第 3 章 一阶动态电路

 掌握用三要素法分析一阶动态电路的方法。

 理解电路的暂态和稳态以及时间常数的物理意义。

 了解一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念。

前面几章讨论的电路，无论是直流电路还是交流电路，在电路连接方式和元件参数不变 的条件下，只要电源输出信号的辐值、波形和频率恒定，各支路电流和各部分电压也必将稳定 在一定的数值上，这种状态称为电路的稳定状态，简称稳态。

在含有储能元件电容 C 和电感 L 的电路中，当电路的工作条件发生变化时，电路中各处 的电压和电流都会发生变化，即电路将从原来的稳定状态变化到新的稳定状态。一般情况下，

这种变化不是瞬间完成的，需要一定时间，在这段时间内称电路处于过渡过程。在过渡过程中，

电路中各处的电压和电流处于暂时的不稳定状态。由于相对于稳定状态而言，过渡过程所经历 的时间是很短暂的，故又称暂态过程，简称暂态或动态，电路称为动态电路，相应地，储能元 件也称为动态元件。

本章首先介绍动态电路产生暂态过程的原因和换路定理，接着介绍 RC 电路的响应，从而推导 出求解一阶动态电路的三要素法，最后简单介绍 RL 电路的响应。

3.1 换路定理

3.1.1 动态电路产生暂态过程的原因

在如图 3.1 所示的电路中，电容 C 与电阻 R 串联后接入 直流电源。当开关 S 闭合前电容上未充电，两端的电压

C0

u

，电路处于稳定状态。当把开关 S 闭合后，经过一段 时间 t 后，电容电压增加到

u

_C

U

_S，电路又处于一种新的稳 定状态。可见，如图 3.1 所示的电路在开关闭合后，电容电 压只能逐渐地、连续地从零（开关闭合前的稳态值）变化到

U

S（开关闭合后的稳态值）。这一变化过程，就是该电路在开 关闭合后电容电压 uC变化的过渡过程。

从物理本质上看，电容电压 uC不能跃变，是由于能量不能跃变造成的。因为电容是储能 元件，电容存储的能量与其两端的电压有关，而能量的增减需要一定的时间，不能一瞬间完成。

所以，储能元件要完成储能的变化需要一个过渡过程，以便在这段时间内完成能量的转移、转 图 3.1 电容元件接入直流电源

+

U

_S

-

C

R

+

u

_C - S

t=0

化和重新分配。

虽然过渡过程经历的时间很短，但对它的研究却有着十分重要的意义。例如，研究脉冲 电路时，经常遇到电子器件的开关特性和电容器的充放电。由于脉冲是一种跃变信号，并且持 续时间很短，因此人们注意的是电路的过渡过程，即电路中每个瞬时的电压和电流的变化情况。

此外，电子技术中也常利用电路过渡过程现象改善波形或产生特定的波形。电路的过渡过程也 有其有害的一面，例如，某些电路在接通或断开的过程中，会产生电压过高（称为过电压）或 电流过大（称为过电流）的现象，从而损坏电气设备或器件。

因此，研究过渡过程的目的就是要掌握过渡过程中客观存在的物理现象的规律，在生产 中既要充分利用过渡过程的特性，又要防止过渡过程所产生的危害。

3.1.2 换路定理

电路工作条件发生变化，如接通或切断电源、电路连接方法或电路元件参数突然变化等，

统称为换路。通常规定换路是瞬间完成的。

电容中存储有电场能量，且电场能量的大小与电压的平方成正比，即 _C 1 _C²

W

2

Cu

，换路 时电场能量不能跃变，所以电容的电压 uC不能跃变。电感中存储有磁场能量，而磁场能量的 大小与电流的平方成正比，即 _L 1 _L²

W

2

Li

，换路时磁场能量不能跃变，所以电感的电流 iL也不 能跃变。由此得到储能元件的换路定理：换路瞬间，电容上的电压 uC和电感中的电流 iL不能 跃变。

设换路发生的时刻为

t

0，换路前的瞬间用

t

 0_表示，换路后的瞬间用

t

 0_表示，则 换路定理可用公式表示为：

) 0 ( ) 0 (

) 0 ( ) 0 (

L L

C C













i i

u u

必须注意的是，利用换路定理只能确定电路在换路后的初始时刻（

t

 0_）不能跃变的电 容电压 uC和电感电流 iL的初始值，而电容电流 iC、电感电压 uL，以及电路中其他元件的电流 和电压是可以跃变的（是否跃变由电路的具体结构而定）。

由换路定理确定了电容电压和电感电流的初始值后，电路中其他电流和电压的初始值可 按以下原则计算确定：

（1）换路后的

t

 0_瞬间，电容元件可视为电压为

u

_C(0_)的恒压源，如果

u

_C(0_)0， 则电容元件在换路后瞬间相当于短路。

（2）换路后的

t

 0_瞬间，电感元件可视为电流为

i

_L(0_)的恒流源，如果

i

_L(0_)0，则 电感元件在换路后瞬间相当于开路。

（3）利用 KCL 和 KVL 以及直流电阻电路的分析方法，计算电路在换路后

t

 0_瞬间其 他电流和电压的初始值。

例 3.1 如图 3.2（a）所示的电路原处于稳态，

t

0时开关 S 闭合，

U

_S 12V，

R

₁4，

2 2

R

，

R

₃ 6，求初始值

u

_C(0_)、

i

_L(0_)、

i

₁(0_)、

i

_C(0_)和

u

(0_)。

解 （1）求出开关 S 闭合前瞬间电容电压

u

_C(0_)和电感电流

i

_L(0_)。由于

t

 0_时电路

处于稳态，电路中各处电流及电压都是常数，因此电感两端的电压 0 d d_L

L  

t L i

u

，电感 L 可 以看做短路；电容中的电流 0

d d _C

C  

t C u

i

，电容 C 可以看做开路。由此可以画出

t

 0_时的 等效电路，如图 3.2（b）所示。由图 3.2（b）可求得

t

 0_时的电感电流和电容电压，分别为：

2 . 6 1 4 ) 12

0 (

3 1

S

L 

 

