速度加速度與泰勒多項式

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速度加速度與泰勒多項式

1. 根據泰勒多項式（Taylor Polynominal，請由你的微積分課本 Index 查閱更詳細 資料），一個函數 f(t) 滿足 f0 = f(t0)，在 t0 附近 f(t) 可近似為

 

n n t n t f t t f t t f t t f t f t f              ! ) ( ! 3 1 ) ( ! 2 1 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( 3 0 2 0 0 0  其中 f 

 

t0 ， f 

 

t0 ， f 

 

t0 ，...與

 

0 ) ( _t f n 分別為 f(t) 在 t = t0 的 1 次，2 次，3 次乃至 n 次微分，t = t – t0，n! = 123n。其證明詳見後面「泰勒多項式」證明一節。 f(t) f₀ t t₀ 2. 若令前述的 f x_{，即 x 方向的位移，t 為時間，} f

 

t₀  f₀  x

 

t₀  x₀，即 t = t0 時的位移﹔於是 v x 為 x 方向速度，a  x 為 x 方向加速度，a x  為 x 方向的加速度變率。上述的泰勒多項式便成為

 

n n t n t a t t a t t a t t v t x t x             ! ) ( ! 3 1 ) ( ! 2 1 ) ( ) ( ) ( 0 ) 2 ( 3 0 2 0 0 0  其中 v(t0) = v0 為 t = t0 時的速度，a(t0) = a0為 t = t0 時的加速度，上式又可寫為 n n t n a t a t a t v x t x            ! ! 3 1 ! 2 1 ) ( ) 2 ( 0 3 0 2 0 0 0  對等加速度而言，_a___a__ __a(n) _0  ，a(t0) = a，可以得到 2 0 0 ! 2 1 ) (t x v t a t x      或 2 0 0 ₂ 1 ) (t x v t a t x x       同理，若加速度對時間有一次變率，但 _a__ __a(n) _0  ，可得 3 2 0 0 6 1 2 1 t a t a t v x       此種變加速度運動必須有一初加速度 a0，也就是 t = t0 時的加速度。 1

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3. 若令前述的 f v，即 x 方向的速度，t 為時間， f

 

t0  f0 v

 

t0 v0，即 t = t0 時的速度﹔於是 a v 為 x 方向加速度，av 為 x 方向加速度，變率上述 的泰勒多項式便成為

 

n n t n t a t t a t t a t t a t v t v              ! ) ( ! 3 1 ) ( ! 2 1 ) ( ) ( ) ( 0 ) 1 ( 3 0 2 0 0 0  對等加速度而言，_a___a__ __a(n) _0  ，a(t0) = a，可以得到 t a v t v( ) 0   或 t a v t v v     ( ) 0 同理，若加速度對時間有一次變率，但 _a__ __a(n) _0  ，可得 2 0 0 2 1 ) (t v a t a t v v       此外

 

t a a t a a     0 4. 等加速度時，若令 t0 = 0，x(0) = 0，可以得到 2 0 2 1 ) (t v t at x   at v t v( ) 0 

例題

一球於 t = 2.00s 時位於 x0 = 3.00 m，此時 x 方向速度為 v0 = -2.00 m/s，加速度 a0 = 4.00 m/s2，加速度之變率 a = -2.00 m/s3，aa 0，此球只沿 x 方向 運動，當 t = 5.00s 時，球的位置，速度，加速度各為何？ Ans: t = t – t0 = 5 – 3 = 2s 3 2 0 0 6 1 2 1 t a t a t v x       = (-2)(2) + (4)(22_{)/2 + (-2)(2}3_{)/6 = -83.7 m} x = x0 + x = 3.00 – 83.7 = -80.7 m 2 0 ₂ 1 t a t a v      = (4)(2) + (-2)(22_{)/2 = 4 m/s} v = v0 + v = -2 + 4 = 2 m/s t a a    = (-2)(2) = -4 m/s2 a = a0 + a = 4 - 4 = 0 m/s2

泰勒多項式的證明

1. 一個通過原點（f(0) = 0）的連續函數在原點附近可近似為 n nt a t a t a t f   2 _ 2 1 ) ( 2

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2. 一滿足 f0 = f(t0) 的連續函數在 t = t0 附近可近似為













n n t t a t t a t t a f t f 0 2 0 2 0 1 0 ) (        （座標平移）或 n n t a t a t a f t f f           2 _ 2 1 0 ) ( 其中 t = t – t0 問題是如何求 a1，a2，....，an？ 3. 若 f(t) 函數在 t = t0 的一次到 n 次微分都為已知，就有可能求得 a1，a2，....，an。先將













n n t t a t t a t t a f t f 2 ₀ 0 2 0 1 0 ) (      _  等號兩端同時微分，令 s = t = t - t0



 ₀



 1 dt ds t t dt d







0



2 2 2 0 _dss 2s 2t t d s ds d dt ds t t dt d       （chain rule）





3 3



0



3 0 s 3s 3t t ds d s ds d dt ds t t dt d _ _ _ _ _ _ ...



₀



s ns n



t t₀



ds d s ds d dt ds t t dt d _ n _ n _ n _ _ _ 於是













1 0 2 0 3 0 2 1 2 3 ) (          n n t t na t t a t t a a t f _ 將 t = t0 代入上式，得到 1 0) (t a f  4. 其次將













1 0 2 0 3 0 2 1 2 3 ) (          n n t t na t t a t t a a t f  等號兩端同時微分，得到







 



2 0 0 3 2 2 3 1 2 ) (          n n t t a n n t t a a t f _ 將 t = t0 代入上式，得到 2 0) 2 (t a f   _或 ₂

 

₀ 2 1 t f a   5. 同樣的做法，逐次微分下去，再將 t = t0 代入，可以得到

 

₀

 

₀ 3 ₃_! 1 3 2 1 t f t f a      ...

 

0 ( )

 

0 ) ( ! 1 3 2 1 t f n t f n a n n n  _ _ _   3

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6. 將得到的 a1，a2，....，an 代入













n n t t a t t a t t a f t f 0 2 0 2 0 1 0 ) (        可以得到

 

n n t n t f t t f t t f t t f t f t f              ! ) ( ! 3 1 ) ( ! 2 1 ) ( ) ( ) ( 0 ) ( 3 0 2 0 0 0  此即為泰勒多項式。 4