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3.1 效率理論

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第三章 研究方法

3.1 效率理論

3.1.1 效 率 之 定 義

效率主要是在於衡量資源被經濟利用的程度,效率的提升 , 通常是代表單位成本的下降或附加價值的增加, 所以通常是以投 入與產出間的比率來表示【 94】。而衡量效率的主要目的,即在於 評估組織的生產力(Productivity),以作為評估及改進的依據。

在經濟學的生產理論中,不論生產決策單位的經營目標是否 在追求利潤的最大化 ,理性的生產組織均應該提高自身的生產效 率、生產力 、及降低成本。就社會整體資源之配置而言, 如何使 稀少有限的資源做最有效的利用,一直是經濟學者討論的重點。

因此,一個適當的效率( Efficiency)衡量指標, 也是在探討生產 績效時決策單位不可忽視的一個評估標準。

對於效率方面,蓋浙生【 60】 指出效率是特定數量的資源求 其產出極大化,或對特定數量的產出及其投入資源極小化。因 此,

效率是指產出與投入之間的關係。唐曉杰【 32】 認為效率是指投 入與產出之間的比率 ,必須對投入與產出同時進行考察, 將兩者 聯繫起來比較,才能判定效率的高低。 因此對效率的研究可注重 於對教育過程中的經濟活動狀況的考察 ,考察人 、財、物使用的 合理性與有效性,以及如何使教育資源發揮更大的作用。

Charnes 與 Cooper【 88】對效率的定義,則分別從投入面與 產出面兩個角度說明 :在投入方面認為 ,一個組織若能進一步減

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少現行某一投入項的使用量, 而不以其他投入之增加為代價且不 降低產出量時,則此組織目前處於缺乏效率的狀況;反之 ,則是 有效率。在產出方面認為,一個組織若能進一步增加現行某一產 出項的產量 ,而不以其他產出之減少為代價且不增加投入量時,

則此一組織目前處於缺乏效率的狀況;反之,則是有效率。

而營利組織是以獲得最大利潤為主要目標,期望於在「投 入」

轉換成「產 出」的過程中極力追求最高的生產效益,並多以財務 面的指標作為生產效率評量的基礎。但技術學院為非營利組織機 構,其產出無法僅以財務面指標加以衡量。

因此若將效率應用在教育機構方面,陳云愷【 45】認為教育 效率是指與教育資源合理分配有關的教育系統整體功能狀況,其 中既包括教育的經濟績效狀況 ,又包括政治文化倫理道德諸多方 面的績效狀況,更包括育人的績效。劉慶中【 65】則認為所投資 的教育資源能使學生獲得的學習成果愈大,則表示教育愈具有效 率性。 Guthrie、 Garms 及 Pierce【 103】認為效率是以最小的花 費獲得適量的教育,並提出提升教育效率的四種策略:

一、增加或改善教育技術;

二、重視生產誘因;

三、增加僱員的專業化;

四、功勞私有化與顧客參與(Privatization of Services and Enfranchising Clients)。

因此郭添財 【 44】與林文達【 22】皆認為,所謂教育的效率

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即是將所有的教育產出除以教育投入即是。

效率( Efficiency)在經濟學裡指的是經濟效率,又可稱之為 柏拉圖最適境界(Pareto Optimality 或 Pareto Efficiency),是說 明「資源不管再怎麼重新配置使用,都沒有辦法使某些經濟個體 獲致更高的利益,而同時又不損及其他經濟個體的利益」【 39】。

或是說「在某一種經濟狀況下 ,我們無法在不損及他人效用(福 利)的情況下同時增加某些人的效用( 福利)」【 1】。但若尚能透 過繼續交易即資源的配置過程來增加彼此的利益 ,則表示此經濟 個體尚未達最大效率的境界。

McMahon【 120】認為柏拉圖效率可以從生產效率(Production Efficiency)和交換效率( Exchange Efficiency) 兩方面來定義。

所 謂 生 產 效 率 是 指 將 所 運 用 的 資 源 如 何 具 體 化 成 為 人 身 上 的 知 識、技巧與價值的利用;交換效率則是指提供社會所需求的教育 形式與量。其中生產效率包含有技術效率(Technology Efficiency)、 價格效率( Price Efficiency)及經濟效率( Economic Efficiency)。

陳益華【 48】認為生產效率指的是投入與產出之觀測值和最佳值 之間的比較,其比較形式有:

一、固定投入下,產出之觀測值與潛在極大值之比;

二、固定產出下,投入之潛在極小值與觀測值之比;或

三、此兩種形式之混合。如從生產單位之行為目標來看,則效率 為計量經濟的領域,其衡量可藉成本(Cost)、收益(Revenue)、

利潤(Profit)之觀測值與最佳值之比較而得。

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Koopmans【 113】對技術效率之正式定義為:「一生產者如欲 增加任一產出,至少須減少其他之任一產出和至少須增加另一投 入;如欲減少任一投入,則至少須增加其他之任一投入或至少須 減少另一產出」。故一技術無效率之生產者如欲有效率的生產相同 的產出,應當至少有一投入可使用更少的投入量 ;而如欲使用相 同的投入,應當至少有一產出可生產更多的產出量。

圖 3.1【 120】中 ,技術效率的增進是指從 Z 至 B,因 為 B 點 是位於代表已達技術效率的等量曲線上(QQ),所謂等量曲線是 指可生產任意特定產量的各種投入要素組合軌跡 ,而位於等產量 曲線上的任意點,代表其技術效率為最大。價格效率則是多考量 了資源的成本,期望以最小的成本來生產特定的產量,當等產量 曲線與某一等成本線 (花費等成本的各要素組合軌跡)相切於一 點時,表示此時的等成本線是花費最少的組合線,故從 B 至 δ 1 是 指價格效率的增進, 而δ 1 這一點代表的就是以生產效率的角度 所解釋的經濟效率, 也就是同時具有技術與價格效率的點 ,稱為 經濟效率。

圖 3.1 生產效率圖 投入 B

Q

B Z

δ1

成本線 Q 投入 A 0

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而所謂交換效率是指如何將產品作最佳的組合, 以使個人 的 效 用 最 大 化 或 社 會 福 利 達 到 最 大 。 它 包 含 技 術 效 率 、 配 置 效 率

( Allocative Efficiency)及經濟效率的討論 。配置效率( 或稱價 格效率 Price Efficiency)是指利用優勢價格(Prevailing Prices)