 



R R

i U

（A）

2 . 7 6 2 . 1 ) 0 ( )

0 ( ) 0

( _{1 3 L 3}

C _ 

i

_

R



i

_

R

  

u

（V）

开关 S 闭合后瞬间，根据换路定理有：

2 . 1 ) 0 ( ) 0 ( _L

L _ 

i

_ 

i

（A）

2 . 7 ) 0 ( ) 0 ( _C

C _ 

u

_ 

u

（V）

（2）画出

t

 0_时的等效电路。在

t

 0_瞬间，电容元件可视为电压

u

_C(0_)7.2V 的恒 压源，电感元件可视为电流

i

_L(0_)1.2A 的恒流源，由此可以画出

t

 0_时的等效电路，如图 3.2（c）所示。

（a）例 3.1 的电路 （b）t=0－时的电路

（c）t=0^＋时的电路 图 3.2 例 3.1 的图

（3）根据

t

 0_时的等效电路，运用直流电路的分析方法求出各电流、电压的初始值。

由图 3.2（c）可得：

C 1

3

(0 ) 7.2 (0 ) 1.2

6

i u

R



    （A）

C(0 ) L(0 ) 1(0 ) 1.2 1.2 0

i

_ 

i

_ 

i

_    （A）

) 0 ( _

u

可用叠加定理由

t

 0_时的电路求出，为：

4 . 2 6 . 1 4 2 . 2 1 4

2 12 4 2 4 ) 2 0 ( )

0

( _L

2 1

2 1 S 2 1

2    



 

 

 

 

 _



i

R R

R U R

R R

u R

（V）

R

2

+ u(0

+) -

C +

U

S

-

R

₃

i

₁(0₊)

R

₁

i

L(0+)

+ u

_L(0₊) -

i

_C(0₊)

+ u

_C(0₊) -

i

L(0-)

R

2

+ u

-

C +

U

_S

-

R

3

i

₁

R

1

i

L

i

C

+ u

_C

-

R

2

R

3

R

1

+ u

C(0-)

- +

U

_S

- L

+ u

L -

通过上面的例题，可归纳出求初始值的简单步骤如下：

（1）画出

t

 0_时的等效电路，求出

u

_C(0_)和

i

_L(0_)。

（2）根据换路定理，画出

t

 0_时的等效电路。

（3）根据

t

 0_时的等效电路，运用直流电路的分析方法求出各电流和电压的初始值。

3.2 一阶动态电路的分析方法

电路分析中，通常把电源称为激励，而由激励产生的电流和电压称为响应。

由于动态元件的伏安关系为微分关系，因此，动态电路需要用微分方程来描述。只含一 个动态元件的线性电路，可以用一阶线性常系数微分方程来描述，故称为一阶动态电路，简称 一阶电路。

任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴维南定理将其等效为一个简单的 RC 电路或 RL 电 路。例如，对于如图 3.3（a）所示的电路，可以用戴维南定理将其等效为如图 3.3（b）所示的 电路。因此，对一阶电路的分析，实际上可归结为对简单 RC 电路和 RL 电路的求解。

（a）原电路 （b）戴维南等效电路

图 3.3 一阶电路的等效 一阶动态电路的分析方法有经典法和三要素法两种。

对一阶电路而言，以任一电流或电压作为变量，利用基尔霍夫定律和元件伏安关系可以 列出换路后的电路方程，这个方程是一阶线性常系数微分方程，求解该微分方程，即得待求电 流或电压的时间函数式，这种求解一阶电路的方法称为经典法。

如果作用于电路的电源为直流电源，则只要求出待求电流或电压在换路后的初始值、稳 态值和电路的时间常数这 3 个要素，然后代入三要素公式即可写出待求电流或电压的时间函数 式，这种利用三要素求解一阶电路的方法称为三要素法。

3.2.1 经典分析法

本节以 RC 电路为例讨论一阶动态电路的分析方法。

如图 3.4（a）所示为 RC 电路，设在

t

0时将开关 S 闭合。为了求出开关闭合后电容电 压随时间变化的规律，可根据 KVL 列出电路的回路电压方程，为：

S C

R

u U

u

  因为：

C C

d d

i C u



t R

3

+ U -

i

C

+ u

C

-

C R

1

R

2

+ U

S

-

i

C

+

u

_C -

C

R

0

C

R C

d d

u Ri RC u

 

t

从而得微分方程：

S C C

d

d

u U t

RC u

 

上式是一阶常系数非齐次微分方程。常系数非齐次微分方程的通解由两部分组成，一个是它本 身的特解

u  ，另一个是补函数，即非齐次线性微分方程令其右端的非齐次项为零时，所对应的齐次

_C

微分方程 0

d d

C C  u 

t

RC u

的通解

u  ，故补函数又称为齐次解。将特解

_C

u  和补函数

_C

u  相加即得原

_C 非齐次微分方程的解，为：

C C

C

u u

u

   

