高二下第一次期中考數學科4B題庫(40)

(1)

1092 高二數學 4B 第㇐次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P1

單元㇐空間概念

㇐、單選題

1. （）如圖是一個正立方體，選出與平面ACGE垂直的直線。 (A)直線AB (B)直線BF (C)直線CG (D)直線DB (E)直線EB 解答 D 解析 (A)╳：因為直線AB與直線AC不垂直，所以不與平面ACGE垂直 (B)╳：因為直線BF與直線AE平行，所以不與平面ACGE垂直 (C)╳：因為直線CG在平面ACGE上，所以不與平面ACGE垂直 (D)○：因為直線DB與直線AC為正方形ABCD的兩對角線，互相垂直，又直線DB與正方形ABCD和EFGH的中心連線也垂直，所以直線DB與平面ACGE垂直 (E)╳：因為直線EB與直線AE 不垂直，所以不與平面ACGE垂直

二、多選題

2. （）如示意圖，四面體 OABC 中，△OAB 和△ OAC 均為正三角形， 30

BOC

   。試選出正確的選項。

(A) BC OC (B)△ OBC 是等腰三角形 (C)△OBC 的面積大

於△OAB 的面積 (D)CAB  (E)平面OAB 和平面OAC30

的夾角（以銳角計）小於30

解答 BD

解析 (A)由正弦定理：

sin30 sin75 sin75

BC _ OB _ OC   ，因此BC OC (B)令OA a 。△OBC與△ABC中，_{BO BA a}_ _ ，_{CO CA a}_ _ ，共用_BC，因此△OBC與△ABC全等，且兩者皆為30   75 75的等腰三角形。又CAB COB 30 (C)△OBC的面積為1 2_sin30 2a ，△OAB的面積為 2 1 sin60 2a ，

因此△OBC的面積小於△OAB的面積 (D)令OA a 。△OBC與△ABC中，BO BA a  ，

CO CA a  ，共用_BC，因此△OBC與△ABC全等，且兩者皆為30   75 75的等腰三角形。又CAB COB 30 (E)[解一] 如圖，由視角的觀念：長度固定的木棒離眼睛愈近，兩端與眼睛所構成的視角愈大，故兩平面的夾角大於30

(2)

1092 高二數學 4B 第㇐次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P2 [解二] 令OA中點為D，所求兩平面的夾角為BDC，而BOC 30 。在等腰三角形DBC中， 3 2 DB DC  a。在等腰三角形OBC中， 3 2 OB OC a   a。如圖所示，因此BDC 30 3. （）關於空間中的敘述，選出正確的選項： (A)過已知直線外一點，「恰有」一個平面與此直線垂直 (B)過已知直線外一點，「恰有」一個平面與此直線平行 (C)過已知平面外一點，「恰有」一個直線與此平面平行 (D)過已知平面外一點，「恰有」一個平面與此平面垂直 (E)過已知平面外一點，「恰有」一個平面與此平面平行解答 AE 解析 (A)正確 (B)不只一個平面與此直線平行 (C)不只一條直線與此平面平行 (D)不只一個平面與此平面垂直 (E)正確 4. （）如圖是一個長方體，選出所有正確的選項。 (A)直線AB與直線EF平行 (B)直線DH與直線BF平行 (C)直線FG與直線AB歪斜 (D)直線FH與直線BD歪斜 (E)直線AG與直線BH歪斜解答 ABC 解析 (A)○ (B)○ (C)○ (D)╳：直線FH與直線BD平行 (E)╳：直線AG與直線BH交於一點 5. （）在空間中，選出所有正確的選項。 (A)同時與一直線垂直的兩相異直線必互相平行 (B) 同時與一平面垂直的兩相異直線必互相平行 (C)同時與一直線平行的兩相異直線必互相平行 (D)同時與一平面平行的兩相異直線必互相平行解答 BC 解析 (A)╳：可能交於一點、平行或歪斜 (B)○ (C)○ (D)╳：可能交於一點、平行或歪斜

(3)

三、計算題

6. 如圖的四角錐展開圖，四角錐底面為邊長2的正方形，四個側面都是腰長為4的等腰三角形，則此四角錐的高度為何？解答 14 解析如圖，由此四角錐的頂點A對底面作高，垂足為底面的中心M。因為 1 2 2 ME CE ，AE4，所以由畢氏定理，得_AM _ _AE2__ME2 _ ₄2_

 

₂ 2 _ ₁₄ _。故此四角錐的高度為 14。 7. 有一底面為正方形的四角錐，其展開圖如圖所示，其中兩側面的三角形邊長為 3、4、5 ，則此角錐的體積為何？（錐體體積 1 3  底面積高 ）解答 16 5 3 解析四角錐如圖。因為高_PM _ ₃2_₂2 _ ₅，所以體積為1 ₄2 ₅ 16 5 3   3 。

