一、單選題 (每題8分) 1.( C ) 2

高雄市明誠中學 高三(上)數學複習測驗 日期：92.10.02 班級 普三 班

範 圍

Book2-Chap1

指數、對數 座號

姓 名 一、單選題 (每題 8 分)

1.( C ) 2x + 2log10(2 + 10^−x) − log10( 4

1+ 10^x + 10^2x)可化簡為下列何種形式：

(A) 2 × 10^x (B) x．log10

4

1 (C) 2log102 (D) 1 (E) 2x + 10^2x 解析：

2x + 2log10 (2 + 10^−x) − log10 ( 4

1+ 10^x + 10^2x)

= log1010^2x + log10(2 + 10^−x)² − log10( 2

1+ 10^x)² 令t = 10^x > 0

原式 = log10

2 2 2

2 ) (1

1) 2 (

t t t

+

+ = log10

2 2

2 ) (1

) 1 2 (

t t

+

+ = log10

2 2

2 ) (1

2) ( 1 4

t t

+

+ = log104= 2log102

2.( B ) 設a = 2²⁶，b = 3¹⁶，且已知log10

a = 7.8260，log

10

b = 7.6336，試問下列何者正確？

(A) a為 7 位數 (B) b為 8 位數 (C) ab為 14 位數 (D) ab為 15 位數 (E) ab為 49 位數

解析：

log10

a = 7.8260，log

10

b = 7.6336 ⇒ a，b皆為 8 位數

log10

ab = log

10

a + log

10

b = 7.8260 + 7.6336 = 15.4596⇒ ab為 16 位數

二、填充題：(每題 10 分)

1. y = 3^x之圖形與直線y = 4，y = 12 之交點分別為A，B，則 AB 之斜率為 。 答案： 8

解析：

A：

⇒ A(log

⎩⎨

⎧

=

= 4 3

y y

^x

34，4)， B： ⇒ B(log

⎩⎨

⎧

=

= 12 3

y y

^x

312，12)

∴ m_AB=

4 log 12 log

4 12

3

3 −

− =

3 log

8

3

= 8

2. 阿牛將 10 萬元存入銀行，以年利率 6％，每年複利計息一次，則至少需要 年，

方使利息部分超過15 萬元。

答案： 16 解析：

n年後本利和

= 100000(1 + 0.06)ⁿ > 100000 + 150000

⇒ (1.06)ⁿ >

10

25⇒ log(1.06)ⁿ > log25 − log10

⇒ n × (0.0253) > log100 − log4 − 1 = 0.398

⇒ n >

0253 . 0

398 .

0 15.7 ∴ n ≥ 16

3. 若log23 = a，log35 = b，log57 = c，則以a，b，c表示log42105 = 。

答案： a abc

abc ab a

+ +

+ + 1 解析：

log35 = b ⇒ log53 = b 1

log25 = log23．log35 = ab ⇒ log52 = ab

1

∴ log42105

=log (2 3 7) ) 7 5 3 ( log

5 5

×

×

×

× =

7 log 3 log 2 log

7 log 1 3 log

5 5

5

5 5

+ +

+

+ =

b c ab

b c

+ +

+ +

1 1

1 1

=

ab abc a

b bc b

+ +

+ + 1

1

= a abc abc ab a

+ +

+ + 1

4. 方程式 2^x

+ 8．2

^−x = 6 之解為 。 答案： x = 1 或 x = 2

解析：令

1 8 2

2 , 2 6 6 8 0

( 2)( 4) 0 2, 4 2 2, 4 1, 2

x x

x

t t t t

t t

t t t

x

= − = ⇒ + = ⇒ − +

⇒ − − = ⇒ = ⇒ =

⇒ =

=

5. 設a^2x = 3 − 2 2 ，則

(1) a^−x = 。(2) _x^x _x^x

a a

a a

−

−

+ + ³

3 = 。 答案： (1) 2+ 1 (2) 7

解析：

2 2 1

(1) ( ) 3 2 2 ( 2 1) 2 1, 2 1

2 1

x x x

a

= − = − ⇒

a

= − ∴

a

⁻ = = +

−

3 3 2 2

2 2

2 2

( )( )

(2)

1 (3 2 2) 1 1 3 2 2 1 3 2 2

3 2 2

x x x x x x x x

x x x x

x x x x

x x

a a a a a a a a

a a a a

a a a a

a a

− − − −

− −

− −

−

+ + − ⋅ +

= = −

+ +

= − + = − − + = − − + + =

− 5

⋅ +

6. 指數不等式(0.125)^x

< 0.25 < 2

^−2x的解為 。 答案：3

2< x < 1 解析：

(0.125)^x < 0.25 < 2^−2x⇒ ( 8 1)^x <

4

1< 2^−2x⇒ 2^−3x < 2⁻² < 2^−2x

⇒ − 3x < − 2 < − 2x⇒ 1 > x >

3 2

7. 若(

2

1)^x > 4，log3(x + 4) < 1，則實數x的範圍為 。

答案： − 4 < x < − 2 解析：

(1) ( 2

1)^x > 4 = 2² = ( 2

1) ^{− 2} ⇒ x < − 2

(2) log3(x + 4) < 1 = log33 ⇒ x + 4 > 0 且x + 4 < 3⇒ x > − 4 且x < − 1 (3)由(1)(2)交集得 − 4 < x < − 2

