數、數線與數的四則運算
【正數與負數】:
負數的產生,其實是因為有相對的量產生,而由人為賦予的意義。我們都將比基準點 0 高、大或增加的當正數,所以正數大於 0,用「+」表示,讀作「正」,而「+」常 可省略;比基準點 0 低、小、或減少的當負數,所以負數小於 0,用「-」表示,
讀作「負」。
【範例】:如我們把溫度比 0℃高的當正,如零上 5 度用+5℃表示,只用 5℃表示 即可,把比 0℃低的當負,如零下 3 度用-3℃ 表示。
【數線】:
畫一直線,在線上任取一點作為「原點」,標示為 0。令右邊的方向為此數線的「正向」,
並標上箭頭表示。在數線上由原點依「相同的間隔」,依序向右標示 1,2,3,4,…等,
向左標示-1,-2,-3,-4,…等,此「相同的間隔」即為單位長。
圖示如下:
【相反數】:
在數線上除原點外,與原點距離相等,但方向相反的兩個點所代表的數,互為相反數。
【範例】:2 的相反數為-2,
3
- 1 的相反數為 3 1 。
※注意:0 的相反數為 0,兩相反數的和必為 0。
【對稱中點座標公式】:
在數線上任意兩點 A(a)和 B(b),則線段 AB 的對稱中點座標為 C,則 C 的座標 為:( 2
b
a + )。在此| AC |=| CB |
【正負數的四則運算】: (1)正負數的加減法:
正數 ± 正數:(+ a ) ± (+b)=+( a ± b) 負數 ± 負數:(- a ) ± (-b)=-( a ± b) 正數 ± 負數:(+ a ) ± (-b)=+( a m b)
負數 ± 正數:(- a ) ± (+b)=-[(+ a ) ± (-b)]=-( a m b)
0 1
1
2
3 A 2 正向
原點
2 2 1
(2)正負數的乘除法:
1.同號數相乘除其結果仍為正數:(+ a ) × (+b)=ab;(- a ) × (-b)=ab。 2.異號數相乘除其結果為負數:(- a ) × (+b)=-ab;(+ a ) × (-b)=-ab
口訣=負正得負;負負得正 (3)正負分數的四則運算:
【範例】:正、負分數的加法:
(- 7
2 )+(-
3
1 )=(-
21
6 )+(-
21
7 )=-( 6+7
21 )=- 13 21 。
【範例】:正、負分數的減法:
(- 4
5 )-(- 3
4 )=(- 16
20 )-(- 15
20 )=- 16 20 + 15
20 =- 1 20 。
【範例】:正、負分數的乘法:
(- 9 4 )×
12
7 =-( 4 7 9 12
´
´ )=-( 1 7 9 3
´
´ )=- 7 27 (- 8
5 )×(-
15 4 )=
15 8
4 5
´
´ = 3 2
1 1
´
´ = 6 1 。
【範例】:正、負分數的除法:
1.若兩數相乘等於 1,則稱此兩數互為倒數。
2.除以一個分數等於乘上此分數的倒數, b d
a ¸ c = b c
a´ d = b c a d
´
´ 。 例如:(1) (-
7 3 )÷ 4
5 =-(
7 3 ×
4
5 )=- 15
28 ,其中 4
5 的倒數為 5 4 。 (2) 9
4 ÷(-
15 2 )=
9 4 ×(-
2
15 )=-(
9 4 ×
2
15 )=-
3 5 , 其中- 15
2 的倒數為-
2 15 。 (4)分數與小數的混合四則運算:
通常是先將小數化成分數的形式,再作四則運算。
【範例】: (1) 2.25×(-
15
1 )=? (2) (-1.2)×
5 1 ÷(-
3
2 )=?
