中學生通訊解題第四期
問題編號 89401 某家軍火製造公司配製了一種編號為 A-1 的烈性炸 藥，分別裝在密封的小罐裡，如圖放置，每一罐子上的 數目字代表該罐內所裝炸藥的容量，按規定同一直線上 的炸藥容量絕對不准超過 30 個單位，以策安全。請問要 達到安全要求，至少要移動那幾罐炸藥？如何安置？ 解答： 如圖。仔細檢查炸藥罐的放置圖： 第 1 線 13＋6＋14＝33 第 2 線 9＋17+7＝33 第 3 線 13+11+9＝33 第 4 線 6+10+17＝33 第 5 線 14+10+9＝33 （對角線） 以上五條路線安置的「炸藥容量」都是 33 個單位（超過 30 個單位）。這是 非常危險的！所以我們必須找出一種安置的方法使每一行、每一列和兩條對角線 上的炸藥容量都不超過 30 個單位。 其次把 9 個藥罐的容量加起來，總和是 90 個單位。因為 90÷3＝30。故每一 行、每一列都恰好安置 30 單位。 想法： (i)”9 單位”的藥罐位於 2、3、5 三條危險線的交會點上，所以優先考 慮將它移走。 (ii)因 9-6＝3，將”6 單位”移到原來”9 單位”的位置上，此時 2、3、5 三線的危險立刻解除（因每線都少 3 個單位）。 (iii)因 6-3＝3，將”3 單位”移到原來”6 單位”的位置上，此時 1、4 兩線 的危險立刻解除（因每線都少 3 個單位）。 (iv)最後將”9 單位”移到原來”3 單位” 的位置上。如圖。 顯然，互調任意兩罐，都無法解除以上 5 條線的危險，所以至少移動 3 罐： 問題編號 89402 詩人徐志摩有一首膾炙人口的小詩 ~ 再別康橋，詩中有這樣一段話： 13 11 9 6 10 17 14 3 7 橫列 縱列 13 6 14 10 11 3 17 9 7 和 33 和 33 和 33 和 33 和 33 3 6 9 13 3 14 10 11 9 17 6 7輕輕的我走了 正如我輕輕的來 現將短詩改變成一個算式 來 輕輕的 我 如 正 走了 我 輕輕的 相同的一個漢字代表同一個阿拉伯數字，不同的漢字代表不同的阿拉伯數字， 你能解開上面的算式嗎？並說明理由。 解題重點： 1 令 a=輕,b=的,c=我,d=走,e=了,f=正,g=如,h=來，則算式為： de c aab ； h aab c g f / / 由(1)式有 aab cde,而
de
N,故 aabN,且 cN 2 aab
001, 004, 009, 225, 441
, c
0, 1, 4, 9
. (也可以利用(2)式先排除 0) 由(1)式知 aab
001, 004, 009
,所以 aab
225, 441
. 若 aab 225,則(1)式可能情形有 225 0 15,與 b=e 矛盾 114,與 c=d 矛盾 413, 912,與 a=c 矛盾 若 aab 441,則(1)式可能情形有 441 021,與 b=e 矛盾 9 18,與 b=d 矛盾 故 a=2,b=5,c=4,d=1,e=3,即 225 413 . 3 於是(2)可寫成 f g/4 225/ h 因為 f g/4 是有理數,所以 hN,從而 h
1, 9
, 因為 f g/49,所以 h 9 .，h9 由 225/ 95,得4 g,故 g=8. 由 f 8/4 225/ 9,得 f=7 (1 分) 故 f=7,g=8,h=9,即 7-8/4= 225/ 9. 問題編號 89403 有一電動數字盤如下： 1 3 7 15 31 63 127 255 511 3 5 9 17 33 65 129 257 513 7 9 13 21 37 69 133 261 517 15 17 21 29 45 77 141 269 525 31 33 37 45 61 93 157 285 54163 65 69 77 93 125 189 317 573 127 129 133 141 157 189 253 381 637 255 257 261 269 285 317 381 509 765 511 513 517 525 541 573 637 765 1021 若按其中任一個數字，則該數字所在的行與列燈光全亮。如此繼續按為亮的數字 直到整個數字盤燈光為止。此題的按法有很多種，無論用那一種方法所按過的數 字總和是否都會相等？請說明理由。 參考解答： 設aij 表第 i 列第 j 行的數字，其中 i,j=1,2,3,…..,9 則當 i=1 aij =2j 1 當 i 2 aij 1 (2 2) i j a 因為所按的數字必不同行且不同列 所以所按的數字總和＝第一列數字總和再依次加上每列與第一列的差數 故為定值。 又aij = 1 (2 2) i j a =(2j 1)(2i 2) =2i2j 3 i, j 1,2,3,,9 為總和只按 9 次， 所以此定值為(2122 29)(2122 29)392017 。 解題重點： 1.因每次所按的數必不同行不同列，所以總共按 9 次。 2.尋找每行與每列數的規律性。 問題編號 89404 AB表正立方體〝最長〞的對角線，將立方體繞直線AB旋轉（A 與 B 二頂點固 定不動），問至少需要轉多少圈使正立方體轉至「與原來位置重合」？（「與原 來位置重合」的意思就是正立方體外觀與原來完全相同，但每一點可以不必在原 來位置上） 解答：立方體 ABCD-EFGH 中，取最長對角線 AG，使其垂直地面，則有三點 B、D、E，在空中為同一高度，且形成一個正三角形，此三角形與 AG 垂直，且 AG 必通過其重心 O（如下圖）。故以 AG 為軸，旋轉 120°即可重合於原三角形， 另言之，原立方體要旋轉 120°，必可重合於原立方體。 A B D E G
問題編號 89405 同底等高的柱體體積是錐體體積的多少倍？請說明理由。 解題重點： 1.先將正立方體切割成 3 個全等的四角錐，可直觀地瞭解同底等高的錐體與柱 體間的可能比例。 2.透過同一高度之截面積比例，可推得多角錐的體積仍是同底等高的多角柱體 積的三分之一。 3.至於不規則形角錐與同底等高之不規則形柱體比例需借助 n 等分割與無窮級 數化成定積分來處理，因而可得任何同底等高的角錐體與柱體的體積比必為 1：3。
