數、數線與數的四則運算

(1)

數、數線與數的四則運算

【正數與負數】：

負數的產生，其實是因為有相對的量產生，而由人為賦予的意義。我們都將比基準點 0 高、大或增加的當正數，所以正數大於 0，用「＋」表示，讀作「正」，而「＋」常可省略；比基準點 0 低、小、或減少的當負數，所以負數小於 0，用「－」表示，

讀作「負」。

【範例】：如我們把溫度比 0℃高的當正，如零上 5 度用＋5℃表示，只用 5℃表示即可，把比 0℃低的當負，如零下 3 度用-3℃ 表示。

【數線】：

畫一直線，在線上任取一點作為「原點」，標示為 0。令右邊的方向為此數線的「正向」，

並標上箭頭表示。在數線上由原點依「相同的間隔」，依序向右標示 1，2，3，4，…等，

向左標示-1，-2，-3，-4，…等，此「相同的間隔」即為單位長。

圖示如下：

【相反數】：

在數線上除原點外，與原點距離相等，但方向相反的兩個點所代表的數，互為相反數。

【範例】：2 的相反數為-2，

3

- 1 的相反數為 3 1 。

※注意：0 的相反數為 0，兩相反數的和必為 0。

【對稱中點座標公式】：

在數線上任意兩點 A(a)和 B(b)，則線段 AB 的對稱中點座標為 C，則 C 的座標為：( 2

b

a + )。在此| AC |＝| CB |

【正負數的四則運算】： (1)正負數的加減法：

正數 ± 正數：(＋ a ) ± (＋b)＝＋( a ± b) 負數 ± 負數：(－ a ) ± (－b)＝－( a ± b) 正數 ± 負數：(＋ a ) ± (－b)＝＋( a m b)

負數 ± 正數：(－ a ) ± (＋b)＝－[(＋ a ) ± (－b)]＝－( a m b)

0 1

1

2

3 A 2 正向

原點

2 2 1

(2)

(2)正負數的乘除法：

1.同號數相乘除其結果仍為正數：(＋ a ) × (＋b)＝ab；(－ a ) × (－b)＝ab。 2.異號數相乘除其結果為負數：(－ a ) × (＋b)＝－ab；(＋ a ) × (－b)＝－ab

口訣＝負正得負；負負得正 (3)正負分數的四則運算：

【範例】：正、負分數的加法：

(－ 7

2 )＋(－

3

1 )＝(－

21

6 )＋(－

21

7 )＝－( ⁶⁺⁷

21 )＝－ ¹³ 21 。

【範例】：正、負分數的減法：

(－ ⁴

5 )－(－ ³

4 )＝(－ ¹⁶

20 )－(－ ¹⁵

20 )＝－ ¹⁶ 20 ＋ ¹⁵

20 ＝－ ¹ 20 。

【範例】：正、負分數的乘法：

(－ 9 4 )×

12

7 ＝－( ^{4 7} 9 12

´

´ )＝－( ^{1 7} 9 3

´

´ )＝－ ⁷ 27 (－ 8

5 )×(－

15 4 )＝

15 8

4 5

´

´ ＝ 3 2

1 1

´

´ ＝ 6 1 。

【範例】：正、負分數的除法：

1.若兩數相乘等於 1，則稱此兩數互為倒數。

2.除以一個分數等於乘上此分數的倒數， ^b ^d

a ¸ c ＝ ^b ^c

a´ d ＝ ^{b c} a d

´

´ 。例如：(1) (－

7 3 )÷ ⁴

5 ＝－(

7 3 ×

4

5 )＝－ ¹⁵

28 ，其中 ⁴

5 的倒數為 ⁵ 4 。 (2) 9

4 ÷(－

15 2 )＝

9 4 ×(－

2

15 )＝－(

9 4 ×

2

15 )＝－

3 5 ，其中－ 15

2 的倒數為－

2 15 。 (4)分數與小數的混合四則運算：

通常是先將小數化成分數的形式，再作四則運算。

【範例】： (1) 2.25×(－

15

1 )＝？ (2) (－1.2)×

5 1 ÷(－

3

2 )＝？

解： (1) 2.25×(－

15

1 )＝－(2.25×

15

1 )＝－0.15 (2) (－1.2)×

5 1 ÷(－

3 2 )＝

10 12 ×

5 1 ×

2 3 ＝

5 3 ×

5 1 ×

1 3 ＝

25 9

(3)

