數算魔法-矩形面積與乘法

金門地區第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

科 別：數學科 組 別：國民小學組

作品名稱：速算魔法-矩形面積與乘法 關 鍵 詞：矩形、面積、分配律

編 號：

作品名稱: 速算魔法-矩形面積與乘法

摘要

把兩數當作透過矩形的兩邊，透過矩形面積分割後重新排列來簡化乘法的計算過程，

透過圖形的理解並熟練後，甚至可以某些情況下在腦海中快速算出乘法的結果。

壹、 研究動機

老師說升上 5 年級後題目需要計算的步驟變多，於是跟我們介紹印度的 19*19 乘 法，使用這樣的方法算會比較快，我們很驚訝印度竟然要背 19*19 乘法表，難道印度 小朋友記憶力比較好?老師說可以用正方形面積分割的方式來理解，有一定的規律可以 推算，於是我們很好奇那只能用在 19*19 以內的數嗎??如果全部的乘法都有這種數算 公式就太棒了，於是我們很興奮的開始蒐機資料，想要破解乘法的奧秘。

貳、 研究目的

一、解釋印度 19*19 乘法使用原理。

二、100 以內兩數相乘:十位數相同，個位數不同。

三、100 以內任意兩數相乘-簡化乘數。

四、100 以內任意兩數相乘-乘數被乘數同時簡化。

五、印度神算公式解析與改進。

參、 研究設備及器材 紙、筆、電腦、計算機

肆、 研究過程或方法 一、 19*19 乘法速算原理

(一). 網路上查到的印度 19*19 乘法有以下敘述:

(二). 根據上面的敘述:11 到 19 以內的乘法列式如下:

11×11=(11+1)×10 + (1×1)=121 11×12=(11+2)×10 + (1×2)=132

………

18×19=(18+9)×10 + (8×9)=342 19×19=(19+9)×10 + (9×9)=361

(三). 將上面的敘述變成通式

將 11 到 19 的兩數相乘表示成 :(10+a)×(10+b) //a、b 分別代表兩個數的個位數。

下面通過整算式整理將算式推導成與文字敘述相符的形式。

(10+a)×(10+b)

= (10+a)×10 + (10+a)×b

= (100+10a) + (10b+a×b)

= 10×(a+b)+100+ (a×b)

= 10×[(10+a)+b] + (a×b)

(10+a)×(10+b) = 10×[(10+a)+b] + (a×b) ---公式 1

(四). 因為透過算式整理的方式無法很直觀的看出公式的原理，所以我們透過矩形面積分 割的方式來推導。

1.將矩形的長跟寬表示成 :(10+a)、(10+b)

兩數相乘即為矩形的面積。 2.將紅色區塊平移到右邊。

3.現在可以把面積分成兩部 分

紫色框框+綠色區塊 (10+a)×(10+b)

=10×(10+a+b)+a×b

=10×[(10+a)+b] + (a×b) 公式 1

透過面積的分割移動，可以 很直接的理解上列速算式的 原理，比較容易記憶。

4.另外我們發現當 a+b=10 可 以把公式再簡化，過程如下 (10+a)×(10+b)

=10×[(10+(a+b)] + (a×b)

=10×[(10+(10)] + (a×b)

=200+(a×b) 公式 2

所以用上面簡化後的公式可以快速判斷以下乘法結果 11×19=200+9 =209

12×18=200+16=216 13×17=200+21=221 14×16=200+24=224 15×15=200+25=225

二、 100 以內兩數相乘:十位數相同，個位數不同。

研究一的公式只能使用在乘數跟被乘數介於 11~19 時，於是我們希望在 100 以內先固定 十位數相同，來探討公式要如何轉換才能適用在其他範圍。

(一) (20+a)×(20+b) 說明 面積分成兩部分 紫色框框+綠色區塊 (20+a)×(20+b)

=20×(20+a+b)+ a×b

=20×[(20+a)+b] + (a×b) 公式 1-1

EX:

21×22=23×20+2=462 23×24=27×20+12=552

……

29×29=38×20+81=841

(二)(30+a)×(30+b) 說明

面積分成兩部分 紫色框框+綠色區塊 (30+a)×(30+b)

=30×(30+a+b)+a×b

=30×[(30+a)+b] + (a×b) 公式 1-2

EX:

31×32=33×30+2=992 33×34=37×30+12=1122

……

39×39=48×30+81=1521

……… ……….

