為一組「畢氏三元數」(此時，a b c

(1)

103 學年度普通型高級中等學校數學及自然學科能力競賽數學科能力競賽決賽獨立研究試題參考解答

【獨立研究一】第一題

當正整數a b c, , 滿足a²b² c²時，稱a b c, , 為一組「畢氏三元數」(此時，a b c, , 與b a c, , 視為相同的畢氏三元數)。試問有多少組畢氏三元數，使其成為直角三角形的三邊長，且內切圓半徑等於2014？

【解】令r2014。

此時， 2r      a b c c a b 2r，且a2r, b2r。由a²b² c²，得

 

²

2 2 2 2 2

2 4 4 2 4

a b  a b r a b  br ar ab r

2 2 2

4ar 4br 2ab 4r ab 2ar 2br 4r 2r



3 1 2 1 2 1

  

2 18

  

 (組)。

綜合上述討論，得知：共有 18 組畢氏三元數所形成的直角三角形，其內切圓半徑都是 2014。

(2)

【獨立研究一】第二題

設表示所有實數所成的集合。試求所有的函數 f :  滿足：

對任意實數x y, ， f xf x( ( ) f y( ))x² y 恆成立。

【解】容易驗證：函數 ( )f x x及 ( )f x  x均滿足所求。現證明滿足所求的函數只有這兩個。

假設 f x 為一個滿足條件的函數，以( ) x0代入方程式可得：

( ( ))

f f y  y,  y 。因此，對所有的x y,  ，

2 2

( ( ) ( )) ( ( ) ( ( )) ( )) ( ( ))

x  y f xf x  f y  f f x f f x  f y  f x y。由此可得： ( ( ))f x ²x²,  x 。因此， (1) 1f  或 (1)f  1。

(1) 若 f(1) 1 ，則

2 2 2 2 2

1 2 xx ( (1f x)) ( (1 (1)f f  f f x( ( ))) (1  f x( ))  1 2 ( )f x ( ( ))f x ²  1 2 ( )f x x²。

因此， f x( )x,  x 。 (2) 若 f(1) 1，則

2 2 2 2 2

1 2 xx ( ( 1f  x)) ( (1 (1)f f  f f x( ( ))) (1  f x( ))  1 2 ( )f x ( ( ))f x ²  1 2 ( )f x x²。

因此, f x( ) x,  x 。

(3)

【獨立研究一】第三題

在ABC 中，已知點 D 與點 E 在 BC 上，且滿足BADDAEEAC。試證：DE BC

3

1 。

C E

B

A

D

【證明】設 AD a , AEb, DEc, 因為DAE EAC, 所以 AD DE

AC  EC . 因此可設 ACak, ECck.

由餘弦定理

2 2 2

cos 2

a b c

DAE ab

 

  ,

2 2 2 2 2

cos 2

b a k c k

EAC abk

 

 

因此

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

a b c b a k c k

ab abk

    

經整理可得

   

2 2 2 2 2 2 2

0 k a c  a b c kb  亦即



^a² ^c²



^k ^b²

^

^k ¹

^

⁰

     

 

得

2

2 2

k b

a c

  或k 1

注意：若k 1，則 AD ACa, 此時 AEDC, a² b²c², 因此

(4)

2 2

2b 2 b2 1

a c b 

 ,

也就是說

2

2 2

k b

a c

  恆成立。

由上討論知

2

2 2

EC ck b c

a c

  

 同理可得

2

2 2

BD a c

b c

 

 以下證明ECBD2DE（此與 1

DE3BC等價）

 

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 .

b a

EC BD c c

a c b c

b a

c c

a b

b a c a b

c DE

    

 

   

 

   

 





算幾不等式

為一組「畢氏三元數」(此時，a b c

103 學年度普通型高級中等學校數學及自然學科能力競賽 數學科能力競賽決賽獨立研究試題參考解答

 

















 

















  

   









 

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^

^