【範例】：數線上有 A、B 兩點，則 A 點到 B 點的長度或距離用

AB

^表示。

AB

＝|A－B|下面數線 A(－7)、B(－4)，

則：

AB

＝|(－7)－(－4)|＝|－3|＝3，

或是：

AB

＝|(－4)－(－7)|＝|－4＋7|＝|3|＝3，

【範例】：若| a | ＝ 4，則 a ＝ 4 或－4。

【範例】：數線上絕對值小於 5 的整數有哪些？

解：| x |＜5 ，－5＜ x ＜5 ，

故有整數－4、－3、－2、－1、0、1、2、3、4。

※重點：1.| x |＝|－ x |，例如：|3|＝|－3|。

2.| x | ³ 0，例如：|3|＝|－3|＝3 ＞ 0。

3.| x |＝

î í ì

<

-

³ 0 0 x x

x x

如果

如果。

4.| x －y|＝|y－ x |，例如：|3－2|＝|2－3|＝1。

【指數律】：

(1)指數律運算規則：

若 m、n 都是正整數(或 0)，且 m ³ n、 a ≠0、b≠0，則：

1. a ^m × a ＝ ⁿ a ^m⁺ⁿ。 2. a ^m ÷ a ＝ ⁿ a ^m^-ⁿ。 3. a ^-ⁿ＝

a n

1 (因為

a n

1 ＝ a ÷ ⁰ a ＝ 1 ÷ ⁿ a ＝ ⁿ a ^{0 n}^- ＝ a ^-ⁿ)。

4. ( a ) ^m ⁿ ＝ a ^{m n}^´ 。 5. ( a × b) ^m ＝ a ^m × b 。 ^m

※注意：( a ) ³÷( a ) ³＝

a a a

´

´ ＝ 1 ＝( a ) ^{3 -}³＝ a ，因此我們規定 ⁰ a ＝1。 ⁰ (2)有關乘方(或次方)正負數的判別：

1. 若 n 為偶數，則(－ a ) ⁿ＞0。 2. 若 n 為奇數，則(－ a ) ⁿ＜0。

(3)底數為分數的運算：

【範例】：請求出下列各題的解：

(1) (－

2 1 ) ⁴×(

3 4 ) ²÷(

5

3 ) ² (2) [(

2 1 ) ²] ⁴

解：(1) (－

2 1 ) ⁴×(

3 4 ) ²÷(

5

3 ) ²＝ ₄ 2

1 × ₂

2

3 4 × ₂

2

3

5 ＝ ₂ ₂

2

3 3

5

´ ＝ ₄

2

3 5 (2) [(

2

1 ) ²] ⁴＝(

2

1 ) ⁸＝ ₈ 2

1

7

A B

4

(4)

【科學記號】：

將一個數紀錄成 a×10 ⁿ，其中 1 £ a＜10，且 a 用小數表示，而 n 為整數，這樣的記法 我們稱為科學記號。

科學記號的運算：

（1）乘、除的運算是利用指數律去做運算，其方法如下：

( a ×10 ⁿ)×(b×10 ^m)＝ab×10 ⁿ⁺^m，( a ×10 ⁿ)÷(b×10 ^m)＝

b

a × 0 ^n-^m。

（2）做加、減運算時，須化為 10 的同次方數，再合併前面的數字，其方法如下：

( a × 0 ⁿ) ± (b×10 ⁿ)＝( a ± b)×10 ⁿ。

【範例】：請用科學計號來表示下列各題答案：

(1) 0.000133 1250000 0.25 0.35 0.0000005 75

. 4

´

´ (2)