以最佳比例來組合投入與產出之能力。 生產同量之產品可採用不 同之投入要素組合, 而各投入要素之市場價格不同,以最經濟、

成本最低之組合來生產,其價格效率最高。價格效率與技術效率 不同,主要差別在於技術效率係給定了某種投入要素組合之後,

希望在此給定的條件之下生產最多之產品,而價格效率則在尋求 一最經濟投入要素組合。

在圖 3.2【 120】,技術效率的增進是指從 Z 至 D,因為 D 位 於代表已達技術效率的生產可能線(Production Possibility Curve;

PPC)上, 所謂生產可能線是指在給定的技術 、資源條件下 ,產 品間最大可能的各種產品組合的軌跡, 配置效率則是多考量個人 效用或社會福利(以無差異曲線 WW 表示),期望以最佳的產品 組合來使個人效用或社會福利達至最大,當 PPC 與無異曲線相切 於一點時,表示此時的產品組合配置達最佳的境界。故從 D 至δ 2 是指配置效率的增進,而δ 2 這一點代表就是以分配效率的角度 來解釋的經濟效率。 亦即δ 2 代表同時具有技術效率與配置效率 的點。

學者對效率的區分與種類觀點各有不同 ,唐曉杰 【 32】認 為 教育資源與教育投資的利用效率限於教育內部的經濟活動,是教

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圖 3.2 交換效率圖

育過程本身效率的度量,亦即內部效率( Internal Efficiency)。教 育的外部效率( External Efficiency)則更側重對教育成果 (培養 人才的數量和質量) 的考察, 著眼點主要在產出上。教育的內部 效率所涉及的產出是直接產出 ,而教育的經濟效益是與教育的間 接產出密切聯繫在一起的,也 就是說, 教育的外部效率是教育所 培養出來的人,輸送到物質生產部門後因教育程度的提高而為社 會創造更多的價值時產生的, 這是教育過程完結之後的事 ,是教 育對經濟增長貢獻大小的度量 ,與教育的內部效率在內涵和表現 形式上都不同。

蓋浙生【 61】則將效率分為內部效率與外部效率 。內部效率 是指教育資源(特別是教育經費)在各級教育分配與使用的情形。

若說教育經費不增加,投入因素不改變,而培養出更好的學生(產 出效果改變)。或增加一定量的經費,而培養出更多更好的學生(產 出效果大於投入因素),表示有達到內部效率。而外部效率又稱為

δ2 產出 QY W

W

O D

Z

產出 QX

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外在生產力 ,是指各級、各類學校畢業生(產出 )與社會 、經濟 配合的情形 。如果各級學校畢業生有嚴重的失業現象或大材小用 等,則是沒有達到外部效率。

林文達【 23】則從教育生產的角度來分析效率的類別,認 為 教育生產是由教育投入及產出所決定的 。教育生產效率是由投入 及產出的配合方式表現出來。 投入及產出的配合方式大約可以分 為產出配合法、投入配合法及投入—產出配合法。

一、產出配合法

教育的產出有許多種 ,每一種產出的價值不同, 在一定投入 之下期望產出有最高的價值。 因此,教育效率是由不同產出的適 當配合而產生的。不同產出的有效配合可以用生產可能指示曲線

(Production Possibility Frontier Curve),示如圖 3.3【 23】。其中,

AB 表示在一定的投入下, 產出生產可能的曲線,而在二產品產 出價格比的切線上,切 點 C 則代表產品 AB 之最佳生產配合,教 育生產效率的第一種配合方式即在一定的投入之下,尋出最佳產 出配合值,以期獲得最高價值。

產出 A A

O B 產出 B C

AB=產出生產可能指示曲線 圖 3.3 生產可能曲線圖

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74 二、投入配合法

就教育目標的達成而言,在教育一定的產出下尋求最佳投入 的配合方式 ,是為投入配合法 。投入的適當配合可以用生產等量 圖(Product Isoquant Map)加以說明。 生產等量圖是由一系列代 表等生產量的曲線所構成的圖形。每一個等生產量曲線是由不同 量生產因素的投入配合而成的。 圖 3.4【 23】是由資本及勞力二 種 投 入 因 素 配 合 而 成 的 一 系 列 等 生 產 量 曲 線 所 構 成 的 生 產 等 量 圖。每一個生產等量曲線表示出不同生產因素量的配合。 可是每 一 生 產 因 素 價 格 不 一 樣 , 同 一 生 產 量 雖 可 以 由 不 同 因 素 配 合 而 成,在考慮因素價格之後,便只有一種因素配合是最經濟 。這一 種配合方式通常由價格線來決定。價格線是由生產因素價格之比 所表示的切線(bb’)。價格線與生產量曲線相切之點,便是最經 濟的投入生產因素配合量。這最經濟的生產因素投入量便是由價 格線與生產等量線相切之點來決定的。 教育生產效率的第二種配 合方式即在一定產出下尋出最佳投入配合方式。

圖 3.4 生產等量圖 資

勞力 b

b’

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75 三、投入—產出配合法

投 入 與 產 出 的 適 當 配 合 方 式 通 常 取 決 於 生 產 力

(Productivity)的大小。教育的生產力是由教育產出除以教育投 入而求得的 。投入與產出的有效配合即在使生產力最大。 教育生 產力最大便是第三種教育生產效率追尋的目標。假定投入 X 是由 許多投入 Xi 組 成,產 出 y 是由許多個 產出 yi 組 成,則教育生產 力可以由下列式子表示之:

Ep(教育生產力)= y/x = S yi / S xi

在投入方面 ,一般都用貨幣單位來表示 ,不同投入資源可用 一定的價格將它們轉變成貨幣單位。用相同貨幣單位便可順利獲 得加總,加總時應考慮貨幣等值問題, 相同的貨幣單位因時間不 同 可 能 發 生 幣 值 不 同 的 現 象 。 為 了 建 立 可 比 較 的 教 育 生 產 力 指 數,採用貨幣單位應利用同一基期的貨幣單位以避免因幣值不等 而發生誤差。