(4)

1092 高二數學 4B 第㇐次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P4 8. 如圖是一個長方體，AB ，2 BC 3，CG 2。求任意兩頂點間的最長距離。解答 3 解析任意兩頂點間的最長距離為對角線AG。因為CGCB且CG CD ，所以CG與平面ABCD垂直。因此，CGCA，即ACG 90 。利用畢氏定理，得 2 2 AG AC CG  AB2BC2CG2  22

   

3 2 2 2 3。 9. 如圖是底面為正方形，四個側面均為正三角形的四角錐，H 為頂點E在底面ABCD上的投影點。已知各邊長皆為_{6，求四角錐的高 EH 。} 解答 3 2 解析因為EH與底面ABCD垂直，所以_EH與_AH，_BH，CH，_DH均垂直，

因此△AHE，△BHE，△CHE與△DHE均為直角三角形。利用畢氏定理，

得 ₂ 2 6 AHBH CH DH EH ，即H 為正方形ABCD的中心，因此 1 1 ₆2 ₆2 _{3 2} 2 2 AH AC   。再利用畢氏定理，得_EH_ _AE2__AH2 _ ₆2_

 

_{3 2} 2 __{3 2}_。 10. 如圖是邊長為6的正四面體，M 為BC的中點，且側面ABC與底面BCD所形成二面角為。 (1) 說明AMD。 (2) 求cos的值。解答 (1)見解析 (2)1 3 解析 (1) 因為△ABC和△BCD均為正三角形，所以AMBC，DM BC。故AMD。 (2) 因為_AM __DM _ ₆2_₃2 __{3 3}，所以由餘弦定理，得

   

2 2 ₂ 3 3 3 3 6 ₁₈ ₁ cos 54 3 2 3 3 3 3         。

(5)

1092 高二數學 4B 第㇐次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P5 11. 如圖是各邊長均為2的四角錐，M_{為 BE 的中點，且兩側面}ABE與BCE所形成的二面角為。 (1) 說明AMC。 (2) 求cos的值。解答 (1)見解析 (2) 1 3  解析 (1) 因為△ABE與△BCE均為正三角形，所以_AM __BE，CM BE。故AMC。 (2) 因為_AM __CM _ ₂2_₁2 _ ₃_，_AC__{2 2}，所以由餘弦定理，得

     

2 2 2 3 3 2 2 ₂ ₁ cos 6 3 2 3 3          。 12. 如圖是三邊長分別為5，4，3的長方體。 (1) 已知有一隻螞蟻從頂點A_{穿過 EF 到達頂點}G，求此螞蟻爬行的最短路徑長。 (2) 求螞蟻從頂點A_{穿過 EH 到達頂點}G的最短路徑長。 (3) 求螞蟻從頂點A_{穿過 BF 到達頂點}G的最短路徑長。 (4) 比較穿過 EF ， EH ， BF 這三個方向的最短路徑長，穿過哪一邊最短。解答 (1)4 5 (2)3 10 (3) 74 (4)_BF 解析 (1) 在長方體的表面上，連接 A，G 的所有路徑都不在同一平面上，將長方體作局部展開，把問題轉化為平面問題，如圖所示：此時螞蟻所有爬行路徑都在平面A B GH  上，因此從頂點A 穿過EF到達頂點G 的最短路徑為A G 。在直角三角形A HG 中，利用畢氏定理，得最短路徑長為_{A G}_{ } ₄2_{ }



_{5 3}



2 __{4 5}_。 (2) 最短路徑長為 ₃2_{ }



_{5 4}



2 __{3 10}_。 (3) 最短路徑長為 ₅2_{ }



_{3 4}



2 _ ₇₄_。 (4) 因為4 5 80，3 10 90，所以3 10 4 5  74。即穿過_BF最短。

(6)

1092 高二數學 4B 第㇐次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P6 13. 如圖是長方體，已知其三邊長為6，4，2，P為 FG 的中點，求長方體表面上A，P兩點的距離。解答 61 解析想像將長方體垂直FG剖半，形成兩個全等的小長方體。因為小長方體的三邊長為6，4，1，所以所求等於小長方體表面上A，P 兩頂點的距離 ₆2_



_{4 1}_



2 _ ₆₁_。 14. 在地球儀上，A點沿著赤道，B點沿著北緯45線，兩點皆自0經線出發向東移動到達東經120線。設赤道的半徑為R，北緯45線所在的小圓半徑為r_。 (1) 求r R的值。 (2) 已知A點移動50公分，求B點移動的距離。解答 (1) 2 2 (2)25 2公分解析 (1) 設赤道與北緯45線的圓心分別為O，O。因為△OO D 為直角三角形，且O DO  45 ，所以由銳角三角比的定義，得 cos45 2 2 r R   。 (2) 由經線度數的定義，得知 2 120 3 BO D AOC        。因為A 點移動 50 公分，所以 2 50 3 AC R   ，解得R 75   ，再得 2 75 2 2 2 r R    。故B點移動的距離為  2 75 2 2 _{25 2} 3 2 3 BD r         （公分）。（另解） 2 3 BO D AOC      ，_ 2 2 3 2 2 3 r BD r R AC _R         2  _{25 2} 2 BD AC     （公分）。