1500 0.0067 0.00000007

0.028 3015000

´

解：(1) 將分子與分母約分到最簡分數：

原式＝ 0.0001 50000 1 1 0.0000001 1

´

´ ＝

5 10 ⁷

＝0.2× 10 ＝2× ⁷ 10 ⁸ (2) 將分子與分母約分到最簡分數：

原式＝ 0.00000001 0.0001 1 0.001 120

´

´ ＝ ₉ 10

120 ＝120× 10 ＝1.2× ⁹ 10 ¹¹

1. 化簡 ) ( 2 ) ( 4 ) 3

( 2

4 ¸ - ³´ - + - ² 之後，可得下列哪一個結果？【90 年第二次基測】

(A) - 31 (B) - 23 (C) 11 (D) 43。

2. 計算 ³ ) ( 3 ) ² 16

( 3 2 ) ( 1

4 ¸ - ´ - + - 之值為何？【91 年第一次基測】

(A) 3 (B) 15 (C) 32

285 (D) 32 291 。

(5)

3. 計算 9 + ( - 2 ) ´ [ 18 - ( - 3 ) ´ 2 ] ¸ 4 之值為何？【91 年第二次基測】

(A) - 3 (B) 3 (C) 21 (D) 42。

4. 已知甲

8 2 3 -

= 、乙

8 2 + 3 -

= 、丙 = - 1 . 375 ，請問下列哪一個選項是正確的？

(A)甲=乙 (B)乙=丙 (C)甲 < 乙 < 丙 (D)甲 < 丙 < 乙。【91 年第二次基測】

5. 下列敘述何者正確？【91 年第二次基測】

(A) 2 ³- ( - 2 ) ³= 0 (B) 2 ⁴- ( - 2 ⁴) = 0 (C) ( - 2 ) ³- ( - 2 ³) = 0 (D) ( - 2 ) ⁴- ( - 2 ⁴) = 0

6. 求

8 ) 3 3 1 ( 1 3 ) 1 1

( + ¸ - ´ 之值為何？【92 年第一次基測】

(A) 4 - 3 (B)

8

- 3 (C) 3

- 1 (D) 3 - 16

(6)

7. 在圖(一)的數線上，O為原點，數線上的點P、 Q 、R、S 所表示的數分別為 a 、b、 c 、d 。請問下列哪一個大小關係是不正確的？【92 年第一次基測】

(A) a < d (B) b = c (C) a > b (D) 0 < b 。

8. 在數線上，O為原點，A點的坐標為 a ，B點的坐標為b。利用下列三個已知條件，判斷 A、B、O三點在數線上的位置關係。

已知條件： 1. a + b < 0 ；2. a - b > 0 ；3. ab > 0 ，下列圖形何者正確？【92 年第二次基測】

(A) (B) (C) (D)

9. 求 ) ]

2 1 8 ( 3 4 [ 7 5 2 4

9 1 - ´ - -

- 之值為何？【92 年第二次基測】

(A) - 10 (B) 10

- 99 (C) 2

- 7 (D) 5 - 43 。

P Q O R S

a b 0 1 c d

圖(一)

A B O B O A

B A O O B A

(7)

10. 計算（1－

2

1 ）÷（1－

3

1 ）÷（1－

4

1 ）÷（1－

5

1 ）之值＝？【92 中山國中】

11. 已知甲 8 4 3

= 、乙

8 4 ´ 3

= 、丙

8 4 + 3

= ，比較甲、乙、丙三數的大小，下列敘述何者正確？

(A) 甲=乙 (B) 甲=丙 (C) 甲＜乙 (D) 甲＜丙。【93 年第一次基測】

12. 求（

7 - 1 ）

42

¸ 1 ´ ¸ 6 5 (

8

- 5 ) 之值為何？【93 年第一次基測】

(A) 8 (B) - 8 (C) 25

288 (D)

25 - 288

13. 計算 [ - ( - 3 ) ²+ 3 ] ¸ 6 - 4 之值為何﹖ 【93 年第二次基測】

(A) - 2 (B) - 3 (C) - 5 (D) - 6

14. 計算 )

3 1 9 ( 1 18 ) 9 (

3 ´ - - ´ - 之值為何？【94 年第一次基測】

(A) - 31 (B) - 23 (C) - 10 (D) 10

(8)

