單元 4 函數性質的判定 三年___班 座號：____ 姓名：
重點 1：函數的遞增與遞減
1.設函數 f (x)在區間 I 有定義，則：
(1)嚴格遞增函數：若對區間 I 中任意兩數x1＜x2恆有 f (x1)＜f (x2)，則稱 f (x)在區間 I 上為嚴格遞增嚴格遞增嚴格遞增嚴格遞增函數 遞增函數：若對區間 I 中任意兩數x1＜x2恆有 f (x1)≤f (x2)，則稱 f (x)在區間 I 上為遞增遞增遞增函數 遞增 (2)嚴格遞減函數：若對區間 I 中任意兩數x1＜x2恆有 f (x1)＞f (x2)，則稱 f (x)在區間 I 上為嚴格遞減嚴格遞減嚴格遞減嚴格遞減函數
遞減函數：若對區間 I 中任意兩數x1＜x2恆有 f (x1)≥f (x2)，則稱 f (x)在區間 I 上為遞減遞減遞減函數 遞減 2.遞增與遞減的判定：(函數在某區間上「導數為正數或負數」與「函數遞增或遞減」關係)
設函數 f (x)在區間[a，b]上連續，且在區間(a，b)上可微分
(1)若 f ′(x)＞0 在區間(a，b)上都成立，則 f (x)在區間[a，b]上為嚴格遞增函數 (2)若 f ′(x)＜0 在區間(a，b)上都成立，則 f (x)在區間[a，b]上為嚴格遞減函數
註：事實上，上述判定中的區間[a，b]可以是無界的區間(－∞，b]，[a，∞)或(－∞，∞)，
此時區間(a，b)則同步改為(－∞，b]，[a，∞)或(－∞，∞)即可
例 1.1：觀察二次函數 f (x)＝y＝x 的圖形，如右圖： 2 (1)當 x ≥ 0 時，
這段圖形由左往右逐漸上升，即 x 值愈大，所對應的 y 值也隨著增大，
我們稱此函數在區間[0，∞)上為嚴格遞增函數 (2)當 x ≤ 0 時，
這段圖形由左往右逐漸下降，即 x 值愈大，所對應的 y 值也隨著減小，
我們稱此函數在區間(－∞，0]上為嚴格遞減函數
Ex1.1：觀察二次函數 f (x)＝y＝x 的圖形，如右圖： 2 (1)當 x＞0 時，
f ′(x)＝2x＞0，即這段圖形上的每一點之切線斜率均為正數，
此時 f (x)為嚴格遞增函數 (2)當 x＜0 時，
f ′(x)＝2x＜0，即這段圖形上的每一點之切線斜率均為負數，
此時 f (x)為嚴格遞減函數
例 1.2：函數 f (x)＝x －3x＋2 在下列哪些區間上為嚴格遞增函數？ 3 (1) [－3，－2] (2) [0，2] (3) [2，3] (4) [2，∞)
Ex1.2：函數 f (x)＝－x ＋6x 在下列哪些區間上為嚴格遞減函數？ 3
(1) [－5，－2] (2) [－1，1] (3) [1，2] (4) [2，∞)
例 1.3：函數 f (x)＝x ＋44 x ＋5 在下列哪些區間上為嚴格遞增函數？ 3
(1) [－4，－2] (2) [－2，0] (3) [0，3] (4) [－2，3]
Ex1.3：函數 f (x)＝x4＋8x ＋183 x ＋8 在下列哪些區間上為嚴格遞減函數？ 2
(1) [－5，－3] (2) [－3，－1] (3) [－5，－1] (4) [－1，2]
重點 2：函數圖形的凹向
1.凹口向上：若圖形上任相異兩點所連成的線段恆在圖形的上方 凹口向下：若圖形上任相異兩點所連成的線段恆在圖形的下方 2.判斷方式：(導函數判斷)
(1)切線的斜率由左往右逐漸增大，也就是說，圖形上愈往右邊的點其導函數 f ′(x)的值愈大，
即 f ′(x)為嚴格遞增函數
(2)切線的斜率由左往右逐漸減小，也就是說，圖形上愈往右邊的點其導函數 f ′(x)的值愈小，
即 f ′(x)為嚴格遞減函數
註：函數 f (x)圖形的凹向相當於討論導函數 f ′(x)的遞增與遞減，由二階導函數 f ′′(x)函數值的正負來決定 3.函數圖形凹向的判定：(由二階導函數 f ′′(x)函數值判斷)
設函數 f (x)在開區間 I 內每一數 x 的第二階導數 f ′′(x)都存在
(1)若 f ′′(x)＞0 在區間 I 上都成立，則 f (x)在區間 I 的圖形是凹口向上 (2)若 f ′′(x)＜0 在區間 I 上都成立，則 f (x)在區間 I 的圖形是凹口向下 註：函數圖形凹向的性質：