(7)

1092 高二數學 4B 第㇐次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P7 15. 已知地球儀的赤道長70公分，求其北緯60的緯線長。解答 35公分解析設赤道的半徑為 R 與北緯60線所在的小圓半徑為r。由緯線度數的定義，得 cos60 1 2 2 r R r R      。故北緯60的緯線長為70 1 35 2   （公分）。 16. 如圖是一個正立方體，其中A，B是二個頂點。已知_AB_{ ，求此正立方體的表面積。}₁₂ 解答 288 解析設正立方體的邊長為a。因為 2 2 AB AC BC  a2

 

2a 2  3a，所以 3a12，解得a4 3。故正立方體的表面積為₆_a2_{ }_{6 48 288}_ _。 17. 如圖，ABCD是一個邊長為2的正四面體，M ，N分別為AB與CD的中點，求MN的長。解答 2 解析連接AN，BN，如圖所示。因為△ACD與△BCD均是邊長為2 的正三角形，所以_AN __BN _ ₂2_₁2 _ ₃_。在△ABN中，因為ANBN，且M 為AB的中點，所以MNAB。利用畢氏定理，得_MN_ _AN2__AM2 _

 

₃ 2_{ }₁2 ₂_。

(8)

1092 高二數學 4B 第㇐次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P8 18. 如圖為一個邊長為 2 的正立方體。已知在正立方體表面上，路徑A P G  是從A 點穿過EF到達 G 點的最短路徑，求 (1) 此最短路徑的長度。 (2) EP PF: 。解答 (1)2 5 (2)1:1 解析 (1) 將正立方體作局部展開，把問題轉化為平面問題，如圖所示。利用畢氏定理，得最短路徑長為_AG_ ₂2_



_{2 2}_



2 __{2 5}_。 (2) 因為△AEP～△AHG，所以AE AH EP HG，可推得 2 4 2 EP ，得EP1。故EP PF: 1:1。 19. 有一個二級臺階，每級臺階的長、寬、高分別為 60 公分、30 公分、10 公分，如圖所示。在 A 處有一隻螞蟻，牠想爬到B 處，請問：此螞蟻最少須爬行多少公分？解答 100 公分解析將臺階局部展開，把問題轉化為平面問題，如圖所示。利用畢氏定理，得最短路徑長為_AB_ ₆₀2_



_{10 30 10 30}_ _ _



2_₁₀₀_。又如果從側面攤開，如圖所示：那麼此時最短路徑長為_AB_



_{60 30 30}_ _



2_₂₀2 __{10 148 100}_ _，故此螞蟻最少須爬行100 公分。

(9)

1092 高二數學 4B 第㇐次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P9 20. 用三片長為 4、寬為 2 的矩形，互相垂直且相交形成如圖，其中三片矩形的共同交點位於各矩形的中心。已知A、B、C 為圖中矩形的頂點，求△ABC 的周長。解答 2 2 6 解析如圖，M 為BC的中點。因為HM BC，HM 1，MC1，所以利用畢氏定理，得_HC_ ₁2_{ }₁2 ₂。因為三片矩形互相垂直，所以直線AH 垂直平面 BHC，推得AHHC。又因為AH 2，所以利用畢氏定理，得_AC_ ₂2_

 

₂ 2 _ ₆_。同理，可得AB 6。故△ABC 的周長為AB BC AC   6 2  6 2 2 6  。

單元二空間坐標系

㇐、單選題

1. （）令A



5,0,12



，B



5,0,12



為坐標空間中的兩點，且令P為xy平面上滿足PA PB  的點。13 請問下列哪一個選項中的點可能為P？ (A)



5,0,0



(B)



5,5,0



(C)



0,12,0



(D)



0,0,0



(E)0,0,24



解答 D 解析設P x y



, ,0



。因為PA PB 13，所以





2 ₂





2 ₂ 5 144 5 144 13 x y   x y   ，即









2 2 2 2 5 25 5 25 x y x y           。兩式相減，得



_x_₅

 

2_ _x_₅



2__x2_₁₀_x_₂₅__x2_₁₀_x_₂₅_{ }_x ₀_，代入原式得y0，即P



0,0,0



(10)

