姓 名 一、單選題 (每題 5 分)

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：98.09.22 班級

範

圍 1-1 整數(3)

座號

姓 名 一、單選題 (每題 5 分)

( ) 1. 設 a 及3 25 2 5

a a



 均為自然數﹐則滿足條件的 a 有幾個﹖ (1)5 (2)4 (3)3 (4)2 (5)1﹒

解答 2

解析 2a5 | 3a25, 2a5 | 2a 5 2a5 | 2(3a25)3(2a ﹐ 5)

2a5 | 65﹐又 a 為正整數﹐ 3a25為正整數

2a 為正整數5 2a  ﹐5﹐13 或 65﹐∴5 1 a ﹐5﹐9 或 35﹒共 4 個 a 滿足條件﹒ 3 ( ) 2. 下列何者是質數？ (1) 97 (2) 143 (3) 221 (4) 361 (5) 529

解答 1

解析 ∵ 比

97

小的質數 2，3，5，7 都不是 97 之因數 ∴ 97 為質數 ( ) 3. 設 n 為正質數，且 p  n⁴  3n²  9 亦為質數，則 n 之值為

(1) 2 (2) 3 (3) 5 (4) 7 (5)13 解答 1

解析 ∵n⁴  3n²  9  (n⁴  6n²  9)  9n²  (n²  3) ²  (3n) ²  (n²  3n  3)(n²  3n  3)為質數 又 n²  3n  3 > n²  3n  3

∴ n²  3n  3  1  n²  3n  2  0  (n  1)(n  2)  0

 n  1 或 n  2（但 1 不是質數，不合）

∴ n  2，此時 p  16  12  9  13

( ) 4. 李家三兄弟寄宿在外，大哥每 5 天回家一次，二哥每 7 天回家一次，三弟每 15 天回家 一次；已知 2004 年的五月九日（母親節）同時回家相聚後，三兄弟下一次再度同時回 家相聚的時間是當年的

(1) 8 月 8 日 (2) 8 月 20 日 (3) 8 月 21 日 (4) 8 月 22 日 (5) 8 月 23 日 解答 4

解析 ∵ [5，7，15]  105 ∴ 三兄弟每次同時回家相隔 105 天

又 5 月 10 日至 5 月 31 日有 22 天，6 月有 30 天，7 月有 31 天，8 月有 31 天

∴ 由 5 月 10 日到 8 月 22 日共有 22  30  31  22  105 天，下次返家為 8 月 22 日

二、多選題 (每題 10 分 )

( ) 1. 設 a，b，c 均為整數，下列敘述何者恆真？

(1)若 a | c，b | c，則 ab | c (2)若 a | bc，則 a | b 或 a | c

(3)若 a | b，a | c，則 a | (b  c) (4)若(a，b)  1，則 a，b 必為質數 (5)若(a，b)  1，則(a．b，a  b)  1

解答 35

解析 (1)若(a，b)  1，則不真 (2)若 a 不是質數，則不真

(4)若 a  4，b  7，則(a，b)  1，但 a  4 不是質數

( ) 2. 設 a  Z，a  0，(a，48)  1，則 (1) (a，144)  1 (2) (a²，72)  1 (3) (a³，24)  1 (4) (2a，3)  1 (5) (a  12，36)  1

解答 12345

解析 ∵ (a，48)  1  (a，2⁴  3)  1  a 不是 2 的倍數，a 不是 3 的倍數

∴ (1) (a，144)  (a，2⁴  3²)  1 (2) (a²，72)  (a²，2³  3²)  1

(3) (a³，24)  (a³，2³  3)  1 (4) (2a，3)  1 (5) (a  12，36)  (a  12，2²  3²)  1

三、填充題 ( 每題 10 分)

1. 若函數 ( )f x 表2^x之個位數字﹐例如 (3) 8f  ﹐ (4) 6f  ; 則 (1)f  f(2) f(3) …f(50) ____﹒

解答 246

解析 f(1) 2 f(5) f(9)= …﹐

(2) 4 (6) (10)

f   f  f  …﹐

(3) 8 (7) (11)

f   f  f  …﹐

(4) 6 (8) (12)

f   f  f  …﹐ 2,4,8,6 四個為一週期

 f(1) f(2) …f(50)(2   4 8 6) 122+4246﹒ 2. 設 n 為正整數﹐且

3 2

2 3 5 9

2

n n n

n

  