教育產出較為複雜, 產出內容可分為質與量兩方面。量的方 面可以加總 ,只是產出的內涵 不一致, 要消除此內涵的差異,可 給與不同的產出一適當的加權值。而質的產出, 可分兩類 ,一為 可以用量表示,具有較客觀的性質(如升學百分比、師生比、教 師薪資與經濟收益等)。另一類不能用量表示,較具主觀性質(如 人員素質、行政服務與視導、品格發展等)。為計算教育生產力 , 需儘量將投入與產出量化。而不適宜量化的投入與產出, 則可建 立相關資料,以提供資料供教育評量及決策參考。

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76 3.1.2 效 率 之 衡 量 方 法

Engert【 92】 和 Zomorrodian【 129】則以統計應用的角度 , 認為教育效率測量的方法主要有三種:

一、比率分析(Ratio Analysis)

單一產出對單一投入的比率常被用來作為效率的測量,此 類 方法通常稱為「投入 —產出分析」。較常見以比率為原理的效率分 析 技 術 有 成 本 — 效 益 ( Cost— Benefit )、 成 本 — 效 用 ( Cost—

Utility)、 成本 — 結 果( Cost—Outcome) 與成本 — 效能 (Cost—

Effectiveness): (一)成本—效益分析

成本 —效益分析是用來作為投資計畫之成本與經濟效益比較 的評估, 其目的在評估投資計畫的經濟利益。 其效率的測量 過程使用貼現技術 ( Discounting Techniques) ,比較成本與 利益的貼現貨幣值 。成 本— 效益分析除了決策單位計算各選 擇方案的淨現值, 亦可透過計算各選擇方案的成本效益比,

來比較其相對效率 。成 本— 效益分析已被廣泛運用在公共部 門的財政預算系統 ,如零基預算 ,但如果應用於教育上 ,仍 存在許多問題 ,因為成本— 效益分析時, 其投入與產出皆須 轉換以貨幣形式或市場價格表示之, 但在教育的過程中 ,其 產出與結果很難轉換成市場價格而加以計算。

(二)成本—效用分析

此種分析方法其基本假設是所有個體對某一特定產出的滿意

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度 皆 可 量 化 , 而 將 決 策 者 個 體 定 性 ( Qualitative ) 與 主 觀

(Subjective)的因素,納入其他分析的形式之中做分析。

(三)成本—結果與成本—效能分析

在教育投入可幣值化, 但教育產出或結果無法幣值化之情況 時, 則適用於成本 —效能分析, 成本效能是指每產出的單位 成本 ,其可作為相對效率的表示 ,在投入與產出之間的關係 不明確, 或是評估者只對少數的產出有興趣時 ,成本效能的 測量是相當有用的 。但是這種單一幣值化的投入對單一產出 關係的測量, 在教育的應用上有其明顯的限制 ,因為教育的 各項產出,是由多種不同的投入所產生的。

早期對生產效率的衡量總是偏重在單一使用要素的比率分析

(Ratio Analysis),完全忽略其他投 入要素的貢獻,容易造成決策 的錯誤及資源的浪費 。而當在考慮多種產出的情形時,衡量效率 的最大困難在於各種產出並無一共通的比較標準存在,尤其是用 於非營利組織部分。 在評估二個組織的效率時, 若只有各項產出 的 比 例 分 析 資 料 , 必 須 有 一 組 織 其 每 一 比 例 項 目 皆 優 於 另 一 組 織,否則在沒有一組權數予以 加權或一個函數給予轉換之前,難 以決定何者較優【 98】。而且權數的設定及函數的選擇也是主觀成 分較重,缺乏客觀依據,難以取信於大眾,因此如何以客觀方法 決定組織間效率之優劣,實為一重要研究課題。

二、迴歸分析(Regression Analysis)

(複)迴歸分析適用來描述單一產出與多種投入的關係, 而

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投 入 與 產 出 之 間 關 係 的 建 立 則 是 利 用 最 小 平 方 技 術 ( Least Squares Technique)來達成 ,常用來衡量教育生產力的教育生產 函數( the Educational Production Function)即屬之。而迴歸分析 亦是常用來衡量效率的方法之一 ,其利用對殘差(Residuals)的 檢測來評估效率,所謂殘差指真實產出與估計的產出之間的差距 稱之。當殘差值為正 ,則為相對有效率 ;若殘差值為負, 則為相 對無效率。

但是使用迴歸分析來檢測受評單位是否 為有效率或無效率 , 仍有相當的限制,首 先,教育過程會同時有多種產出產生 ,但迴 歸分析則傾向使用單一產出的模式,雖然亦可使用多方程式模式

( Multiple Equation Models),但此模式會產生多種組合的殘差,

而使得對效率的解釋有所困難 ,再者, 使用迴歸分析來檢測組織 的效率時, 因其單一產出的模式,容易導致忽略其他大部分的產 出,或是評估者在組合多種產出成為單一指標時 ,會有許多專斷 或流於主觀的現象產生,這些限制都會削弱使用迴歸分析來評估 學校效率的實用性。

三、資料包絡分析

資料包絡分析法是用來評估組織單位間的相對效率(Relative Efficiency),尤其是針對非營利( not-for -profit)性質與同時具有 多項投入與多項產出環境的機構。DEA 最早是由 Charnes、Cooper 及 Rhodes 於 1978 年所提出, 其主要是決定出所有受分析單位的 效率前緣( Efficient Frontier),將實際生產效率與效率前緣加以

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比較,進而衡量相對效率,若受測單位落於效率前緣的邊界上,

則為相對有效率,若位於效率前緣邊界內的,則為相對無效率。

DEA 的特性亦可處理幣值化或非幣值化的投入與產出項,而其分 析時無須預設函數與參數估計 ,因此可同時處理多項投入與多項 產出的效率評估,另外,DEA 分析時不須事先對評估項目設定權 重,所以分析結果較不受人為主觀因素的影響, 而且透過與效率 前緣的比較,DEA 的分析可提供受測單位資源使用的狀況與相關 資訊,並給予提升效率所應改善的幅度與方向, 以作為管理者擬 訂決策時之參考。由 於 DEA 模式具有上述特性 ,因此可克服傳 統評估方法的限制,可謂是一種相當適用的評估工具。

而就此三種評估方法相互比較如下:

一、DEA 和比率分析法

在評估投入產出關係不易定義的組織時 ,比率分析法是傳統 上最常用的方法之一 ,其優點在於簡單而且容易被了解, 此方法 是強調「衡量某一活動其投入產出關係的比例」,也就是表示每一 單位的投入所能得到的產出。 且當某些比率被用來做效率衡量的 指標時,常會發生偏差現象, 若使用單一的指標來衡量效率時,