（1）求非齐次方程的特解。特解与电源电压或电源电流具有相同的形式，由于电路作用 的是直流电源，所以特解为一常数。设

u

_C 

K

，代入原微分方程，得：

d S

d

K U t

RC K

  因为 K 为常数，所以上式中的第一项为零，故得：

U

S

K 

即：

u

_C 

K



U

_S

可见特解等于电源电压，它是电路在电源作用下达到稳态时电容电压的稳态值，称为稳 态分量。又因为此特解是在外加电源强制作用下产生的，故又称为强制分量。

（2）求补函数。令原微分方程右端的非齐次项为零，即得齐次微分方程，为：

d 0 d

C C  u 

t

RC u

设其解为：

A

pt

u

_C  e

式中 A 为积分常数，p 为特征方程的根。将上式代入齐次微分方程并消去公因子

Ae

^pt， 得出该微分方程的特征方程为：

0 1 



RCp

特征根为：



1 1 





RC p

所以，补函数为：

RC t t

A A

u

_C  e^  e^

式中





RC

具有时间的单位秒（s），称为 RC 电路的时间常数。

由补函数的表达式可以看出，当

t

时，补函数

u

_C 0，所以补函数只存在于暂态过 程中，故补函数称为暂态分量。另一方面，补函数的变化规律与电源的变化规律无关，只按指 数规律衰减，故补函数又称为自由分量。

（3）求常系数非齐次微分方程的通解。常系数非齐次微分方程的通解等于稳态分量与暂 态分量之和，即：

RC t t

A U A U u u

u

_C  _C  _C  _S  e^  _S  e^ 式中的积分常数 A 可根据已知的初始值确定。

（4）确定积分常数。设电容电压初始值为

u

_C(0_)

U

₀，则在

t

 0_时有：

0 S

C(0 )

U A U

u

_    所以积分常数为：

S

0

U

U A

  从而求得电容电压 uC随时间变化的规律为：

RC t t

U U U U

U U

u

_C  _S( ₀  _S)e^  _S ( ₀  _S)e^

（a）RC 串联电路 （b）

U

₀ 

U

_S时 uC的波形 （c）

U 

₀

U

_S时 uC的波形 图 3.4 RC 串联电路及其电容电压 uC的波形

S

0

U

U 

时 uC的变化曲线如图 3.4（b）所示，uC随时间从初始值 U0按指数规律上升到稳 态值 US，电路的过渡过程是电源通过电阻 R 向电容 C 充电的过程。

U 

₀

U

_S时 uC的变化曲线 如图 3.4（c）所示，uC随时间从初始值 U0按指数规律下降到稳态值 US，电路的过渡过程是电 容 C 通过电阻 R 向电源放电的过程。

电路中的电流为：

C 0 S 0 S

C

d e e

d

 

 

  

t t

u U U U U

RC

i C

t R R



i

C的波形如图 3.5（a）所示，可见 iC随时间从初始值

R

U

_S 按指数规律下降到稳态值 0。

电阻上的电压为：

R  C ( 0  S)e^ ( 0 S)e^

t t

u Ri U U

^

U U

RC

u

R的波形如图 3.5（b）所示，可见 uR随时间从初始值 US按指数规律下降到稳态值 0。

（a）iC的波形 （b）uR的波形

图 3.5 RC 串联电路中 iC及 uR的波形

+ R

U

_S

-

i

C

S

+ u

C

-

C

+ u

_R -

0

t u

C

U

S

U

0

0

t u

_C

U

0

U

S

0

t i

C

U

0-US

R

0

t u

_R

U

0-US

从 uC、iC和 uR的表达式可知，在同一个 RC 电路中，各处的电流和电压都按同一时间常 数





RC

的指数规律变化。

通过以上电路的求解，可归纳出经典法求解一阶电路的步骤如下：

（1）利用基尔霍夫定律和元件的伏安关系，根据换路后的电路列出微分方程。

（2）求微分方程的特解，即稳态分量。

（3）求微分方程的补函数，即暂态分量。

（4）将稳态分量与暂态分量相加，即得微分方程的全解。

（5）按照换路定理求出暂态过程的初始值，从而定出积分常数。

3.2.2 三要素分析法

上面求得 RC 电路中电容电压为：

RC t t

U U U U

U U

u

_C  _S( ₀  _S)e^  _S ( ₀  _S)e^

其中，

U

₀  u_C(0_)为电容电压的初始值；US为稳态分量，是

t

时电容电压的稳态值，

即

u

_C()

U

_S；





RC

为 RC 电路的时间常数。初始值、稳态值和时间常数称为一阶电路的 三要素。若已知三要素，代入上式便可求出电容电压随时间变化的表达式，这种求解一阶电路 的方法称为三要素法。

值得注意的是，如果作用于电路的电源为直流电源，则三要素法并不仅仅局限于求解一 阶电路的电容电压和电感电流，也可用来求解任一支路的电流或电压。

假设在换路后的一阶电路中，

f

(t)表示任一支路的电流或电压，

f

(0_)表示电流或电压的初始 值，

f

()表示电流或电压的稳态值，则求解任一支路电流或电压的三要素公式为：

 t

f f

f t

f

( ) ()[ (0_) ()]e^ 对于 RC 电路，时间常数为：

RC





其中 R 是从电容元件两端看进去的戴维南等效电源或诺顿等效电源的内阻。

例 3.2 在如图 3.6（a）所示的电路中，已知

I

_S10mA，

R

₁20k，

R

₂ 5k，

C

100F。

开关 S 闭合之前电路已处于稳态，在

t

0时开关 S 闭合。试用三要素法求开关闭合后的 uC。 解 （1）求初始值

u

_C(0_)。因为开关 S 闭合之前电路已处于稳态，故在

t

 0_瞬间电容

C 可看做开路，因此：

200 10 20 10 10 )

0

( _{S 1} ^{3 3}

C _ 

I R

  ^   

u

（V）

开关 S 闭合瞬间，根据换路定理，有：

200 ) 0 ( ) 0 ( _C

C _ 

u

_ 

u

（V）

（2）求稳态值

u

_C()。当

t

时，电容 C 同样可看做开路，因此：

5 40 20

10 5 10 20

10 )

(

3 3

2 1

2 1 S

C 





 



 



 ^

R R

R I R

u

（V）

（3）求时间常数



。将电容支路断开，恒流源开路，如图 3.6（b）所示，可得：

5 4 20

5 20

2 1

2

1 



 

