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資產配置,波動率與交易密集度 - 政大學術集成

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Academic year: 2021

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(1)國立政治大學國際經營與貿易學系 碩士論文. 政 治 大 立 資產配置、波動率與交易密集度 ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. i. i n U. v. engch 指導教授:郭炳伸 博士 指導教授:林信助 博士. 研究生:張炳善 撰 中華民國九十九年六月.

(2) 摘要 本文旨在探討具有捕捉交易密集度特性的波動率測度模型是否能幫助投資者改 善其資產配置的決策。因此,本文分別考量了利用兩種不同價格抽樣方式所計算 出來的實現波動率 (realized volatility) 模型: (1) 日曆時間抽樣法 (calendar time sampling scheme) 與 (2) 交易次數時間抽樣法 (transaction time sampling scheme)。 相較於另一廣為應用的一般化自我迴歸條件異質變異 (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) 模型而言,這兩種實現波動率模型的優點除了在於. 政 治 大. 它們可以捕捉日內資產報酬率的動態變化之外,交易次數時間抽樣法更可以另外. 立. 捕捉市場的交易密集度。因此利用交易次數間抽樣法所計算出的實現波動率相對. ‧ 國. 學. 提供給投資者較多的訊息。本文利用了 West, Edison and Cho (1993) 所提出的資產 組合期望效用模型衡量三種波動率測度的預測績效:(1) 實現波動率 - 日曆時間. ‧. 抽樣法 (2) 實現波動率 - 交易次數時間抽樣法 (3) 指數型一般化自我迴歸條件. y. Nat. sit. 異質變異 (Exponential Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)。我. n. al. er. io. 們的實證結果發現,只有在投資者風險趨避係數越小的條件下,此三種波動率測. i n U. v. 度模型兩兩之間才有較大的期望效用差距;另外,有趣的是,當市場存在異常的. Ch. engchi. 交易波動現象時,交易次數時間抽樣法下的實現波動率所產生的期望效用值總是 不輸給另外兩種波動率測度模型的結果。. JEL 分類代號: C13;C22;G11 關鍵字: 實現波動率;時間轉換過程;交易次數時間抽樣法;風險趨避 i.

(3) 英文摘要 This paper examines whether volatility measures that account for trading intensity would help investors make better decisions in their asset allocation. Specifically, we consider two versions of realized volatility (RV), namely, one (RV-C) constructed by regular calendar time sampling, and the other one (RV-T) constructed by transaction time sampling. Comparing to models in the GARCH family, both of these two RVs can capture intraday variations of asset return dynamics. In particular, the RV-T incorporates intraday trading. 政 治 大 utility-based approach developed 立 by West, Edison, and Cho (1993), we compare the. intensity, and hence provides even more valuable information for investors. With the. ‧ 國. 學. predictive performance of RV-C, RV-T, and the EGARCH model in terms of utility generated with each of these three volatility measures. Our empirical results show that the. ‧. three measures differ from each other mostly when investors are less risk-averse. Most. sit. y. Nat. interestingly, the time-deformed RV-T weakly dominates the RV-C and the EGARCH. n. al. er. io. model when the markets are extremely volatile.. Ch. engchi. i n U. v. JEL Classification: C13; C22; G11. Keywords: realized volatility; transaction time sampling; time-deformation; risk-aversion. ii.

(4) 目錄. 摘要 ............................................................................................................................... i 英文摘要 ..................................................................................................................... ii 第一章 緒論 ......................................................................................................... - 1 -. 第一節 研究動機............................................................................................. - 1 -. 政 治 大. 第二節 研究方向............................................................................................. - 3 -. 立. 第三節 研究架構............................................................................................. - 4 -. ‧ 國. 學 ‧. 第二章 研究方法 ............................................................................................... - 5 -. y. Nat. io. sit. 第一節 抽樣方法之介紹................................................................................. - 5 -. er. 一. 日曆時間抽樣法 (Calendar Time Sampling Scheme)............... - 5 -. al. n. v i n 二. 交易次數時間抽樣法 C h (TransactionUTime Sampling Scheme). - 7 engchi. 第二節 資產組合之期望效用函數............................................................... - 11 第三節 實現波動率的預測模型................................................................... - 13 -. 第三章 實證資料描述 .................................................................................... - 16 -. 第四章 實證結果 ............................................................................................. - 18 -. 第一節 兩種抽樣方式之實現波動率的實證統計性質............................... - 18 iii.

(5) 第二節 期望效用函數的衡量....................................................................... - 24 2 2 取代 𝜎𝑡+1 .................................................................. - 24 一. 利用 𝑒𝑡+1. 2 2 二. 利用 𝑅𝑉𝑡+1 取代 𝜎𝑡+1 ................................................................ - 29 -. 第五章 結論與建議 ......................................................................................... - 32 -. 附錄 ....................................................................................................................... - 34 -. 政 治 大. 第一節 景氣時間抽樣法 (Business Time Sampling Scheme)............... - 34 -. 立. 第二節 價格變化差距時間抽樣法 (Tick Time Sampling Scheme)....... - 35 -. ‧ 國. 學. 第三節 效用差距的檢定結果....................................................................... - 38 -. ‧. 參考文獻 .............................................................................................................. - 41 -. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. iv. i n U. v.

(6) 圖目錄 圖一 日曆時間抽樣法與交易筆數時間抽樣法..................................................... - 9 圖二 全樣本期間台指期貨收盤指數 (左圖) 與日間報酬率 (右圖) ................ - 17 � .................................................................................. - 19 圖三 波動率特徵圖:�𝑅𝑉. 圖四 三種模型的全樣本期間資產報酬波動率估計值....................................... - 21 圖五 交易密集度:由每十分鐘的交易次數所衡量........................................... - 23 2 2 取代 𝜎𝑡+1 的設定下 ....................................... - 25 圖六 期望效用差距: 在 𝑒𝑡+1. 政 治 大 圖七 期望效用差距鳥瞰圖:在 𝑒 取代 𝜎 的設定下 ............................ - 27 立 2 𝑡+1. 2 𝑡+1. ‧ 國. 學. 𝐶 2 取代 𝜎𝑡+1 的設定下 ...................................... - 29 圖八 期望效用差距:在 𝑅𝑉𝑡+1. 𝐶 2 圖九 期望效用差距鳥瞰圖:在 𝑅𝑉𝑡+1 取代 𝜎𝑡+1 的設定下.......................... - 31 -. ‧. 圖十 價格變化差距時間抽樣法........................................................................... - 36 -. n. Ch. engchi. er. io. al. sit. y. Nat. 表目錄. i n U. v. 表一 全樣本期間兩種抽樣方法之實現波動率的性質....................................... - 20 2 2 表二 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝑐 的迴歸結果:在 𝑒𝑡+1 取代 𝜎𝑡+1 的設定下 ................................. - 26 -. 𝐶 2 表三 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝑐 的迴歸結果:在 𝑅𝑉𝑡+1 取代 𝜎𝑡+1 的設定下............................... - 31 -. 表四 各月份平均台指期貨價格變化之交易數目占總交易數目的比例........... - 37 -. 2 2 表五 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝐸 與 𝑢𝑡𝑐−𝐸 的迴歸結果:在 𝑒𝑡+1 取代 𝜎𝑡+1 的設定下 ................. - 39 -. 𝐶 2 表六 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝐸 與 𝑢𝑡𝑐−𝐸 的迴歸結果:在 𝑅𝑉𝑡+1 取代 𝜎𝑡+1 的設定下 .............. - 40 -. v.

(7) 第一章 緒論. 第一節 研究動機. 使用實現波動率 (realized volatility) 計算資產報酬波動率的比例隨著越來越普及 化的財務高頻率資料而與日益增。相較於文獻上常見到的一般化自我迴歸條件異 質變異 (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) 模型與隨機波動. 政 治 大. 率 (Stochastic Volatility) 模型而言,實現波動率不僅額外考慮了日內資產價格的. 立. 動態變化而且在計算上也相對簡單。根據 Andersen and Bollerslev (1998a) 所提出. ‧ 國. 學. 的定義,實現波動率係指所有日內報酬率平方值的加總;此外,在某些正規的條 件 (regularity conditions) 下可以證明出,若抽樣次數可以趨近於無限大,則利用. ‧. 實 現 波 動 率 法 所 估 計 出 來 的 資 產 報 酬 波 動 率 將 會 機 率 收 斂 (converge in. Nat. n. al. er. io. sit. y. probability) 到該資產的真實報酬波動率 (Andersen et al., 2003)。. i n U. v. 實現波動率的計算限制只要求其所加總的日內報酬率彼此的涵蓋時間不能互相. Ch. engchi. 重疊,而並未限制價格抽樣的方式,因此,實現波動率將隨著不同的資產價格抽 樣方式而有所不同的計算數值 (Griffin and Oomen, 2008)。以實務上最常使用的日 曆時間抽樣法 (calendar time sampling scheme) 為例,其所選取的價格數列兩兩之 間符合等日曆時間間隔. (equidistant in calendar time) 的特性,而該時間間隔的選. 取,文獻上有建議每五分鐘 (Andersen et al., 2001) 、有每十分鐘 (Barndoff-Nielsen and Shephard, 2004) 也有每三十分鐘 (Andersen et al., 2003),端看市場結構與財務 資料本身的特性而定。另一方面,也有其他的學者基於各種的出發點而提出了不 同的價格抽樣方式,其中又以Barndoff-Nielsen and Shephard (2004); Hansen and Lunde (2006) 所採用的交易次數時間抽樣法 (transaction time sampling scheme) 最 -1-.

