提要 214：純量三重積(Scalar Triple Product)之其他性質三個向量的純量三重積

(1)

提要 214：純量三重積(Scalar Triple Product)之其他性質

三個向量的純量三重積(Scalar Triple Product)



^a ^b ^c



，亦可稱之為 Mixed Triple

Product，其基本定義為

 

3 2 1

c c c

b b b

a a a

 c b

a ，本單元則擬繼續說明其他相關之性質。

純量三重積(Scalar Triple Product)之其他性質

純量三重積尚有許多其他重要性質，補充說明如下：

1. 雖然



a b c



a



bc



，但是即使是將其表為



a b c



abc也是可以的。因為若欲先作ab內積之運算，則所得之純量將無法再與向量 c 作外積之 運算。故一定要更正為先進行外積bc之運算，所得出之向量再與 a 向量進行 內積之運算，方才合理。

2. 如圖 1 所示， a 、 b 、 c 之純量三重積的長度 (Norm 或 Length) 可表為：



b c



ab ccos

a    。

圖 1 a、b、c三個向量之純量三重積是代表平行六面體的體積

3. 圖 1 中之高度 h 可以平行六面體的體積



a b c



除以b、c向量所構成的面積 c

b 推求出，亦即

 

c b

c b a

 

h 。

(2)

4.



a b c

 

 b c a

 

 c a b



5.



ka b c

 

k a b c



6. 若三個向量互為線性獨立(Linear Independence)，則此三個向量所構成的純量三重積不等於零。

7. 若使c₁a₁c₂a₂ _c_na_n 0恆成立的惟一條件是c₁ c₂ _c_n 0，則a₁、 a2、…、a 互為線性獨立，反之亦然。 _n

提要 214：純量三重積(Scalar Triple Product)之其他性質 三個向量的純量三重積

提要 214：純量三重積(Scalar Triple Product)之其他性質





 





















 



 

 





 



提要 214：純量三重積(Scalar Triple Product)之其他性質三個向量的純量三重積