+ 偶數 奇數 偶數 偶數 奇數 奇數 奇數 偶數

感受伽羅瓦：環的同態與同構

在前面各章，我們介紹了多種數學對象 (包括各種數系、多項式、矩陣、四 元數以至陪集) 上的加法和乘法運算。這些數學對象雖然各有不同，但某些 數學對象之間在加法和乘法上存在有趣的對應關係，以下首先從一個例子 說起。一方面，根據簡單的算術知識，我們知道偶數和奇數的加法和乘法 結果服從某些規律，例如偶數 + 偶數 = 偶數，奇數 × 偶數 = 偶數等，據 此可以把這些規律總結成以下「加法表」和「乘法表」：

+ 偶數 奇數 偶數 偶數 奇數 奇數 奇數 偶數

× 偶數 奇數 偶數 偶數 偶數 奇數 偶數 奇數

請注意以上兩表不應被看成通常的「加法表」和「乘法表」(例如中國傳統 的「九因歌」)，這是因為「偶數」和「奇數」不是單個數字，而是由無窮 多個數字組成的集合，而通常的加法和乘法只適用於單個的數字而非數字 集合。因此以上兩表應被看成偶數和奇數的加法和乘法規律的總結，並以

「加法表」和「乘法表」的形式表達出來的結果。

另一方面，根據我們在《感受伽羅瓦：因子分解》中介紹的 Z 2 (= {0, 1}) 中的運算 (也就是模 2 同餘下的運算)，我們知道 0 和 1 的加法和乘法結果 可以表述為以下「加法表」和「乘法表」(下表中的 + 號和 × 號帶有下標 2 以凸顯這是模 2 同餘下的加法和乘法運算)：

+ 2 0 1 0 0 1 1 1 0

× 2 0 1 0 0 0 1 0 1

細心比較以上兩組「加法表」和「乘法表」，可以看到這兩個表中的實體雖 然各不相同，但在結構上卻是一模一樣的。只要為第一組表中的 + 號和 × 號加上下標 2，並且把「偶數」和「奇數」分別換成 0 和 1，便可得到第二組表。

為了精確表述上述兩組數學對象在加法和乘法運算上的相同結構，我們引

入同態(homomorphism) 的概念。設有兩個交換環 ¹ (R, +, ×) 和 (S, + ^′ , × ^′ )，

一個從 (R, +, ×) 到 (S, + ^′ , × ^′ ) 的同態就是一個從 R 到 S 的函數 ϕ : R → S，

使得對任何 x, y ∈ R，均有

ϕ(x + y) = ϕ(x) + ^′ ϕ(y) (1) ϕ(x × y) = ϕ(x) × ^′ ϕ(y) (2)

上述定義的直觀意義是，函數 ϕ 建立了 R 與 S 元素之間的對應關係，而且 這種對應關係保存了加法和乘法的運算結果。

回顧前述例子，現在我們可以說該例子體現了從 ( Z, +, ×) 到 (Z 2 , + 2 , × 2 ) 的一個同態，這個同態可以表述為以下函數 ϕ ₁ : Z → Z 2 ：

ϕ ₁ (n) =

{ 0, 若 n 是偶數

1, 若 n 是奇數 (3)

上述函數建立了 Z 與 Z 2 元素之間的對應關係，即所有偶數對應 0 並且所 有奇數對應 1。接下來驗證上述對應關係保存了加法和乘法的運算結果，即 驗證 (1) 和 (2)。例如設 x 和 y 都是偶數，一方面，由於偶數 + 偶數 = 偶數，

我們有 ϕ ₁ (x + y) = 0；另一方面，亦有 ϕ ₁ (x) + ₂ ϕ ₁ (y) = 0 + ₂ 0 = 0，由此驗 證了 ϕ 1 (x + y) = ϕ 1 (x) + 2 ϕ 1 (y) 的一個情況。另外又如設 x 和 y 分別為奇數 和偶數，一方面，由於奇數 × 偶數 = 偶數，我們有 ϕ 1 (x ×y) = 0；另一方面，