 為質數﹐則 n = ____________﹒

解答 1 或 7

解析 原數= ² 5

(2 7)

n n 2

  n

 為質數﹐

先令n2 | 5, (n   ﹐得2 1) n   ﹐1﹐5﹐即 n = 1﹐3﹐7﹐ 2 1

再一一代回 ² 5

(2 7)

n n 2

  n

 ﹐驗算是否確為質數﹒n = 1﹐7

3. 在 3150 之正因數中，為 25 之倍數，但不為 9 之倍數，其總和為____________。

解答 2400

解析 3150  2  3²  5²  7，所求  (2⁰  2¹)(3⁰  3¹)(5²)(7⁰  7¹)  3  4  25  8  2400 4. 正整數 n 被 18，26，28 除，所得餘數依次為 11，19，21，則

(1) n 之最小值為____________。 (2)若 n  10000，則 n 之最大值為____________。

解答 (1)3269;(2)9821 解析

(1)n



k

[18, 26, 28] 7   

n

3276

k

 7

， 取k  1 n 3276 1 7  3269最小 (2) 取k  3 n 3276 3 7  9821

5. x 是自然數，且[x，18]  90，則 x 的值可為____________。

解答 5，10，15，30，45，90

解析 ∵ [x，18]  90 ∴ 18 | 90 且 x | 90

∵ 90  18  5 ∴ 令 x  5t，則 5t | 90  t | 18

∵ x  N ∴ t  N  t  1，2，3，6，9 或 18 故 x  5，10，15，30，45 或 90

6. 七位數 43a35b2 為 12 之倍數，則此種七位整數共有____________個。

解答 17

解析 ∵ 七位數 43a35b2 為 12  3  4 之倍數 ∴ 為 4 之倍數且為 3 之倍數 (1) b2  b  10  2 為 4 之倍數 ∴ b 可能為 1，3，5，7，9

(2) 4  3  a  3  5  b  2  a  b  17 為 3 之倍數  3 | a  b  2 ∵ 0  a  9，0  b  9 ∴ 0  a  b  18

∵ 3 | a  b  2 ∴ a  b 可能為 1，4，7，10，13，16 (3)∵ b 1 1 1 1 3 3 3 5 5 5 7 7 7 7 9 9 9

a 0 3 6 9 1 4 7 2 5 8 0 3 6 9 1 4 7

∴ 七位數共有 4  3  3  4  3  17 個

7. 設 a，b，q1，q2，q3  N，且滿足

 

 















17 85

272

85 272

272

3 2 1

q q b

bq a

，則 a，b 之最大公因數____________。

解答 17 解析

1 2

3

272 272 85 272 85 17 a bq

b q

q

 

  

  



∴ (a，b)  (b，272)  (272，85)  (85，17)  17

8. 540 之(1)正因數有____________個，(2)所有正因數之和為____________。

(3)又滿足 x² | 540 之整數 x 共有____________個。

解答 (1)24;(2)1680;(3)8 解析 ∵ 540  2²  3³  5

∴ 正因數之個數為(2  1)(3  1)(1  1)  24

正因數之總和為(2⁰  2¹  2²)(3⁰  3¹  3²  3³)(5⁰  5¹)  1680 又滿足 x² | 540 之整數 x | 2¹  3¹



整數 x 的個數等於 2(1  1)(1  1)  8

9. 兩正整數 a，b，a  b，且 a  b  72，[a，b]  7(a，b)，則 a ____________。

解答 63

解析 設 d  (a，b)，則 a  dh，b  dk，h  k 且(h，k)  1 ( ) 72

[ ] 7

a b d h k

a b dhk d

   

  







，



 ，由得 hk  7，即 h  7，k  1，代入，得 d  9 故 a  dh  9  7  63

10. 設 a，b  N，a > b，a．b  864，[a，b]  144，求 a，b 之值。

解答 a  48，b  18 或 a  144，b  6

解析 設(a，b)  d，a  hd，b  kd，則(h，k)  1

∵　a．b  864　∴　hkd

²

 864 ……

∵　[a，b]  144　∴　hkd  144 ……

^，





得 d  6 ∴ hk  24

∵ (h，k)  1 且 a  b ∴ h  k  h  24，k  1 或 h  8，k  3

∴

  













6 6 1

144 6 24

b

a 或

 