(8) 廣為應用。 1. 不同的資產價格抽樣方式對於實現波動率的影響主要表現在其統計特性上 (McAleer and Medeiros, 2008; Oomen, 2005;2006)。這也說明了,實務上最常使用 的日曆時間抽樣法可能並非總是為最佳的價格抽樣方式。例如當考慮到市場微結 構噪音 (market microstructure noise) 干擾的各種形式時 (如各種落後階數的移動 平均形式),則利用日曆時間抽樣法所計算出來的實現波動率其均方誤 (mean squared error) 就未必會較其他抽樣方式下的實現波動率小 (Oomen, 2005; 2006)。2 此外更重要的是,日曆時間抽樣法本身的抽樣特性並無法隨著市場交易密集度的. 政 治 大. 高低而隨時作調整。3 相對地,對於交易次數時間抽樣法而言,其抽樣特性便能. 立. 隨著市場交易密集度的高低而隨時作調整。這也代表了交易次數時間抽樣法較能. ‧ 國. 學. 反映市場的營運情況,也意味著在每日市場不同的交易時間內,其抽樣頻率亦將. sit. y. Nat. er. 其他常見的價格抽樣方式還有 Oomen (2005;2006) 所建構的景氣時間抽樣法 (business time. io. 1. ‧. 隨著交易的熱絡情況而作調整。. al. v i n C hscheme) 。本文未探討此兩種價格抽樣方式的原因是因為 變化差距時間抽樣法 (tick time sampling U i e h n c g (1) 景氣時間抽樣法為交易次數時間抽樣法的一個特例,且景氣時間抽樣法必須知道每日交易次 n. sampling scheme) 與 Aït-Sahalia et al. (2005a);Griffin and Oomen (2008);Zhou (1996) 所採用的價格. 數的平均值,因此該抽樣方法為理論上的可行而非實務上的可行 (Oomen, 2006) (2) 價格變化差 距時間抽樣法必須建構在某一漲跌幅度水準上,故每日用於計算實現波動率的資產價格數目未必 皆相同。本文在附錄中將另外介紹景氣時間抽樣法 (A.1 節) 與價格變化差距時間抽樣法 (A.2 節) 的計算原理,以茲參考。 2. Oomen (2005;2006) 在資產價格設定為複合卜瓦松過程 (compounded Poisson process) 與市場無. 微結構噪音干擾的條件下,導引出資產報酬率於各種抽樣方式下的各階動差值,從而證明了利用 交易次數時間抽樣法所算出的實現波動率其均方誤將較日曆時間抽樣法的均方誤為小,而其實證 結果亦顯示,此幅度約為 5%,尤其在市場具有不規則交易現象的日子中,更可以減少至 40%。 3. 交易密集度的衡量通常係以一段時間內所發生的交易次數高低為標準。亦即若該段時間內發生. 交易發生數越多,則代表該段時間內的交易密集度也越高;反之,若該段時間內發生交易發生數 越少,則代表該段時間內的交易密集度也就越低。 -2-.

(9) 第二節 研究方向. 本文的研究方向有二:第一,本文欲探討實現波動率在交易次數時間抽樣法下的 實證統計性質。這是因為將此種時間轉換過程 (time-deformation process) 的原理 應用於實現波動率上的文獻發展相對於實現波動率中其他議題的探討 (如最適 抽樣頻率的選取、實現波動率的誤差修正項等等) 尚在發展的初期而且數量並不 多 (McAleer and Mederios, 2008)。而透過這些實證統計性質的結果,一來可以幫 助我們了解其與日曆時間抽樣法的不同,二來更可以幫助我們建構其適當的預測. 政 治 大. 模型以增加預測值準確性。第二,由於交易次數時間抽樣法與市場的交易密集度. 立. 有密切的關聯,這也代表了利用此種抽樣方式所計算出來的實現波動率將涵蓋市. ‧ 國. 學. 場上每筆交易所提供的訊息,而這些交易的訊息往往在也投資者的資產組合決策. ‧. 上扮演十分重要的角色 (Easley and O’ Hara, 1992)。因此,本文嘗試利用 West et al. (1993) 所建構的資產組合期望效用函數模型藉以凸顯能夠捕捉此特性之波動率. y. Nat. io. sit. 測度模型的優點。另外,在此要說明的是,本文不僅僅只是比較了此兩種實現波. n. al. er. 動率模型的期望效用結果,我們也額外計算出指數型一般化自我迴歸條件異質變. i n U. v. 異 (Exponential Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, EGARCH). Ch. engchi. 模型在此架構中所產生的期望效用值,這是因為一來考慮了 EGARCH 模型可以 反應實務上負向的衝擊 (壞消息) 對於波動率的影響往往比等額的正向衝擊 (好 消息) 還要大的不對稱現象 (Nelson, 1991),二來也可以因此增加各種波動率模型 之間期望效用比較的完整性。. 本文的實證研究發現利用交易次數時間抽樣法所計算出的實現波動率具有下列 兩種性質:(1) 實現波動率模型所估計的資產報酬波動率為一個同時具有右偏 (right-skewed) 與高狹峰 (leptokurtic) 特性的機率分佈模型 (2) 實現波動率的自 我相關函數 (autocorrelation function) 是以雙曲線的速率 (hyperbolic rate) 緩慢遞 -3-.

(10) 減,這也代表了該種抽樣方式架構下的實現波動率本身具有長期記憶 (long memory) 的 特 性 ; 這 兩 種 性 質 皆 與 文 獻 上 提 及 到 的 日 曆 時 間 抽 樣 法 相 同 (Andersen et al., 1999)。此外,在資產組合期望效用模型的衡量下,本文發現當市 場具有異常的交易現象時,交易次數時間抽樣法的實現波動率所產生的資產組合 期望效用值總是不輸給日曆時間抽樣法與 EGARCH 的模型結果。這也因此驗證 了此種透過時間轉換過程後之實現波動率的優點。. 第三節 研究架構. 立. 政 治 大. 本文的編排方式如下:在第二章的研究方法中,我們將對日曆時間抽樣法與交易. ‧ 國. 學. 次數時間抽樣法的原理與特性作一詳細的介紹,並闡述 West et al (1993) 的資產 組合期望效用模型與一常用於預測實現波動率的自我迴歸部分整合移動平均. ‧. (Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average, ARFIMA) 模型。第三章為實. Nat. sit. y. 證資料的描述;第四章為本文的實證結果;第五章為本篇研究的結論與提供未來. n. al. er. io. 可能的研究方向與建議。. Ch. engchi. -4-. i n U. v.

(11) 第二章 研究方法. 第一節 抽樣方法之介紹 一. 日曆時間抽樣法 (Calendar Time Sampling Scheme). 日曆時間抽樣法為實務上計算實現波動率所最常使用的價格抽樣方式 (Oomen,. 政 治 大. 2005),其計算原理可簡述如下:假設一資產於一單位時間區間 [0 , 1] 內進行交. 立. ‧ 國. 學. 易,現將此單位區間分割成 𝑚 個等時間間隔的子時間區間,並在每個子時間區. 間內抽取一筆價格觀察值作為是計算實現波動率所需的數據。在給定某個特定抽. ‧. 𝑐 𝑐 樣次數 𝑚 值的條件下,定義第 𝑖 個子時間區間為 [ 𝑡𝑖−1,𝑚 , 𝑡𝑖,𝑚 ],其中,上標. Nat. 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 代表的是日曆時間抽樣法且 0 = 𝑡0,𝑚 < 𝑡1,𝑚 < ⋯ < 𝑡𝑖−1,𝑚 < 𝑡𝑖,𝑚 < ⋯ <. sit. y. 𝑐 𝑐 𝑐 𝑡𝑚,𝑚 = 1,故各個子區間的時間長度均為 𝑡𝑖,𝑚 − 𝑡𝑖−1,𝑚 = 1⁄𝑚 。此外,定義該. n. al. er. io. 子時間區間所對應到的報酬率為:. Ch. engchi. i n U. v. 𝑐 𝑐 𝑐 𝑟𝑖,𝑚 = ln 𝑃�𝑡𝑖,𝑚 � − ln 𝑃�𝑡𝑖−1,𝑚 �. (1). 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 其中, 𝑃(𝑡𝑖,𝑚 ) 與 𝑃(𝑡𝑖−1,𝑚 ) 分別是在時間點為 𝑡𝑖,𝑚 與 𝑡𝑖−1,𝑚 的日內資產價格. 值。因此,在抽樣次數為 𝑚 的條件下,日曆時間抽樣法下的實現波動率為: 𝑐 2 𝑅𝑉𝑚𝑐 = ∑𝑚 𝑖=1(𝑟𝑖,𝑚 ). -5-. (2).

(12) 此外,在此情況下,日曆時間抽樣法所抽取的價格數列可以下式表示:. {𝑃(𝑡𝑖𝑐 )}𝑚 𝑖=0. (3). 其中, 𝑡𝑖𝑐 = 𝑖 ⁄𝑚。 以實務上常選取的五分鐘抽樣頻率為例:如果一資產於早上 9 點開始進行交易, 則依序每隔五分鐘取出該時間點所對應到的交易價格,直到當日該資產停止交易. 治 政 大 鐘的時間長度內,共會選取 54 筆具有等日曆時間間隔特性的資產交易價格值。 立. 為止 (假設該資產的收盤時間為下午 1 點 30 分)。因此在這總交易時間為 270 分. 接著將當日的資產開盤價格與這 54 筆資產交易價格值分別取上自然對數後,再. ‧ 國. 學. 依照時間順序兩兩相減以得出 54 筆在 5 分鐘抽樣頻率下的日內報酬率。最後,. ‧. 將此 54 筆日內報酬率取平方值後相加,即為在 5 分鐘抽樣頻率下的實現波動率,. y. Nat. 𝑐 𝑐 𝑐 2 = ∑54 以 (2) 式的型式表示即是 𝑅𝑉54 𝑖=1(𝑟𝑖,54 ) 。值得注意的是,𝑅𝑉54 代表的是. io. sit. 該段時間內 (計 4.5 小時) 的實現波動率,若要將此視為是日間 (計 24 小時) 資. n. al. and Lunde, 2005)。其中,𝑀. er. 𝑐 產報酬波動率估計值的話,𝑅𝑉54 必需要另外乘上一修正項 𝐶 = 𝑀/𝑚 (Hansen. v i n 為理論上的每日應有觀察值,𝑚 Ch engchi U. 為每日實際上所觀. 察到的數目。這是因為實現波動率最早是應用於外匯市場上 (Andersen and Bollerslev, 1998b),然而並非所有的資產均如外匯可在任何時刻進行交易,因此, Hansen and Lunde (2005) 又稱此種尚須乘上修正項的實現波動率為部分抽樣頻率 為 𝑚 的實現波動率 (partial m-frequency of realized volatility)。舉例來說,在抽樣. 頻率為 5 分鐘的條件下,此時每小時共會挑選 12 筆價格觀察值,故理論上一天 共會選取計 288 筆的價格觀察數目;然而,若該市場實際上只有營運 4.5 個小時, 此時一天將只會選取計 54 筆的價格觀察數目,而上述的例子以數學式表示即為: 1. 𝑀 = 12 × 24 = 288,𝑚 = 12 × 4.5 = 54,故 𝐶 = 5 。 -6-. 3.