15. 7 3 1 ÷1

5

2 可表示成下列哪一個式子？【94 年第一次基測】

(A) 7×

3 1 ¸ 1×

5

2 (B) ( 7＋

3

1 ) ¸ ( 1＋

5

2 ) (C) 7＋

3 1 ¸ 1＋

5

2 (D) ( 7 × 3

1 ) ¸ ( 1 × 5 2 )。

16. 用科學符號（即科學記號）可將 1234 表示成「1.234×10 ³」。若 A 的科學符號可表示成

「1.23456×10 ⁸」，則 A 為幾位數？ 【94 年第一次基測】

(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 。

17. 計算 3 7 6 ( +2 )

8 ¸ 11 的過程，下列哪一個是正確的？【94 年第二次基測】

(A) 9 7 9 11 9 1 ( +2 ) +

4 ¸ 11 = 4 ´ 7 4 ´ 2 (B) 9 7+22 9 11 ( )

4 ¸ 11 = 4 ´ 29 (C) 51 7 51 11 51 1

( +2 ) +

8 ¸ 11 = 8 ´ 7 8 ´ 2 (D) 51 7 22 51 11 ( )

8 11 8 29

¸ + = ´

(9)

18. 有紅色和白色兩種卡片共 84 張，甲、乙兩人各拿 42 張。若甲所拿的卡片中，有 7 3 是

紅色的；乙拿的紅色卡片是甲拿到紅色卡片的 3

2 ，則此 84 張卡片中有幾張是紅色的？

(A) 30 (B) 45 (C) 52 (D) 54 。【94 年第二次基測】

19. )

5 4 3 ( ) 25 . 1

( - ¸ - 可表示成下列哪一個式子？【模擬 94 年第一次基測】

(A) 5

) 3 4 ( ) 25 . 0 1

( - + ¸ - ´ (B) )

5 4 3 ( ) 25 . 0 1

( - - ¸ - -

(C) )

5 ( 3 ) 4 ( ) 25 . 0 ( ) 1

( - + - ¸ - + - (D) ) 5 4 3 ( ) 25 . 0 1

( - ´ ¸ - ´

20. 計算 )

6 25 5 . 1 ( 12 18 ) ( 7 36 .

0 ´ - + ´ - 之值為何？【模擬 94 年第一次基測】

(A) 3 . 15 (B) 4 . 86 (C) - 2 . 45 (D) - 3 . 75 。

21. 計算 0 . 00899 ²- 0 . 00101 ²之值後，用科學符號 ( 即科學記號 ) 表示之，則為下列何者？

(A) 7 . 98 ´ 10 ^-⁵ (B) 7 . 98 ´ 10 ^-⁶ (C) 8 . 88 ´ 10 ^-⁵ (D) 8 . 98 ´ 10 ^-⁶ 【模擬 94 年第一次基測】

(10)

22. 用科學符號（即科學記號）可將 1234 表示成「 1 . 234 ´ 10 ³」。若A的科學符號可表示成「 7 . 82 ´ 10 ³」，B的科學符號可表示成「 8 . 42 ´ 10 ³」，則 A ´ B 為幾位數？

(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 。【模擬 94 年第一次基測】

23. 計算 1

4.25 (3.375 )

¸ - 2 的過程，下列哪一個是正確的？【模擬 94 年第二次基測】

(A) 9 27 1 9 8 9 2

( )

2 ¸ 8 - 2 = 2 ´ 27 - 2 ´ 1 (B) 9 27 4 9 8 ( )

2 8 2 23

¸ - = ´

(C) 17 27 4 17 8 17 8 ( )

4 8 4 27 4 4

¸ - = ´ - ´ (D) 17 27 4 17 8 ( )

4 8 4 23

¸ - = ´

24. 如右圖，每個小三角形的面積都相等，已知陰影部分的面積為 15 4

3 平方公分，求

空白部分的面積是多少平方公分？(6 分) 【94 中山國中】

25. 下列哪一個式子是錯誤的？【95 年第一次基測】

（A） 45

4 25

2 35

3 45

4 35

3 25

2 + + = + + （B）

35 3 45

4 25

2 45

4 35

3 25

2 - - = - -

（C） 2 3 4 4 3 2

´

=

´

´ （D） 2 3 4 3 2 4

¸

=

¸

(11)