常會使其他重要訊息被忽略,而使效率的衡量結果被扭曲。同 時,

在實務上也常發現, 若用不同的指標衡量同一現象時,不同指標 可能會導引至不同的結論,會使決策者處於兩難的局面, 而使比 率分析法在效率衡量上成為一個沒有效率的工具。

而 DEA 的長處即在用來評估多投入、 多產出的組織效率 ,

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正可以彌補比率分析法於此方面研究上之缺憾。

二、 DEA 和迴歸分析法

計量迴歸分析法係將影響組織效率的投入與產出變數引入迴 歸模式中進行分析, 再以模式的 R2 值和迴歸係數或殘差來檢測 生產力的大小,迴歸模式可以得知投入變數或產出變數的影響程 度對總生產力的影響 ,此法較比率分析法為優, 惟仍舊有下列不 足之處:

(一)迴歸分析所估計之生產函數是以「平均」為概念,無法真正 區分出投入與產出所表現的高效率與低效率。

(二)迴歸分析法無法提供個別決策單位改善之依據。

而 DEA 分析法在使用上可明確指出相對無效率單位及最適用 於 dummy 變數的預測且其執行成果遠超過迴歸分析法。因此 DEA 分析法在區分有效率及無效率的鑑別能力上,比起傳統 迴歸模式精確許多【125】。

3.2 資料包絡分析法

3.2.1 資 料 包 絡 分 析 法 之 緣 起

在經濟學的理論中, 生產可能曲線又可稱為包絡線,即為在 各種投入下最大可能產出點的連線,多數會利用預設的生產函數 來求得。凡落在生產可能曲線下的點, 依其特性可稱之為有效率 的生產點, 而落在生產曲線外的點,則稱為無效率的生產點。而 估計生產可能曲線的方法有兩種:參數法(Parametric Approach)

與無參數法(Nonparametric Approach)。

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一、參數法 :透過預設的生產函數求得生產的效率邊界來進行生 產 力 評 估 , 由 於 營 利 組 織 之 投 入 產 出 項 目 較 易 確 認 且 易 量 化,一般使用於營利組織居多。

二、無參數法:無須透過預設生產函數即可求得生產的效率邊界。

由於非營利組織多元評估準則多不易量化 ,且對於投入產出 之函數關係亦不顯著。 一般應用無參數法進行生產力評估者 中以非營利組織居多。

傳 統 衡 量 生 產 函 數 的 效 率 , 多 採 用 最 小 平 方 法 估 計 生 產 函 數,惟以迴歸方法求出來的平均生產函數來評估生產效率 ,其平 均績效標準易產生很大的偏誤 ,因為生產函數理論上是廠商在現 有的技術水準限制下 ,利用特定投入所能產生的最大產出量所形 成的投入產出關係,其所得到的生產函數應是前緣函數(Frontier Function) 的觀念 , 亦即實際生產不可能高於前緣生產函數的產 量,因而以平均生產函數來估計生產效率,將造成很大的偏誤,

容易產生誤導性指標 ,且在真實狀況中生產函數的選定與屬性權 數的決定亦屬不易。

Farrell 發 表“The Measurement of Productive Efficiency” 論 文中以「非預設生產函數」代替慣用的 「預設生產函數」 求出效 率前緣( Efficiency Frontier) 曲線,並根據此前 緣曲線評估生產 單位的效率【97】。可稱為無參數效率衡量的先驅者。

該理論主要基於三個基本假設:

一、生產邊界(Production Frontier)是由最有效率的單位所構成,

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較無效率的單位皆位於此邊界之外。

二、固定規模報酬(Constant Returns to Scale)。

三、生產邊界是凸向原點(convex),每點的斜率皆不為正。

Farrell 模式是利用數學規劃( Mathematical Programming)方 法求得技術效率 (Technical Efficiency,TE)與價格效率(Price Efficiency,PE)。所謂技術效率是指現有的技術水準下, 投入資 源有效利用的程度; 由實際觀察點與投射至邊界上投影點之相對 位置關係, 即可求得單位的技術效率。 價格效率則指在既定的要 素成本價格比率下, 以最低成本的要素投入比例組合進行生產。

由投入價格比即可求得單位的價格效率 。將技術效率與價格效率 技術兩者相乘, 即可求得單位的整體效率( Overall Efficiency,

OE)。

整體效率(OE)=技術效率(TE)×價格效率(PE)

Farrell 的架構可以圖 3.5【97】來解釋:

假設一組織只有 X1和 X2投 入,生 產 Y1產出時,其生產函數 為 Y=f(X1,X2

Farrell 則假設生產函數為固定規模報酬(Constant Return to Scale),生產函數則為

1=f(X1/Y,X2/Y)

圖 3.5 之 SS’曲線為等量曲線( Isoquant),則實際生產組合 必落於 SS’之右上方,Q 點和 P 點代表是二種因素比例相同的組 合,而 Q 點使用之投入量僅為 P 點 的 OQ OP,卻會有相同的產

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量,因此可以 OQ OP 來衡量 P 點的技術效率,即 TE=OQ OP,

且 TE<1

此外假設投入 X1、 X2 之相對價格比為 AA’之斜率,則可 定 義 P 點之價格效率為 OR/OQ,即 PE=OR/OQ

OE

OP OR OP OQ OQ

OR × = =

故整體效率為技術效率和價格效率的乘積

圖 3.5 之 Q’點代表 PE=TP= 1,即在此點之技術效率和價格 效率皆等於 1,此時整體效率 OE 等於 1,OE=PE ×TE=1。

由於 Farrell 模式之評估僅限於單一產出情況,使用上有其限 制。因此 Charnes、Cooper 及 Rhodes(CCR)【 89】 根據 Farrell 效率衡量觀念建立一般化之數學規劃模式,衡量在固定規模報酬 下多項投入 、多項產出之多元評估準則環境,並定名為資料包絡 分析法( Data Envelopment Analysis, DEA), DEA 模式之提出就 此奠定無參數法在效率衡量上的理論地位。

圖 3.5 技術效率與價格效率圖圖圖 X2/Y

P S A Q

R

O A’ X1/Y Q’’ S ’’

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84 3.2.2 資 料 包 絡 分 析 法 之 基 本 理 論