(13) 然而,利用日曆時間抽樣法所計算出來的實現波動率至少有兩個缺點: 第一, 日曆時間抽樣法無法配合市場的交易密集度做調整。這是因為日曆時間抽樣法只 會在每個子時間區間內選取一筆交易價格值,換言之在此抽樣方式下,無論各個 子時間區間的交易活絡程度為何,其所涵蓋的訊息意涵 (information content) 都是 一樣多的。由於實務上在資產剛開盤、接近收盤或者是市場上忽然有重要訊息流 入的時段內,其交易發生的密集度往往比其他時段高出許多,因此在這些時段內, 資產價格的波動程度往往也相對劇烈許多 O’ Hara, 1995)。故在日曆時間抽樣法 的選取標準下,這些因為特定訊息所誘發的大量交易現象便無法提供較多的訊息,. 治 政 大 影響。第二,利用日曆時間抽樣法尚須額外設算資產的交易價格值。這是因為每 立 從而也就無法充分捕捉在該段時間區間內所發生的衝擊對於資產報酬波動率的. ‧ 國. 學. 𝑐 𝑐 或 𝑡𝑖,𝑚 時 筆交易之間的時間間隔經常是不規則的,這也代表在時間點為 𝑡𝑖−1,𝑚. 可能未必有交易的發生。因此,在計算實現波動率時,必須要先透過一些統計方. ‧. 法設算出該時間點上的合理價格值,才能進一步求得實現波動率。 4. sit. y. Nat. n. al. er. io. 二. 交易次數時間抽樣法 (Transaction Time Sampling Scheme). Ch. engchi. i n U. v. 一種規避上述日曆時間抽樣法缺點的作法是改變資產價格的抽樣方式。亦即利用 不同的市場變數 (如交易筆數、交易量數或交易成交值等等) 取代原有的時間變 數,並利用這些市場變數的固定增額變化量作為選取資產交易價格值的標準,如 此則可以進一步地算出這些市場變數下的實現波動率。由於這些市場變數並不是. 4. 文獻上常見到的兩種設算方法分別為 Wasserfallen and Zimmermann (1985) 提出的前筆報價法. (previous-tick method) 與 Andersen and Bollerslev (1997) 提 出 線 性 插 補 法 (linear interpolation method)。實務上在日曆時間抽樣法的計算下,其資產交易價格的設算標準往往是採用了前筆報 價法,亦即挑選一筆最接近該欲選取時間點的交易價格值作為設算值。 -7-.

(14) 時間變數,但是在計算實現波動率的過程中卻扮演了如同時間變數一樣的功能, 因此這樣的作法也被稱為是一時間轉換過程或者是一從屬隨機過程 (subordinated stochastic process)。 5. 交易次數時間抽樣法的原理可簡述如下:假設一資產於一單位時間區間 [0 , 1]. 內進行交易,現將此單位區間分割成 𝑚 個具有等交易次數特性的子時間區間,. 並在每個子時間區間內抽取一筆價格觀察值作為是計算實現波動率所需的數據。 定義 𝑇𝑟(𝑡) 為時間點 𝑡 時所發生的累積交易次數,並令 𝜛 ≡ [ 𝑇𝑟(1)⁄𝑚 ] ,其 中, [ ] 為高斯符號,亦即 𝜛 所代表的是每段子時間區間內所發生的交易次數. 學. ‧ 國. 治 政 大 整數值。在此設定下,交易次數時間抽樣法所抽取的價格數列可由下式表示: 立. (4). ‧. {𝑃(𝑡𝑖𝑡𝑟 )}𝑚 𝑖=0. n. al. er. io. 最短時間,以數學式表示即為 𝑡𝑖𝑡𝑟 = 𝑖𝑛𝑓{ 𝑇𝑟 −1 (𝑖𝜛)}。. 5. sit. y. Nat. 上標 𝑡𝑟 代表的是交易次數時間抽樣法;𝑡𝑖𝑡𝑟 為當累積交易次數為 𝑖𝜛 所需花的. Ch. engchi. i n U. v. 時間轉換過程的文獻可回溯至 Clark (1973) 的學術著作上:在 1970 年代前後,很多學者如. Mandelbrot and Taylor (1967)、 Epps and Epps (1976)、Upton and Shannon (1979) 等等都發現到實務 上資產報酬率的機率分佈並非服從如 Bachelier (1900) 隨機漫步模型 (random walk model) 中所認 為的常態分佈,反而是服從一具有厚尾 (fat-tail) 與高狹峰特性的分佈模型諸如穩定柏拉圖分佈 (stable Paretian distribution) 或混合分佈假說 (mixture distribution hypothesis) 家族。因此 Clark (1973) 首先定義了一個時間轉換過程利用累積交易量數取代資產價格函數裡的時間變數,並利用中央極 限定理 (Central Limit Theorem) 與隨機變數的隨機加總 (random sum of random variables) 方法,證 明出何以報酬率為厚尾分佈的現象。 -8-.

(15) 圖一 日曆時間抽樣法與交易筆數時間抽樣法. ‧ 國. 學. 政 治 大 此時,定義第 𝑖 個子時間區間所對應到的報酬率為: 立. (5). ‧. 𝑡𝑟 𝑡𝑟 𝑡𝑟 𝑟𝑖,𝑚 = ln 𝑃(𝑡𝑖,𝑚 ) − ln 𝑃(𝑡𝑖−1,𝑚 ). sit. y. Nat. 𝑡𝑟 𝑡𝑟 𝑡𝑟 𝑡𝑟 其中, 𝑃(𝑡𝑖,𝑚 ) 與 𝑃(𝑡𝑖−1,𝑚 ) 分別是在時間點為 𝑡𝑖,𝑚 與 𝑡𝑖−1,𝑚 的日內資產價格. al. n. 下式表示:. er. io. 值,因此在抽樣次數為 𝑚 的條件下,交易次數時間抽樣法下的實現波動率可由. Ch. engchi. i n U. 𝑡𝑟 2 𝑅𝑉𝑚𝑡𝑟 = ∑𝑚 𝑖=1(𝑟𝑖,𝑚 ). v. (6). 比較日曆時間抽樣法與交易次數時間抽樣法可以發現,這兩種抽樣方式所挑選的 𝑚 筆資產價格值,其差異在於每筆資產交易價格所對應到時間點彼此不同。以. 數線圖表示可以更清楚地了解該抽樣方法的原理 (參閱圖一);數線上方代表的 是日曆時間,下方代表的是累積交易次數。日曆時間抽樣法係分別在時間點為 1⁄𝑚 、 2⁄𝑚、…、1 等各點上選取資產價格值,此時所選取的資產交易價格值 之間具有等日曆時間間隔的特性。而交易次數時間抽樣法則是分別在當累積交易 -9-.

(16) 𝑡𝑟 數為 𝑇𝑟(1)⁄𝑚、2𝑇𝑟(1)⁄𝑚、…、𝑇𝑟(1) 時 (此時所對應到的日曆時間分別為 𝑡1,𝑚 、 𝑡𝑟 𝑡𝑟 𝑡2,𝑚 、…、𝑡𝑚,𝑚 ),抽取所對應到的資產價格值。因此,交易次數時間抽樣法所選. 取的資產交易價格值具有等交易次數間隔 (equidistant in number of transactions) 的特性,但是未必亦符合等時間間隔的特性。. 舉例來說,如果一資產於某日的總交易次數為 5,400 筆,現欲選取與前述日曆時 間抽樣法相同的 54 筆價格數目時,則交易次數時間抽樣法將會依序在總交易筆 數為第 100 筆交易時取出該交易所對應到的資產價格值、第 200 筆交易時取出該. 治 政 大 54 筆資產交易價格 日曆時間抽樣法的計算方法,將當日此資產的開盤價格與這 立 交易所對應到的資產價格值,…,以此類推直到第 5,400 筆為止。之後如同上述. 值取上自然對數值後並依照總交易次數的大小順序兩兩相減,則可以得出 54 筆. ‧ 國. 學. 抽樣頻率為 100 筆交易次數的日內報酬率。最後將這 54 筆報酬率取平方值後相. ‧. 加,即是以 100 筆交易次數為抽樣頻率的實現波動率,以 (6) 式的型式表示即為. er. io. sit. y. Nat. 𝑡𝑟 2 𝑡𝑟 𝑅𝑉54 = ∑54 𝑖=1(𝑟𝑖,54 ) 。. 交易次數時間抽樣法的特性是其抽取價格的時間頻率會隨著市場的交易密集度. al. n. v i n [0 , 1⁄𝑚] 的不同而作調整。(參閱圖一) C h若在子時間區間內 engchi U. 總共發生了計. 𝑖 × 𝑇𝑟(1)⁄𝑚 筆交易次數,在日曆時間抽樣法下只會於該子時間區間內選取出一 筆交易價格值,相對地,在交易次數時間抽樣法下則會選出共 𝑖 筆的交易價格. 值;若另一子時間區間 [1⁄𝑚 , 2⁄𝑚] 其所發生了交易次數不到 𝑇𝑟(1)⁄𝑚 筆, 則以交易次數時間抽樣法的選取標準反而不會挑選任何一筆的交易價格值。. 由於每一筆成功的交易一定可以對應到一個與之互相對應的交易價格值,從而利 用交易次數時間抽樣法時,也就不需要再設算資產的交易價格。因此,使用交易 次數時間抽樣法可以規避日曆時間抽樣法的短處。值得一提的是,利用交易次數 - 10 -.

(17) 時間抽樣法有兩點必須注意:第一,交易次數時間抽樣法所選取的資產價格值的 個數受限於 𝑇𝑟(1) 實現值的大小,故使用交易次數時間抽樣法時所挑選之抽樣 次數 𝑚 ,並無法如同日曆時間抽樣法一樣可以將其取到接近無窮大的情況,從. 而也就無法觀察其實現波動率之極限分佈 (asymptotic distribution) 的形式。第二, 由於 𝜛 的值必須為整數,故當 𝑇𝑟(1)⁄𝑚 並非整除的狀況發生時,則最後一段. 子時間區間內所發生的交易次數將會與前面各個子時間區間不同,而這會使得實 現波動率的計算產生問題。然而,只要 𝑇𝑟(1) 與 𝑚 的值都夠大,則可以忽略. 該項影響 (Oomen, 2005; 2006)。. 學. ‧ 國. 第二節. 政 治 大 資產組合之期望效用函數 立. 由於波動率本身並無法直接觀察到的特性,使得我們無法直接將利用不同抽樣方. ‧. 式所計算出的實現波動率與真實的波動率予以相比,因此,於本篇研究中,我們. Nat. sit. y. 利用了 West et al. (1993) 所提出的資產組合期望效用函數模型來衡量此兩種抽. n. al. er. io. 樣方式下實現波動率的預測績效。資產組合期望效用函數的概念係指投資者在其. i n U. v. 資產組合 (由風險性資產與不具風險性資產所組合而成) 中挑選一組最佳的配. Ch. engchi. 適權數向量使得該資產組合所產生的期望效用達到最大。茲簡單說明該模型如下: West et al. (1993) 假設: (1) 投資者的效用函數為. 2 𝑈(𝑤𝑡+1 ) = 𝑤𝑡+1 − 0.5𝛾𝑤𝑡+1 ,. 其中, 𝑤𝑡+1 為此資產組合於第 𝑡 + 1 期時的報酬率;𝛾 為外生設定的風險趨避. 係數,代表了投資者對於風險的態度 (2) 風險性資產的報酬率服從一個具有有限. 均數 (finite mean) 與有限變異數 (finite variance) 性質的機率分佈型式 (3) 投資 者可以採取短期放空 (short sale) 的決策,亦即投資者於風險性資產的配適權數 可以為負值或者為一個比 1 大的值。此外,為了簡化分析,我們額外假設該投資 者的資產組合是只由一項具有風險性的資產 (台指期貨) 與一項不具風險性 (次 級市場流通交易 31-90 天期國庫卷利率) 的資產所組合而成。因此,投資者的目 - 11 -.