亦有 ϕ ₁ (x) × 2 ϕ ₁ (y) = 1 × 2 0 = 0，由此亦驗證了 ϕ ₁ (x × y) = ϕ 1 (x) × 2 ϕ ₁ (y) 的一個情況。讀者可自行驗證其他情況。

接下來定義與同態有關的兩個重要集合。設 ϕ : R → S 為從交換環 R 到交 換環 S 的同態 (也就是兩個交換環之間的對應關係)，那麼 ϕ 的核(kernel)，

記作 Ker(ϕ)，包含 R 中所有與 S 中的 0 對應的元素，即 Ker(ϕ) = {r ∈ R : ϕ(r) = 0}

ϕ 的像(image)，記作 Im(ϕ)，則包含 S 中與 R 中至少一個元素對應的元素，

即

Im(ϕ) = {s ∈ S : 存在 r ∈ R 使得ϕ(r) = s}

以前述的 ϕ ₁ 為例，根據 (3)，可見 ϕ ₁ 把所有偶數而且只把偶數映射為 0，由 此可得 Ker(ϕ ₁ ) = 2 Z，即由所有偶數組成的集合。另外，由於 Z 2 中的每個 元素都與 Z 中至少一個元素對應 (0 與任何偶數對應，1 與任何奇數對應)，

由此可得 Im(ϕ ₁ ) = Z 2 (換句話說，ϕ ₁ 是「到上」函數，儘管不是「一一」函數)。

接下來介紹一個與同態、核和像有關的定理，但在介紹該定理前，須先

1本章沿襲上一章的做法，把討論範圍限於交換環，儘管很多概念也適用於非交換環。

對某些符號作出一些約定。設 r 為某環中的元素，n 為正整數，我們借用中 學時代學過的表示法，用 nr 代表把 n 個 r 相加的結果，r ⁿ 代表把 n 個 r 相乘的結果， −nr 既可理解為 nr 的加法逆元，也可理解為把 n 個 −r (即 r 的加法逆元) 相加的結果，例如 2r = r + r，r ² = r × r，−2r 既可理解為

−(r + r)，也可理解為 (−r) + (−r)。現在引入以下定理。

定理 1：設 ϕ : R → S 為從交換環 R 到交換環 S 的同態，r 為 R 中 的元素，n 為正整數，則

(i) ϕ(0) = 0 (ii) ϕ(nr) = nϕ(r) (iii) ϕ( −nr) = −nϕ(r) (iv) ϕ(r ⁿ ) = (ϕ(r)) ⁿ

(v) Ker(ϕ) 是 R 的理想 (vi) Im(ϕ) 是 S 的子環

以 前 述 的 ϕ 1 為 例， 由 於 0 是 偶 數， 故 有 ϕ 1 (0) = 0， 由 此 驗 證 了 上 述 定 理 中 的 (i)。 為 驗 證 (ii) － (iv)， 設 r = 5 和 n = 3。 首 先， 有 ϕ ₁ (3 × 5) = 1 = 3 × ϕ 1 (5)，因為 ϕ ₁ (5) = 1，而在 Z 2 下，3 個 1 相加 的結果也是 1。其次，有 ϕ 1 ( −3 × 5) = 1 = −3 × ϕ 1 (5)，因為 −3 × ϕ 1 (5) 可 以看成 3 × ϕ 1 (5) 的加法逆元，而在 Z 2 下，1 的加法逆元就是 1。再其次，

有 ϕ ₁ (5 ³ ) = 1 = (ϕ ₁ (5)) ³ ，因為在 Z 2 下，3 個 1 相乘的結果也是 1。另外，

根據前面的討論，我們知道 Ker(ϕ 1 ) = 2 Z 和 Im(ϕ 1 ) = Z 2 。容易看到，2 Z 是 Z 的子環，並且是「乘法黑洞」(因為任何整數乘以偶數都是偶數)，因 此 2 Z 是 Z 的理想，由此驗證了 (v)。最後，Z 2 當然是 Z 2 的子環 (任何環 都是自身的子環)，由此驗證了 (vi)。