8. 解方程式log6

x + log

6(x − 1) = 1，得x = 。 答案： 3

解析：

log6

x + log

6(x − 1) = 1 ⇒ ⇒ x > 1 log

⎩⎨

⎧

>

−

>

0 1

0

x

x

　

6[x(x − 1)] = log66 ⇒ x² − x = 6 ⇒ x² − x − 6 = 0

⇒ (x − 3)(x + 2) = 0 ⇒ x = 3 或 − 2（不合）

9. 設log2 = 0.3010，S = 1 + 2 + 2² + … + 2²⁹，則

(1) S為 位數。 (2) S的最高位數字為 。 答案： (1) 10 (2) 1

解析：

(1)S = 1 + 2 + 2² + … + 2²⁹ 1 (1 2 )^{30 30} 1 2 2

= ⋅ − =

− −1，又 2³⁰− 位數與1 位數相同

S為 10 位數

(2) 尾數

230

log 230 =30log 2 30 0.3010 9.030= × = ⇒

logS=9.030 9 0.030= + ⇒ log1 0 0.030 0.3010 log 2= < < = S的最高位數字為 1

10. 已知

x 5.45 1.07 7.58 9.16 9.17

logx 0.7364 0.0294 0.8797 0.9619 0.9624 若a =³

8 . 75

) 7 . 10 )(

45 . 5

( ，a之近似值至有效數字第四位為 。（用內插法）

答案： 0.9162 解析：

loga = 3 1log

8 . 75

) 7 . 10 )(

45 . 5

( =

3 1log

58 . 7

) 07 . 1 )(

45 . 5 (

=3

1(log5.45 + log1.07 − log7.58)=

3

1(0.7364 + 0.0294 − 0.8797)

=3

1( − 0.1139) − 0.0380= − 1 + 0.9620 0.9619　0.9620　0.9624

9.16　　 x　　　9.17

⇒ ^9.17 9.17 9.16

− x

− =0.9624 0.9620 0.9624 0.9619

−

− ⇒ x = 9.162

∴ a = 9.162 × 10 ^{− 1} = 0.9162

11. 設

α

，

β 為(log3x)(log4x) = 1 的兩根，則 α

，

β

之積為 。 答案： 12

1

解析：

∵ (log3x)(log4x) = 1 的二根為

α

，

β

⇒ (log x + log3)(log x + log4) − 1 = 0 的二根為

α

，

β

⇒ (log x)² + (log3 + log4)(log x) + (log3)(log4) − 1 = 0 的二根為

α

，

β

⇒ y² + (log12)y + (log3)(log4) − 1 = 0 的二根為log

α

，log

β

其二根和log α + log β = − log12

⇒ log

αβ = log

12

1 ⇒

αβ =

12

1

12.( D ) 已知y = a^x的圖形如下圖，利用它可得y = ( a

1) ^x 之圖形為

(A) (B) (C)

(D) (E)

解析：

∵ y = a^x圖形為遞增的 ∴ a > 1 ⇒ 0 <

a 1<1 (i)x ≥ 0 時，y = (

a 1) ^x = (

a

1)^x，其圖形如右上圖(一)

或(ii)x < 0 時，y = ( a 1) ^x = (

a

1)^−x = a^x，其圖形如右下圖(二)

∴ y =(

a

1) ^x 圖形如左圖(三)

13. 假設某項實驗中，細菌數 1 日後增加 1 倍，若 10 日後細菌數為N，則

k日後細菌數為

8

N ，則k = 。 答案：6

解析：

9

8 2

7 4

6 8

N N

N

N

14. 若a > 0 且a^2x = 3，則 _x^x _x^x

a a

a a

−

−

+ + ³

3

之值 = 。 答案：⁷

3

解析：原式 = ^x _{x x}^x

a a

a a

−

−

+

+ ³

3 ( )

)

( = ^{x x x} _x ^x_x ^{x x}

a a

a a a a a a

−

−

−

−

+

+

−

+ )[( ) ( ) ]

( ² ． ²

= (a^x)² − a^x．a^−x + (a^−x)² = 3 − 1 +¹

3=⁷ 3 15. 解不等式

(1)不等式(0.3)^{x2− x2 −1} < 0.09 之解為 。 (2)不等式 27^x − 4．3^{2x −1} + 3^x−1

> 0 之解為 。

答案： (1)

x

< − ∨ > 31

x

(2)

x

< − ∨ >1

x

0

3 (1)

(2) ，令

2 2 1 2 2

(0.3)^{x − −x} <(0.3) ⇒

x

−2

x

− >1 2 ( 0.3 1 )∵ <

2 2 3 0 ( 3)( 1) 0 1

x

−

x

− > ⇒

x

−

x

+ > ⇒ < − ∨ >

x x

2 1 1

27^x− ⋅4 3 ^x− +3^x− >0 t=3^x

3 2 1 1 2

(3 ) 4 (3 ) 3 0 (3 4 1) 0 (3 1)( 1) 0

3 3

x x x

t t t t t t

− ⋅ ⋅ + ⋅ > ⇒ − + > ⇒ − − >

0 ¹ 1 3 ¹ 3 1 1

3 3

x x

t> ⇒ t< ∨ > ⇒t < ∨ > ⇒ < − ∨ > 0x x