(18) 標函數與限制式分別為:. 𝑚𝑎𝑥 2 𝛼𝑡 𝐸 (𝑈𝑡+1 |𝐹𝑡 ) = 𝐸 (𝑤𝑡+1 − 0.5𝛾𝑤𝑡+1 |𝐹𝑡 ) 𝑠. 𝑡. 𝑤𝑡+1 = 𝛼𝑡 𝑦𝑡+1 + (1 − 𝛼𝑡 )𝑟𝑡+1. (7). (8). 其中, 𝑈𝑡+1 為該投資者於第 𝑡 + 1 期持有資產組合的效用; 𝛼𝑡 為投資者在第. 𝑡 期時於該投資組合中所持有風險性資產的比例權數;𝐹𝑡 為投資者於第 𝑡 期時. 政 治 大 險性資產於第 𝑡 + 1 期的報酬率 立 (假設為已知)。在假設 (1) ~ (3) 的條件下,可. 所擁有的訊息集合;𝑦𝑡+1 為風險性資產於第 𝑡 + 1 期的報酬率; 𝑟𝑡+1 為無風. ‧ 國. 學. 以確保第 (7) 式與第 (8) 式的最佳配適權數解 𝛼𝑡∗ 為一封閉解 (closed-form. solution) 。另外,第 (7) 式的目標函數的設定為二次方形式 (quadratic form) 的. ‧. 原因則是考量了投資者的期望效用函數具有不對稱的特性,亦即高估風險性資產. sit. y. Nat. 波動率的期望效用將比等額低估的期望效用高。 在 (7) 式與 (8) 式的架構下,. er. al. n. ∗ 𝐸(𝑈𝑡+1 |𝐹𝑡 ) 為:. io. West et al. (1993) 導引 出 該 投資 者 於 第 𝑡 + 1 期 時 的 最大 條 件 期望 效 用 值. Ch. engchi. i n U. v. ∗ | 2 2 )| 𝐸 (𝑈𝑡+1 , 𝜎𝑡+1 𝐹𝑡 ) = 𝐸 ( 𝑐𝑡+1 (𝛾) + 𝑑𝑡+1 (𝛾)𝑥(𝑒𝑡+1 𝐹𝑡 ). (9). 其中,. 2 𝑐𝑡+1 (𝛾) = 𝑟𝑡+1 − 0.5𝛾𝑟𝑡+1 2 𝑑𝑡+1 (𝛾) = 𝜇𝑡+1. (1−𝛾𝑟𝑡+1 )2. - 12 -. 𝛾. (9.1). (9.2).

(19) 2 2 ) 𝑥(𝑒𝑡+1 , 𝜎𝑡+1 =. 1. 2 +𝜎 2 ) (𝜇𝑡+1 𝑡+1. − 0.5. 𝑒𝑡+1 = 𝑦𝑡+1 − 𝑟𝑡+1 , 代 表 的 是 第 𝑡 + 1. 2 2 (𝜇𝑡+1 +𝑒𝑡+1 ). 2 +𝜎 2 )2 (𝜇𝑡+1 𝑡+1. (9.3). 期風險性資產的超額報酬率;. 𝜇𝑡+1 = 𝐸 ( 𝑒𝑡+1 | 𝐹𝑡 ) , 代表的是 第 𝑡 + 1 期此超額報酬率的條件期望值;. 2 𝜎𝑡+1 = Var(𝑒𝑡+1 | 𝐹𝑡 ) ,代表的是此超額報酬率之條件變異數。. 此外,由於在比較各種波動率模型的文獻中,往往是利用損失函數 (loss function) 的概念判斷其預測績效的優劣 (Gonzalez-Rivera, Lee and Mishra, 2004 ; Hansen and. 政 治 大. Lunde, 2005),故定義一損失函數 𝐿 為:. 立. ‧ 國. 學. ∗ �𝑡+1 𝐿 ≡ −𝑇 −1 ∑𝑇𝑡=1 𝑈. (10). ‧. 2 2 = −𝑇 −1 ∑𝑇𝑡=1( 𝑐𝑡+1 (𝛾) + 𝑑̂𝑡+1 (𝛾)𝑥�(𝑒𝑡+1 , 𝜎�𝑡+1 )). Nat. sit. y. ∗ ∗ �𝑡+1 (10) 式中的 𝑇 為樣本外 (out-of-sample) 的樣本數目,而 𝑈 為 𝑈𝑡+1 的估計. n. al. er. io. 2 值; 𝑑̂(. ) 與 𝑥�(. ) 分別是將 (9.2) 式與 (9.3) 式中的 𝜇𝑡+1 與 𝜎𝑡+1 以其估計值. i n U. v. 2 𝜇̂ 𝑡+1 與 𝜎�𝑡+1 代入而成的估計式。因此,在其他條件不變的情況下,我們要探. Ch. engchi. 討的是日曆時間抽樣法與交易次數時間抽樣法所計算出的實現波動率 (即 2 𝜎�𝑡+1 ) 何者能使得投資者的損失達到最小。. 第三節 實現波動率的預測模型. 2 由於 (10) 式的損失函數值必須透過風險性資產報酬波動率的預測值 𝜎�𝑡+1 才能. 求得而出,因此本小節擬介紹實現波動率的預測模型:在 Andersen et al. (1999) 的. 實證研究中,發現以日曆時間抽樣法所計算出來的實現波動率往往具有下列三種 - 13 -.

(20) 特性:(1) 實現波動率具有長期記憶的性質 (2) 實現波動率服從一具有右偏與高 狹峰特性的機率分佈型式 (3) 實現波動率的自然對數值其分佈型式與常態分佈 極為相近 (near-Gaussian);因此,實務上往往建議利用 ARFIMA 模型以預測實現 波動率 (Andersen et al., 1999;Andersen et al., 2003;Hansen and Lunde, 2005 )。茲簡 述 ARFIMA (𝑝, 𝑑, 𝑞) 的模型如下 (Andersen et al., 2001):. (1 − 𝐿)𝑑 �1 − 𝛷 (𝐿)�( ln 𝑅𝑉𝑡 − 𝑎0 ) = (1 + 𝛩(𝐿))𝜀𝑡. 政 治 大 參數;𝛷(𝐿) 與 𝛩(𝐿) 分別為 立 𝑝 階與 𝑞 階的落後運算子多項式;𝑎. (11). 其中,𝐿 為落後運算子 (lag operator);𝑑 為自然對數值的實現波動率之長期記憶 0. 為該取上. ‧ 國. 學. 自然對數之實現波動率的非條件期望值; 𝜀𝑡 為一個獨立且服從均數為零與變異. ‧. 數為 𝜎𝜀2 的常態分佈之隨機數列。在此要說明的是,在本文中我們係以 Sowell (1992) 所提出的最大概似法 (maximum likelihood estimation) 之計算原理估計第. sit er. io. al. v i n C 𝛤(𝑑+1) (1 − 𝐿)𝑑 =h∑e∞ n 𝛤(𝑘+1)𝛤(𝑑−𝑘+1) g c h i U 𝐿𝑘 𝑘=0 n. 此外,. y. Nat. (11) 式。. (11.1). 𝛤(. ) 代表的是一加馬函數 (Gamma function)。且 𝑝. (11.2). 𝑞. (11.3). 𝛷 (𝐿) = ∑𝑖=1 𝜙𝑖 𝐿𝑖 𝛩(𝐿) = ∑𝑖=1 𝜃𝑖 𝐿𝑖 - 14 -.

(21) 𝑝. 𝑞. 其中, {𝜙𝑖 }𝑖=1 與 {𝜃𝑖 }𝑖=1 分別為 𝛷(𝐿) 與 𝛩(𝐿) 兩個落後運算子多項式中的係 數數列。另外,由於我們是以自然對數值的實現波動率進行 ARFIMA (𝑝, 𝑑, 𝑞) 模. 型的預測,故所預測的數列值仍為自然對數值的實現波動率而非實現波動率本身, 因此,為了避免產生樣本轉換偏誤 (data transformation bias),Giot and Laurent (2004) 建議採用下式已透過誤差修正 (bias correction) 的估計式來進行自然對數值的實 現波動率與實現波動率之間的轉換:. �𝑡+1|𝑡 = 𝑒𝑥𝑝[ln𝑅𝑉𝑡+1 − 𝜀̂𝑡+1 + 1 𝜎�𝜀2 ] 𝑅𝑉 2. 其中,𝜀̂𝑡+1 與 𝜎�𝜀2. 政 治 大 則是分別為第 立 (11) 式中的 𝜀 於第 𝑡 + 1 𝑡. (12). 期的估計值與 𝜎𝜀2. ‧ 國. 學. 的估計值。藉由樣本內 (in-sample)的實現波動率值,我們可以透過 Bayesian. ‧. Information Criteria 值的高低選擇 (11) 式的最適落後期數 (𝑝, 𝑞),並透過 (12) 式. n. al. er. io. sit. y. Nat. 2 的轉換,如此即可得出 (10) 式所需的 𝜎�𝑡+1 。. Ch. engchi. - 15 -. i n U. v.

(22) 第三章 實證資料描述 本文採用超高頻逐筆 (tick-by-tick) 台指期貨 (代碼:TXF) 的近月契約資料作為 各種抽樣方式所需的計算數據,該資料的來源皆由台灣經濟新報資料庫 (Taiwan Economic Journal Data Bank) 所提供。我們選擇台指期貨做為實證資料的理由是因 為目前我國上市的股票數目共有 757 檔,故若以個別股票作為所選取的數據資料 時,則勢必會面臨到選股的問題;此外,由於每家上市公司的產業結構不盡相同, 這也連帶會影響到個別市場的交易形態而因此增加了研究的困難度;因此,為了. 政 治 大. 盡可能的簡化分析,我們選擇了以整個台灣股票市場之大盤指數作為交易標的的 台指期貨。. 立. ‧ 國. 學. 我們所選取的期貨資料涵蓋時間為 2008 年 6 月至 2009 年 5 月,共有 247 個營業. ‧. 日,計 9,394,532 筆交易次數。在該段期間內,因適逢全球金融危機 (financial crisis). sit. y. Nat. 的衝擊,台指期貨之收盤指數由 2008 年 6 月的 8,700 點大幅下降至該年 11 月的. io. er. 3,900 點。此後,伴隨著中央銀行連續四次調降重貼現率的寬鬆政策實施,使得 台指期貨收盤指數再逐步上漲至 2009 年 5 月的 6,900 點左右。6 此外相較於該段. al. n. v i n Ch 其他時間點而言,台指期貨的日間報酬率於 2008 年 i U 9 月至 2008 年 12 月之間, engch. 呈現了較大的波動 (參閱圖二)。. 在本文中所探討的實現波動率之實證性質的小節內 (第 4.1 節) ,我們所採用計 算的樣本數據取自於為全樣本期間;而在探討實現波動率於資產組合期望效用函 數上的衡量時 (第 4.2 節),我們將全樣本期間分割成樣本內與樣本外兩個期間, 其中,全樣本前面的三分之二期間屬於樣本內 (計 165 天,涵蓋期間為 2008/06 – 6. 事實上,自 2008 年 6 月 27 號起至迄今(2010 年 2 月),央行已經連續 7 次調降重貼現率。相關. 內容可查閱中央銀行網站:http://www.cbc.gov.tw/ - 16 -.