包絡線( Envelopment)是資料包絡分析法的理論基礎,包 絡 線係由經濟理論中成本與生產規模二者之間在平面上所對應之關 係 , 形 成 一 條 最 適 生 產 規 模 的 生 產 可 能 曲 線 , 亦 稱 為 效 率 前 緣

(Efficiency Frontier)。

包絡線由最佳生產規模與最低成本所形成,其生產規模與成 本組合之生產型態應落在包絡線上,稱之為有效率的生產點,而 未落在包絡線上者則稱之為無效率的生產點。如圖 3.6 所示【 39】。

圖 3.6 包絡線

資料包絡分析( DEA)係 Charnes、Cooper 及 Rhodes 依 據 Farrell 之效率衡量觀念所提出一種用於公眾或非營利決策單位之 績效評估的線性規劃模式,衡量在固定規模報酬下多項投入、多 項產出時之效率,並將其方法定名為 Data Envelopment Analysis

【89】。至 1984 年, Banker、Charnes 及 Cooper 再提出改良模式 用以衡量純技術效率及規模效率【 81】。而 DEA 方法是以比例(產 出/投 入 )方式出現的效率評估模式,與總生產要素生產力(Total Factor Productivity) 之 意 義 相 同 , 且 其 係 根 據 柏 拉 圖 最 適 法 則

( Pareto Optimality ), 針 對 各 個 決 策 單 位 ( Decision Making 成本

LAC(長期平均成本曲線)

生產規模

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Units, DMU)計算出組織的相對效率 (Relative Efficiency),而 以此用來評估比較相似性質機構間之相對效率的高低。

以 下 就 DEA 之 CCR、 BCC 模 式 進 行 探 討 , 並 附 帶 說 明 Andersen 與 Pertersen 模式:

一、CCR 模式

Charnes、Cooper 及 Rhodes【 89】將 Farrell 的多項投入與產 出效率衡量的觀點轉換成數學比例模式 ,即將一個 DMU 所有產 出項加權總和除以所有投入項的加權總和,求得之最大比值做為 效率分數或效率值, 並以數學規劃模式求取生產邊界,在固定規 模報酬(CRS)下,衡量決策單位( DMU) 的相對效率,正式定 名 為 資 料 包 絡 分 析 法 ( DEA), 以 三 位 學 者 的 姓 氏 縮 寫 , 簡 稱

「CCR」。

CCR 模式假設有 n 個決策單位,每一個 DMUj( j=1,… ,n)使 用 m 個投入 Xi( I=1,… ,m),生 產 s 個產出 Yr( r=1,… ,s),且目標 DMU 之效率值為:

Max h0

=

= m

i

io i s

r

ro r

X V

Y U

1

1 … … … (公式一 )

Subject to:

=

= m

i

ij i s

r

rj r

X V

Y U

1

1 1

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86

Ur, Viε j=1,… ,n ; r=1,… ,s ; i=1,… ,m 式中: h0 :表示目標 DMU 之相對效率值;

Yrj :第 j 個 DMU 之第 r 個產出項;

Xij :第 j 個 DMU 之第 I 個投入項;

Ur :第 r 個產出項的權數;

Vi :第 i 個投入項的權數;

n :決策單位數;

s :產出項個數;

m :投入項個數;

ε :極小的正數(非阿基米德數,non-archimedean quantity)。

由上述模型可看出,CCR 模式事實上就是求產出與投入之間 的比值,模式中的 Yrj 與 Xij 為已知, DEA 係根據各 DMU 所形 成的可行解集合(Solution Set), 尋找對 DMU 最有利的加權值 Ur 與 Vi,在效率值不大於 1 的限制條件下,使該 DMU 之效率值 h0為最大。 而該模型並非線性規劃計算式,求解並不容易 ,所以 利用一連串的數學技巧將其轉換成線性規劃模式並分為產出模式 導向與投入導向模式以利求解。

(一)投入導向模式

投入導向模式的主要概念是將所有產出項的權重加總,並使其 總和為 1 的情況下,使資源投入的權重總和為最少,所以其目

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87 標函數為極小值,其模式如下:

Max hk=

=

= m

i

ik i s

r

rk r

X V

Y U

1

1 … … … (公式二)

Subject to: 1

1

1

=

= m

i

ij i s

r

rj r

X V

Y U

Ur,Vi0

則 Min fk

=

= s

r

rk r m

i

ik i

Y U

X V

1

1 … … … (公式三)

Subject to: 1

1

1

=

= s

r

rj r m

i

ij i

Y U

X V

Ur,Vi0

以代數變換方式求解:

令 Wi

UVirYrk μr

UUrrYrk t-1

UrYrk

i i

V W

Ur µr

=t

(22)

88 則 Min fk

=

=

s

r

rk r m

i

ik i

Y t

X W t

1 1

1 1

µ

Subject to:

=

m

i

ij iX W t

1

10

1

1

=

s

r

rj rY

t µ Wi , μr0

則 Min fk

=

= s

r

rk r m

i

ik i

Y X W

1 1

µ

Subject to:

= m

i

ij iX W

1

0

1

= s

r

rj rY

µ Wi , μr0

假設

= s

r

rk rY

1

µ =1

則 Min fk

= m

i

ik iX W

1

Subject to:

= m

i

ij iX W

1

0

1

= s

r

rj rY µ

= s

r

rk rY

1

µ =1 Wi , μr0

因為假設

= s

r

rk rY

1

µ =1 又 t-1

UrYrk 故 t=1

(23)

89 則

i i

V W

Ur

µr =t=1 故 Wi=Vi , μr=Ur

則 Min fk

= m

i

ik iX V

1

Subject to : 0

1 1

= = s

r

rj r m

i ij

iX UY

V

= s

r

rk rY U

1

=1 Vi ,Ur0

(二)產出導向模式

產出導向模式的主要概念是將所有投入項的權重加總,並使 其總和為 1 的情況下,使資源產出的權重總和為最多,所以 其目標函數為極大值。其模式轉換可由上述相同之過程獲得 如下:

Max gk

= s

r

rk rY U

1

… … … (公式四)

Subject to: 0

1 1

= = s

r

rj r m

i

ij

iX U Y

V

= m

i

ik iX V

1

=1 Vi , Ur0

將線性規劃模式轉換成對偶模式求解,其轉換過程如下:

(24)

