3-4 面積與二階行列式

(1)

製作老師：趙益男 / 基隆女中教師

發行公司：龍騰文化事業股份有限公司

Ch3 平面向量

3-4 面積與二階行列式

(2)

甲、克拉瑪公式與二階行列式

課本頁次： 202

1 1 1

2 2 2

a x b y c a x b y c

 

  







1 2 2 1 1 2 2 1

(a b  a b x c b)   c b

1 2 2 1

c b c b , x a b a b

 

  b2



 - b₁ 得 a1



 - a₂ 得 (a b1 2  a b y a c2 1)  1 2  a c2 1

1 2 2 1 0

a b  a b 

當時 , 聯立方程式恰有一組解

1 2 2 1

a c a c y a b a b

 



(3)

二階行列式

課本頁次： 203

a b

c d 稱為二階行列式，所代表的數為 ad  bc , 即

a a

c d

b  d  bc

例如 (1) ：

3 2

1 4  34  21  10

(4)

二階行列式

a b

c d 稱為二階行列式，所代表的數為 ad  bc , 即

a a

c d

b  d  bc

例如 (2) ：

1 2

4 3  13 24  5

課本頁次： 203

(5)

二階行列式

二元一次聯立方程式的解可以用二階行列式表示為

1 2 2 1

c b c b x a b a b

 

 ^{1 2} ^{2 1}

1 2 2 1

a c a c y a b a b

 

， 

1 2

1 2 1

2

x y

c a

a c

b b

 

  



2 1

2

a b1

a b

2 1

2

c b1

c b

 ²

1 2

a c1

a c

2 1

2

a b1

a b



課本頁次： 203

(6)

克拉瑪公式

設

x  x



y y

 

，

1 2

1 2 1

2

x y

c a

a c

b b

 

  



1

2 2

1

b a b

  a ¹ ¹

2 2

x

b b c

  c ¹

2 1

2 y .

c a

a c

，  

，恰有一組解，且其解為

時，二元一次聯立方程式

  0 當

課本頁次： 203

(7)

例 1

解：

課本頁次： 204

使用克拉瑪公式解聯立方程式 3

2 3

2 8 x y

x y



 

 



3

2 12 ,

  7

  8

3

2

1 14,

x

   

14 , 7 2 x x

  

 _y 77 1

y    

 



3

2 8 7

y 3

   

(8)

隨 1

解：

課本頁次： 204

使用克拉瑪公式解聯立方程式 1

1 2

3

5

1 2

x y x y





 

 



2 3

5

2 19,

    1

11

5

2 57,

x

   

57 , 19 3 x x

  



19 1 19

y  y

  



2 3

1

11 19

 y 

(9)

兩向量平行的判定

課本頁次： 204

為坐標平面上任意兩個非零向量。

2 1

2

1 0

x

x y

y  ; 反之亦成立 . 設



_a  ( , )x y₁ ₁ 與



_b  ( , )x y₂ ₂

若



_a _//



_b, 則

(10)

隨堂

解：

課本頁次： 204

已知向量



_a  (2,3) 與



_b  ( , )4 t ^平行，

求實數 t 的值 .

2t 12 0

   6

 t

∵



_a _//



b  2 4

3 0 t



 

(11)

幾何觀點

課本頁次： 205

平面上的兩直線 L a x b y c₁ : ₁  ₁  ₁ 與 L a x b y c₂ : ₂  ₂  ₂, 其法向量分別為



_n₁  ( , )a b₁ ₁ 和



n2  ( , )a b₂ ₂

(1) ¹ ¹

2 2

a b 0 a b

   



_n₁ 與



_n₂ _不平行 _.

 L 與 ₁ L₂ 不平行也不重合 .

 L 與 ₁ L₂ 必恰交一點 . 交點坐標為原聯立方程式的解



^{x y}^,



_{ }^ ^_{ }^x ^, ^^y ^_

 

1 1 1

2 2 2

 

  



(12)

幾何觀點

課本頁次： 205



_n₁  ( , )a b₁ ₁ 和



n2  ( , )a b₂ ₂

(2) ¹ ¹

2 2

a b 0 a b

   



_n₁ 與



n₂ _平行_.