(23) 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學 sit. y. Nat. n. al. er. io. 圖二 全樣本期間台指期貨收盤指數 (左圖) 與日間報酬率 (右圖). Ch. engchi. i n U. v. 2009/01) ,而全樣本後面的三分之一期間則歸於樣本外 (計 82 天,涵蓋期間為 2009/02 – 2009/05)。. - 17 -.

(24) 第四章 實證結果. 第一節 兩種抽樣方式之實現波動率的實證統計性質. 為了能夠比較不同抽樣方式下的實現波動率的統計性質,因此,我們必須先將各 種抽樣方式的抽樣個數 𝑚 固定在某一特定水準值。本文所選取的抽樣個數是依. 循Andersen et al. (1999) 所提出的波動率特徵圖 (volatility signature plot) 之準則予. 政 治 大. 以判斷。7 此外,我們也同時將Aït-Sahalia et al. (2005b) 所提出的次佳 (second best). 立. 實現波動率估計式的概念納入考慮,亦即先作子樣本抽樣 (subsampling) 再作平. ‧. ‧ 國. 學. 均 (averaging) 的計算步驟。. 圖三的橫軸為每小時的抽樣週期,其為所挑選之價格數列兩兩之間的時間間隔. Nat. sit. y. (每小時)。以該圖中的 B 點為例,其所對應到的抽樣週期為 0.5,代表著此時所. n. al. er. io. 挑選的價格數列兩兩之間的時間間隔為 30 分鐘 (= 60 × 0.5)。故在台指期貨市. i n U. v. 場每日計 300 分鐘的營運時間內,將會挑選共 10 筆價格觀察值以作為計算實現. Ch. engchi. 波動率的數據。另外,由該圖亦可察知,若每小時的抽樣週期過小 (如在 A 點左 側區域所對應到的抽樣週期值),此時所估計出來的實現波動率將會受到市場微 結構噪音的影響而產生偏誤效果;反之,在適當的抽樣週期下 (如在 A 點右側區. 7. 波動率特徵圖係指不同的抽樣頻率與其所對應之實現波動率平均值的關係圖。其應用原理非常. 的直觀:由於當抽樣個數越多時,實現波動率所受到市場微結構噪音的干擾也就越顯著,這將使 得所算出來的實現波動率不再具有機率收斂的性質。相對地,當抽樣個數越少時,此時實現波動 率之變異效果 (variation effect) 將會非常明顯。因此,藉由波動率特徵圖,可以很快找出一個抽 樣頻率使得偏誤效果 (bias effect) 與變異效果的抵換關係 (trade-off) 趨近一平衡的狀態。另外, �。 為了凸顯實現波動率的數據值,我們於此小節所探討的數據為標準差的估計值: �𝑅𝑉 - 18 -.

(25) 立. 政 治 大. ‧ 國. 學 ‧. � 圖三 波動率特徵圖:�𝑅𝑉. Nat. sit. y. 域所對應到的抽樣週期值),所估計出來的台指期貨報酬率之標準差將集中在. n. al. er. io. 2.4% ~ 2.6% 之間,而該圖中的水平標示線代表的是於此子區間全部平均實現波. i n U. v. 動率的平均值。因此,在 Aït-Sahalia et al, (2005a) 所建議的次佳估計方式下,我. Ch. engchi. 們所挑選的抽樣標準便以越靠近此條線為選取基準 (C 點)。此時,該點所對應到 的抽樣週期為 0.167 (亦即價格數列兩兩之間的時間間隔為 10 分鐘)。故在一天計 5 個小時的台指期貨營業時間內,總計會選取到 30 筆的價格觀察值以作為我們 計算實現波動率的數據。. 在價格數列時間間隔為 10 分鐘的設定下,我們的實證結果發現了在不同價格抽 樣方式下的實現波動率,其所估計的資產報酬率之標準差皆具有右偏與高狹峰特 性的現象 (參閱表一)。此外,這兩種價格抽樣方式下的實現波動率之長期記憶 參數值約略在 0.4 附近,這也說明了日曆時間抽樣法與交易次數時間抽樣法所建 - 19 -.

(26) 日曆時間抽樣法. 交易次數時間抽樣法. 平均數. 0.02515. 0.02590. 標準差. 0.01142. 0.01171. 偏態係數. 2.275. 2.809. 峰態係數. 11.72. 16.48. 長期記憶參數 𝑑. 0.3925. 0.3602. 表一 全樣本期間兩種抽樣方法之實現波動率的性質. 政 治 大. (註:每日的抽樣個數皆為 30;亦即日曆時間抽樣法的抽樣頻率為每 10 分鐘,而. 立. 交易次數時間抽樣法是以每 10 分鐘所發生的平均交易次數為抽樣頻率。). ‧ 國. 學. 構出來的實現波動率具有長期記憶與定態 (stationary) 的性質。這些結果皆與. ‧. Andersen et al. (1999) 的發現極為相似。因此,實證資料的結果顯示出,經過時間. Nat. sit. n. al. er. io. 計性質。. y. 轉換過程的實現波動率仍然具有與實務上所慣用的日曆時間抽樣法相類似的統. Ch. engchi. i n U. v. 我們也另外繪製了日間資產報酬波動率於此兩種抽樣方式與 EGARCH (1,1) 模. 型下的估計值 (參閱圖四)。8 為了檢定此兩種價格抽樣方式所計算出來的實現波 動率是否有統計上顯著的差異,因此,本文擬利用迴規模型中的截距檢定 (intercept test) 方法予以判斷。. 8. 我們於 EGARCH 模型中所挑選的自我迴歸落後項與殘差落後項的階數皆為 1 的原因是因為一. 來考量了模型的簡約性 (parsimonious) 原則 ,二來則是此種落後階數的組合往往已經能夠對波 動率有很好的解適能力 (Bollerslev et al., 1992)。 - 20 -.

(27) 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學 sit. y. Nat. 圖四 三種模型的全樣本期間資產報酬波動率估計值. al. n. 數時間抽樣法所計算出來的實現波動率). Ch. engchi. er. io. (註:RV.C 為利用日曆時間抽樣法所計算出來的實現波動率,RV.T 為利用交易次. i n U. v. 定義一線性迴規模型如下:. 𝑑𝑡𝑡𝑟−𝑐 = 𝛽0 + 𝜉𝑡. (13). 𝑡𝑟 𝑐 其中, 𝑑𝑡𝑡𝑟−𝑐 = 𝑅𝑉𝑡,30 − 𝑅𝑉𝑡,30 , 為利用交易次數時間抽樣法所計算出的實現波. 動率與日曆時間抽樣法的差額; 𝑡 = 2008/06/02 – 2009/05/31; 𝛽0 為此母體迴. 歸線的截距, 𝜉𝑡 為誤差項 (error term) 。利用 (13) 式的迴歸模型並檢定其截距 項 𝛽0 所估計的係數是否顯著異於零,即可判斷該差距的顯著性。 - 21 -.

(28) 透過 (13) 式的檢定結果,我們發現此兩種抽樣方式下所估計的實現波動率並無 顯著的差距 ( 𝑝 − value = 0.0946),然而,藉由圖四的顯示,我們可以發現在某. 些特定的日子中,日曆時間抽樣法與交易次數時間抽樣法所計算出來的實現波動 率存在有很明顯的差距。因此,我們將另外探討在樣本外期間其期望效用差距為 前兩大的顯著性 (這兩日分別為 2009/04/17 與 2009/05/04)。. 定義一線性迴規模型如下:. 政 治 大. 𝑑𝑡𝑡𝑟−𝑐 = 𝛽0 + 𝛽1 𝐷1 + 𝛽2 𝐷2 + 𝜉𝑡. 立. (14). ‧ 國. 學. 𝑑𝑡𝑡𝑟−𝑐 , 𝛽0 與 𝜉𝑡 的定義皆與 (13) 式的定義相同; 𝑡 = 2009/02/01 – 2009/05/31;. ‧. 𝛽1 與 𝛽2 為此母體迴歸線的斜率係數 (slope coefficient); 𝐷1 與 𝐷2 為虛擬變數. (dummy variable) , 其 中 , 𝐷1 = 1 (0) 當 𝑡 = 2009/04/17 ( ≠ 2009/04/17) ;. sit. y. Nat. 𝐷2 = 1 (0) 當 𝑡 = 2009/05/04 (≠ 2009/05/04)。因此,利用 (14) 式的迴歸模型並. al. er. io. 檢定其解釋變數 𝐷1 與 𝐷2 所估計的係數是否顯著異於零,即可判斷個別日期. v. n. 的差距顯著性。而在此迴歸型的架構下,我們發現其所估計的斜率係數其. Ch. engchi. i n U. 𝑝 − value 分別為 0 與 0.0481,這也說明了在此兩天下,日曆時間抽樣法與交 易次數時間抽樣法所算出的實現波動率存在有顯著的差距。 9. 由於日曆時間抽樣法與交易次數時間抽樣法的最大差異在於後者能隨著市場的 交易密集度隨時調整其抽樣頻率,因此,我們也另外繪製了此二日與任一平常日 (2009/02/04) 的 每 十 分 鐘 交 易 次 數 到 達 圖 ( 參 閱 圖 五 ) 。 我 們 發 現 : (1) 在 2009/04/17 當日之中,每十分鐘的交易次數在該日上午 11 點 30 分後相對呈現了. 9. 事實上,我們也嘗試擴大此迴規模型依序放入差距前五大的日期以判斷各個日期的差距顯著性,. 而我們發現,只有在差距前兩大的日子中 (2009/04/17 與 2009/05/05) 才有統計顯著的差距。 - 22 -.