在上述有關同態的定義中，對函數 ϕ 沒有特別規定，但如果 ϕ 是一一 到上函數，便得到同態的一個子類，稱為同構(isomorphism)。抽象代數學 使用專門的符號表示同構，即若環 R 與環 S 同構，則記作 R ∼ = S。直觀地 看，如果 ϕ 是 R 與 S 之間的同構，那麼 ϕ 不僅保存了 R 和 S 上的加法和 乘法運算結果，而且建立了 R 和 S 元素之間的一一對應關係。

舉例說，複數集合 C 與具有以下形式的 2 × 2 方陣集合存在一一對應 關係 (在下式中，a, b ∈ R)：

( a −b b a

)

如果用 M 代表由以上方陣組成的集合，那麼可以寫出以下函數 ϕ ₂ : C → M ：

ϕ ₂ (a + bi) =

( a −b b a

)

不難證明 ϕ ₂ 是一一到上函數，而且滿足上述的 (1) 和 (2)。特別地，雖然 一般矩陣的乘法不具有交換性，但 M 中矩陣的乘法卻具有交換性 (讀者可 自行證明這一點)，因而可以與複數一樣滿足相同的乘法法則。此外，在 C 中，我們有

i × i = −1 而在 M 中，相對應的事實則是

( 0 −1 1 0

) ( 0 −1 1 0

)

=

( −1 0 0 −1

)

總括以上結果，我們有 C ∼ = M ，因此直觀地說，儘管 C 和 M 這兩個環由 具有不同形式的數學對象組成，但這兩個環有相同的代數結構，而且其元 素互相一一對應。

以下是有關同態和同構的一個重要定理。

定理 2 (第一環同構定理First Isomorphism Theorem for Rings)：設 ϕ : R → S 為交換環上的同態，那麼 R/Ker(ϕ) ∼ = Im(ϕ)，以下的 θ 就是 R/Ker(ϕ) 與 Im(ϕ) 之間的同構函數 (在以下定理中，r ∈ R)：

θ(r + Ker(ϕ)) = ϕ(r) (4)

上述定理綜合運用《感受伽羅瓦：子環與商環》和本章的一些定理。由於 ϕ 是從 R 到 S 的同態，根據本章的「定理 1(v)」，可知 Ker(ϕ) 是 R 的理想，

因此根據《感受伽羅瓦：子環與商環》中的「定理 1」，可知 R/Ker(ϕ) 構 成一個環 (即商環)，這個環的元素包括所有形如 r + Ker(ϕ) 的陪集 (其中 r ∈ R)。此外，根據本章的「定理 1(vi)」，Im(ϕ) 是 S 的子環。上述定理的要旨 是， R/Ker(ϕ) 與 Im(ϕ) 同構， (4) 提供了 R/Ker(ϕ) 與 Im(ϕ) 之間的同構函數。

為讓讀者明白上述定理，我們回顧前述的 ϕ ₁ : Z → Z 2 。根據前面的討 論，可知 Ker(ϕ ₁ ) = 2 Z 和 Im(ϕ 1 ) = Z 2 。如前所述，2 Z 是 Z 的理想，因此 Z/2Z 構成一個環 ² ，這個環由兩個陪集組成：2 Z (= 0 + 2Z) 和 1 + 2Z，分 別為所有偶數組成的集合和所有奇數組成的集合，即

