勾股定理證明-G081
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向內作一正方形 ABKH ，以BC 為邊，向外作一正方形 BCED ，以 AC 為邊，向外作一正方形 ACFG (於證明過程第 1 點說明點 H 在 GF 上)。
2. 延長 DE ，並在 DE 的延長線上取一點 L ，使得 KL
CN(於證明過程第 2 點說明 K
E D共線)。3. 連接 ML 。
A B
C
D E
F
G
H K
L
N M
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向內向外作正方形，先證明圖中的三角形全等，再 經過全等圖形的切割重新拼圖的方法後，可得到正方形 ABKH 的面積會等於正方形
ACFG 與正方形 BCED 的面積和，來推出勾股定理的關係式。
1. 先證明三角形 GAH 與三角形 CAB 全等，再得到點 H 的位置在 GF 上：
因為 AH
AB, AG
AC,
GAH
90
HAC
CAB，所以 GAH CAB
(SAS 全等).得到
HGA
BCA
90，又
FGA
90，所以點 H 在 GF 上，即 G H
F共線。2. 先證明三角形 DKB 與三角形 CAB 全等，再得到 K
E D共線：因為 KB
AB, BD
BC,
DBK
90
NBC
CBA，所以DKB CAB
(SAS 全等).得到
BDK
BCA
90，又
BDE
90，所以 K
E D共線。3. 證明三角形FHM 與三角形 EKN 全等：
因為 HF
GF
GH
AC
BC
KD
DE
KE,
HFM
KEN
90 ，且由作圖的 平行關係可知
FMH
LKM
90
NKE
ENK，所以FHM EKN
(AAS 全等).4. 證明三角形LMK 與三角形 CBN 全等：
因為 FHM
EKN，所以 HM
NK，可得到 MK
HK
HM
BK
NK
BN，又 LK
CN,
CNB
KNE
90
NKE
LKM，所以LMK CBN
(SAS 全等).5. 說明四邊形LDBM 為長方形：
因為 LMK
CBN，所以
MLK
BCN
90，又
CBD
BDE
90，因此 360 3 90 90BML
，故四邊形 LDBM 為長方形。
6. 說明三角形 MKB 面積與正方形 BCED 面積的關係：
1 2
(
(
DK LM
EKN NEDB CBN
FHM NEDB CBN
FHM
MKB LDBM
B K
BCED
面積＝ 長方形 面積
＝ 面積＋ 面積
＝ 面積＋四邊形 面積)＋ 面積 ＝ 面積＋ 四邊形 面積＋ 面積) ＝ 面積＋正方形 面積.
7. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
C MKB
GAH FHM
GAH
ABKH HMCA AB
HMCA BCED
HMCA FHM BCED
正方形 面積＝四邊形 面積＋ 面積＋ 面積
＝四邊形 面積＋ 面積＋( 面積＋正方形 面積) ＝(四邊形 面積＋ 面積＋ 面積)＋正方形 面積 ＝正方形ACFG面積＋正方形BCED面積.
得到
2 2 2
, AB
AC
BC即
2 2 2
. c
a
b【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍：
Edwards, George C.(1895). Elements of Geometry(p.158). New York : Macmillan and co.
2. 心得：此證明輔助線的畫法皆與三角形 ABC 的邊成平行關係，使學生較容易看出 對應角的相等關係，再證明三角形 DKB 與三角形 CAB 全等，三角形 FHM 與 三角形 EKN 全等，三角形 LMK 與三角形 CBN 全等。進而透過平移與旋轉的 拼圖方法推得正方形 ABKH 面積會等於正方形 ACFG 與正方形 BCED 的面 積和。
＜此題圖形的分割方式適合作為拼圖證明的教材＞
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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