 

R R

R

R R

（k）

所以：

4 . 0 10 100 10

4 ³  ⁶ 





RC

^



（s）

（4）求 uC。利用三要素公式，得：

0.4 2.5

C40(20040)e^ 40 160e ^

t

u

t（V）

u

C的波形如图 3.6（c）所示。

（a）例 3.2 的电路 （b）求 R 的电路 （c）uC的波形 图 3.6 例 3.2 的图

例 3.3 在如图 3.7（a）所示的电路中，已知

U

_S 9V，

R

₁ 6，

R

₂ 3，

R

₃ 3，

2



C

F。开关 S 闭合之前电容无初始储能，在

t

0时开关 S 闭合。试用三要素法求开关闭合 后的电容电压 uC和通过电阻 R3的电流 i3。

（a）例 3.3 的电路 （b）t=0+时的等效电路 （c）求 R 的电路

图 3.7 例 3.3 的图

解 （1）求初始值

u

_C(0_)和

i

₃(0_)。因为开关 S 闭合之前电容无初始储能，故：

0 ) 0

C( _ 

u

（V）

开关 S 闭合瞬间，根据换路定理，有：

0 ) 0 ( ) 0 ( _C

C _ 

u

_ 

u

（V）

因为

u

_C(0_)0V，故

t

 0_时电容相当于短路，如图 3.7（b）所示，可求得：

6 . 3 0 3

3 3 3

3 6 3 ) 9

0 (

3 2

2

3 2

3 2 1

S

3 

 



 

 

 

 

R R

R

R R

R R R

i U

（A）

（2）求稳态值

u

_C()和

i

₃()。当

t

时，电容可看做开路，因此：

3 3 9 6 ) 3

( _S

3 1

3

C  

 

 



U

R R

u R

（V）

I

S

+ u

_C -

R

₁

C

S

R

2

R

₁

R

₂

t（s）

0

u

_C（V）

200

40

+ U

S

-

i

₃

+

u

_C -

C

S

R

₂

R

₁

R

3

+

U

S

-

i

₃ (0₊)

R

2

R

₁

R

3

R

₂

R

1

R

₃

3 1 6 ) 9

(

3 1

S

3 

 

 



R R

i U

（A）

（3）求时间常数



。将电容支路断开，恒压源短路，如图 3.7（c）所示，可得：

3 5 6

3 3 6

3 1

3 1

2 



 

 





R R R R R

R

（）

所以：

10 2 5 





 RC （s）

（4）求 uC和 i3。利用三要素公式，得：

10 0.1

C  3 (03)e^  3 3e^

t

u

t（V）

10 0.1

3 1 (0.6 1)e ^  1 0.4e^

t

i

t（A）

u

C及 i3的波形如图 3.8 所示。

（a）uC的波形 （b）i3的波形

图 3.8 uC及 i3的波形

3.3 RC 电路的响应

3.3.1 RC 电路的零输入响应

电路在无输入信号的情况下，仅由电路中储能元件的初始状态所产生的电路响应，称为 零输入响应。对于 RC 电路，从物理意义上讲就是电容的放电过程。

如图 3.9 所示的电路，换路前开关 S 置于位置 1，电容上已充有电压

u

_C(0_)

U

₀。在

t

0 时，开关 S 从位置 1 迅速拨到位置 2，使 RC 电路脱离电源。根据换路定理，电容电压不能跃 变，

u

_C(0_)

u

_C(0_)

U

₀。于是，电容电压由初始值开始，通过电阻 R 放电，在电路中产生 放电电流 iC。随着时间的增加，电容电压 uC和放电电流 iC逐渐减小，最后趋近于零。这样，

电容存储的能量全部被电阻消耗。可见，如图 3.9 所示电路换路后的响应仅由电容的初始状态 引起，故为零输入响应。

电容电压的初始值为

u

_C(0_)

U

₀，放电结束时的稳态值为

u

_C()0，时间常数为

RC



 ，利用三要素法，可求得换路后的电容电压为：

RC t t

U u

u

_C  _C(0_)e^  ₀e^

t（s）

0

u

C（V）

3

t（s）

0

i

₃（A）

1 0.6

图 3.9 RC 电路的零输入响应 放电电流为：

RC t RC

t

R i U t C u

i

  e^  (0_)e^ d

d

C 0

C C

式中

R

i

_C(0_)