(1)若 f (x)在區間(a，b)的圖形是凹口向上，
則 2 ) ( ) (a f b f +
＞ )
(a2b f +
(2)若 f (x)在區間(a，b)的圖形是凹口向下，
則 2
) ( ) (a f b f +
＞ )
(a2b f +
例 2.1：討論函數 f (x)＝x －3x＋2 圖形的凹向 3
Ex2.1：討論函數 f (x)＝x －4x＋3 圖形的凹向 2
重點 3：函數圖形的反曲點 1.反曲點的定義：
在 a 的附近(某個包含 a 的開區間)，當 f (x)的圖形在 x＜a 與 x＞a 的凹向相反時，稱點(a，f (a))為函數 f (x)圖形 的反曲點。
2.反曲點的性質(求法)：
若(a，f (a))為多項式函數 f (x )圖形的一個反曲點反曲點反曲點，則 f ''(a)＝0 反曲點
說明：(1) f (x)的二階導函數仍是多項式函數(連續函數)，反曲點 f ''(x)附近的函數值由正轉負或由負轉正 (2)若(a，f (a))為反曲點，且 f "(x)為連續函數，則在反曲點附近的 f "(x)函數值會由正轉負或由負轉正，
因而 f " (a) = 0
例 3.1：討論函數 f (x)＝x4－6x2＋5 圖形的凹向，並求其反曲點
Ex3.1：討論函數 f (x)＝−x3＋6x2－9x＋5 圖形的凹向，並求其反曲點
例 3.2：已知(1，2)為四次函數 f (x)＝x ＋4 ax ＋b 圖形的一個反曲點，求實數 a，b 的值 2
Ex3.2：已知點 P(1，3)為三次函數 f (x)＝x ＋3 ax ＋bx＋c 圖形的反曲點，且以 P 點為切點的切線斜率為 4， 2 求實數 a，b，c 的值。
◎滿足 f ′′(x)＝0 的點不一定就是反曲點
Ex：函數 f (x)＝x 滿足4 f ′(x)＝4x ，f ′′(x)＝123 x ，則2 f ′′(0)＝0
但是點(0，f (0))的左右兩邊都是凹口向上，如圖所示，它不是反曲點
重點 4：描繪多項式函數的圖形
1.意義：將函數的遞增、遞減及凹向等資訊用於多項式函數圖形的描繪 2.三次函數圖形
設三次函數 f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，a≠0；其導函數與二階導函數分別為：
f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c f ′′(x)＝6ax＋2b＝6a(x＋
a b 3 ) 因為 f ′′(x)＝0 恰有一實根 x＝
a b
−3 ，且 f ′′(x)的值在 x＝
a b
−3 的左右兩邊異號，所以 三次函數 f (x)的圖形恰有一個反曲點(
a b
−3 ，f ( a b
−3 )) 3.三次函數的反曲點就是反曲點就是反曲點就是反曲點就是對稱中心對稱中心對稱中心對稱中心
三次函數 f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，可配三次方成 f (x)＝a(x−h)3＋p(x−h)＋k 的形式，
其圖形是一條以點(h，k)為對稱中心的點對稱曲線，其中 h＝
a b
−3 ，k＝f ( a b
−3 )
4.三次函數 f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，a≠0，則 f ′(x)＝0 是二次方程式，其解有二相異實根，二重根與無實根三種情形：
(1)二相異實根：此時圖形有兩條水平切線
(2)二重根：此時圖形恰有一條水平切線，且 f ′(x)為完全平方式 (1)當 a＞0 時，f '(x) ≥ 0 恆成立，f (x)恆嚴格遞增；
(2)當 a＜0 時，f '(x) ≤ 0 恆成立，f (x)恆嚴格遞減 (3)無實根：此時圖形沒有水平切線
(1)當 a＞0 時，f '(x)＞0 恆成立，f (x)恆嚴格遞增；
(2)當 a＜0 時，f '(x)＜0 恆成立，f (x)恆嚴格遞減 f '(x)＝0 的根
a 值 二相異實根 二重根 無實根
a＞0
a＜0
例 4.1：描繪函數 f (x)＝x －3x＋2 的圖形 3