1092 高二數學 4B 第㇐次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P10 2. （）如圖，正立方體上有兩質點分別自頂點 A，C 同時出發，各自以等速直線運動分別向頂點B，D 前進，且在1秒後分別同時到達B，D。請選出這段時間兩質點距離關係的正確選項。 (A)兩質點的距離固定不變 (B)兩質點的距離愈來愈小 (C)兩質點的距離愈來愈大 (D)在1 2秒時兩質點的距離最小 (E)在 1 2秒時兩質點的距離最大解答 D 解析如圖，設t（0 t 1）秒時，一質點位於P



1, ,0t



，另一質點位於Q



0,1,t



。因為_PQ_ ₁_{ }



_t ₁



2__t2 _ ₂_t2_{ }₂_t ₂ 2 1 3 2 2 2 t    _  _    ，所以當 1 2 t 時，PQ有最小值 3 6 2 2

二、計算題

3. 空間中，已知P點的坐標為



1,2,3



，求 (1) P在y軸上的投影點坐標。 (2) P在zx_{平面上的投影點坐標。} 解答 (1)



0,2,0



(2)



1,0,3



解析由坐標的定義，得 (1)



0,2,0



。 (2)



1,0,3



。 4. 已知P



1,2,3



與Q



1, ,0t



兩點的距離是7，求實數t的值。解答 8或4 解析利用兩點的距離公式，得



 



2



 

2



2 1 1  t 2  0 3 7，兩邊平方，得4 



t 2



2 9 49 



t 2



236。解得t8或4。

(11)

1092 高二數學 4B 第㇐次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P11 5. 如圖，已知A



3,4,5



是空間中一正立方體的頂點，M



5,6,9



是底面的中心，求正立方體的邊長。解答 4 解析設正立方體的邊長為a_（_a_₀_）_。利用兩點的距離公式，得



 

2

 

2



2 3 5 4 6 5 9 AM       2 6。因為M 是底面的中心，所以_BM為底面對角線長的一半，即 1 2 2 2 2 BM   a a。利用畢氏定理，得 2 2 2 AB BM AM ，即 2 1 2 ₂₄ 2 a  a  。解得a4。故正立方體的邊長為4。 6. 如圖是空間中的一個直圓柱體。已知底面的圓通過原點 O ，且圓心為M



2,2,1



；頂面的圓通過點



5,4,3



A ，求 (1) 底面的圓之半徑。 (2) 圓柱體的體積。解答 (1)3 (2)18 2 解析 (1) 底面的圓之半徑為OM 4 4 1 3   。 (2) 作A點在底面的投影點H 。因為_AM 



5 2

 

2 4 2

 

2 3 1



2  17，所以圓柱體的高為_AH_

 

₁₇ 2_₃2 __{2 2}_。故圓柱體的體積為₃2___{2 2 18 2}_ __。

(12)

1092 高二數學 4B 第㇐次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P12 7. 空間中，已知A



2, 2, 1 



，B



3, 1,3



，且z軸上的一點P滿足_AP_₂_AB，求P點的坐標。解答



0,0,7



或



0,0, 9



解析因為P是z軸上的一點，所以可設P點的坐標為



0,0,c



。又因為_AP_₂_AB，所以 _{(0 2)}_ 2_{  }_{(0 ( 2))}2_{  }₍_c _{( 1))}2 __{2 (3 2)}_ 2_{   }_{(( 1) ( 2))}2_{  }_{(3 ( 1))}2_，兩邊平方，得_{4 4 (}_{  }_c ₁₎2__{4 1 1 16}



_{ }



_，整理得₍_c_₁₎2 _₆₄_，解得_c_₇_或_₉_。故P點的坐標為



0,0,7



或



0,0, 9



。 8. 空間中，已知正三角形 PQR 的兩個頂點為P



1,0,3



，Q



2,1,1



，且另一頂點R x



,2,z



在yz平面上，求實數x_，z_的值。解答 x0，z2 解析因為R x



,2,z



在yz平面上，所以x0。又因為PR RQ ，所以



 

2

 

2



2 0 1  2 0  z3



 

2

 

2



2 0 2 2 1 z 1       。兩邊平方，得1 4 



z3



2  4 1



z1



2。解得z2。故x0，z2。 9. 空間中，設P點的坐標為



x y z, ,



，其中x0，y ，0 z0。已知P點到x_、y_、z軸之距離分別為 41、 65、 74，求P點的坐標。解答



7,5,4



解析因為P點在x軸上的投影點為



x,0,0



，所以P點到x軸之距離為 _y2 _z2 ＋。依題意，得 _y2__z2_ ₄₁_，即_y2__z2 _₄₁_……(i) 同理，再依題意，得 _x2 _z2 _ ₆₅ ＋，即x2z265……(ii) 2 2 74 x＋y  ，即_x2__y2 _₇₄_……(iii)

由(i) (ii) (iii)

2   _，得_x2__y2__z2 _₉₀_……(iv) 由(iv)(i)得_x2_₄₉_{  }_x ₇_（取正）_， (iv)(ii)得_y2_₂₅_{  }_y ₅_（取正）_， (iv)(iii)得_z2_₁₆_{  }_z ₄_（取正）_，故P點的坐標為