26. 下列何者為 25

2 的科學符號（即科學記號）？【95 年第一次基測】

（A） 8 ´ 10 ^-¹ （B） 8 ´ 10 ^-² （C） 2 . 3 ´ 10 ^-¹ （D） 2 . 3 ´ 10 ^-² 。

27. 計算 ( - 12 ) + ( - 18 ) ¸ ( - 6 ) - ( - 3 ) ´ 2 之值為何？【95 年第一次基測】

（A） - 15 （B） - 3 （C）11 （D）16 。

28. 有甲、乙兩種長方形紙板各若干張，其中甲的長為 85 公分，寬為 30 公分；乙的長為 85 公分，寬為 40 公分，如圖（十一）所示。今依同種紙板不相鄰的規則，將所有紙板由左至右緊密排成圖（十二）的長方形ABCD，則下列哪一個選項可能是 AD 的長度？

（A）770 公分（B）800 公分（C）810 公分（D）980 公分。【95 年第一次基測】

29. 圖（二）為五個公車站P、O、 Q 、R、S 在某一筆直道路上的位置。今有一公車距離 P站 4.3 公里，距離 Q 站 0.6 公里，則此公車的位置會在哪兩站之間？

（A）R站與S 站（B）P站與O站（C）O站與 Q 站（D） Q 站與R站

【95 年第一次基測】

P O Q R S

-1.3 0 2.4 3.7 5.0

圖(二)

單位(公里) A

B C

D

圖(十二) ...

甲乙

30 40

85 85

圖(十一)

(12)

30. 計算 ^{11 3}^- ²^´_ë^é²^{- -}

( )

³ ²_û^ù⁺⁶^{之值為何？} 【95 年第二次基測】

(A) - 82 (B) - 8 (C) 28 (D) 80 。

31. 已知 n 滿足

13 . 8

13 . 16 24 . 7 n =

。若將 n 描在數線上，則下列哪一個數在數線上的位置 最接近 n ？【95 年第二次基測】

(A) 12.24 (B) 13.13 (C) 14.25 (D) 15.24

32. 計算 )

8 ( 9 ) 3 ( 2 ) 6 ( 4 ) ( 5 ) 12

( - + - ¸ - ¸ - - ´ - 之值為何？【模擬 95 年第一次基測】

（A） 48

8 23 （B）

48 8 23

- （C）

48 8 25

- （D）

48 8 35 - 。

(13)

33. 下列何者為 7 10 +8 10 ´ ² ´ ²的科學符號（即科學記號）？【模擬 95 年第一次基測】

（A） 7.8 10 ´ ² （B） 15 10 ´ ³ （C） 1.5 10 ´ ² （D） 1.5 10 ´ ³。

34. 計算 - 5 - 3 - 6 ´ ( - 2 ) - 3 之值為何？【模擬 95 年第二次基測】

(A) - 2 (B) 2 (C) 3 (D) 4 。

35. 已知 n 滿足

07 . 9

15 . 18 15 . 2 m =

。若將 m 描在數線上，則下列哪一個數在數線上的位置

最接近 m ？ 【模擬 95 年第二次基測】

(A) 3 . 41 (B) 4 . 25 (C) 5 . 42 (D) 6 . 31 。

36. 計算 2 3 1 －

2 3 ÷（-

5

8 ）之值為何？【96 年第二次基測】

（A） 16

71 （B）

16

41 （C）

16

39 （D）- 4 5

(14)

37. 計算 6 + 5 + 4 - 10 + 11 - ( 20 - 9 ) 的值為何？

38. 計算

2 6

3

25 9 9 25 3 5 5

3 ÷

ø ç ö è

÷ æ ø ç ö è

æ 的値：

39. 比較各數的大小 2 ^-²⁰、4 ^-¹²、8 ^-⁶。

40. 比較各數的大小- 4 、- ⁴⁴ 2 、- ⁶⁶ 3 。 ⁵⁵

41. 曖曖用 500 倍顯微鏡觀察細胞，測得在鏡中細胞的長度為 0.3 公厘，而細胞之真實大小為 6 × 10 ⁿ公分，則 n＝？

42. 計算 ^3.125^´^0.0003^´^0.8 的值為何？ (以科學記號表示)