1 1 1

2 2 2

 

  



例如： 2 4

2 5

x y x y

  

  



2 1 0

   2 1 

 兩直線平行 ( 聯立方程式無解 ).

 L 與 ₁ L₂ 平行或重合 .

(13)

幾何觀點

課本頁次： 205



_n₁  ( , )a b₁ ₁ 和



n2  ( , )a b₂ ₂

(2) ¹ ¹

2 2

a b 0 a b

   



_n₁ 與



n₂ _平行

1 1 1

2 2 2

 

  



例如： 2 4 4 2 8

x y x y

  

  



2 1 0

   4 2   兩線重合 ( 聯立方程式有無限多解 ).

2 4 ,

x t t R

y t

 

     

 L 與 ₁ L₂ 平行或重合 .

(14)

例 2

解：

課本頁次： 205

就實數 k ，討論聯立方程式

   

2 2 2

4

1 k 4 k k ,

k

  k     



²

  

4 4 2 ,

2

x k k k k k

k k

  k  

  

     

2 2 2

2

1 1

y

k

k k k k

k k

        





4 2

x y

k   k 

x  ky  k 的解﹒

(15)

例 2

解：

課本頁次： 206



^k ²

 

^k ^{2 ,}



    ^{ }_x ^{k k}



^ ^{2 ,}



^{ }_y



^k ^ ²

 

^k ^¹







4 2

kx  y k 

x  ky k 的解﹒

(1)   0  k 2 且 k  2

( 2) ( 2)( 2)

x k k

x k k

 

 

   k 2 ,

 k

 ( 2)( 1)

( 2)( 2)

y k k

  

 

   1 .

2 k

 k 



 聯立方程式恰有一組解



 

(16)

例 2

解：

課本頁次： 206



^k ²

 

^k ^{2 ,}



    ^{ }_x ^{k k}



^ ^{2 ,}



^{ }_y



^k ^ ²

 

^k ^¹







4 2

kx  y k 

(2)   0  k 2 = 2或 k 

 k  2 代入原聯立方程式，得 2 4 4

2 2 x y

x y

 

  



代表兩直線重合  聯立方程式有無限多組解 . 2 2 ,

x t

y t t

  

  

  

(17)

例 2

解：

課本頁次： 206



^k ²

 

^k ^{2 ,}



    ^{ }_x ^{k k}



^ ^{2 ,}



^{ }_y



^k ^ ²

 

^k ^¹







4 2

kx  y k 

(2)   0  k 2 = 2或 k 

 k  2 代入原聯立方程式，得 2 4 0

2 2

x y x y

  

   



代表兩直線平行  聯立方程式無解 .

(18)

隨 2

解：

 

2 3 ,

1

3 3

k k

k k k k k

       





² ³

 

³



1

2 3 1 ,

x k k k

k k

      

 





 

1 2

3 3 2

3 3 3

2 2

y k k k k

k k

k  k

    

  





1 kx y  

3kx  ky  2k  3 的解﹒

課本頁次： 206

(19)

隨 2

就實數 k ，討論聯立方程式 



1 kx y  

3kx  ky  2k  3 的解﹒ 解：



^{3 ,}



  k k     x



k ^{3 ,}



 y ²k k



 ³



(1)   0  k 0 且 k  3

( 3) ( 3)

x k

x k k

  

 

   1 ,

 k 2 ( 3)

( 3)

y k k

 

 

    2.

 聯立方程式恰有一組解



 

課本頁次： 206

(20)

隨 2



1 kx y  

3kx  ky  2k  3 的解﹒ 解：



^{3 ,}



  k k     x



k ^{3 ,}



 y ²k k



 ³



(2)   0  k 0 = 3或 k 

 k  0 代入原聯立方程式，得 1

0 3 y  

 



 聯立方程式無解 . ( 矛盾 )

課本頁次： 206

(21)

隨 2



1 kx y  

3kx  ky  2k  3 的解﹒ 解：



^{3 ,}



  k k     x



k ^{3 ,}



 y ²k k



 ³



(2)   0  k 0 = 3或 k 

 k  3 代入原聯立方程式，得

3 1

9 3 3

x y x y

   

   



代表兩直線重合  聯立方程式有無限多組解 .