(29) 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學 er. io. sit. y. Nat. 圖五 交易密集度:由每十分鐘的交易次數所衡量. 大幅度的震盪,因此交易次數時間抽樣法將會在該時段 (11 點 30 分至 13 點 45. al. n. v i n C45h分至 11 點 30 分)U較多的價格 (2) 在 2009/05/04 分) 抽取比該日稍早時段 (8 點 engchi. 當日之中,台指期貨的交易次數主要集中於剛開盤的 70 分鐘內,隨即之後則漲 停鎖死停止交易。因此,交易次數時間抽樣法能在此 70 分鐘內抽取 30 筆“有 效”的資產價格,相對的,日曆時間抽樣法便只能選取 7 筆“有效”的資產價 格。這不但因此驗證了此兩種抽樣方式最主要的差異來源,也一併凸顯出交易次 數時間抽樣法的優點。. - 23 -.

(30) 第二節 期望效用函數的衡量. 本文在第二章第二節中簡述了 West et al. (1993) 的資產組合期望效用函數模型, 2 2 , 𝜎�𝑡+1 ) 事實上是由 然而,在此必須要額外說明的是,第 (10) 式中的 𝑥�(𝑒𝑡+1 2 2 𝑥�(𝜎𝑡+1 , 𝜎�𝑡+1 ) 所導引而成。換言之, 𝑥�(. ) 是一捕捉該資產的真實資產報酬波動. 2 2 率 (𝜎𝑡+1 ) 與其所估計的結果 (𝜎�𝑡+1 ) 之間的關係式,惟真實資產報酬波動率並無. 法觀察到,故 West et al. (1993) 是將事後 (ex-post) 已實現的超額報酬率平方值. 2 2 (𝑒𝑡+1 ) 設定成是第 𝑡 + 1 期真實資產報酬波動率 (𝜎𝑡+1 ) 的條件期望值。由於實. 政 治 大. 2 2 務上 𝑒𝑡+1 本身所受到的干擾太大 (可參考圖二右半部),這將會使得 𝑒𝑡+1 所估. 立. ‧ 國. 學. 2 計的 𝜎𝑡+1 不具一致性與效率性 (Zhang, 2006),這也因此代表此種的替代方式有. 所缺陷。故隨著實現波動率的提出以後,往後大部份的實證文獻皆是以實現波動. ‧. 2 率來取代 𝑒𝑡+1 (Hansen and Lunde, 2005)。基於上述的理由,本節擬分成這兩種情. y. Nat. 𝑐 2 2 況 (即分別利用 𝑒𝑡+1 與 𝑅𝑉𝑡+1 替代 𝜎𝑡+1 ) 以討論不同抽樣方式下的實現波動. n. er. io. al. sit. 率對於投資組合期望效用的影響。. 一. 利用. 𝒆𝟐𝒕+𝟏. 取代. Ch. 𝝈𝟐𝒕+𝟏. engchi. i n U. v. 在此子小節中,我們先遵循West et al. (1993) 的模型解,並進一步衡量在此設定 下各種波動率測度模型所產生的資產組合期望效用值。在圖六中,我們繪製了利 用交易次數時間抽樣法所計算出來的資產組合期望效用值與日曆時間抽樣法所 計算出來的資產組合期望效用值之差額 (縱軸) 與風險趨避係數 (橫軸) 之間的 關係,藉由該圖可以觀察到:(1) 在所選取的風險趨避係數之區間內 ( 𝛾 ∈. (0,20] ),平均而言,利用交易次數時間抽樣法所計算出的實現波動率其所產生. 的資產組合期望效用值比日曆時間抽樣法下的實現波動率高;例如,在風險趨避 係數 𝛾 為 0.1 的條件下,我們發現此兩種抽樣方式的期望效用差距約為 0.0018 - 24 -.

(31) 單位的效用值。 10 (2) 當投資者的風險趨避係數越小時,此兩種抽樣方式所產生 的期望效用差距值將越為增大。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. i n U. v. 2 2 圖六 期望效用差距: 在 𝑒𝑡+1 取代 𝜎𝑡+1 的設定下. Ch. engchi. 直覺上,由於交易次數時間抽樣法能隨者市場的交易密集度隨時作調整,故其所 估計的資產報酬波動率將比日曆時間抽樣法的估計結果更能代表資產市場的營 運狀況。因此,在面對兩種具有不同訊息意涵的波動率時,“品質較佳” (即與 市場較為貼近) 的波動率對於投資者的價值將較高。這也因此說明了,何以交易 次數時間抽樣法會比日曆時間抽樣法產生較高的期望效用。此外,當風險趨避係 10. 文獻上常見的風險趨避係數的估計值大約落在 [2,4] 內 (Bodie, Kane and Marcus, 1999 ;. Grossman and Shiller, 1981),而為了觀察兩者之間的差距,我們將風險趨避係數的範圍拉大至 (0,20]。. - 25 -.

(32) 數越大時 (亦即投資者越為保守),其資產組合中的風險性資產的持有比例也會 隨之減少,這也解釋了為何在風險趨避係數越大的條件下,此兩種抽樣方式下的 實現波動率所產生的期望效用並無太大的差距。. 係數. 值. 𝜋0. 0.0018. 係數. 值. 𝜋0. 0.0012. 0.0022. 𝑝 值. 0.8373. 0.4049. 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝑐 與常數項、𝐷1 與 𝐷2 的迴歸結果. 檢定結果 不顯著. 𝑡 值 政 治 0.0021 0.5495 大. 𝑝 值. 檢定結果. 0.5842. 不顯著. 0.0044. 0.0191. 0.2293. 0.8192. 不顯著. 0.0493. 0.0191. 2.5819. 0.0117. 顯著. 標準誤. ‧ 國. 立. ‧. 𝜋2. 𝑡 值. 標準誤. 學. 𝜋1. 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝑐 與常數項的迴歸結果. n. al. er. io. sit. (註: 標準誤為 Newly-West 標準誤). y. Nat. 2 2 表二 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝑐 的迴歸結果:在 𝑒𝑡+1 取代 𝜎𝑡+1 的設定下. Ch. i n U. v. 由於在風險趨避係數越小的條件下,此二種抽樣方式所產生的期望效用差距將為. engchi. 越大,為了進一步地檢定此差距是否具有統計上顯著異於零的特性,我們首先將 投資者的風險趨避係數設定為 0.1 的水準值上並仿造第四章第一節中所敘述的 截距檢定的作法,藉以探討此期望效用差距的顯著性。. 定義一線性迴規模型如下:. 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝑐 = 𝜋0 + 𝜆𝑡 - 26 -. (15).

(33) 立. 政 治 大. ‧ 國. 學. ‧. 2 2 圖七 期望效用差距鳥瞰圖:在 𝑒𝑡+1 取代 𝜎𝑡+1 的設定下. sit. y. Nat. �𝑡∗ (𝑅𝑉. 𝐶) ,為利用交易次數時間抽樣法所計算出 �𝑡∗ (𝑅𝑉. 𝑇) − 𝑈 其中, 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝑐 = 𝑈. er. io. 的資產組合期望效用值與日曆時間抽樣法之間的差額; 𝑡 = 2009/02/01 –. 2009/05/31; 𝜋0 為此母體迴歸線的截距項, 𝜆𝑡 為誤差項。故利用 (15) 式的迴. n. al. 歸模型並檢定其截距項 𝜋0 著性。. v i n Ch 所估計的係數是否顯著異於零 e n g c h i U ,即可判斷此差距的顯. 由表二上半部的迴歸結果可以察知,利用交易次數時間抽樣法所產生的期望效用 值將比日曆時間抽樣法的為高,惟該差距並不具統計的顯著性。這是因為此兩種 抽樣方式只有在市場發生異常的交易現象時才有顯著的差距 (即前述的 2009/04/17 交易大幅震盪與 2009/05/04 漲停鎖死現象二日) ,故經過 (10) 式的平 均以後,將使得這些天數的差距影響變小。因此,我們另外繪製了個別天數與風 險趨避係數組合的期望效用圖藉以判斷各個天數的期望效用差距 (參閱圖七)。 - 27 -.

(34) 圖七的 x 軸為風險趨避係數,y 軸為樣本外的天數,z 軸為交易次數時間抽樣法 下的期望效用與日曆時間抽樣法下的期望效用之差額。藉由圖七的鳥瞰圖可以觀 察到,在風險趨避係數較小的區間內,特定天數內存在若干個幅度較大的高峰與 低峰。然而在第四章第一節中,我們提及到只有在 2009/04/17 與 2009/05/04 其市 場交易現象存在波動較大的兩日中,實現波動率在不同的價格抽樣方式下才有顯 著的差距。基於上述的理由,我們也仿造該小節中所應用的虛擬變數的方法,探 討在這兩日中,以交易次數時間抽樣法所產生的期望效用值是否顯著較日曆時間 抽樣法的結果為高。 定義一線性迴規模型如下:. 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝑐 = 𝜋0 + 𝜋1 𝐷1 + 𝜋2 𝐷2 + 𝜆𝑡. 學. (16). ‧. ‧ 國. 立. 政 治 大. y. Nat. 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝑐 , 𝑡 , 𝜋0 , 𝐷1 , 𝐷2 與 𝜆𝑡 的定義皆與 (14) 及 (15) 式的定義相同;𝜋1 與. sit. 𝜋2 為此母體迴歸線的斜率係數;因此,利用 (16) 式的迴歸模型並檢定其解釋. n. al. er. io. 變數 𝐷1 與 𝐷2 所估計的係數是否顯著大於零,即可判斷在市場存在異常交易. i n U. v. 現象的天數中,以交易次數時間抽樣法所產生的期望效用值是否優於日曆時間抽. Ch. engchi. 樣法的結果。表二的下半部為此迴規模型的檢定結果,我們發現這兩日的虛擬變 數的係數只有在 2009/05/04 方顯著異於零,這也說明了在該日漲停鎖死的現象中, 利用交易次數時間抽樣法所計算出的期望效用將優於日曆時間抽樣法的效用。 11. 11. 我們另外也對了 (1) 交易次數時間抽樣法下的期望效用與 EGARCH (1,1) 模型下的期望效用之. 間的差距 (2) 日曆時間抽樣法下的期望效用與 EGARCH (1,1) 模型下的期望效用之間的差距分別 進行了 (15) 式的截距檢定,而檢定的結果與表二上半部份的不顯著結論相同 (p-value 分別為 0.9513 與 0.6272);同樣地,我們也依循正文的設定在模型 (1) 內同時放入 2009/04/17 與 2009/05/04 這兩個虛擬變數 𝐷1 與 𝐷2 ,而統計檢定的結果也與表二下半部份的結論相同,故為. 了節省空間,我們將這些檢定結果與個別天數的顯著性結果報導於附錄。 - 28 -.