解 : (1) 2.25×(-
15
1 )=-(2.25×
15
1 )=-0.15 (2) (-1.2)×
5 1 ÷(-
3 2 )=
10 12 ×
5 1 ×
2 3 =
5 3 ×
5 1 ×
1 3 =
25 9
【範例】:數線上有 A、B 兩點,則 A 點到 B 點的長度或距離用
AB
表示。AB
=|A-B|下面數線 A(-7)、B(-4),則:
AB
=|(-7)-(-4)|=|-3|=3,或是:
AB
=|(-4)-(-7)|=|-4+7|=|3|=3,【範例】:若| a | = 4,則 a = 4 或 -4。
【範例】:數線上絕對值小於 5 的整數有哪些?
解 :| x |<5 , -5< x <5 ,
故有整數-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4。
※重點:1.| x |=|- x |,例如:|3|=|-3|。
2.| x | ³ 0,例如:|3|=|-3|=3 > 0。
3.| x |=
î í ì
<
-
³ 0 0 x x
x x
如果
如果 。
4.| x -y|=|y- x |,例如:|3-2|=|2-3|=1。
【指數律】:
(1)指數律運算規則:
若 m、n 都是正整數(或 0),且 m ³ n、 a ≠0、b≠0,則:
1. a m × a = n a m+ n 。 2. a m ÷ a = n a m- n 。 3. a - n =
a n
1 (因為
a n
1 = a ÷ 0 a = 1 ÷ n a = n a 0 n - = a - n )。
4. ( a ) m n = a m n ´ 。 5. ( a × b) m = a m × b 。 m
※注意:( a ) 3 ÷( a ) 3 =
a a a
a a a
´
´
´
´ = 1 =( a ) 3 - 3 = a ,因此我們規定 0 a =1。 0 (2)有關乘方(或次方)正負數的判別:
1. 若 n 為偶數,則(- a ) n >0。 2. 若 n 為奇數,則(- a ) n <0。
(3)底數為分數的運算:
【範例】:請求出下列各題的解:
(1) (-
2 1 ) 4 ×(
3 4 ) 2 ÷(
5
3 ) 2 (2) [(
2 1 ) 2 ] 4
解 :(1) (-
2 1 ) 4 ×(
3 4 ) 2 ÷(
5
3 ) 2 = 4 2
1 × 2
2
3 4 × 2
2
3
5 = 2 2
2
3 3
5
´ = 4
2
3 5 (2) [(
2
1 ) 2 ] 4 =(
2
1 ) 8 = 8 2
1
7
A B
4
【科學記號】:
將一個數紀錄成 a×10 n ,其中 1 £ a<10,且 a 用小數表示,而 n 為整數,這樣的記法 我們稱為科學記號。
科學記號的運算:
(1) 乘、除的運算是利用指數律去做運算,其方法如下:
( a ×10 n )×(b×10 m )=ab×10 n+ m ,( a ×10 n )÷(b×10 m )=
b
a × 0 n- m 。
(2) 做加、減運算時,須化為 10 的同次方數,再合併前面的數字,其方法如下:
( a × 0 n ) ± (b×10 n )=( a ± b)×10 n 。
【範例】:請用科學計號來表示下列各題答案:
(1) 0.000133 1250000 0.25 0.35 0.0000005 75
. 4
´
´
´
´ (2)
1500 0.0067 0.00000007
0.028 3015000
´
´
´
解 :(1) 將分子與分母約分到最簡分數:
原式= 0.0001 50000 1 1 0.0000001 1
´
´
´
´ =
5 10 7
=0.2× 10 =2× 7 10 8 (2) 將分子與分母約分到最簡分數:
原式= 0.00000001 0.0001 1 0.001 120
´
´
´ = 9 10
120 =120× 10 =1.2× 9 10 11
1. 化簡 ) ( 2 ) ( 4 ) 3
( 2
4 ¸ - 3 ´ - + - 2 之後,可得下列哪一個結果?【90 年第二次基測】
(A) - 31 (B) - 23 (C) 11 (D) 43。
2. 計算 3 ) ( 3 ) 2 16
( 3 2 ) ( 1
4 ¸ - ´ - + - 之值為何? 【91 年第一次基測】
(A) 3 (B) 15 (C) 32
285 (D) 32 291 。
3. 計算 9 + ( - 2 ) ´ [ 18 - ( - 3 ) ´ 2 ] ¸ 4 之值為何?【91 年第二次基測】
(A) - 3 (B) 3 (C) 21 (D) 42。
4. 已知甲
8 2 3 -
= 、乙
8 2 + 3 -
= 、丙 = - 1 . 375 ,請問下列哪一個選項是正確的?