7,5,4



。 10. 如圖是空間中的一個正立方體。已知四個頂點的坐標為O



0,0,0



，A



2,0,0



，B



2,2,0



，C



0,2,0



，且M 為BC的中點，P為 AD 上的一點，PM 6，求P點的坐標。解答



2,0,1



解析因為P為_AD上的一點，所以可設P



2,0,t



，其中0 t 2。又因為M



1,2,0



且PM  6，所以



 

2

 

2



2 2 1  0 2  t 0  6，兩邊平方後，整理得_t2_{ }_{1 0}_。解得_t_₁_或_₁_（不合）_。故P點的坐標為



2,0,1



。

(13)

1092 高二數學 4B 第㇐次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P13 11. 假設地球為一半徑r的球體。今將地球球心設為原點O，赤道落在xy平面上，z軸正向為球心往正北極的方向，且0經線落在zx_{平面上。已知}_P_{點位於「東經}_30_，北緯_60_」_，求_P_{點的空間坐} 標。解答 3 1, , 3 4 r 4r 2 r       解析如圖(I)，P點位於「東經30，北緯60」。根據三角比的定義，如圖(II)所示，P點的坐標



a b c, ,



滿足





3

cos30 cos60 cos30

4

a OH   r    r，





1

sin 30 cos60 sin 30 4 b OH   r    r， 3 sin60 2 c r   r。故P點的坐標為 3 1, , 3 4 r 4r 2 r      。 12. 將地球儀設定成一個坐標空間，其中球心為原點O，地球儀上A，B兩個城市的坐標分別為A



0,1,1



，



1,1,0



B ，求A，B兩城市的球面距離。解答 2 3  解析利用兩點的距離公式，得OA OB AB   2。因此△ABO為正三角形，於是 60 3 AOB      。故A，B兩城市的球面距離為 2 2 3 3 AB    （單位）。 13. 空間中，已知正四面體ABCD的三個頂點為A



2,0,0



，B



0,2,0



，C



0,0,2



，求第四個頂點D的坐標。解答



2,2,2



或 2, 2, 2 3 3 3 _{  }      解析設D點的坐標為



x y z, ,



。因為四面體ABCD為正四面體，所以DA DB DC  AB2 2。因此













2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 (i) 2 8 (ii) 2 8 (iii) x y z x y z x y z                     (i)－(ii)得 4x 4y   0 x y (iv) (i)－(iii)得 4x 4z   0 x z (v) 將(iv)、(v)代入(i)得



_x_₂



2__x2__x2 _{ }₈ ₃_x2_₄_x_{ }_{4 0}_。解得x2或 2 3  。故D點的坐標為



2,2,2



或 2, 2, 2 3 3 3 _ _{ }     。

(14)

1092 高二數學 4B 第㇐次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P14 14. 已知空間中相異三點A



0,1,4



，B



1,2,0



，P x y z



, ,



，求 2 2 PA PB 的最小值，及此時P點的坐標。解答 9， 1 3, ,2 2 2 _      解析由兩點的距離公式，得 2 2 PA PB x2



y1

 

2 z4

 

2 x1

 

2 y2



2z2 _₂_x2_₂_y2_₂_z2_₂_x_₆_y_₈_z_₂₂





2 2 2 1 3 2 2 2 2 9 2 2 x y z      _  _  _  _        ，故當 1 2 x  ， 3 2 y ，z2時， 2 2 PA PB 有最小值9，此時 1 3, ,2 2 2 P _ _  。 15. 空間中，已知 O 為原點，且點P a b c



, ,



到x_，y_，z軸的距離分別為5 ，4，3，求OP的長度。解答 5 解析由題意，得 _b2__c2 _₅_， _a2__c2 _₄_， _a2__b2 _₃_，即_b2__c2_₂₅_，_a2__c2 _₁₆_，_a2__b2_₉_，將三式相加後除以2，可得_a2__b2__c2 _₂₅_。故_OP_ _a2__b2__c2 _ _{25 5}_ _。 16. 已知正立方體的三個頂點為A



1,1, 2



、B



3, 3, 2



、C



3, 3, 4



，且其中心為O 點，求 O 點的坐標。解答



2,2,3



解析因為_AB_ ₂2_₂2_₀2 __{2 2}_， 2 2 2 2 2 2 2 3 AC    ， 2 2 2 0 0 2 2 BC    ，所以A、B、C 三點的相關位置如圖所示。因為正立方體的中心O 為AC的中點，所以O 點的坐標為 1 3 1 3 2 4, ,