Z/2Z = {2Z, 1 + 2Z}

2更準確地說，2Z 是 Z 的極大理想，因此 Z/2Z 構成一個域。

根據上述定理，我們有以下同構關係：

Z/2Z ∼ = Z 2 (5) 其中的同構函數可根據 (4) 寫成

θ ₁ (r + 2 Z) = ϕ 1 (r), 其中r = 0或1 利用 ϕ ₁ 的定義 (3)，可以把上式更具體地寫成

θ ₁ (2 Z) = 0, θ 1 (1 + 2 Z) = 1

上式提供了 Z/2Z 與 Z 2 元素之間的一一對應關係，即 2 Z 對應著 0，1 + 2Z 則對應著 1。有了上述一一對應關係，我們便可以把上面第一組「加法表」

和「乘法表」重新理解為域 Z/2Z 上的「加法表」和「乘法表」，其中的「偶 數」和「奇數」可分別看成 2 Z 和 1 + 2Z 的別稱，而上述兩組「加法表」和

「乘法表」的相似性便可理解為 (5) 所列「同構」關係的體現。

「定理 2」可用來驗證某些商環的代數結構。我們在《感受伽羅瓦：質理 想與極大理想》中曾討論以下商環：

Z[x]/⟨x⟩ = {⟨x⟩, 1 + ⟨x⟩, −1 + ⟨x⟩, 2 + ⟨x⟩, −2 + ⟨x⟩, · · ·} (6)

根據上述網頁的「定理 1」，上述商環是一個整環，現在讓我們驗證這一點。

為此，首先定義以下函數 ϕ ₃ : Z[x] → Z (在下式中，f 是整係數多項式)：

ϕ ₃ (f ) = f (0)

接著要求 Ker(ϕ ₃ ) 和 Im(ϕ ₃ )。對於任意整係數多項式 f 而言，f (0) 等於該 多項式的常數項，例如若 f = 37x ²⁰ + 13x ⁷ − 111，那麼 f(0) = −111，由 此容易看到 Ker(ϕ ₃ ) 的成員就是常數項等於 0 的整係數多項式 (因為把這 樣的函數代入 ϕ ₃ 中所得結果等於 0)。我們在《感受伽羅瓦：質理想與極大 理想》中也曾指出 ⟨x⟩ 就是所有常數項等於 0 的整係數多項式組成的集合，

由此有 Ker(ϕ ₃ ) = ⟨x⟩。另一方面，由於任何整數都可作為一個整係數多項 式的常數項，由此亦有 Im(ϕ ₃ ) = Z。

把以上有關 ϕ ₃ 的結果代入「定理 2」，便可得到以下同構關係：

Z[x]/⟨x⟩ ∼ = Z (7) 其中的同構函數可根據 (4) 寫成

θ ₃ (f + ⟨x⟩) = f(0)

上式提供了 Z[x]/⟨x⟩ 與 Z 元素之間的一一對應關係，例如 −2 + ⟨x⟩ 對應著

−2 (這是因為當 f 是常數多項式 −2 時，不論 x 是甚麼，都有 f(x) = −2，

故必有 f (0) = −2)。由於我們有 (7) 這個同構關係，並且 Z 是整環，故知 Z[x]/⟨x⟩ 也是一個整環。

我們在《感受伽羅瓦：質理想與極大理想》中也曾討論以下商環：

R[x]/⟨x ² + 1 ⟩ = {ax + b + ⟨x ² + 1 ⟩ : a, b ∈ R} (8)

根據上述網頁的「定理 2」 ，上述商環是一個域，現在讓我們驗證這一點。為 此，首先定義以下函數 ϕ 4 : R[x] → C (在下式中，f 是實係數多項式)：

ϕ ₄ (f ) = f (i)

接著要求 Ker(ϕ ₄ ) 和 Im(ϕ ₄ )。由於 i ² = −1，我們知道 i 是多項式 x ² + 1 的 根， 同 時 也 是 任 何 包 含 x ² + 1 作 為 因 式 的 多 項 式 的 根， 例 如 i 是 (x ² + 1)( √