(三)(10n+a)×(10n+b)，n 為介於 1 到 9 中間的整數。 說明 面積分成兩部分 紫色框框+綠色區塊 (10n+a)×(10n+b)

=10n×(10n+a+b)+a×b

=10n×[(10n+a)+b]+(a×b) 公式 1-n

所以用上面簡化後的公式可以快速判斷以下乘法結果 41×42=43×40+2=1722

53×54=57×50+12=2862

……

98×99=107×90+72=9702

(四) 將公式 2 適用範圍拓展成二位數相乘十位數相等 時也可以使用。

說明

a+b=10 時

可以把公式再簡化，過程如下 (10+a)×(10+b)

=10n×[(10n+(a+b)] + (a×b)

=10n×[(10n+(10)] + (a×b)

=10n×[(10×(n+1)] + (a×b)

=100n×(n+1) + (a×b)

公式 2-n

所以用上面簡化後的公式可以快速判斷以下乘法結果 21×29=600+ 9 =841

32×38=1200+16=1216 43×47=2000+21=2021 54×56=3000+24=3024

65×65=4200+25=4225 76×74=5600+24=5624 87×83=7200+21=7221 98×92=9000+16=9016

三、 100 以內任意兩數相乘-簡化乘數

在研究二中固定了 100 以內十位數相同讓兩數相乘來簡化算式，但是沒法處理十位數不 同的情況，適用範圍受限，於是以下我們試著透過圖形分割重組的方式來簡化被乘數部分計 算，來推導 100 以內任意兩數相乘的數算式。

1.c_>a 時(10a+b)×(10c+d)矩形圖形變化，b、d 介於 1~9 (1).將矩形的長跟寬表示成 :

(10a+b)、(10c+d)兩數相乘即為矩形的面 積，且 c_>a

(2).將紅、綠區塊平移到右邊 (如箭頭指示方向)。

(3).重新移動後可以把面積看成矩形減去一 角，這邊令 c_>a 可以讓圖形移動後呈凹一角的 形式讓公式呈現減法形式。

(10a+b)×(10c+d)

=[(10a+b)+d]×10c–[10c-(10a+b)]×d 公式 3-1

EX:33×54

=[(33)+4]×50 –(50-33) ×4

=37×50–17×4

=1850-68=1782

2.探討 a>c 時，(10a+b) ×(10c+d)矩形圖形變化，b、d 介於 1~9 (1)將矩形的長跟寬表示成 :

(10a+b)、(10c+d)兩數相乘即為矩形的面積，

且 a>c

(2).將紅、綠區塊平移到右邊 (如箭頭指示方向)。

(3).把面積分割成上下兩部分計算 (10a+b)×(10c+d)

=[(10a+b)+d]×10c +[10(a-c)+b]×d

=[(10a+b)+d]×10c +[10a-10c+b]×d

=[(10a+b)+d]×10c +[(10a+b)-10c]×d 公式 3-2

(10a+b)×(10c+d)

=[(10a+b)+d]×10c +[(10a+b)-10c]×d

3.比較兩公式 公式 3-1 c_>a，

(10a+b)×(10c+d)

=[(10a+b)+d]×10c -[10c-(10a+b)]×d 將公式後半部整理

=[(10a+b)+d]×10c -10c×d +(10a+b) ×d

=[(10a+b)+d]×10c +[(10a+b)-10c]×d

公式 3-2 a>c

(10a+b)×(10c+d)

=[(10a+b)+d]×10c +[(10a+b)-10c]×d

可以發現經過整理後公式 3-1 跟公式 3-2 可以適用 a 跟 c 介於 0~9 的範圍內，且不論 c_≥a 或是 a<c，只要帶入負值觀念皆可適用。

四、 100 以內任意兩數相乘-乘數被乘數同時簡化

在研究三中只簡化了乘數的部分，於是我們在研究四中嘗試同時簡化二位數乘法中的被 乘數與乘數，把兩者湊成尾數為零相乘再處理多餘的部分。

1.減法形式，b、d 介於 1~9 (1)將矩形的長、寬表示成 10a+b、10c+d 成 :