2, 2, 3



2 2 2     _{ }     。 17. 將地球儀設定成一個坐標空間，其中球心為原點 O，地球儀上 A、B 兩個海島的坐標分別為A



0, 0, 4



、



1, 11, 2



B ，求在實際地球上，輪船從A 海島到 B 海島的最短航線長大約多少公里？（地球半徑約6400 公里， 3.1416，四捨五入到整數位）解答 6702 公里解析利用空間中兩點的距離公式，得OA OB AB  4。因此△OAB 為正三角形，於是 60 3 AOB      。故兩海島最短航線長大約6400 6702 3    公里。

(15)

單元三平面上的比例

㇐、單選題

1. （）每個人對身材的完美比例定義不同，其中一個與黃金比例相關的定義為  肚臍高度肚臍與頭頂的距離身高肚臍高度。有一身高150 公分，肚臍高度 90 公分的女孩，欲穿高跟鞋來提高身高與肚臍高度來滿足以上定義。問：女孩該穿下列哪個選項的高跟鞋？（ 5 2.236 ，選出最接近的答案） (A) 5 公分 (B) 7 公分 (C) 9 公分 (D)11公分解答 B 解析設該女孩須穿 x 公分的高跟鞋。依題意可得 90 150 90 150 90 x x x  _    。移項整理得_x2_₁₂₀_x__{900 0}_ _，解得 60 30 5 x   （負不合），可得_x_{  }_{60 30 5 7}_ 2. （）下列哪一個選項正確？ (A)任意兩菱形必相似 (B)任意兩長方形必相似 (C)任意兩等腰梯形必相似 (D)任意兩等腰直角三角形必相似解答 D 解析因為相似多邊形的對應角相等且對應邊長成比例，所以任意兩菱形不一定相似（對應角可能不相等）；任意兩長方形、兩等腰梯形不一定相似（對應邊長可能不成比例）；而任意兩等腰直角三角形必相似 3. （）下列各種相片尺寸的規格，哪一個最接近黃金矩形？ (A)2英吋 英吋 (B) 3 英吋 53  英吋 (C) 5 英吋 7 英吋 (D) 6 英吋 8 英吋解答 B 解析黃金矩形的長邊與短邊的比值 1 5 1.618 2    。分別求各選項長邊與短邊的比值如下： 3 1.5 2 ， 5 1.67 3 ， 7 1.4 5 ， 8 1.33 6

(16)

1092 高二數學 4B 第㇐次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P16 4. （）圖 1 有兩個四邊形 ABCD 與 AEFG ，其中B、D_{分別在 AE ， AG 上。圖 2 有兩個五邊形} ABCDE 與 AMNOE，其中 B、D 分別在 AM ， EO 上。依據圖中的數據，選出正確的選項。 (A)兩個四邊形相似，兩個五邊形相似 (B)兩個四邊形相似，兩個五邊形不相似 (C) 兩個四邊形不相似，兩個五邊形相似 (D)兩個四邊形不相似，兩個五邊形不相似解答 B 解析因為連接圖 1 中的 A、C、F，可得 2 3 BC CD AB AD EF  FG AE AG，所以這兩個四邊形相似。因為圖2 中CD AE 1 ON  AE ，所以這兩個五邊形不相似 5. （）畫家使用單點透視法將兩位等高並排的模特兒畫在與地面垂直且與模特兒所在平面平行的畫布上，如示意圖。設畫家的眼睛為一個點_{O ， AB 與CD 為兩位模特兒在畫布上的身} 長。已知兩位模特兒與畫布的距離皆相同，選出正確的選項。 (A) AB CD (B) AB CD (C) AB CD (D)無法比較 AB 與CD 的大小解答 B 解析設兩模特兒的頭頂分別為 P，R 且腳底分別為 Q，S。因為兩位模特兒等高並排，且畫布與模特兒所在的平面平行，所以O-PQSR 為一底面是矩形的四角錐，且 ABDC 與底面平行，如圖所示。由PQ RS ，且矩形ABDC 與矩形 PQSR 相似，利用對應邊長成比例可得AB CD

(17)

二、多選題

6. （）將矩形 ABCD 用影印機縮小為原來的 60% ，得縮小後的矩形 A B C D   。選出所有正確的選項。 (A)AB A B:   3: 5 (B) C   (C)矩形 A B C DC    的周長是矩形 ABCD 周長的 0.6 倍 (D)矩形 A B C D   的面積是矩形 ABCD 面積的 0.36 倍解答 BCD 解析由題意可得，矩形ABCD與矩形A B C D   相似且 3 60% 0.6 5 A B B C C D D A AB BC CD DA               。 (A)AB : A B  5 : 3 (B)因為相似矩形的對應角相等，所以  C C (C)矩形A B C D   的周長是矩形ABCD 周長的 0.6 倍 (D)矩形A B C D   的面積是矩形 ABCD 面積的 2 0.6 0.36倍 7. （）設 1 5 2   ，選出所有正確的選項。 (A)_2_{  }_ _{1 0} _(B)_2_{  }_ _{1 0} _(C)_2_{  }_ _{1 0} (D)_3_₂__{ }_{1 0} 解答 BD 解析因為 1 5 2   ，所以_2_{  }_ _{1 0}_且_2_{ }₁ __。 _(A)_2_{  }_ ₁ _2__2_₂_2_₀ (B) 2 1 0     (C)_2_{   }_ ₁