(A)甲=乙 (B)乙=丙 (C)甲 < 乙 < 丙 (D)甲 < 丙 < 乙 。 【91 年第二次基測】
5. 下列敘述何者正確? 【91 年第二次基測】
(A) 2 3 - ( - 2 ) 3 = 0 (B) 2 4 - ( - 2 4 ) = 0 (C) ( - 2 ) 3 - ( - 2 3 ) = 0 (D) ( - 2 ) 4 - ( - 2 4 ) = 0
6. 求
8 ) 3 3 1 ( 1 3 ) 1 1
( + ¸ - ´ 之值為何? 【92 年第一次基測】
(A) 4 - 3 (B)
8
- 3 (C) 3
- 1 (D) 3 - 16
7. 在圖(一)的數線上,O為原點,數線上的點P、 Q 、R、S 所表示的數分別為 a 、b、 c 、d 。請問下列哪一個大小關係是不正確的? 【92 年第一次基測】
(A) a < d (B) b = c (C) a > b (D) 0 < b 。
8. 在數線上,O為原點,A點的坐標為 a ,B點的坐標為b。利用下列三個已知條件,判斷 A、B、O三點在數線上的位置關係。
已知條件: 1. a + b < 0 ;2. a - b > 0 ;3. ab > 0 ,下列圖形何者正確?【92 年第二次基測】
(A) (B) (C) (D)
9. 求 ) ]
2 1 8 ( 3 4 [ 7 5 2 4
9 1 - ´ - -
- 之值為何? 【92 年第二次基測】
(A) - 10 (B) 10
- 99 (C) 2
- 7 (D) 5 - 43 。
P Q O R S
a b 0 1 c d
圖(一)
A B O B O A
B A O O B A
10. 計算(1-
2
1 )÷(1-
3
1 )÷(1-
4
1 )÷(1-
5
1 )之值=? 【92 中山國中】
11. 已知甲 8 4 3
= 、乙
8 4 ´ 3
= 、丙
8 4 + 3
= ,比較甲、乙、丙三數的大小,下列敘述何者正確?
(A) 甲=乙 (B) 甲=丙 (C) 甲<乙 (D) 甲<丙 。 【93 年第一次基測】
12. 求(
7 - 1 )
42
¸ 1 ´ ¸ 6 5 (
8
- 5 ) 之值為何? 【93 年第一次基測】
(A) 8 (B) - 8 (C) 25
288 (D)
25 - 288
13. 計算 [ - ( - 3 ) 2 + 3 ] ¸ 6 - 4 之值為何﹖ 【93 年第二次基測】
(A) - 2 (B) - 3 (C) - 5 (D) - 6
14. 計算 )
3 1 9 ( 1 18 ) 9 (
3 ´ - - ´ - 之值為何? 【94 年第一次基測】
(A) - 31 (B) - 23 (C) - 10 (D) 10
15. 7 3 1 ÷1
5
2 可表示成下列哪一個式子? 【94 年第一次基測】
(A) 7×
3 1 ¸ 1×
5
2 (B) ( 7+
3
1 ) ¸ ( 1+
5
2 ) (C) 7+
3 1 ¸ 1+
5
2 (D) ( 7 × 3
1 ) ¸ ( 1 × 5 2 )。
16. 用科學符號(即科學記號)可將 1234 表示成「1.234×10 3 」。若 A 的科學符號可表示成
「1.23456×10 8 」,則 A 為幾位數? 【94 年第一次基測】
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 。
17. 計算 3 7 6 ( +2 )
8 ¸ 11 的過程,下列哪一個是正確的? 【94 年第二次基測】
(A) 9 7 9 11 9 1 ( +2 ) +
4 ¸ 11 = 4 ´ 7 4 ´ 2 (B) 9 7+22 9 11 ( )
4 ¸ 11 = 4 ´ 29 (C) 51 7 51 11 51 1
( +2 ) +
8 ¸ 11 = 8 ´ 7 8 ´ 2 (D) 51 7 22 51 11 ( )
8 11 8 29
¸ + = ´
18. 有紅色和白色兩種卡片共 84 張,甲、乙兩人各拿 42 張。若甲所拿的卡片中,有 7 3 是
紅色的;乙拿的紅色卡片是甲拿到紅色卡片的 3
2 ,則此 84 張卡片中有幾張是紅色的?