U

⁰ 为

t

0时电容的初始放电电流，负号表示放电电流 iC的实际方向与图

3.9 中所标的参考方向相反。

u

C和 iC的波形如图 3.10 所示，uC和 iC随着时间增加按指数规律衰减，当

t

时，uC和

i

C衰减到零。

时间常数



是动态电路中一个非常重要的物理量。在电容放电电路中，放电过程的快慢是 由时间常数



^决定的。





RC

越大，在电容电压初始值 U0一定的情况下，C 越大，电容存储 的电荷越多，放电所需的时间越长；而 R 越大，放电电流就越小，放电所需的时间也就越长。

相反，



越小，电容放电越快，放电过程所需的时间越短。图 3.11 中画出了 3 个不同时间常数 的 uC波形。

图 3.10 uC和 iC的波形 图 3.11 不同时间常数的 uC波形

从理论上讲，需要经历无限长的时间，电容电压 uC才能衰减到零，电路到达稳态。但实 际上，uC开始时衰减得较快，随着时间的增加，衰减越来越慢。经过

t

3



～ 5



的时间，uC

已经衰减到可以忽略不计的程度，这时，可以认为暂态过程基本结束，电路到达稳定状态。表 3.1 所示为不同时刻电容电压 uC的值。

表 3.1 不同时刻电容电压 uC的值

t

0



2



3



4



5



6



u

C

U

0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.018 U0 0.007 U0 0.002 U0

从时间常数的表达式





RC

可知，RC 电路的时间常数是由电路中元件的参数值以及电路 的结构决定的，所以，可以根据实际需要调整电路中元件的参数值，或通过改变电路的结构来 改变时间常数的值。

C

2

R

+ U

_S

-

i

_C 1 S

+ u

_C -

u

_C

i

C

0

t u

_C/i_C

U

_o

U

o



R 

1

0

t u

C

U

o



2



3



3>



2>



1

例 3.4 在如图 3.12（a）所示的电路中，

I

_S2mA，

R

₁30k，

R

₂ 15k，

C

10F。

换路前电路已处于稳定状态，在

t

0时开关 S 闭合。求：

（1）开关 S 闭合后的电容电流 iC和通过电阻 R1的电流 i1。

（2）开关 S 闭合后电容电压从初始值衰减到 3V 所需要的时间。

（a）原电路 （b）开关闭合后的电路

图 3.12 例 3.4 的图

解 （1）因为换路前电路已处于稳定状态，电容可视为开路，所以：

30 10 15 10 2 )

0

( _{S 2} ^{3 3}

C _ 

I R

  ^   

u

（V）

根据换路定理，有：

30 ) 0 ( ) 0 ( _C

C _ 

u

_ 

u

（V）

开关 S 闭合后，电流源 IS被短路，电容 C 从初始电压 30V 开始向 R1与 R2并联电阻放电，

最终 uC下降到零，如图 3.12（b）所示。可见，电路换路后的响应仅由电容的初始状态引起，

故为零输入响应。

因为 R1与 R2并联，所以：

15 10 30

15 30

2 1

2

1 



 

 

R R

R

R R

（k）

时间常数为：

1 . 0 10 10 10

10 ³  ⁶ 





RC

^



（s）

利用三要素法，得到换路后的电容电压为：

t t

t

u

u

_C  _C(0_)e^ 30e^0.1 30e^10 （V）

电容的放电电流为：

6 10 3 10

C C

d 10 10 ( 10) 30e 3 10 e d

t t

i C u t

   

          （A）3e^10t（mA）

通过电阻 R1的电流为：

t t

R

i u

¹⁰

10

1 C

1 e

30 e

30 ^ _





 （mA）

（2）电容电压

u

_C 30e^10t，将

u

_C 3V代入，得：

t

e 10

30 3 ^ 解得电容电压衰减到 3V 所需的时间为：

23 . 0



t

（s）

R

₁

I

S

S

C

i

C

+ u

_C -

R

2

i

2

i

1

R

₁

C i

C

+ u

C

-

R

2

i

2

i

1

3.3.2 RC 的零状态响应

电路在换路前储能元件上未储存能量，仅由电源激励所产生的电路响应，称为零状态响 应。对于 RC 电路，从物理意义上讲就是电容器的充电过程。

如图 3.13 所示的电路，换路前开关 S 置于位置 1，电路已处于稳态，电容 C 没有初始储 能，电容电压

u

_C(0_)0。在

t

0时，开关 S 从位置 1 迅速拨到位置 2，使 RC 电路接通电压 源 US。根据换路定理，电容电压不能跃变，

u

_C(0_)

u

_C(0_)0。于是，电压源 US通过电阻

R 对电容 C 充电，在电路中产生充电电流 i

C。随着时间的增加，电容电压 uC逐渐升高，充电 电流 iC逐渐减小。最后电路到达稳态时，电容电压等于 US，充电电流等于零。可见，如图 3.13 所示电路换路后的响应仅由外加电源引起，故为零状态响应。

电容电压的初始值为

u

_C(0_)0，充电结束时的稳态值为

u

_C()

U

_S，时间常数为

RC



 ，利用三要素法，可求得换路后的电容电压为：

   

C  C( ) 1 e  ^  S 1 e ^

t t

u u

^

U

RC

充电电流为：

RC t RC

t

R i U t C u

i

  e^  (0_)e^ d

d

C S

C C

式中

R

i

_C(0_)

U

^S 为

t

0时的初始充电电流。

从上式可知，电容 C 开始充电瞬间，

R

i

_C(0_)

U

^S ，电容 C 相当于短路，电流一般较大。

当电容 C 充电结束时，

i

_C()0，电容相当于开路。

u

C和 iC的波形如图 3.14 所示，随着时间的增加，电容电压 uC由零按指数规律逐渐增加到

U

S，充电电流 iC由

R U

_S

按指数规律逐渐衰减到零。

图 3.13 RC 电路的零状态响应 图 3.14 uC和 iC的波形

RC 电路充电过程的快慢也是由时间常数



来决定的，



越大，电容充电越慢，过渡过程 所需的时间越长；相反，



越小，电容充电越快，过渡过程所需的时间越短。同样，可以根据 实际需要调整电路中元件的参数或电路结构，以改变时间常数的大小。

例 3.5 如图 3.15 所示电路在开关 S 闭合前已处于稳态，

t

0时开关 S 闭合。已知

S6

U

V，

R

₁ 5，

R

₂  R₃ 10，

C

0.2F。求：

（1）开关 S 闭合后的电容电压 uC。

u

_C

i

C

0

t u

C/iC

U

S

R U

_S

C

1

R

+ U

S

-

i

C

2 S

+ u

C

-

（2）

t

3



及

t

5



时 uC的值。

解 （1）因开关 S 闭合前电路已处于稳态，由图 3.15 可得电容电压 uC的初始值为：

0 ) 0 ( ) 0 ( _C

C _ 

u

_ 

u

（V）

可见，如图 3.15 所示电路换路后，电路的初始储能为零，电路中的响应仅由外加电源引 起，故为零状态响应。

图 3.15 例 3.5 的图 开关 S 闭合后，电容电压 uC的稳态值为：

4 10 6 5 ) 10

( _S

2 1

2

C  

 