₁ _



_{  }_ _{1 2}__₀ (D)_3_₂__{ }₁ _



₁__



_₂__{  }₁ _{ }2_₂__₁_{ }_



__{ }₁



₂__{ }_{1 0} 8. （）設 1 5 2   ，選出所有與 相等的選項。 (A)1.62 (B)1 1  (C)12 (D) 1 1  解答 BD 解析 (A)因為 1 5 2   為無理數，所以1.62 (B)1 1 2 1 5 1 1 5 1 2 2 1 5             (C)₁__2_{  }₁



₁ _



_{ }_ (D) 1 1 2 1 5 1 1 5 ₁ 5 1 2 2          _ 

(18)

1092 高二數學 4B 第㇐次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P18 9. （）畫家使用單點透視法將地面上正前方的一點 N 畫在垂直地面的畫布上，畫布側面的示意圖如圖。選出所有正確的選項。 (A)當 N 點與畫布的距離CN愈遠時，B點就會愈高 (B)當 N 點與畫布的距離CN為無窮遠時，視線OB 會平行水平面 (C)當畫家與畫布的距離PC愈遠時，B點就會愈高 (D) BC CN OPPC 解答 AB 解析 (A)正確：如圖 1 (B)正確：如圖 1 (C)錯誤：如圖 2 (D)BC CN OPPN

三、計算題

10. 如圖，已知 1 2 OA OB OC OAOBOC ，求△ABC與△A B C  的面積比。解答 1 : 4 解析因為 1 2 OA OB OC OAOBOC ，所以由AC平行A C ，BC平行B C ，可得△ABC～△A B C  。故△ABC與△A B C  的面積比為1 : 4。 11. 如圖，有一光源 O 照在四邊形 ABCD 上，投影成四邊形 A B C D   。已知 1 2 OA OB OC OD OAOBOCOD ，且四邊形ABCD 的周長為9，求四邊形A B C D   的周長。解答 18 解析因為 1 2 OA OB OC OD OAOBOCOD ，所以 1 2 AB BC CD DA A B B C C D D A  ，即_{A B}  ₂_AB，B C  2BC，C D  2CD，_{D A}  ₂_DA。可得四邊形A B C D   的周長 A B  B C C D    D A      2AB2BC2CD2DA2



AB BC CD DA  



  2 9 18。故四邊形A B C D   的周長為18。

(19)

1092 高二數學 4B 第㇐次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P19 12. 畫家使用單點透視法將地面上置於 N 點的物體畫在與地面垂直的畫布上，其側面示意如圖。畫家眼睛的高度為80 公分，畫家與畫布的距離為 40 公分，CN60公分。今將物體由N 點往正後方移至M 點，且MN100公分。設物體置於_{M，N 兩點時，分別被畫在畫布上 A，B 的位置，求 AB} 的長度。解答 16公分解析連接OM與ON分別與畫布交於A，B 兩點，如圖所示。利用單點透視法公式一，得 60 80 60 40 BC   ， 100 60 80 100 60 40 AC_    ，分別解得BC48，AC64。故_AB的長度為64 48 16  公分。 13. 如圖所示，將一條線段 AB 分成兩段不等長的線段，使得較長線段 AP 與較短線段 BP 的比值等於整條線段AB 與較長線段 AP 的比值，即AP AB BP AP，稱這個比值為黃金比值，以符號表示，求 的值。解答 1 5 2  解析由題意可知， AP AB BP AP   。令_BP_₁，可得AP。將上式改寫為 1 1      ，整理得_2_{ }_ ₁₌₀_，解得 1 5 2   （其中1 5 0 2  _ _不合）_。故 1 5 2   。 14. 據研究顯示，當人的體溫室溫為黃金比例時，人的生理機能會處於最好的狀態。已知某人的體溫為 37 C ，欲使用空調的設定來滿足以上比例。問：空調該設定於幾度？（ 5 2.236 ，四捨五入到整數位）解答 23 C 解析設空調為xC，依題意可得37 1 5 2 x   ，即 37 2 37



5 1



23 2 1 5 x       （°C）。

(20)