90 (一)投入導向模式

Min fk

= m

i

ik iX V

1

Subject to: 0

1 1

= = s

r

rj r m

i

ij

iX U Y

V

1

1

=

= s

r

rk rY

U Vi, Ur0

Charnes、Cooper 及 Rhodes 修正原始模式中關於各個權數的 限制,將原先非負的條件修正為正的限制,引進一極小的正數值 ε(例 0.00001)來修正模式 ,使得所有權重係數 Ur, Vi 都須為 正值,不得為 0,以確保每一個投入或產出項均不得忽略不計。

Min fk

= m

i

ik iX V

1

Subject to: 0

1 1

= = s

r

rj r m

i

ij

iX U Y

V

1

1

=

= s

r

rk rY

U Vi ,Urε0

在轉換成對偶模式的過程中, 引用差額變數的觀念來修正評 估與評估 DMU 的前緣效率, 當 DMU 為有效率時,其投入與產 出之差額變數皆為 0,反 之,則不為 0。差額變數是線性規劃中將

(25)

91

不等式轉化為等式常用的變數。其對偶轉換過程如下:

Min fk=V1X1k+V2X2k+… … +VmXmk Subject to:

V1X11+V2X21+… … +VmXm1-U1Y11-U2Y21-… … UsYs10 λ1

V1X12+V2X22+… … +VmXm2-U1Y12-U2Y22-… … UsYs20 λ2

. . .

V1X1n+V2X2n+… … +VmXmn-U1Y1n-U2Y2n-… … UsYsn0 λn

U1Y1k+U2Y2k+… … +UsYsk=1 ψk

V1 >εS1k

V2 >εS2k

. .

.

Vm >εSmk

U1 >εS1+k

U2 >εS+2k

. .

.

Us >εS+sk

(26)

92 則其對偶模式為:

Max Wk=ψ k+ ε(

∑ ∑

= +

=

+ s

r rk m

i

ik S

S

1 1

)… … … (公式五 )

Subject to:ψkYrk+

=

n + rk

j

rj

jY S

1

λ =0 , r=1,… … ,s

=

n + ik

j

ij

jX S

1

λ =Xik , i=1,… … ,m

λj ,S+rk,Sil0 , j=1,… .… ,n λ=DMUk之參考集合

當 W*k=f*k= 1( *1 表示最適解),Sik=S +rk=0, 係 DMUk 達 到柏拉圖最適境界,亦即相對有效率。

(二)產出導向模式之偶題

依前述方式求解,其對偶模式如下:

Min Zk=θk-ε(

∑ ∑

= +

=

+ s

r rk m

i

ik S

S

1 1

Subject to: +

=

n rk

j

rj

jY S

1

λ =Yrk , r=1,… … ,s

= +

n k ik ik

j

ij

jX θ X S

λ

1

=0 , i=1,… … ,m

(27)

93

λj ,S+rk ,Sik ≥0 , j=1,… … ,n

若 DMUk 為相對無效率, 則調整投入Δ X’ik= Xik- X’ik, 產 出ΔY’rk=Yrk-Y’rk,如此 DMUk即達到有效率。

CCR 模式根據柏拉圖最適境界觀念,界定效率唯有當下列情 況發生時,DMUs 方能達到 100%效率。

(一)除非增加投入資源或減少若干其他產出項的產生,否則一產 出項的產量無法被增加。

(二)除非減少產量或增加若干其他投入項的投入資源,否則一投 入項的投入量無法被減少。

(三)產出與投入因素間存在線性的生產關係。

因此可知,CCR 模式是在固定規模報酬之條件下來衡量整體 技術效率。

二、BCC 模式

相對於 CCR 模式,Banker、Charnes 及 Cooper 進一步放寬固 定規模報酬之假設, 以投入具變動規模報酬之假設重新建立 DEA 模型。但是當規模報酬為可變動時,任 一 DMU 無效率的原因,可 能有部份是來自運作規模的不當,因此為了研究無效率形成的因 素,Banker、Charnes 及 Cooper 將技術效率( TE)分解成純技術 效率(PTE)與規模效率(SE),由此用以衡量效率,稱 BCC 模式 。 如圖 3.7【81】。

(28)

94

圖 3.7 總效率、純技術效率與規模效率之關係

圖 3.7 的 X 軸表投入 , Y 軸表產出 ,OD 邊界是固定規模報 酬(Constant Return to Scale,CRS)的生產邊界; FECG 所形成 的邊界是變動規模報酬( Variable Return to Scale, VRS) 的生產 邊界。A 點為受評估的 DMU,其投入量為 XA,產出量為 YA,就 投入面而言 ,在同樣產出量為 YA的情況下, A 點須投入 OXA的 量, B 點須投入 OXB的量, N 點須投入 OXN的量 ,可 知 A 點之 純粹技術效率 PTE= MB/MA=OXB OXA;而 A 點相對於 N 點 的技術效率為 TE= MN/MA=OXN OXA。E 點代表在變動規模報 酬( VRS)下,投入與產出的組合( X,Y)達到技術效率者,同 時亦具有純技術效率與規模效率,是生產可能集合內,所有投入 產出組合的平均生產力最大,也是最具有效率的,而 A 之規模效 率值為 SE= TE PTE= MN MB=OXN OXB,因此 A 點總效率

XN

產出 Y

YE

YA R

M N B

E C

A

F

G

投入 X D CRS

VRS

0 XB XA XE

(29)

95

之衡量須與 E 點作比較,而 N 點的平均生產力與 E 相同( 產出與 投入之比值相同),故 以 N 為參考點,A 的總效率為 MN MA( XN

XA),此即為 CCR 模式所衡量之效率值。當規模效率值等於 1 時,表示該 DMU 處於固定規模報酬, 具有規模效率,當規模效 率值不等於 1 時, 表示該 DMU 處於規模遞增或遞減的無規模效 率階段。此一現象可供決策者作為調整生產規模之參考。

BCC 模式較 CCR 模式多加一凸性性質的限制, 並要求Σ λj

=1 外,尚加一個變數 Uk為Σλj= 1 限制式相對應的變數,代表 規模報酬的指標,如 圖 3.8【 81】 所示。由 於 BCC 模式之效率邊 界是假設在變動報酬規模所決 定的,而其凸性性質Σλj= 1 的限 制,使得效率面,不通過原點 ,也就是說,在變動報酬規模,其 效率邊界的直線並不通過原點,且與 Y 軸有一常數截距,此一截 距即為 UK。因 此 BCC 模式可透過 UK來判斷 DMU 之規模報酬狀 況,當 UK> 0 時,表示該 DMU 處於規模報酬遞減;當 UK< 0 時,