5x ⁷⁷ − ²³ ₄₇ ) 的根 (因為把 i 代入上述多項式的變項 x，可得結 果 0)。反過來看，如果某多項式不包含 x ² + 1 作為因式，則 i 必不是該 多項式的根。根據前面各章對主理想概念的討論，包含 x ² + 1 作為因式的 多項式方程的集合可以記作 ⟨x ² + 1 ⟩。換句話說，當且僅當 f ∈ ⟨x ² + 1 ⟩，

f (i) = 0，由此有 Ker(ϕ ₄ ) = ⟨x ² + 1 ⟩。

另一方面，任何複數 a + bi (其中 a, b ∈ R) 都有一個實係數多項式 f 使得 f (i) = a + bi，這個實係數多項式就是 bx + a (設 f = bx + a，那麼 f (i) = a + bi)，由此有 Im(ϕ ₄ ) = C。

把以上有關 ϕ ₄ 的結果代入「定理 2」，便可得到以下同構關係：

R[x]/⟨x ² + 1 ⟩ ∼ = C (9) 其中的同構函數可根據 (4) 寫成

θ ₄ (f + ⟨x ² + 1 ⟩) = f(i) (10)

上式提供了 R[x]/⟨x ² +1 ⟩ 與 C 元素之間的一一對應關係，例如 x+1+⟨x ² +1 ⟩ 對應著 1 + i (這是因為若 f = x + 1，則 f (i) = 1 + i)。由於我們有 (9) 這個 同構關係，並且 C 是域，故知 R[x]/⟨x ² + 1 ⟩ 也是一個域。

由於 R[x]/⟨x ² + 1 ⟩ 是域，它的每個非零成員都應有乘法逆元，我們在

《感受伽羅瓦：質理想與極大理想》中介紹了一種求這些乘法逆元的方

法，這種方法要解聯立方程。現在由於有同構關係 (9)，我們可以借助 C

中元素的乘法逆元以及同構函數 (10) 來求 R[x]/⟨x ² +1 ⟩ 中元素的乘法逆元。

以 x + 1 + ⟨x ² + 1 ⟩ 為例，前面說過這個元素對應著複數 1 + i。利用複 數中的除法運算 (見《感受伽羅瓦：二次方程與複數》)，可以求得這個 複數的乘法逆元是 ¹ ₂ − ¹ ₂ i。根據同構函數 (10)，容易看到 ¹ ₂ − ¹ ₂ i 對應著

− ¹ ₂ x + ¹ ₂ + ⟨x ² + 1 ⟩，這就是 x + 1 + ⟨x ² + 1 ⟩ 的乘法逆元，請注意此一結果 與上一章的計算結果完全吻合。

根據 (10)，陪集 x + ⟨x ² + 1 ⟩ 對應著虛數單位 i (因為如果 f = x，那麼 f (i) = i)，這可以從兩個角度去理解。首先，由於 i 滿足 i ² + 1 = 0，我們 預期 x + ⟨x ² + 1 ⟩ 也應滿足 (x + ⟨x ² + 1 ⟩) ² + (1 + ⟨x ² + 1 ⟩) = ⟨x ² + 1 ⟩，以 下讓我們用商環上加法和乘法的定義來驗證此一結果：

(x + ⟨x ² + 1 ⟩) ² + (1 + ⟨x ² + 1 ⟩)

= x ² + 1 + ⟨x ² + 1 ⟩

= ⟨x ² + 1 ⟩

上面最後一行的理據是，把 x ² + 1 除以 x ² + 1，所得餘式是 0。

其次，根據 (8)， R[x]/⟨x ² + 1 ⟩ 包含著所有形如 ax + b + ⟨x ² + 1 ⟩ 的陪 集，根據 x + ⟨x ² + 1 ⟩ 與 i 的對應關係，這些陪集的全體對應著全體 ai + b，