兩數相乘即為矩形的面積(10a+b)×(10c+d) (2)將矩形的長跟寬的尾數補成 10。

(3)

現在面積=把全部- (A+B) + C

//因為 C 的部分重複扣兩次所以要加回來

=(10a+b)×(10c+d)

= 10(a+1)×10(c+1)

-[10(a+1)×(10-d) + 10(c+1)×(10-b)]

+(10-b)×(10-d) 公式 4

EX

34×27=40×30-(120+180)+18=918 56×37=60×40-(180+160)+12=2072 69×78=70×80-(140+180)+2=5382 39×68=40×70-(80+70)+2=2652

(4)使用分配律:觀察了公式 4 後我們發現可以使用分配律來幫助記憶公式

可以發現公式 4 除了可以 用圖形推導出來，也可以將 尾數補成 0 進位後用分配律 計算，因為尾數都補成 0 了，計算速度會快很多，且 從左邊的圖示也可以快速 理解原理。

(5)把 40-6 改成 30+4

把 40-6 改成 30+4 後發現跟 10 的差距比較小

計算的過程比較簡單一點。

五、 印度神算公式解析與改進

我們在「Pradeep．Kumar(2009)•印度吠陀數學秒算法」這本書中有看見一個很神奇且好 用的算法，但是書中沒有解釋為什麼可以這樣算，算法如下:

但書中沒有講解這個算法的原理，於是我們想透過前面的研究來推導這個算式的原理，

因為書中有提到基準數 100，所把算式變成(100-82) ×(100-22)

(100-18)×(100-22)

=100×100-(18×100-22×100)+(18×22) //利用分配律化成這個形式

=100×(100-18-22) +(18×22) //利用結合律化成這個形式

=(100×60) + (18×22)

=6000+396

=6396

可以發現，82 跟 78 互相加上對方跟 100 的補數都會是 60，把 60 乘上基準數 100 再加上補數 相乘即是上面結合律跟分配律計算的結果。

書中給的基準數都是 100，於是我們根據上面推導的原理來修正這個算法，因為像 82×78 兩數都很接近 80，用 100 當基準數補數的部分需要計算-18×-22 比較麻煩，於是我們把算法 修改成下列形式

可以發現計算的過程更為簡便，速度更快，但是如果兩數相差較大這個方法的補數相乘會比 較大計算效率沒有使用公式 4 快。

伍、 研究成果 一、19

19 以內乘法公式(a、b 介於 1~9)

公式 1 (10+a)×(10+b)=10×[(10+a)+b]+(a×b) 公式 2 a+b=10

時

二、100 以內兩數相乘:十位數相同，個位數不同。

(n、a、b 介於 1~9)

公式 1-n (10n+a)×(10n+b)=10n×[(10n+a)+b]+(a×b)

公式 2-n a+b=10

時

三、100 以內任意兩數相乘-簡化乘數 (a、b、c、d 介於 1~9)

公式 3-1 (10a+b)×(10c+d)=[(10a+b)+d]×10c +[(10a+b)-10c]×d 公式 3-2 (10a+b)×(10c+d)=[(10a+b)+d]×10c +[(10a+b)-10c]×d

四、100 以內任意兩數相乘-乘數被乘數同時簡化 (a、b、c、d 介於 1~9)

公式 4

(10a+b)×(10c+d)=

10(a+1)×10(c+1) -[10(a+1)×(10-d) + 10(c+1)×(10-b)]+(10-b)×(10-d)

分配律形式

五、印度神算公式解析與改進

陸、 結論

在研究一到研究五中我們發現有幾種情況可以最快速簡化計算

1.

0<n<10、a+b=10 時，

其餘計算方法跟使用直式直接計算的時間雖略有縮短，但是沒有上列兩種情況省略那麼 多時間，所以我們透過研究可以發現只有在某些狀況下數算法的威力才能顯現出來。

柒、 參考資料及其他

一、 非想非非想數學網-印度式計算學習單 :

http://pisa.math.ntnu.edu.tw/files/exampaper/3chapter1/311EF_03M.pdf 二、 康軒 5 上數學-第七單元-活動三:分配律

三、 Pradeep．Kumar(2009)•印度吠陀數學秒算法