表示該 DMU 處於規模報酬遞增;當 UK= 0 時,表示該 DMU 為 固定規模報酬。因此 BCC 模式之投入導向的線性規劃及對偶模式 表示如下:

Max hk

= s

r rk rY U

1

- Uk … … … ..( 公式六)

Subject to:

∑ ∑

=

= m

j

ij i s

r

rj

rY VX

U

1 1

-Uk0

(30)

96

= m

i

ik iX V

1

=1

Vi ,Ur≥ε0 其對偶函數為:

Min hk=θk- ε

+

= =

+ m

i

s

r rk

ik S

S

1 1

… … … ..(公式七 )

Subject to: +

=

n rk

j rj

jY S

1

λ =Yrk

= n

j

ij jX

1

λ θkXik+Sik =0

= n

j

j

1

λ =1

λj ,Srk+ ,Sik0

基於柏拉圖 最適境界之效率觀念, 效率的衡量只要求得生產 前 緣 即 可 將 實 際 生 產 與 生 產 前 緣 加 以 比 較 , 進 而 衡 量 出 其 效 率 值。DEA 方法在幾何上將所有被評估決策單位( DMU)的投入項 及產出項投射到空間中,找尋生產效率前緣, 凡落在生產前緣線 上的 DMU,則其投入產出組合相對於其他 DMU 是有效率的,且

(31)

97

圖 3.8 規模報酬變動情形

其生產效率值為 1;凡落在邊界? 的 DMU,DEA 則認為是無效率 的,以臨近效率值為 1 的單位為參考點,計算出一個介於 0∼ 1 之 間的相對效率值。DEA 模式不僅可指出無效率的 DMU,而且還給 了一個相對於有效率單位的效率值,來表示該 DMU 的效率情況,

並指出這些無效率 DMU 應如何調整其投入與產出量的大小,以達 至效率邊界上,達到有效率的狀況。

三、Andersen 與 Petersen 模式

由於 CCR 模式與 BCC 模 式在評估 DMU 之效率時,其效率 評估值皆介於 0∼ 1 之 間,達效率水準者皆給予 1 的評估分數,如

VRS Y

0

B

C

A

生產可 能集合

X

(32)

98

此將無法比較出同樣具有效率的 DMU 之間的優劣情形。Andersen 與 Petersen【 76】認為可以用類似對無效率的 DMU 評分方式,

讓有效率的 DMU 也能有一個相對分數, 而非全然均等於 1。依 照 Andersen 與 Petersen 的作法 ,係在評估具效率水準的 DMUK 之效率值時,使 DMUK與其他單位所構成的線性組合做比較,而 本身則排除在參考組合之外 ;如此 ,將會有兩方面效果 : 1.原本 無效率之 DMU 的效率值並不會改變;2.原 本有效率之 DMU 的效 率值將大於 1。 換言之 ,當所獲得的結果越大, 則顯示該 DMU 越有效率,其衡量模式如下:

Min hj0=θ -ε

+

= =

+ m

i

s

r rj

ij S

S

1 1

0

0 … … … ..(公式八)

Subject to:

= n

j k k

k

kX

1

λ -θXj0+Si=1

= n

j k k

k

kX

1

λ -S+r=Yj0

λk , Si , S+r0

3.3 資料包絡分析法之特性與應用

3.3.1 資 料 包 絡 分 析 法 之 特 性

有鑒於非營利組織之本質, Lewin【 116、 117】針 對 DEA 的 評估方法,提出如下特性:

(33)

99

一、可處理多項投入、多項產出之評估問題

DEA 極易於處理多項投入、多項產出之評估問題,而無須面 臨預設函數之認定及參數估計之困難, 在實用上較為可行 。 二、單位不變性(Units Invariance)

只要受評估之 DMU 均使用相同計量單位,目標函數不受投 入產出計量單位之影響。譬如某一產出 Yr 以公斤計量或以 公頓計量其效率均相等。

三、屬於一種相對效率觀念,而非絕對效率

DEA 評估效率結果是為受評者相對間之效率,即各 DMU 間 相對最有利的效率值。

四、可以單一綜合指標衡量效率

以 DEA 評估效率之結果係為一綜合指標,此綜合指標適可 描述經濟學上總要素生產力(Total Factor Productivity)之 概 念。

五、權重之決定不受人為主觀因素之影響

以 DEA 模式中之權重係由數學規劃產生,無人為主觀的成 分在內,因而能滿足立足點的公平原則 。在設定之評估方式 下,任一 DMU 均無法依主觀判斷找到另一組權重,而使其 效率大於以 DEA 模式之評估結果。在此特性下 ,只要受評 估者均事先接受評估規則,則每一受評估者應無產生不公平 之感覺。

六、可同時處理比率資料及非比率資料

(34)

100

DEA 方法不僅可處理比率尺度資料( Ratio scale) ,亦可處 理順序尺度資料( Ordinal Scale) ,使其在資料處理上較具 彈性。

七、可處理組織外之環境變數

基於 DEA 方法可同時處理比率資料及非比率資料之特性 , 因而對組織外之環境變數亦可加以處理 ,亦 即 DEA 方法可 同時評估不同環境下 DMU 之效率。

八、可獲得資源使用狀況之相關資訊

由 DEA 模 式 中 之 惰 變 數 及 效 率 值 可 瞭 解 組 織 資 源 使 用 狀 況,進而提供管理者擬訂決策時之參考。

基於上述評估特性,Lewin 因而認為 DEA 為一效率評估之優 良方法。

相對於 DEA 在評估方法的上特性 , Lewin 亦提出 DEA 模 型 的基本假設 , 若研究條件與假設不相符合時 , 便會影響到 DEA 模型的實用價值。

一、每一決策單位( DMU)必須具有相類似的投入與產出因素 。 由於 DEA 模型是用來評估所有 DMUs 間的相關效率,因此 具備類似經驗條件( Operational Condition)為此模型在運用 時的基本前提。若不能滿足此前提, DEA 模型的評估結果會 喪失意義。

二、 投 入 及 產 出 因 素 必 須 是 多 元 的 , 非 等 量 的 。 但 這 些 因 素 至 少須具有順序上(Ordinal)的意義。

(35)