Ex4.1：描繪函數 f (x)＝－x ＋63 x －9x＋5 的圖形 2
例 4.2：描繪函數 f (x)＝x －4 6x ＋5 的圖形 2
Ex4.2：描繪函數 f (x)＝x －4 2x ＋1 的圖形 2
◎沒有遞減區間的三次函數
例 4.3：描繪函數 f (x)＝x －3 3x ＋4x－1 的圖形 2
Ex4.3：描繪函數 f (x)＝－x －2x＋3 的圖形 3
重點 5：多項式函數的極值
1.意義：利用微分的方法求多項式函數的極值 2.極值的定義：
設 f (x)為多項式函數，且 a，b，c，d 是區間 I＝[a，b]中的數，則：
(1)極大值極大值極大值極大值：在 f (x)圖形上，
C 點附近的點都比 C 點低，也就是說，C 點是局部範圍內的最高點，
B 點是端點，也是局部範圍內的最高點，稱這 B，C 點的 y 坐標 f (c) 及 f (b)都是函數 f (x)的一個極大值極大值極大值 極大值
最大值最大值
最大值最大值：B 點是全部圖形中的最高點，稱函數值 f (b)為 f (x)的最大值最大值最大值 最大值 (2)極極極極小小小小值值值值：在 f (x)圖形上，
D 點附近的點都比 D 點高，也就是說，D 點是局部範圍內的最低點，而 A 點是端點，也是局部範圍內 的最低點，稱這兩點的 y 坐標 f (d)及 f (a)都是函數 f (x)的極小值極小值極小值 極小值
最小最小
最小最小值值值值：D 點是全部圖形中的最低點，我們也稱 f (d)為函數 f (x)的最小值最小值最小值最小值
註：(1)討論多項式函數的極值(包含極大值極大值極大值極大值、、、極小值、極小值極小值)時，若未特別提及區間 I，則以整個實數 R 討論 極小值 此時(沒有限定區間 I )函數 f (x)沒有最大值、最小值
(2)函數的最大值必定也是這個函數的一個極大值；函數的最小值必定也是這個函數的一個極小值 說明說明說明：多項式函數 f (x)的圖形，如右圖 說明
(1)函數圖形的波峰(C，E 兩點)與波谷(D，F 兩點)是發生極值的點 (2)極值共同的特性就是它們的切線都是水平切線(斜率為 0)
即發生極值的點其導數都為 0
(3)若多項式函數的定義域為所有實數時，
則它的極值只會發生在導數為 0 的點(C，D，E，F 點) 註：G 點雖然有水平切線(導數為 0)，但卻不是發生極值的點
即導數為 0 的點，並不一定是發生極值的點 (4)若將定義域限制在閉區間[a，b]時，
則端點 A，B 也有可能是發生極值的點
例 5.1：右圖是多項式函數 f (x)在閉區間[－4，6]的圖形，求 f (x)的極大值、極小值、最大值與最小值 解：極大值有
極小值有 最大值為 最小值為
Ex5.1：右圖是多項式函數 f (x)在閉區間[－3，3]的圖形，求 f (x)的極大值、極小值、最大值與最小值 解：極大值有：
極小值有：
最大值為：
最小值為：
重點 6：極值(一階、二階)檢定法
1.極值的一階檢定法：利用函數的增減函數的增減函數的增減函數的增減情形來判定極值
對於多項式函數 f (x)，先找出所有滿足 f '(c)＝0 的 c，再用下列方式針對這些 c 作檢定 (1)若 x＝c 的附近滿足「當 x＜c 時，f '(x)＞0；當 x＞c 時，f '(x)＜0」，則 f (c)是極大值 (2)若 x＝c 的附近滿足「當 x＜c 時，f '(x)＜0；當 x＞c 時，f '(x)＞0」，則 f (c)是極小值 即利用一階檢定法一階檢定法一階檢定法一階檢定法可以求多項式函數的極大值極大值極大值極大值與極小值與極小值與極小值與極小值
註：當多項式函數被限制在閉區間上時，其圖形是 一條含有兩端點的連續曲線(或線段)，圖形 必然有最高點與最低點，此時一定有最大值 與最小值。極大值中最大者就是最大值；
極小值中最小者就是最小值
2.極值的二階檢定法：利用函數的凹向函數的凹向函數的凹向函數的凹向來判定極值的方法 設多項式函數 f (x)，滿足 f '(c)＝0，則：
(1)當 f ''(c)＜0，則 f (c)為極大值 (2)當 f ''(c)＞0，則 f (c)為極小值