(35) 二.. 利用 𝑹𝑽𝒄𝒕+𝟏 取代 𝝈𝟐𝒕+𝟏. 由於在 West et al. (1993) 當時所提出模型的時間點下,實現波動率的概念尚未被 提出,這也因此使其期望效用函數模型的衡量有所缺失。於本子小節中,我們試 𝑐 著將事後已實現的日曆時間抽樣法下之實現波動率 𝑅𝑉𝑡+1 取代原先模型中的事 2 ,並試著仿照前一小節的分析方式,評估各種價格 後超額報酬率的平方值 𝑒𝑡+1. 抽樣方式下其實現波動率的優劣。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 𝐶 2 圖八 期望效用差距:在 𝑅𝑉𝑡+1 取代 𝜎𝑡+1 的設定下. 我們在圖八繪製了利用交易次數時間抽樣法所計算出來的資產組合期望效用值 與日曆時間抽樣法所計算出來的資產組合期望效用值之差額 (縱軸) 與風險趨 避係數 (橫軸) 之間的關係,藉由該圖可以觀察到::(1) 於所選取的風險趨避 - 29 -.

(36) 係數之區間內 ( 𝛾 ∈ (0,20] ),平均而言,利用交易次數時間抽樣法所計算出來 的實現波動率其所產生的期望效用值將比日曆時間抽樣法下的結果為低 (2) 當. 投資者的風險趨避係數增大時,此二種抽樣方式下的實現波動率之期望效用差距 才會逐漸減小。. 𝑐 2 以 𝑅𝑉𝑡+1 取代之 換句話說,當我們將West et al. (1993) 原先模型中的變數 𝑒𝑡+1. 後,平均而言,交易次數時間抽樣法下的實現波動率其所產生的期望效用將較日 曆時間抽樣法的低。然而,我們亦遵循 4.2.1 節所應用的截距檢定方法以判斷此. 治 政 大 有顯著的特性;同樣地,我們也繪製了個別天數與風險趨避係數組合的期望效用 立 期望效用差距的顯著性。由表三上半部的迴歸結果可知,該期望效用差距並不具. 圖藉以幫助判斷不同天數的期望效用差異 (參閱圖九)。圖九的x、y、z軸的定義. ‧ 國. 學. 皆與圖七的定義相同。我們仿造前一子小節的設定,將 2009/04/17 與 2009/05/04. ‧. 設定為虛擬變數 𝐷1 與 𝐷2 ,另外進行效用差距的迴歸檢定 (參閱表三下半部):. y. Nat. 我們發現此兩日的虛擬變數的係數皆未顯著異於零,這也代表即使在經過變異數. er. io. sit. 替代的修正下,而使得交易次數時間抽樣法平均而言將劣於日曆時間抽樣法,然 而在這兩天之中,以交易次數時間抽樣法所計算的期望效用卻並未顯著低於日曆. al. n. 時間抽樣法的效用。. 12. 12. Ch. engchi. i n U. v. 同樣地,我們也對了 (1) 交易次數時間抽樣法下的期望效用與 EGARCH (1,1)模型下的期望效用. 之間的差距 (2) 日曆時間抽樣法下的期望效用與 EGARCH(1,1) 模型下的期望效用之間的差距分 別進行了截距檢定,而檢定的結果仍與表三上半部份的不顯著結論相同 (p-value 分別為 0.6289 與 0.9752);同樣地,我們也依循正文的設定在迴歸模型 (1) 內同時放入 2009/04/30 與 2009/05/04 這兩個虛擬變數 𝐷1 與 𝐷2,有趣的是,統計檢定的結果是此效用差距將在 2009/04/30 交易大幅. 震盪的日子內顯著大於零,而在 2009/05/04 當日呈現不顯著的差距 (檢定的結果請參閱附錄)。 - 30 -.

(37) 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝑐 與常數項的迴歸結果. 係數. 值. 𝜋0. -0.0009. 係數. 值. 標準誤. 𝜋0. -0.0009. 𝜋2. 𝑡 值. 標準誤 0.0009. 𝑝 值. -1.0355. 0.3035. 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝑐 與常數項、𝐷1 與 𝐷2 的迴歸結果. 𝜋1. 檢定結果 不顯著. -1.0643. 𝑝 值. 檢定結果. 0.0009. 𝑡 值. 0.2905. 不顯著. 0.0088. 0.0079. 1.1136. 0.2688. 不顯著. -0.0057. 0.0079. -0.7229. 0.4719. 不顯著. 政 治 大 � (𝑅𝑉. 𝐶) 的迴歸結果:在 𝑅𝑉 � (𝑅𝑉. 𝑇) − 𝑈 表三 𝑈 立. 𝐶 𝑡+1. ∗ 𝑡. 2 取代 𝜎𝑡+1 的設定下. (註: 標準誤為 Newly-West 標準誤). 學. ‧. ‧ 國. ∗ 𝑡. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 𝐶 2 圖九 期望效用差距鳥瞰圖:在 𝑅𝑉𝑡+1 取代 𝜎𝑡+1 的設定下. - 31 -.

(38) 第五章 結論與建議 本文分析了實現波動率在不同的價格抽樣方式下 (日曆時間抽樣法與交易次數 時間抽樣法) 的性質與應用。由於交易次數時間抽樣法能夠捕捉市場的交易密集 度,因此,為了充分凸顯此種特性並強調其與日曆時間抽樣法的不同之處,我們 首先利用了台指期貨的數據資料分析其統計性質,並利用了與資產報酬波動率息 息相關的資產組合期望效用函數 (West et al., 1993) 予以衡量這兩種抽樣方式下 的預測績效。我們發現:(1) 交易次數時間抽樣法下的實現波動率其統計性質與. 政 治 大 al. (1999) 所發現的日曆時間抽樣法之實證性質極為相似 (2) 在 West et al. (1993) 立 日曆時間抽樣法下的結論並無太大的差異。而且,這些實證性質皆與 Andersen et. ‧ 國. 學. 原先模型的架構下,平均而言,期望效用值在交易次數時間抽樣法下的結果將較 日曆時間抽樣法為高,尤其是當投資者之風險趨避係數越小時,交易次數時間抽. ‧. 樣法與日曆時間抽樣法的期望效用差距將為越大,惟此項差距並不具有統計顯著. sit. y. Nat. 的特性。因此,我們轉而探討每日期望效用差距值之間的顯著性,我們發現,在. al. er. io. 市場發生價格漲停鎖死而停止交易的日子中 (2009/04/30, 2009/05/04),交易次數. v. n. 時間抽樣法所產生期望效用將顯著的高於日曆時間抽樣法的結果;而當我們將該. Ch. engchi. i n U. 模型中的事後超額報酬率平方值以事後已實現的日曆時間抽樣法下的實現波動 率取代後,有趣的是,平均而言,資產組合之期望效用在交易次數時間抽樣法下 的結果將較日曆時間抽樣法為低,惟該差距仍不具有統計上的顯著特性。. 由於實證的結果顯示出此兩種抽樣方式的實現波動率本質上並無太大的差異,因 此,一個合理的猜測是,在該段期間內,我國台指期貨的交易行為並無太大的改 變。此外,當市場出現了異常交易行為的現象時,交易次數時間抽樣法所計算出 來的實現波動率將與實務上常使用的日曆時間抽樣法的差距達到最大。值得一提 的是,市場異常的交易現象在風險管控的立場上往往扮演了十分重要的腳色,因 - 32 -.

(39) 此,此種透過時間轉換過程的實現波動率也應較能符合風險管理的角度 (如風險 值, Value-at-Risk),我們將這些有趣的議題留在未來的研究議程內。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. - 33 -. i n U. v.

(40) 附錄. 第一節 景氣時間抽樣法 (Business Time Sampling Scheme). 假設一資產於一單位時間 [0,1] 內進行交易定義, 𝛬(𝑡) 為時間點為 𝑡 時所預. 期會發生的總交易次數,若欲抽取 𝑚 筆價格觀察值,則景氣時間抽樣法所抽取 的價格數列為:. {𝑃(𝑡𝑖 )}𝑖=0. (A.1). 學. ‧ 國. 立. 政 治 大 𝑏 𝑚. ‧. 上標 𝑏 代表的是景氣時間抽樣法,𝑡𝑖𝑏 = 𝛬−1 (𝑖𝜓),其中 𝜓 = 𝛬(1)⁄𝑚 。此時, 定義該子時間區間所對應到的報酬率為:. sit. y. Nat. er. io. 𝑏 𝑏 𝑏 𝑟𝑖,𝑚 = ln 𝑃(𝑡𝑖,𝑚 ) − ln 𝑃(𝑡𝑖−1,𝑚 ). n. al. 𝑏 其中, 𝑃(𝑡𝑖,𝑚 ). 與. Ch. 𝑏 𝑃(𝑡𝑖−1,𝑚 ). engchi. i n U. v. (A.2). 𝑏 𝑏 分別是在時間點為 𝑡𝑖,𝑚 與 𝑡𝑖−1,𝑚 的日內資產價格. 值,因此在抽樣次數為 𝑚 的情況下,實現波動率的計算公式可表示成: 𝑏 2 𝑅𝑉𝑚𝑏 = ∑𝑚 𝑖=1(𝑟𝑖,𝑚 ). (A.3). (A.1) 式代表的是所選取的資產價格值之間具有等預期交易筆數間隔 (equidistant in expected number of transactions) 的特性。事實上,景氣時間抽樣法與交易次數時 間抽樣法的應用原理非常類似,比較交易次數時間抽樣法與景氣時間抽樣法可以 - 34 -.

(41) 發現,𝜛 = [𝑇𝑟(1)⁄𝑚] 代表的是每個子區間內平均實際發生的交易次數,而 𝜓 = 𝛬(1)⁄𝑚 代表的是每個子區間內平均預期會發生的交易次數。. 值得注意的是,由於預期平均發生的總交易次數 𝛬(1) 與市場的交易密集度有密. 切的關聯,因此,若交易密集度為未知時,則景氣時間抽樣法便無法使用。此時,. 一個景氣時間抽樣法的可行版本是固定在 𝜛 = [𝑇𝑟(1)⁄𝑚] 筆交易間隔進行價 格選取,這是因為 𝐸 [𝑇𝑟(𝑡)] = 𝛬(𝑡) 且 𝐸[𝜛] = 𝜓。此時,景氣時間抽樣法將與 交易次數時間抽樣法一致 (Oomen, 2005; 2006)。. 政 治 大. 立 第二節 價格變化差距時間抽樣法 (Tick Time Sampling ‧. ‧ 國. 學. Scheme). y. Nat. sit. 價格變化差距時間抽樣法近幾年來也受到不少學者的運用,如 Aït-Sahalia, et al.. n. al. er. io. (2005b);Fukasawa (2009);Griffin and Oomen (2008);Zhou (1996) 等等,其原因為. i n U. v. 該抽樣方法考慮了市場微結構噪音中的價格離散性 (price discreteness) 之影響效. Ch. engchi. 果。在文獻上,價格變化差距時間抽樣法的定義有兩種:第一種定義係指該抽樣 法所選取的資產價格兩兩之間具有其價格變化之差距為固定的特性 (equidistant in tick) (Fukasawa, 2009)。亦即所挑選之資產價格值兩兩之間的絕對值差額是相同 的。因此,在此定義下,價格變化差距時間抽樣法所抽取的資產價格是建構在每 筆連續價格改變的條件上 (every continued price change)。該定義下之價格變化差 距時間抽樣法的應用原理可參閱圖十:此時,所挑選的資產價格值 (圈點) 具有 其價格差額皆為固定的性質 (tick = 0.1)。此外,在此定義下,Fukasawa (2009) 證 明出此時實現波動率之極限分佈為一混合常態分佈 (mixed normal distribution)。. - 35 -.

