)(1)若 f (x)為多項式函數，則 f ′(2)＝ 2 limx→ 2 ) 2

(1)

110 上高三數甲(單元 3 微分) 第 1 頁龍騰版 CJT

單元 3 微分習題三年___班座號：____ 姓名：

觀念澄清：下列敘述對的打「○」，錯的打「×」

( )(1)若 f (x)為多項式函數，則 f ′(2)＝

2

limx→ 2 ) 2 ( ) (

−

− x

f x f

( )(2)以點(2，f (2))為切點的切線方程式為 y－f (2)＝f ′(2)(x－2) ( )(3) f (x)在 x＝2 附近的一次估計為 f (2)＋f ′(2)(x－2)

( )(4) f (x)在 x＝ 3 處不可微分

一、基礎題：

1.已知 f (x)＝x －2³ x ＋5x－4，求 f ′(x)與 f ′′(x) ²

2.已知函數 f (x)＝(x ＋1)(² x ＋2x－1)，求 f ′(1)的值 ²

3.已知函數 f (x)＝

2 +x+3 x

x ，求 f ′(0)的值

4.已知函數 f (x)＝ 1₂

x ，求 f ′(x)

5.已知函數 f (x)＝(x－3) (⁵ x －5² ) ，求 f ′(2)的值 ³

6.已知函數 f (x)＝ax²＋bx＋c，求三階導函數 f ′′′(x)

7.求函數 f (x)＝(1＋x)(1－x) 的圖形上，以點 P(0，1)為切點的切線方程式 ³

8.求函數 f (x)＝x －x＋3 圖形上斜率為 2 的切線方程式 ³

(2)

9.如右圖，已知 A(0，3)為函數 f (x)＝－x³＋1 圖形外一點，直線 L 是以 B 為切點的切線且過 A 點，求：

(1)直線 L 的方程式 (2)切點 B 的坐標

(3)函數 f (x)的圖形與 L 的所有交點坐標

10.設函數 f (x)＝2x －³ 9x ＋6x＋5，則： ² (1)將 f (x)表示為(x－1)的多項式

(2)利用(1)，求 f (1.01)的近似值到小數點以下第二位 (第三位四捨五入) (3)利用 f (x)在 x＝1 附近的一次估計，求 f (1.01)的近似值

11.在筆直公路上行駛的一輛汽車，從煞車到停車這段時間內，測得煞車後在 t 秒內前進的距離為 s(t)＝ ² 2 1t

− ＋2t 公尺 此輛汽車在煞車後前進多少公尺才停止？

二、進階題

12.已知二次函數 f (x)的導函數為 f ′(x)＝2x＋3，且 f (1)＝2，求 f (x)

13.已知多項式 f (x)滿足 f (2)＝3，g(x)＝(x －5x) f (x)－3x，求 g′(2)的值 ³

(3)

14.設函數 f (x)＝－x²＋4x 的圖形在 x＝－1，k，3 處的點分別為 A，B，C。已知以 B 點為切點的切線與直線 AC 平行，

求實數 k 的值

15.已知直線 y＝－x＋b 為函數 y＝

x

1圖形的一條切線，求切點及實數 b 的值

16.已知在函數 f (x)＝x³＋ax²－5x＋b 圖形上所有切線的斜率中，以 P(－1，5)為切點的切線斜率最小，求實數 a，b 的值。

17.已知多項式函數 f (x)的圖形與 x 軸交於原點，如圖所示，選出所有正確的選項？

(1) f ′(0)＞f ′(1)

(2)圖形在 x＝1 處的切線與 y 軸的交點坐標為(0，f (1)－f ′(1)) (3) f (1)＞f ′(1)

(4) f ′(0)＞f (1)