101

如果投入 、產出因素是單一的 ,直接的績效比較即是方便可 行的方法。 DEA 模型的長處乃在對「 多元投入 -多元產出」

因素之間做相對關係的評估,因此各個因素間的價值( Value)

不須相等 ,但至少必須具有順序上的意義 ,如此才能對各決 策單位做相對效率評估。

三、對投入產出因素賦予價值。

必須賦予各個投入 、產出因素價值比較才有意義 。尤其在服 務性的投入 、產出因素比較時 ,價值的賦予是一 件困難的工 作,但只有在各因素都能被賦予價值表示時 ,才能做相對效 率的比較。

而 DEA 在使用上亦有下列之限制:

一、未考慮隨機誤差。

DEA 屬於規劃的範疇,資料必須十分精確,否則效率前緣可 能不正確,效率值也將受影響。

二、 DEA 可求得無效率之 DMU,但必須進一步調查方能知道其 真正無效率的原因。此 外,DEA 並未對有效率的單位再區分 彼此間的效率程度。

三、DEA 之效率邊界是由受評估單位中最有效率的單位所構成,

因此衡量對象的變動、投入與產出要素的多寡都可能影響 EA 效率前緣的形狀或位置;也就是說,DEA 對於衡量對象、投 入與產出要素的變動可能相當敏感,此 為 DEA 之特性, 亦 為其限制。

(36)

102

四、受評估對象之間的同質性必須較高,否則衡量的效果不佳。

五、樣本中若有極端值(Outlier)出現,則 DEA 的分析結果將因 此而有顯著改變或者失效。

3.3.2 資 料 包 絡 分 析 法 之 應 用 程 序

針對 DEA 的實施流程, Golany 與 Roll 將資料包絡分析法的 應 用 程 序 提 出 系 統 化 的 介 紹 , 茲 將 三 個 主 要 的 應 用 階 段 說 明 如 下,並如圖 3.9【100】所示。

圖 3.9 DEA 應用流程圖 一、定義並選擇受評單位進行分析

決策單位( DMU) 為 DEA 用來評估與比較的單位,在選取 DMU 時必須考慮下列條件:

(一)同質性(Homogeneous)

(37)

103

1.各 DMU 需是在相同的組織目標下,執行相同的工作任務。

2.所有的 DMU 在相同的市場條件下運作。

3.各 DMU 的投入、產出要素必須相同,但投入與產出項的 強度或幅度可不同。

(二 ) DMU 的數量

選擇較多的 DMU 較能界定投入與產出間的關係 ,也較可能 獲得具有高度表現的單位以建立效率邊界,但若選擇過多的 DMU,容易降低單位的同質性而增加影響評估結果的外在因 素,亦可能導致出現過多有效率的單位 ,失去效率衡量的意 義。因此依據 DEA 分析的經驗法則得知:DMU 之數目至少 應為投入要素與產出要素個數總和的兩倍【129】。

(三)刪除 DMU 中極端的異常值,以免影響整體的評估效率。

二、投入與產出項的決定

在確定受評估單位之後,下一步即是投入與產出項的選取 , 投入係對於產出有貢獻之各項資源,產出係達成組織目標的具體 化衡量項目 ,因此投入與產出項總數與分析對象個數之間 ,需維 持某些特定關係,以保證 DEA 模式衡量的結果具有效性 。其步 驟有二:

(一)初步選擇

在考慮投入與產出要素時, 範圍越廣越好 ,這些要素可能是 可控制或不可控制因素 ,或定量或定性的因素 。但 若選用太 多要素進行評估,會造成 DMU 間的差異被稀釋抵銷,因而產

(38)

104

生大量有效率的 DMUS,以致失去評估的意義。 因此確立組 織目標, 建構評估標準 ,進而選取適當的投入與產出項則是 為必須。

(二)要素篩選

篩選的過程(階段)如下【100】:

1.判斷篩選程序

(1)所有要素必須跟 DMU 有關 (2)要素是否與欲達成的目標有關 (3)要素資料儘量取得且具有公信力

2.非 DEA 量化方法(Non-DEA Quantitative methods)

(1)要素可否用數量價值衡量:如以經費、人數或數量等作 為衡量單位。

(2)同向性( Isotonicity)的假設: DEA 之同向性的假設,

係 指 增 加 任 何 一 項 投 入 要 素 並 不 會 導 致 任 一 項 產 出 要 素減少。

(3)區分要素為投入要素或產出要素:將所得到的因素區分 為投入項與產出項, 所使用的資源影響該 DMU 之營運 者可視為投入;產生可衡量的利益則視為產出。

三、DEA 理論模式之應用與產出分析討論

要 素 篩 選 的 最 後 階 段 , 是 以 各 種 投 入 與 產 出 的 結 合 進 行 DEA 分析,以決定最後的分析模式。一般 DEA 皆 由 CCR 模式開 始,先決假設為固定規模報酬 (CRS),而佐以 BCC 模式為變動

(39)

105

規模報酬( VRS),運用投入與產出個數的變換求其效率值,最後 將所有模式求得的相對有效性作比較, 以決定何者模式較佳,區 別力較強,即 為「敏感度分析」, 可以得到投入產出要素對 DMU 效 率 的 影 響 。 而 以 效 率 邊 界 為 標 準 , 針 對 被 評 為 相 對 無 效 率 之 DMUs 進行分析,即為「差額變數分析」,可以清楚瞭解各組織在 目前經營情況下資源使用狀態及可改善的方向與幅度。

針對技術學院之經營目的可以看出,此非營利組織屬多投入 多產出之情形,雖然各校主要的經營項目不盡相同,但在變項的 選擇上則可針對共同的經費支出、專任教師博士比、畢業人數及 教師期刊發表數等各校使用相同計量單位之資料進行衡量 ,且衡 量結果為此一評估樣本之相對效率值, 其不受人為主觀因素之影 響。相較於比率分析法可能會因使用不同指標導引不同結果,迴 歸分析法以平均概念無法區分高低效率及個別改善依據之缺憾,

本研究期以採用資料包絡分析法以客觀且多元的指標針對個別學 校 提 出 其 在 經 營 上 的 效 率 , 及 各 投 入 產 出 項 潛 在 改 善 方 向 的 建 議,供各校參考。

參考文獻

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