1 3 ,

x t t

y t

 

     

課本頁次： 206

(22)

乙、二階行列式的性質

二階行列式 a b

c d 中，橫的稱為列 , 直的稱為行 ,

a b c d

第一行

第二行共有二列二行 , 其中

是第一行 , 是第二行 . ,

a c b d,

是第一列 , 是第二列 ; ,

a b c d,

a b c d 第一列

第二列

課本頁次： 206

(23)

乙、二階行列式的性質

(1) 行列互換其值不變，如 b

d c d

a a c

 b

(2) 兩行（兩列）對調 , 　其值變號，如 b

d c d

a

c b a

  ；

b

a c d

a

b

  c d

課本頁次： 206

(24)

乙、二階行列式的性質

(3) 任一行（列）可以提出同一個數，如

b b

d

kc d

ka k a

 c

(4) 兩行（兩列）成比例 , 其值為 0 ，如

a ka 0 c kc 

； ka kb 0 a b 

； c d a b

k k d

k

a b

 c

課本頁次： 207

(25)

乙、二階行列式的性質

(5) 將一行 ( 列）的 k 倍加到另一行（列） , 其值不變，如 a b

c d

a ka

c b

c d k

 



k

課本頁次： 207

a b c d

；

k a kc b kd

c d

 



(26)

乙、二階行列式的性質

(6) 若某一行 ( 列 ) 的每個元素可分成兩行 ( 列 ) 元素的和，

則此行列式可拆分為兩個行列式的和，如

a b a b

c c

b

d d

e

f d e

f

  



a b a b

c d c d

e f e f

c d

 

 

；

課本頁次： 207

(27)

例 3

解 ( 一 ) ：

求行列式 33 44

45 61 的值 . 33 44

45 61  33 6 1 44  45  33 解 ( 二 ) ：33 44 11 3 4

45 61 45

1 6 1

1

 

 3 4

11 45 61



3 4

45 3 15 61 4 15

11    

 11 3 41

 0   11 3 33 ( 15)

 

課本頁次： 207

(28)

隨 3

求行列式 1234 1236

1237 1239 的值 . 解： 1234 1236

1237 1239

1234 1236

1237 1234 1239 1236

 1234 1

3 236

 3 1234 1

3 236

1 1



 ( 1)



¹²³⁴ ⁶



3 123 6

    

課本頁次： 207

(29)

3 3

4 4

b a

d c

2 2

5 5 a

c

b d

  



例 4

已知 a b 3

c d  的值 .

解： 2 4 5 2 4 5 4 5

4 5 4 5

2 2

3

3 4 5

3

a a b a a b a b

c d c d c d

c c d

b b

d

   

 

   

，求 2 3 4 5 2 3 4 5

a b a b

c d c d

 

 ( 2) 5

 3

課本頁次： 208

(30)

3 3

4 4 b a d c 2

2

5 5

a b

c d

 

 

例 4

已知 a b 3

c d  的值 .

解： 2 4 5 2 4 5 4 5

4 5 4 5

2 2

3

3 4 5

3

a a b a a b a b

c d c d c d

c c d

b b

d

   

 

   

 

⁵

2 a b

 c d

   ^{ }



¹⁰



^{ }³ ¹²^

 

^³ ^ ^⁶⁶

，求 2 3 4 5 2 3 4 5

a b a b

c d c d

 

3 4 b a

 d c

 ( 2) 5

 3

課本頁次： 208

(31)

2 2

3 3

a b

c d



 4

4d

a b

 c 

隨 4

已知 a b 3

c d  的值 .

解： 2 3 4 3 4 2 3 4

3 4 3 4 2 3 4

2

a b a b

b b a b

c d c d c

d d

a

d a

c c

   

 



  

，求 2 3 4

2 3 4

a b a b

c d c d

 

 ( 3) 2

課本頁次： 208

(32)

4 4 a b

c d

 

隨 4

已知 a b 3

c d  的值 .