(42) 政 治 大. 圖十 價格變化差距時間抽樣法. 學. ‧ 國. 立. ‧ sit. y. Nat. 第二種價格變化差距時間抽樣法的定義方式則較第一種的定義方式更為一般化。. al. er. io. 根據 Griffin and Oomen (2008) 的定義,只要資產價格值兩兩之間符合其所計算出. v. n. 來的報酬率值不為零的條件,亦即資產價格值兩兩之間是不相同的 (不要求其差. Ch. engchi. i n U. 額是否為固定),則這些資產價格數列值即為計算實現波動率時所需的計算數據。 因此,在此定義下,價格變化差距時間抽樣法所抽取的資產價格是建構在每筆價 格改變的條件上 (every price change)。. 故在此定義下,若現欲抽取 𝑚 筆價格觀察值,則價格變化差距時間抽樣法所抽 取的價格數列可以以下式表示:. {𝑃(𝑡𝑖𝑡𝑖 )}𝑚 𝑖=0. - 36 -. (A.4).

(43) 每日平均交易筆. 每日平均價格變. 數. 化交易筆數. 2008.06. 24,178. 12,940. 53.52%. 2008.07. 30,534. 16,783. 54.97%. 2008.08. 27,909. 14,984. 53.69%. 2008.09. 30,479. 16,910. 55.49%. 2008.10. 37,359. 20,935. 56.04%. 2008.11. 51,974. 29,685. 57.12%. 2008.12. 40,744. 50.89%. 2009.01. 32,960. 治 政 20,734 大 16,163. 2009.02. 36,354. 17,476. 48.07%. 43,449. 20,431. 53,143. 26,359. 46,883. 24,219. 38,035. 19,835. 49.60%. y. 51.66%. io. sit. ‧ 國. 2008.06~2009.05. Nat. 2009.05. 47.02%. ‧. 2009.04. 49.04%. 學. 2009.03. 立. 比例. 52.15%. er. 月份. al. n. v i n Ch 表四 各月份平均台指期貨價格變化之交易數目占總交易數目的比例 engchi U (A.4) 式中的上標 𝑡𝑖 代表的是價格變化差距時間抽樣法,而 𝑡𝑖𝑡𝑖 = inf {𝑡 >. 𝑡𝑖 𝑡𝑖 𝑡𝑖−1 ; 𝑃(𝑡) − 𝑃(𝑡𝑖−1 ) ≠ 0} 。此時,定義第 𝑖 個子時間區間所對應到的報酬率為:. 𝑡𝑖 𝑡𝑖 𝑡𝑖 𝑟𝑖,𝑚 = ln 𝑃(𝑡𝑖,𝑚 ) − ln 𝑃(𝑡𝑖−1,𝑚 ). (A.5). 𝑡𝑖 𝑡𝑖 𝑡𝑖 𝑡𝑖 其中, 𝑃(𝑡𝑖,𝑚 ) 與 𝑃(𝑡𝑖−1,𝑚 ) 分別為時間點為 𝑡𝑖,𝑚 與 𝑡𝑖−1,𝑚 的日內資產價格值。. - 37 -.

(44) 因此在抽樣次數為 𝑚 的情況下,實現波動率的計算公式可表示成: 𝑡𝑖 2 𝑅𝑉𝑚𝑡𝑖 = ∑𝑚 𝑖=1(𝑟𝑖,𝑚 ). (A.6). 實務上,符合價格變化的資產價格數目占原本的價格總數目的比率大約是 50%左 右,但也有只到 10%實證數據 (Griffin and Oomen, 2008)。而本篇研究所採用的台 指期貨的資料中,其符合價格變化的數目占原先價格總數目的比例也約為 50% (參閱表四) 。. 政 治 大 根據 Griffin and Oomen (2008) 立 的實證研究指出,若資產價格符合一複合卜瓦松過. ‧ 國. 學. 程時,則以交易次數時間抽樣法所選取的價格,其所對應到的報酬率常常具有兩 個特性:(1) 分佈形式接近常態 (2) 其一階自我相關係數值往往為負值且十分顯. ‧. 著,而在其他階數的自我相關係數則不顯著異於零;相對的,以價格變化差距時. sit. y. Nat. 間抽樣法所選取的價格,其所對應到的報酬率之自我相關係數值總是呈現負正交. al. er. io. 替的現像,且大小都十分地顯著。因此,關於這一點,Griffin and Oomen (2008) 認. v. n. 為,當以不同的抽樣方法計算實現波動率時,其所誘發的市場微結構噪音干擾之. Ch. engchi. i n U. 形式也會不同,故在考慮實現波動率的誤差修正項時,必須要同時考慮各個抽樣 方式的影響。. 第三節 效用差距的檢定結果. 分別定義利用交易次數時間抽樣法與日曆時間抽樣法所計算出的資產組合期望 效用值其與 EGARCH (1,1) 模型的差額為 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝐸 與. 𝑢𝑡𝑐−𝐸 (以數學式表示即為. �𝑡∗ (𝑅𝑉. 𝑇) − 𝑈 �𝑡∗ (𝐸𝐺𝐴𝑅𝐶𝐻);𝑢𝑡𝑐−𝐸 = 𝑈 �𝑡∗ (𝑅𝑉. 𝐶) − 𝑈 �𝑡∗ (𝐸𝐺𝐴𝑅𝐶𝐻),其中 𝑡 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝐸 = 𝑈. = 2009/02/01 – 2009/05/31)。此時,利用正文第 (15) 式與第 (16) 式的迴歸模型, - 38 -.

(45) 將該式的被解釋變數 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝑐 以 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝐸 (𝑢𝑡𝑐−𝐸 ) 替代並檢定其截距項所估計的係. 數是否顯著異於零,即可判斷該期望效用差距的顯著性 (迴歸結果請參閱表五及 2 2 表六;其中,表五的迴歸結果是在 𝑒𝑡+1 取代 𝜎𝑡+1 的設定下估計而成,而表六. 𝐶 2 的迴歸結果是在 𝑅𝑉𝑡+1 取代 𝜎𝑡+1 的設定下估計而成)。. 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝐸 與常數項的迴歸結果. 𝜋0. -0.0003. 係數. 值. 𝜋0. -0.0025. 政 治 大 標準誤 𝑡 值 0.0046. -0.5379. 0.0429. 0.0411. 1.0447. 0.1345. 0.0411. 3.2726. 0.0048. io. al. n. -0.0021. 𝑡 值. 標準誤 0.0043. Ch. -0.4876. engchi U. 不顯著. 檢定結果. 0.5921. 不顯著. 0.2994. 不顯著. 0.0016. 顯著. y. sit. 值. 𝑢𝑡𝑐−𝐸 與常數項的迴歸結果. 檢定結果. 𝑝 值. 𝑝 值. er. 立. ‧ 國. 係數. 0.9513. 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝐸 與常數項、𝐷1 與 𝐷2 的迴歸結果. Nat. 𝜋2. -0.0613. ‧. 𝜋1. 𝜋0. 標準誤. 𝑝 值. 值. 學. 𝑡 值. 係數. 0.6272. v ni. 檢定結果 不顯著. 2 2 表五 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝐸 與 𝑢𝑡𝑐−𝐸 的迴歸結果:在 𝑒𝑡+1 取代 𝜎𝑡+1 的設定下. (註: 標準誤為 Newly-West 標準誤). - 39 -.

(46) 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝐸 與常數項的迴歸結果. 係數. 值. 𝜋0. -0.0010. 係數. 值. 標準誤. 𝜋0. -0.0015. 𝑡 值. 標準誤 0.0020. 𝑝 值. -0.4851. 0.6289. 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝐸 與常數項、𝐷1 與 𝐷2 的迴歸結果. 檢定結果 不顯著. -0.8140. 𝑝 值. 檢定結果. 0.0019. 𝑡 值. 0.4181. 不顯著. 0.0584. 0.0168. 3.4716. 0.0008. 顯著. 𝜋2. -0.0117. 0.0168. -0.6976. 0.4875. 不顯著. 係數. 值. 檢定結果. 𝜋0. -0.0001. 𝑝 值. 立. 0.0017. -0.0312. 0.9752. 學. 政 治 大 標準誤 𝑡 值. 𝑢𝑡𝑐−𝐸 與常數項的迴歸結果. ‧ 國. 𝜋1. 不顯著. n. al. er. io. sit. Nat. (註: 標準誤為 Newly-West 標準誤). y. ‧. 𝐶 2 表六 𝑢𝑡𝑡𝑟−𝐸 與 𝑢𝑡𝑐−𝐸 的迴歸結果:在 𝑅𝑉𝑡+1 取代 𝜎𝑡+1 的設定下. Ch. engchi. - 40 -. i n U. v.

(47) 參考文獻. 1. Ait-Sahalia, Y., Mykland, P., Zhang, L. (2005a). A Tale of Two Scales: Determining Integrated Volatility With Noisy High-Frequency Data. Journal of the American Statistical Association 100: 1394-1411. 2. Ait-Sahalia, Y., Mykland, P., Zhang, L. (2005b). Ultra-high frequency volatility. 政 治 大. estimation with dependent microstructure noise. NBER working paper 11380.. 立. ‧ 國. 學. 3. Andersen, T. G., Bollerslev, T., (1997). Heterogeneous information arrivals and return volatility dynamics: Uncovering the long-run in high frequency returns. Journal of Finance. ‧. 52 (3): 975-1005.. sit. y. Nat. al. er. io. 4. Andersen, T. G., Bollerslev, T. (1998a). Answering the skeptics: Yes, standard volatility. v. n. models do provide accurate forecasts. International Economic Review 39(4):885-905.. Ch. engchi. i n U. 5. Andersen, T. G., Bollerslev, T. (1998b). Deutsche Mark-Dollar Volatility: Intraday Activity Patterns,Macroeconomic Announcements, and Longer Run Dependencies. Journal of Finance 53(1): 219-265.. 6. Andersen, T. G., Bollerslev, T., Diebold, F. X., Labys, P. (1999), (Understanding, Optimizing, Using and Forecasting) Realized Volatility and Correlation, New York University, Leonard N. Stern School Finance Department Working Paper Seires with number 99-061. - 41 -.

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參考文獻

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