18 6 3

48 6 8

b a

11. (1)求 6328 與 18645 之最大公因數____________。

(2)續上題，找出一組整數 m，n 使 6328m  18645n  (6328，18645)，則數對(m，n) __________。

解答 (1)113;(2) (56, 19) 解析 (1)利用輾轉相除法

a -2a+b

6328 5989

18645 12656

b 2a 3a -b

-53a+18b 339 226

5989 5763

- 2a +b 51a-17b 56a-19b 113 226

226

-53a+18b

∴ (6328，18645)  113

(2) 113  6328  56  18645  ( 19)， ∴ (m，n)  (56， 19)

12. n  2⁷  3⁴  5³的正因數中，被 45 整除，不被 8 整除者共____________個。

解答 27

解析 45  3²  5 n  2⁷  3⁴  5³ ↓ ↓ ↓ 2⁰ 3² 5¹ 2¹ 3³ 5² 2² 3⁴ 5³

∴ 方法共 3  3  3  27 種

13. a，b，c  N，a  2b  3c  0，3a  b  5c  0 且(a，b，c)  [a，b，c]  2733，則 c ____________。

解答 15 解析

 















0 5 3

0 3 2

c b a

c b

a 

2 3 3 1 1 2

: : : : 13 :14 : 5

1 5 5 3 3 1

a b c

 

 

   

設(a，b，c)  k，則[a，b，c]  [13k，14k，5k]  910k

(a，b，c)  [a，b，c]  k  910k  911k  2733  k  3  c  5k  15 14. 設有三個質數，其積為其和的 17 倍，則此三質數為____________。

解答 2，17，19

解析 設三質數為 m，n，p，則 mnp  17(m  n  p)

 17 | mnp，三質數 m，n，p 中，設 p  17 且m



n，mn  m  n  17

 mn  m  n  17  m(n  1)  (n  1)  18

 (m  1)(n  1)  18 

 











6 9 18 1

3 2 1 1

，

，

，

，

n

m  m  2，n  19

∴ 三質數為 2，17，19

15. x，y  N，xy  2x  3y  0，則(x，y) ____________。

解答 (3， 1)

解析 xy  2x  3y  0  x(y  2)  3(y  2)   6  (x  3)(y  2)   6(x，yN)

x  3 1

2 3 6

y  2  6  3  2  1 ^

x

 2  1 0 3

y

 4  1 0 1

(x，y)  (3，1)

16. 設 n  N，以 n 除 13511，13903，14589 得相等的餘數，求最大正整數 n____________。。

解答 98

解析 設以 n 除 13511，13903，14589 得相同的餘數為 r

商分別為 q1，q2，q3，則

 

 



























r nq

r nq

r nq

3 2 1

14589 13903

13511

_





  得 392  n(q2  q1) ∴ n | 392；

  得 686  n(q3  q2) ∴ n | 686

| (392, 686)

n



故最大整數 n  (392，686)  98

17. 求滿足 x²  4xy  5y²  4x  6y  3  0 的整數解(x，y) ____________。。

解答 (x，y)  ( 1 ，0)，( 5 ， 2 )，( 3 ，0)，( 7 ， 2 ) 解析

x²  4xy  5y²  4x  6y  3  0  x²  4(y  1)x  5y²  6y  3  0

 [x²  4(y  1)x  4(y  1)² ]  4(y  1)²  5y²  6y  3  0

 [x  2(y  1)]²  (y  1)²  2  (x  2y  2)²  (y  1)²  2

∵ x，y  Z ∴ x  2y  2，y  1  Z 故

  









 1 1

1 2 2

y

y

x 或

 













 1 1

1 2 2

y

y

x 或

 













 1 1

1 2 2

y

y

x 或

 















 1 1

1 2 2

y

y x



  





 0

1

y

x 或

 









 2 5

y

x 或

 







 0

3

y

x 或

 









 2 7

y x

18. 設 n  N 且 n²

 n 9  1

 N，求 n 之值。

解答 10 或 26 解析

設 n²

 n 9  1

 k  N，則 n²  9n  1  k²

配方 ²

9

^{2 2}

9

²

9 ( ) 1 ( )

2 2

n



n

 

k

 

2 2

9 85

( )

2 4

n k

   

 (n  k  2

9)(n  k  2 9) 

4 85

 (2n  2k  9)(2n  2k  9)  85  85．1  17．5

∵ 2n  2k  9  2n  2k  9

∴

  













1 9 2 2

85 9 2 2

k n

k

n 或

 















5 9 2 2

17 9 2 2

k n

k

n



  







 5 47

k n

k

n 或

 









 7 13

k n

k n



  



 21 26

k

n 或

 





 3 10

k

n ，故 n  26 或 n  10