(A) 30 (B) 45 (C) 52 (D) 54 。 【94 年第二次基測】
19. )
5 4 3 ( ) 25 . 1
( - ¸ - 可表示成下列哪一個式子?【模擬 94 年第一次基測】
(A) 5
) 3 4 ( ) 25 . 0 1
( - + ¸ - ´ (B) )
5 4 3 ( ) 25 . 0 1
( - - ¸ - -
(C) )
5 ( 3 ) 4 ( ) 25 . 0 ( ) 1
( - + - ¸ - + - (D) ) 5 4 3 ( ) 25 . 0 1
( - ´ ¸ - ´
20. 計算 )
6 25 5 . 1 ( 12 18 ) ( 7 36 .
0 ´ - + ´ - 之值為何? 【模擬 94 年第一次基測】
(A) 3 . 15 (B) 4 . 86 (C) - 2 . 45 (D) - 3 . 75 。
21. 計算 0 . 00899 2 - 0 . 00101 2 之值後,用科學符號 ( 即科學記號 ) 表示之,則為下列何者?
(A) 7 . 98 ´ 10 - 5 (B) 7 . 98 ´ 10 - 6 (C) 8 . 88 ´ 10 - 5 (D) 8 . 98 ´ 10 - 6 【模擬 94 年第一次基測】
22. 用科學符號(即科學記號)可將 1234 表示成「 1 . 234 ´ 10 3 」。若A的科學符號可表 示成「 7 . 82 ´ 10 3 」,B的科學符號可表示成「 8 . 42 ´ 10 3 」,則 A ´ B 為幾位數?
(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 。 【模擬 94 年第一次基測】
23. 計算 1
4.25 (3.375 )
¸ - 2 的過程,下列哪一個是正確的? 【模擬 94 年第二次基測】
(A) 9 27 1 9 8 9 2
( )
2 ¸ 8 - 2 = 2 ´ 27 - 2 ´ 1 (B) 9 27 4 9 8 ( )
2 8 2 23
¸ - = ´
(C) 17 27 4 17 8 17 8 ( )
4 8 4 27 4 4
¸ - = ´ - ´ (D) 17 27 4 17 8 ( )
4 8 4 23
¸ - = ´
24. 如右圖,每個小三角形的面積都相等,已知陰影部分的面積為 15 4
3 平方公分,求
空白部分的面積是多少平方公分?(6 分) 【94 中山國中】
25. 下列哪一個式子是錯誤的? 【95 年第一次基測】
(A) 45
4 25
2 35
3 45
4 35
3 25
2 + + = + + (B)
35 3 45
4 25
2 45
4 35
3 25
2 - - = - -
(C) 2 3 4 4 3 2
´
´
=
´
´ (D) 2 3 4 3 2 4
¸
¸
=
¸
¸
26. 下列何者為 25
2 的科學符號(即科學記號)? 【95 年第一次基測】
(A) 8 ´ 10 - 1 (B) 8 ´ 10 - 2 (C) 2 . 3 ´ 10 - 1 (D) 2 . 3 ´ 10 - 2 。
27. 計算 ( - 12 ) + ( - 18 ) ¸ ( - 6 ) - ( - 3 ) ´ 2 之值為何? 【95 年第一次基測】
(A) - 15 (B) - 3 (C)11 (D)16 。
28. 有甲、乙兩種長方形紙板各若干張,其中甲的長為 85 公分,寬為 30 公分;乙的長為 85 公分,寬為 40 公分,如圖(十一)所示。今依同種紙板不相鄰的規則,將所有紙板 由左至右緊密排成圖(十二)的長方形ABCD,則下列哪一個選項可能是 AD 的長度?