註：極值的二階檢定法在使用上往往比一階檢定法簡潔 但當 f '(c)＝f ''(c)＝0，則可改用一階檢定法來判定
◎沒有限制範圍之極值
例 6.1：求函數 f (x)＝x －64 x ＋5 的極大值與極小值 2
Ex6.1：求函數 f (x)＝x －12x＋2 的極大值與極小值 3
◎滿足 f '(x)＝0 的點只是發生極值的候選點，不一定是發生極值的點 Ex：求函數 f (x)＝x 的極大值與極小值 3
解：求出 f (x)的導函數，f '(x)＝3x ，令2 f '(x)＝0，得 x＝0，
(0，0)不是局部最高點或最低點，如圖所示，此時它不是發生極值的點 因為 f (x)＝x 的圖形既沒有最高點也沒有最低點，所以3 f (x)既沒有最大值 也沒有最小值。因此並非每個多項式函數都有最大值及最小值
◎有限制範圍之極值
例 6.2：求函數 f (x)＝x －3x＋2 在閉區間[－3，3]上的最大值與最小值 3
Ex6.2：求函數 f (x)＝－x －33 x ＋9x＋2 在閉區間[－4，2]上的最大值與最小值 2
◎二階檢定法求極值
例 6.3：求函數 f (x)＝−x4＋8x －3 的極大值與極小值 2
Ex6.3：求函數 f (x)＝x －63 x ＋9x＋4 的極大值與極小值 2
◎當 f '(c)＝f ''(c)＝0，可改用一階檢定法 例 6.4：求函數 f (x)＝x ＋44 x ＋2 的極值 3
Ex6.4：求函數 f (x)＝3x －55 x ＋2 的極值 3
◎不一定沒有極值
Ex：求函數 f (x)＝x 的極大值與極小值 4 (110LBR)
解：求出 f (x)的導函數，f '(x)＝4x3，f ''(x)＝12x2，則 f '(0)＝f ''(0)＝0，得 x＝0，
f (0)＝0 是最小值
註：f '(0)＝f ''(0)＝0 時，不可直接認定 f (c)不是極值，須再利用一階檢定法來確認
◎利用多項式函數的極值可以反求函數
例 6.5：已知三次函數 f (x)在 x＝0 處有極大值 2，在 x＝2 處有極小值－2，求 f (x)
Ex6.5：已知三次函數 f (x)＝x ＋3 ax ＋bx＋5 在 x＝1 處有極小值 3，求實數 a，b 的值 2
重點 7：最佳化問題
意義：很多實際的問題都會牽涉到求函數的極值。我們應用求多項式函數的極值之方法，找出解決問題的最佳方案 例 7.1：將邊長為 6 公寸的正方形鐵片，四個角各截去一個面積相等的正方形，如右圖所示；
然後再將各邊沿著虛線摺起來，做成一個無蓋的長方體容器。設截去的正方形邊長 為 x 公寸，且長方體的容積為 f (x)立方公寸(鐵片厚度不計)
(1)求 x 的範圍 (2)寫出函數 f (x)
(3)當 x 為多少時，長方體的容積達到最大？
Ex7.1：將長 8 公寸、寬 5 公寸的矩形鐵片，四個角各截去一個面積相等的正方形，然後再將各邊摺起來，做成一個無蓋 的長方體容器。問：應截去邊長為多少公寸的正方形，才能使長方體的容積最大？
例 7.2：如右圖，已知 A(－3，0)，B(3，0)，C，D 是拋物線 y＝9－x 上的四點， 2 且 ABCD 形成一個梯形，求此梯形的最大面積
Ex7.2：如右圖，已知 A，B 是 x 軸上兩點，C，D 是拋物線 y＝12－x 上的兩點， 2 且 ABCD 形成一個矩形，求此矩形的最大面積
例 7.3：將一架飛機飛行路徑的高度軌跡標示於坐標平面上，如圖所示，此架飛 機自原點 O 離地飛起，當飛機升高至坐標(4，1)時，開始水平飛行。已 知此軌跡是三次函數 y＝f (x)圖形的一部分，且 y = f (x)的圖形在原點 O 及點(4，1)處有水平切線，求：
(1)函數 f (x)
(2)此路徑中，飛機高度變化率的最大值，及此時飛機的坐標
Ex7.3：將一架飛機飛行路徑的高度軌跡標示於坐標平面上，如圖所示，此架飛機自點(－5，1)開始下降，在原點 O 著地。
已知此段軌跡是三次函數 y＝f (x)圖形的一部分，且 y＝f (x)的圖形在點(－5，1)及原點 O 處有水平切線，
求函數 f (x)
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