 



U

R R

u R

（V）

等效电阻为：

3 40 10 5

10 10 5

2 1

2 1

3 



 

 





R R R R R

R

（）

时间常数为：

3 2 8 . 3 0 40 





 RC （s）

根据三要素法，得到开关 S 闭合后的电容电压 uC为：

) e 1 ( 4 e ) 4 0 (

4 ^{8 0.375}

3 C

t t

u

   ^   ^ （V）

（2）

t

3



时的电容电压为：



³



³

C(3 )4 1 e ^ 4(1 e ) ^ 3.8

u





 （V）



5



t

时的电容电压为：



⁵



⁵

C(5 )4 1 e ^ 4(1 e ) ^ 3.973

u





 （V）

3.3.3 RC 电路的全响应

一般情况下，一阶动态电路中储能元件的初始储能（即初始状态）不为零，且换路后电 路中又有电源作用，这种由储能元件的初始状态以及外加电源共同作用产生的电流或电压称为 全响应。显然，全响应是零输入响应和零状态响应两者的叠加，同样可用一阶动态电路的三要 素法进行分析计算。

例 3.6 如图 3.16 所示电路在换路前已处于稳态，在

t

0时将开关 S 闭合。已知

U

_S12V，

16

R

，

R

₂ 3，

C

0.25F，求换路后的电容电压 uC。 解 采用三要素法求解。

由于开关 S 闭合前电路已达稳态，故：

S

C + u

C

-

R

₃

+

U

_S

-

R

1

R

₂

12 )

0 ( _S

C _ 

U



u

（V）

根据换路定理，得电容电压 uC的初始值为：

12 ) 0 ( ) 0 ( _C

C _ 

u

_ 

u

（V）

可见，如图 3.16 所示电路换路后，电容电压的初始值不为零，且电路中又有外加电源，

所以电路的响应为全响应。

图 3.16 例 3.6 用图 开关 S 闭合后，电容电压 uC的稳态值为：

2

C S

1 2

( ) 3 12 4 6 3

u R U

R R

    

  （V）

等效电阻为：

3 2 6

3 6

2 1

2

1 



 

 

R R

R

R R

（）

时间常数为：

5 . 0 25 . 0 2 





 RC （s）

根据三要素法，得到开关 S 闭合后的电容电压 uC为：

0.5 2

C C( ) [  C(0 )_  C( )]e ^ 4(124)e^ 48e^

t t

u u u u

^ t（V）

3.4 RL 电路的响应

RL 电路的分析方法与 RC 电路的相同，即根据换路后的电路列出微分方程，然后求解该 微分方程。例如，对于如图 3.17 所示的电路，设在

t

0时将开关 S 闭合，可列出换路后电路 的微分方程为：

S2 L

L d

d

U t L i Ri

 

图 3.17 RL 电路

R

1

+ u

_C -

+

U

S

-

S

R

₂

2

R

+ U

_S1

-

i

L

1 S

+ u

_L -

L +

U

S2

-

或

R i U t i R

L

_S2

L L

d

d  

可见 RL 电路的微分方程也是一阶常系数线性微分方程，解微分方程，得：

L  L( ) [ (0 )  L _  L( )]e ^

t

i i i i

^

式中，

R

i

_L(0_)

U

^S1 为电感电流 iL的初始值，

R

i

_L()

U

^S2 为电感电流 iL的稳态值，

R



L



为 RL 电路的时间常数，其中 R 为从电感元件两端看进去的戴维南等效电源的内阻。可见三要 素法对 RL 电路的分析同样适用。

例 3.7 如图 3.18 所示电路换路前已处于稳态，在

t

0时将开关 S 闭合。已知

U

_S12V，

16

R

，

R

₂ 2，

L

0.2H，求换路后的电感电流 iL。

图 3.18 例 3.7 用图

解 电路换路前已处于稳态，电感 L 相当于短路，根据换路定理得：

5 . 2 1 6 ) 12

0 ( ) 0 (

2 1

S L

L 

 

 

 _



R R

i U

i

（A）

同理，

t

时电感 L 也相当于短路，由于这时电阻 R1也被短路，故：

2 6 ) 12

(

2 S

L    

R

i U

（A）

时间常数为：

1 . 2 0

2 . 0

2







R

 L

（s）

根据三要素法，得换路后的电感电流 iL为：

0.1 10

L  L( ) [ (0 )  L _  L( )]e ^ 6(1.56)e^ 64.5e^

t t

i i i i

^ t（A）

本章小结

（1）含有动态元件的电路称为动态电路。动态电路的暂态过程是电路从一个稳态变化到 另一个稳态的过程。

动态电路在换路时，由于动态元件的能量不能跃变，会产生一个暂态过程。分析暂态过 程的依据之一是换路定理。在换路的瞬间，电容电压不能跃变，电感电流不能跃变，即有：

R

2

+ U

S

-

i

_L

L

S

R

₁

) 0 ( ) 0 (

) 0 ( ) 0 (

L L

C C













i i

u u

根据换路定理和

t

 0_时的等效电路，可以确定待求响应（电流或电压）的初始值。

（2）分析一阶动态电路的方法有经典法和三要素法两种。利用三要素法可以简便地求解 一阶电路在直流电源作用下的全响应。只要求得待求响应的初始值

f

(0_)、稳态值

f

()和时 间常数



，代入三要素公式：

 t

f f

f t

f

( ) ()[ (0_) ()]e^

便可求得全响应。注意，RC 电路的时间常数为





RC

，RL 电路的时间常数为

R



L



。R 为从 动态元件两端看进去的戴维南等效电源的内阻。

（3）动态电路的全响应可以分解为稳态分量和暂态分量。稳态分量是电路达到稳态时响 应的值，在直流电源作用下，响应的稳态分量为一常数。暂态分量只存在于暂态过程中，其变 化规律与电源的变化规律无关，只按指数规律随着时间的增加逐渐衰减到零。