解： 2 3 4 3 4 2 3 4

3 4 3 4 2 3 4

2

a b a b

b b a b

c d c d c

d d

a

d a

c c

   

 



  

，求 2 3 4

2 3 4

a b a b

c d c d

 

 ( 3) 2

2 2

3 3 b a d c



4 a b

 c d  ^{( 2)}^ ^³ _{d c}^{b a} ^{   }⁴ ³ ⁽ ⁶⁾^

 

^³ ^ ³⁰

課本頁次： 208

(33)

丙、二階行列式的應用

設  ( , )a b 和  ( , )c d 為兩不平行向量 , 且其夾角為 ,

 與所張出的平行四邊形面積



v



u

sin

|



_v |



v



u



u

| |



v



u



u

| | ^|



v | sin

＝

＝ | |



u |



_v | 1 cos ² 

＝ ^|



u ^{| |}²



_v | ²  |



_u ^{| |}²



_v ^|²cos²

課本頁次： 208

(34)

設  ( , )a b 和  ( , )c d 為兩不平行向量 , 且其夾角為 ,

與所張出的平行四邊形面積



v



u



v



u

＝ ^|



u ^{| |}²



_v | ²  |



_u ^{| |}²



_v | ²cos²

＝ |



_u ^{| |}²



_v | ²  (



_u _·



_v ) ²

2 2 2 2 2

(a b )(c d ) (ac bd )

    

課本頁次： 209

(35)

設  ( , )a b 和  ( , )c d 為兩不平行向量 , 與所張出的平行四邊形面積



v



u



v



u

2 2 2 2 2

(a b c)( d ) (ac bd)

    

2 2 2 2 2

a d b c abcd

  

(ad bc)2

  | ad bc | a b

 c d

課本頁次： 209

(36)

平行四邊形的面積公式

課本頁次： 209

所張出的平行四邊形面積為 a b

c d 的絕對值，即

a b c d

二階行列式由兩不平行向量



_u  ( , )a b 和



v  ( , )c d

(37)

例 5

_求以向量

解：

(5,2)

 與  (3,2) 所張出的平行四邊形面積 .

5 2

3 2   10 6  16  16

∴向量與所張出的平行四邊形面積 =16.

課本頁次： 209



v



u



v



u

(38)

隨 5

_求以向量

解：

2 (5, )

  與  ( ,k 4)

所張出的平行四邊形面積為 24 , 求實數 k 的值﹒

4 2

4 2 5

k



    20 2k 20 2k 24

     22

 k  或 2

課本頁次： 209



v



u

(39)

例 6

已知

解：

為坐標平面上三點

 

^{1,0 ,}

A ^B

 

^{3,2 ,}

的面積 .

1 2

2 1 4

  2

 1 8 2

  2 1

2 10 5

  

 

^0,4

C (1) ABC△

, (2,2)

  ( 1,4),

△ ABC 面積

課本頁次： 210

AB



_AC



(1)

(40)

例 6

已知

解：

 

^{1,0 ,}

A ^B

 

^{3,2 ,}

的面積

2 5 4

2 0

    2

 

^0,4

C (1) ABC△

(2 0) (1 ( 1))   2△ ABC 面積

課本頁次： 210



AP



P

求向量之終點所形成區域的面積

, 0 2, 1 1 AP x AB y AC

  

  _且  x   y (2) 設

(2)

 5

(41)

隨 6

已知

解：



^{1,1 ,}



A  ^B

 

^{3,2 ,}

的面積 .

1 4

2 1 3

  1

 1 12 1

 2  1

13 3 2

1

   2



^2,4



C  (1) ABC△

, (4,1)

  ( 1,3),

△ ABC 面積

課本頁次： 210

AB



_AC



(1)

(42)

隨 6

已知

解：



^{1,1 ,}



A  ^B

 

^{3,2 ,}

的面積

2 3

8

2 2 7

3 1

    



^2,4



C  (1) ABC△

(2 ( 1))  (2 0)  2△ ABC 面積

課本頁次： 210



AP



P

求向量之終點所形成區域的面積

, 1 2, 0 2 AP x AB y AC

  

  _且   x  y (2) 設

(2)

13

 2

(43)