(A)770 公分 (B)800 公分 (C)810 公分 (D)980 公分。 【95 年第一次基測】
29. 圖(二)為五個公車站P、O、 Q 、R、S 在某一筆直道路上的位置。今有一公車距離 P站 4.3 公里,距離 Q 站 0.6 公里,則此公車的位置會在哪兩站之間?
(A)R站與S 站 (B)P站與O站 (C)O站與 Q 站 (D) Q 站與R站
【95 年第一次基測】
P O Q R S
-1.3 0 2.4 3.7 5.0
圖(二)
單位(公里) A
B C
D
圖(十二) ...
甲 乙
30 40
85 85
圖(十一)
30. 計算 11 3- 2 ´ëé2- -
( )
3 2 û ù + 6 之值為何? 【95 年第二次基測】(A) - 82 (B) - 8 (C) 28 (D) 80 。
31. 已知 n 滿足
13 . 8
13 . 16 24 . 7 n =
。若將 n 描在數線上,則下列哪一個數在數線上的位置 最接近 n ? 【95 年第二次基測】
(A) 12.24 (B) 13.13 (C) 14.25 (D) 15.24
32. 計算 )
8 ( 9 ) 3 ( 2 ) 6 ( 4 ) ( 5 ) 12
( - + - ¸ - ¸ - - ´ - 之值為何?【模擬 95 年第一次基測】
(A) 48
8 23 (B)
48 8 23
- (C)
48 8 25
- (D)
48 8 35 - 。
33. 下列何者為 7 10 +8 10 ´ 2 ´ 2 的科學符號(即科學記號)?【模擬 95 年第一次基測】
(A) 7.8 10 ´ 2 (B) 15 10 ´ 3 (C) 1.5 10 ´ 2 (D) 1.5 10 ´ 3 。
34. 計算 - 5 - 3 - 6 ´ ( - 2 ) - 3 之值為何? 【模擬 95 年第二次基測】
(A) - 2 (B) 2 (C) 3 (D) 4 。
35. 已知 n 滿足
07 . 9
15 . 18 15 . 2 m =
。若將 m 描在數線上,則下列哪一個數在數線上的位置
最接近 m ? 【模擬 95 年第二次基測】
(A) 3 . 41 (B) 4 . 25 (C) 5 . 42 (D) 6 . 31 。
36. 計算 2 3 1 -
2 3 ÷(-
5
8 )之值為何? 【96 年第二次基測】
(A) 16
71 (B)
16
41 (C)
16
39 (D)- 4 5
37. 計算 6 + 5 + 4 - 10 + 11 - ( 20 - 9 ) 的值為何?
38. 計算
2 6
3
25 9 9 25 3 5 5
3 ÷
ø ç ö è
÷ æ ø ç ö è
÷ æ ø ç ö è
÷ æ ø ç ö è
æ 的値:
39. 比較各數的大小 2 - 20 、4 - 12 、8 - 6 。
40. 比較各數的大小- 4 、- 44 2 、- 66 3 。 55
41. 曖曖用 500 倍顯微鏡觀察細胞,測得在鏡中細胞的長度為 0.3 公厘,而細胞之真實 大小為 6 × 10 n 公分,則 n=?
42. 計算 3.125 ´ 0.0003 ´ 0.8 的值為何? (以科學記號表示)