後一顆紅球打進，再打進黑球共有 120 分再依序打完所有色球共有 27 分，加起來共 147 分) 在某一場正常情況的斯諾克中，楊聰發現他的得分還不能確定是否贏得這場遊戲,接著他打進了一顆球，又看了一下球台剩餘的球；發現此時他已經確定贏得這場遊戲(不論對手之後再怎麼得分，分數都無法超越楊聰)，這時楊聰的計分板上註記著 X 分。試問 X 的最大值與最小值是多少？參考解答：若要得最大值，雙方皆要衝高分，雙方最大總得分為 147 分，當對手打進八次 (紅球加黑球)；楊聰打進七次(紅球加黑球) 再打進一顆黃球，對手再打進一顆綠球；楊聰再依序打進棕球、藍球、橙球，此時對手得分 67 分；而楊聰得分 73 分，球台只剩一顆色球(黑球)，尚不能確定是否贏得這場遊戲，接著楊聰將黑球打進，得 80 分， 此時他已經確定贏得這場遊戲，故 X 的最 大值是 80 分。 若要得最小值，雙方皆要低分，雙方最小總得分為 42 分(雙方打進紅球後，皆無打進色球，15 分再加上依序須打進的色球 27 分共 42 分)，當雙方打進紅球後，皆無打進色球，如此交替出桿將紅球打完，對手共進了二顆紅球，楊聰進了十三顆紅球。接著楊聰打進黃球，綠球共得 18 分，尚不能確定是否贏得這場遊戲，接著楊聰將棕球打進，得 22 分，此時他已經確定贏 得這場遊戲，故 X 的最小值是 22 分。 解題評註：有同學的答案寫：楊聰一開始一連打進紅球加黑球九次共 72 分，再打進一顆紅球共 73 分，尚不能確定是否贏得這場遊戲。其實此時球台剩下五顆紅球以及色球，對手最多只能得 67 分，以此種情況而言，楊聰已經贏了。所以這樣寫是不對的。本題需要去分析最高分及最低分的情況，並將這些情況組合出來，希望同學們下次好好加油！大於

(

3 +

2 )

6的最小整數為何？參考解答：先觀察 3 3 2 4 5 6 6 ₍ ₃₎ ₆₍ ₃₎ ₍ ₂₎ ₁₅₍ ₃₎ ₍ ₂₎ ₂₀₍ ₃₎ ₍ ₂₎ ) 2 3 ( + = + + + ₊₁₅₍ ₃₎2₍ ₂₎4₊₂₀₍ ₃₎₍ ₂₎5₊₍ ₂₎6 3 3 2 4 5 6 6 ₍ ₃₎ ₆₍ ₃₎₍ ₂₎ ₁₅₍ ₃₎₍ ₂₎ ₂₀₍ ₃₎₍ ₂₎ ) 2 3 ( − = − + − ₊₁₅₍ ₃₎2₍ ₂₎4₋₂₀₍ ₃₎₍ ₂₎5₊₍ ₂₎6 將二式相加 6 4 2 2 4 6 6 6 ₍ ₃ ₂₎ ₂₍ ₃₎ ₃₀₍ ₃₎₍ ₂₎ ₃₀₍ ₃₎ ₍ ₂₎ ₂₍ ₂₎ ) 2 3 ( + + − = + + + 970 16 360 540 54+ + + = = 又0_<( 3₋ 2)6_<1_,_∴₉₆₉_<₍ ₃₊ ₂₎6_<₉₇₀ 所求=970 解題評註：這題主要目的是要由觀察的過程當中，找出規律來，並求出其和(或是用乘法公式硬展，也可得到結果 )。問題編號 3905

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