即全體複數，這從另一角度說明了 R[x]/⟨x ² + 1 ⟩ 與 C 的對應關係。

在以上的推導中，我們用 R[x]/⟨x ² + 1 ⟩ 來構造 C ³ ，其中二次多項式 x ² + 1 用來引出 i (因為 i 是二次多項式 x ² + 1 的根)，而 i 則用來引出所有複 數 (通過 a + bi，其中 a, b ∈ R)。可是，能引出所有複數的數不只 i 一個，

例如 √

5i 也能引出所有複數，而這個數是二次多項式 x ² + 5 的根 (因為 ( √

5i) ² = −5；另請注意這個多項式在 R[x] 下不可約)，以下讓我們證明 R[x]/⟨x ² + 5 ⟩ 同構於 C。為此，首先定義以下函數 ϕ 5 : R[x] → C (在下式 中，f 是實係數多項式)：

ϕ ₅ (f ) = f ( √ 5i) 接著要求 Ker(ϕ ₅ ) 和 Im(ϕ ₅ )。由於 √

5i 是多項式 x ² + 5 的根，同時也是 任何包含 x ² + 5 作為因式的多項式的根。反過來看，如果某多項式不包 含 x ² +5 作為因式， 則 √

5i 必不是該多項式的根。由此有 Ker(ϕ 5 ) = ⟨x ² +5 ⟩。

另一方面，任何複數 a + bi (其中 a, b ∈ R) 都有一個實係數多項式 f 使得 f ( √

5i) = a + bi，這個實係數多項式就是 ^{√ b} ₅ x + a (設 f = ^{√ b} ₅ x + a，那 麼 f ( √

5i) = a + bi)，由此有 Im(ϕ ₅ ) = C。

3嚴格地說，應是「與 C 同構的代數結構」，但在抽象代數學上，有時可以把互相同構 的代數結構視為等同，所以可以把R[x]/⟨x²+ 1⟩ 視作等同 C。

把以上有關 ϕ ₅ 的結果代入「定理 2」，便可得到以下同構關係：

R[x]/⟨x ² + 5 ⟩ ∼ = C 其中的同構函數可根據 (4) 寫成

θ ₅ (f + ⟨x ² + 5 ⟩) = f( √ 5i)

上式提供了 R[x]/⟨x ² + 5 ⟩ 與 C 元素之間的一一對應關係，例如 x + ⟨x ² + 5 ⟩ 對應著 √

5i (這是因為若 f = x，則 f ( √

5i) = √

5i)。跟前述情況相似，正如

√ 5i 滿足 ( √

5i) ² + 5 = 0，容易驗證 x + ⟨x ² + 5 ⟩ 也滿足 (x + ⟨x ² + 5 ⟩) ² + (5 + ⟨x ² + 5 ⟩) = ⟨x ² + 5 ⟩。

應如何理解 R[x]/⟨x ² + 5 ⟩？類似前面的 (8)，我們可以寫出 R[x]/⟨x ² + 5 ⟩ 的 元素如下：

R[x]/⟨x ² + 5 ⟩ = {ax + b + ⟨x ² + 5 ⟩ : a, b ∈ R}

上式顯示 R[x]/⟨x ² + 5 ⟩ 包含著所有形如 ax + b + ⟨x ² + 5 ⟩ 的陪集，由於如 前所述，x + ⟨x ² + 5 ⟩ 對應著 √

5i，現在我們不妨創作一個新符號 ι ⁴ ，用來 代表 x ² + 5 的根 (亦即 √

5i)，這樣我們便可以把所有複數表示為 aι + b。在 這個新表示法下，複數也是二維實數，每個複數均可由兩個實數 a 和 b 加 上一個 ι 表示；這些複數也能進行四則運算，並且滿足 ι ² + 5 = 0。請注意 我們平時用 ai + b 表示的複數，在新表示法下是 ^{√ a} ₅ ι + b (這是因為 ι = √

5i，

故有 √ ^a 5 ( √

5i) + b = ai + b)。

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4請注意虛數單位 i 本質上也是由數學家創作出來的，既然數學家可以創作 i，我們也 不妨創作其他新符號。