动态电路的全响应还可以分解为零输入响应和零状态响应。零输入响应是电源激励为零 时，仅由电路的初始储能产生的响应。零状态响应是电路的初始储能为零时，仅由电源激励产 生的响应。

（4）动态电路暂态过程所经历的时间长短与电路的时间常数有关。工程上一般认为经过 3



t 

～ 5



的时间，暂态过程基本结束。时间常数



越大，暂态过程所需的时间越长；时间常 数



越小，暂态过程所需的时间越短。

习题三

3.1 如图 3.19 所示的电路，在开关 S 断开前已处于稳态，试求开关 S 断开后瞬间电压 uC

和电流 iC、i1、i2的初始值。

3.2 如图 3.20 所示的电路，在开关 S 闭合前已处于稳态，试求开关 S 闭合后瞬间电压 uL

和电流 iL、i1、i2的初始值。

图 3.19 习题 3.1 的图 图 3.20 习题 3.2 的图

3.3 如图 3.21 所示的电路，在开关 S 闭合前已处于稳态，试求开关 S 闭合后瞬间电压 uC、

u

L和电流 iL、iC、i 的初始值。

3.4 如图 3.22 所示的电路，在开关 S 闭合前已处于稳态，并且电容没有初始储能，试求 开关 S 闭合后瞬间电压 uC、uL和电流 iL、iC、i 的初始值。