1092 高二數學 4B 第㇐次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P20 15. 如圖，△ABC為BAC108的等腰三角形。已知_{AB BD}_ _{ ，求}₁ (1) ADC的角度。 (2) CD與BC的長度。解答 (1)108 (2) 1 5 2 CD  ， 1 5 2 BC  解析 (1) 因為BAC108，所以 180 108 36 2 B C         。又因為_{AB BD}_ ，所以 180 36 72 2 ADB       。故ADC180   72 108。 (2) 由上題可得CAD180 108    36 36 ，即△DCA為108    36 36 的等腰三角形，也就是說，△ABC〜△DCA，因此可推得 AB CD BC  AC 。設CD x ，將上式化成 1 1 1 x x  ，移項可得x2  x 1 0，解得 1 5 2 x  或 1 5 2   _（不合）_。故 1 5 2 CD  ， 1 1 5 1 1 5 2 2 BC CD       。 16. 如圖，△ABC為BAC 36 的等腰三角形。已知BC CD 1，求 (1) DCB的角度。 (2) AD 的長度。 (3) BD 與AC的長度。解答 (1)36 (2)1 (3) 1 5 2 BD  ， 1 5 2 AC  解析 (1) 因為BAC 36 ，所以 180 36 72 2 B ACB         。又因為BC CD ，所以CDB 72 。故DCB180      72 72 36 。 (2) 因為CDA180   72 108且ACD     72 36 36 ，所以△DCA為108    36 36 的等腰三角形。故_AD_₁。 (3) 由第 1 小題可得△CBD為36    72 72 的等腰三角形，也就是說，△CBD〜△ABC，因此可推得BC AB BD  BC 。設BD x ，將上式化成 1 1 1 x x   ，移項可得_x2_{  }_x _{1 0}_，解得 1 5 2 x  或 1 5 2   _（不合）_。故 1 5 2 BD  ， 1 1 5 1 1 5 2 2 AC BD       。

(21)

1092 高二數學 4B 第㇐次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P21 17. 取一個大正三角形，將其等分成四個相同的正三角形，並將中間的正三角形編號為①；接著，再將上方的正三角形等分成四個相同的正三角形，並將中間的正三角形編號為②；重複這樣的步驟，如圖所示。求編號①與編號④的正三角形之邊長比與面積比。解答邊長比8 :1，面積比64 :1 解析由圖可知，編號①三角形邊長是編號②三角形邊長的 2 倍，以此類推，編號①三角形邊長是編號④三角形邊長的8 倍。故編號①與編號④的正三角形之邊長比為8：1，面積比為 64：1。 18. 扇子的設計有時會與黃金比例有關。已知圖中的圓分割成A1與A2兩個扇形，且其面積比為 1 2 1.618 A A  扇形的面積扇形的面積，試問扇子A2張開的角度 為幾度？（四捨五入至整數位）解答 138° 解析設圓半徑為 r，扇子A2張開的角度為，依題意得 2 2 2 1 1 360 360 1.618 360 r A A _r       _   的面積的面積，解得 360 138 2.618   ，故扇子A2張開的角度為138°。

19. 圖中，將矩形 ABCD 截掉兩個以寬為邊長的正方形，若剩下的矩形 CDEF 與 ABCD 相似，則稱

矩形ABCD 為白銀矩形。已知此白銀矩形 ABCD 的寬AB1，求AD的長度。解答 1 2 解析設AD x ，依題意得AD CD ABCF ，可推得 1 1 2 x x   ，整理得x2 2x 1 0，解得 2 4 4 1 2 2 x     （1 2 0 不合）。

(22)

四、混合題

20. 畢達哥拉斯樹是一個以正方形為起點所建立的圖形：先在一個大正方形上方建立兩個較小的正方形，且左邊的正方形小於右邊的正方形，這三個正方形圍成一個直角三角形，如圖中的(I)三角形；接著，重複以上步驟以建立出畢達哥拉斯樹。已知圖中所有直角三角形皆相似，且直角三角形(I) 的三邊長為3，4，5。 (1) 選出正方形A的面積。（單選題） (A)9 (B)12 (C)16 (D)25 (2) 求正方形B的面積與正方形A的面積之比值。（非選擇題） (3) 求正方形 C 的面積。（非選擇題）解答 (1)D (2) 9 25 (3)144 25 解析 (1) 由圖可知，正方形 A 的邊長為 5，所以其面積為 25 (2) 由圖可知，正方形 B 的邊長為 3，所以其面積為 9。故正方形B 的面積與正方形 A 的面積之比值為 9 25。 (3) 因為圖中所有的直角三角形皆相似，所以 4 5 C B  正方形的邊長正方形的邊長，可得 16 25 C B  正方形的面積正方形的面積。又因為正方形B 的面積為 9，所以正方形 C 的面積為9 16 144 25 25   。

高二下第一次期中考數學科4B題庫(40)

單元㇐ 空間概念

㇐、單選題

二、多選題

三、計算題

 

   

 

   

     

















 

 













 

單元二 空間坐標系

㇐、單選題

















































 



















二、計算題































 

單元㇐空間概念

單元二空間坐標系