+ 6V -

C

+

u

C

-

S

i

1

2

4

i

_C

i

₂

t=0

S

i

L

2 2

i

1

i

2

t=0 + u

L -

+ 6V -

图 3.21 习题 3.3 的图 图 3.22 习题 3.4 的图

3.5 如图 3.23 所示的电路，在

t

0时开关闭合，开关闭合前电路已处于稳态。试列出求 电容电压 uC的微分方程，求出开关闭合后的 uC和 iC，并画出 uC和 iC随时间变化的曲线。

3.6 如图 3.24 所示的电路，在

t

0时开关闭合，开关闭合前电路已处于稳态。试列出求 电感电流 iL的微分方程，求出开关闭合后的 iL和 uL，并画出 iL和 uL随时间变化的曲线。

图 3.23 习题 3.5 的图 图 3.24 习题 3.6 的图

3.7 在如图 3.25 所示的电路中，

t

0时开关闭合，开关闭合前电路已处于稳态。已知

S2

I

mA，

R

₁ 4k，

R

₂ 1k，

R

₃ 5k，

C

0.1F。试用三要素法求开关闭合后的 uC， 并画出 uC随时间变化的曲线。

3.8 在如图 3.26 所示的电路中，

t

0时开关打开，开关打开前电路已处于稳态。已知

S2

I

mA，

R

₁ 4k，

R

₂ 1k，

R

₃ 5k，

C

0.1F。试用三要素法求开关打开后的 uC， 并画出 uC随时间变化的曲线。

图 3.25 习题 3.7 的图 图 3.26 习题 3.8 的图

3.9 在如图 3.27 所示的电路中，

t

0时开关闭合，开关闭合前电路已处于稳态。已知

S30

I

mA，

R

₁ 

R

₂ 

R

₃ 

R

₄ 2k，

C

1F。试用三要素法求开关闭合后的 uC，并画出

u

C随时间变化的曲线。

3.10 在如图 3.28 所示的电路中，

t

0时开关 S1断开，S2闭合，电路换路前已处于稳态。

已知

U

_S 10V，

I

_S3A，

R

₁1，

R

₂ 4，

R

₃ 2，

C

3F。试用三要素法求换路后的

u

C，并画出 uC随时间变化的曲线。

+ 6V

-

C

+

u

_C -

S

i

2

i

_C 6

i

L

3

+ u

L

-

t=0

L

i

C

S

+ u

L

- 2

+ 2

6V -

i

L

i

C

+

u

_C -

t=0

L

2A 2 1F

2

+ u

C

-

i

C

S

+

10V

-

i

L

S

10

10

+ u

L

-

C

+

u

_C -

R

₁

R

2

I

S

R

₃

S

C

+

u

C

-

R

₁

R

2

I

_S

R

3

S

图 3.27 习题 3.9 的图 图 3.28 习题 3.10 的图

3.11 如图 3.29 所示的电路原已处于稳态，在

t

0时开关 S1闭合，S2断开。已知

U

_S60V，

12

R

k，

R

₂ 6k，

R

₃3k，

C

3F。试用三要素法求换路后的电容电压 uC和电流 iC、

i

1、i2。

图 3.29 习题 3.11 的图

3.12 如图 3.30 所示的电路，换路前开关 S 闭合在位置 1，且电路已处于稳态，在

t

0时 开关 S 从位置 1 迅速拨到位置 2。求换路后的电容电压 uC，并指出其稳态分量、暂态分量、

零输入响应、零状态响应，并画出波形图。

图 3.30 习题 3.12 的图

3.13 在如图 3.31 所示的电路中，

t

0时开关闭合，开关闭合前电路已处于稳态。已知

S9

U

V，

R

₁

R

₂ 

R

₃ 

R

₄ 3，

L

1H。试用三要素法求开关闭合后的 iL和 uL，并画出

i

L和 uL随时间变化的曲线。

图 3.31 习题 3.13 的图

3.14 在如图 3.32 所示的电路中，

t

0时开关 S1断开，S2闭合，电路换路前已处于稳态。

已知

U

_S 10V，

I

_S2A，

R

₁1，

R

₂ 4，

R

₃ 2，

L

1H。试用三要素法求换路后的

i

L和 uL，并画出 iL和 uL随时间变化的曲线。

R

2

I

S S

C

+ u

C

-

R

4

R

1

R

₃

S₁

C + u

_C -

R

₃

R

1

R

2

S₂

I

S

+ U

_S

-

S1

C + u

C

-

R

1

R

2

S2

+ U

S

-

R

3

i

₁

i

2

i

C

2

1

+

10V

-

S

2

1 2

+

4V -

+ u

C

- 1F

R

2

S

+ u

_L -

R

₄

R

1

R

₃

+

U

S

-

i

_L

图 3.32 习题 3.14 的图

3.15 如图 3.33 所示的电路原已处于稳态，在

t

0时开关 S 闭合。已知

U

_S112V，

S2 9

U

V，

R

₁ 6，

R

₂ 3，

L

1H。试用三要素法求换路后的电感电压 uL和电流 iL、

i

1、i2。

图 3.33 习题 3.15 的图

3.16 如图 3.34 所示的电路，换路前开关 S 闭合在位置 1，且电路已处于稳态，在

t

0时 开关 S 从位置 1 迅速拨到位置 2。求换路后的电感电流 iL，并指出其稳态分量、暂态分量、零 输入响应、零状态响应，并画出波形图。

图 3.34 习题 3.16 的电路 2

2

-

4V +

i

_L S

2

1 1

+

4V -

2H

R

2

i

₁ +

U

S2

-

R

1

i

L

+ u

_L -

+

U

_S1

-

S

i

2

L

S1

R

3

R

1

R

2

S2

I

_S

+

U

S

-

+ u

L

-

i

L

第 4 章 变压器

 了解变压器的基本结构、外特性、绕组的同极性端。

 掌握变压器的工作原理以及变压器额定值的意义。

 了解三相变压器的结构、三相电压的变换方法以及特殊变压器的特点。

变压器是根据电磁感应原理制成的一种静止的电气设备，具有变换电压、变换电流、变 换阻抗的功能，因而在电力系统和电子线路的各个领域得到了广泛应用。

在输电方面，当输送功率及负载功率因数一定时，电压越高，线路中的电流就越小，这 样不仅可以减小输电线的截面积，节省材料，还可以减少线路的功率损耗，因此在输电时必须 利用变压器将电压升高。例如，输电距离在 200～400km 范围内，输送容量为 200～300kVA 的输电线，输电电压需要 220kV，我国从葛洲坝到上海的输电线路电压高达 500kV。

在用电方面，从安全和制造成本考虑，一般使用比较低的电压，如 380V、220V，特殊的 地方还要用到 36V、24V 或 12V，这需要利用变压器将电压降低到用户需要的电压等级。

在电子线路中，变压器不仅用来变换电压，提供电源，还用来耦合电路，传递信号，实 现阻抗匹配。在测量方面，可利用电压互感器、电流互感器的变压、变流作用扩大交流电压表 及交流电流表的测量范围。

此外，在工程技术领域中，还大量使用各种不同的专用变压器，如自耦变压器、电焊变 压器、电炉变压器、整流变压器等。

本章主要介绍单相变压器的工作原理和使用方法，并对三相变压器和一些特殊变压器进 行简要介绍。

4.1 单相变压器

虽然变压器的种类很多、用途各异，但其基本结构和工作原理是相同的。

4.1.1 变压器的基本结构

变压器通常由一个公共铁心和两个或两个以上的线圈（又称绕组）组成。按照铁心和绕 组结构形式的不同，分为心式变压器和壳式变压器两类，如图 4.1 所示。

铁心是变压器的磁路部分，为减少涡流和磁滞损耗，铁心多用厚度为 0.35～0.55mm 的硅 钢片叠成，硅钢片两侧涂有绝缘漆，使片间绝缘。心式变压器的绕组套在铁心柱上，绕组装配 方便，用铁量较少，多用于大容量变压器。壳式变压器的铁心把绕组包围在中间，有分支磁路，

这种变压器制造工艺较复杂，用铁量也较多，但不必使用专门的变压器外壳，常用于小容量的

变压器，如电子线路的变压器。铁心的叠装一般采用交错方式，即每层硅钢片的接缝错开，这 样可降低磁路磁阻，减少励磁电流。

（a）心式变压器 （b）壳式变压器

图 4.1 变压器的结构

绕组是变压器的电路部分。与铁心线圈不同，变压器通常有两个或两个以上的线圈，多 数还需要以一定方式连接。一般小容量变压器绕组用高强度漆包线绕成，单相变压器一般只有 两个绕组，接电源的绕组称为原绕组（又称初级绕组或一次绕组），接负载的绕组称为副绕组

（又称次级绕组或二次绕组）。

大容量变压器除铁心和绕组之外，还有一些附属设备。变压器在运行时铁心和绕组总是 要发热的，为了防止变压器过热而烧毁，必须采用适当的冷却方式。小容量变压器多采用自冷 式，通过空气的自然对流和辐射将绕组和铁心的热量散失到周围空气中去。大容量变压器则要 采用油冷式，将变压器的绕组和铁心全部浸在油箱内，使绕组和铁心所产生的热量通过油传给 箱壁而散失到周围空气中去。

4.1.2 变压器的工作原理

如图 4.2（a）所示为单相变压器的结构示意图，其中 N1为原绕组的匝数，N2为副绕组的 匝数。如图 4.2（b）所示为单相变压器的符号。

N

₁

N

₂

+

u

₁

-

+

u

₂

-

（a）单相变压器的结构示意图 （b）单相变压器的符号

图 4.2 单相变压器结构示意图及符号 1．变压器的空载运行

变压器原绕组接电源，副绕组开路，称为空载运行，如图 4.3 所示。

图 4.3 变压器的空载运行 铁心

绕组

铁心 绕组

+

u

20

-

i

0

e

₁



+

u

1

-

e

2

e

_1

_1

+ - - +

- +