※學習地位分析

※學習地位分析

一一

一一、、、、 計算題計算題計算題計算題

1. (28＋32)×3＝180 2. 44＋12×3＝80 3. 36－27÷9＝33 4. 17×3－21＝30 5. 56－(15×3)＝11 6. 69÷(17＋6)＝3 二

二 二

二、、、、 試求下列比的比值試求下列比的比值試求下列比的比值試求下列比的比值

1. 6：3＝2 2. 25：30＝

3. 4

1 ：2＝ 4.

3 2 ：

5

3＝ 5. 0.6：0.25＝ 6. 3.2：4.8＝

三 三 三

三、、、、 應用問題應用問題應用問題應用問題

有 45 枝鉛筆，以 5：4 的比例分給姊妹兩人，請問姊妹兩 人各得幾枝鉛筆？

答：姊 25 枝；妹 20 枝。

預備經驗

5-1 整數四則混合運算 6-3 比與比值

本單元

6-4 怎樣解題

進入新的單元

6-5 列式與等式

溫故知新

6 66

6- -- -4 44 4- -- -1 1 1 1 基準量與比較量 基準量與比較量 基準量與比較量 基準量與比較量

有一條 6 公尺長的白緞帶及一條 3 公尺長的黑緞帶，請問 白緞帶的長度是黑緞帶的幾倍？黑緞帶的長度是白緞帶的 幾倍？

【

【

【

【概念講解概念講解概念講解概念講解】】】 】

 白緞帶的長度是黑緞帶的幾倍？

6 ÷ 3＝2

表示白緞帶的長度是黑緞帶的 2 倍。

將黑緞帶的 3 公尺當作 1，那麼 6 公尺就是 2。

畫成線段圖：

教學活動 1（認識基準量、比較量與比值的關係）

黑緞帶

白緞帶

3 公尺

6 公尺 1

2 小秘密：

 基準量：做為基準的量(當做 1 倍)。

比較量：與基準量比較的量。

例如：將 3 公尺當作 1(做成基準量)，6 公尺(就是比較 量)是 3 公尺的 2 倍。比值就是 2。

 比值：比較量÷基準量的值。

例如： 6 ÷ 3 ＝ 2 比較量 ÷ 基準量＝比值

將「比較量」換成黑緞帶，「基準量」換成白緞帶 3 ÷ 6 ＝

¹ ₂

比較量 ÷ 基準量 ＝ 比值 畫成線段圖如下：

答：白緞帶的長度是黑緞帶的 2 倍；

黑緞帶的長度是白緞帶的

2

1倍。

【【

【【重新佈題重新佈題重新佈題重新佈題】】】 】

班上有男生 30 人，女生 20 人，請問：

(1)男生人數是女生人數的幾倍？

基準量是( 女生 )人數，比較量是( 男生 )人數。

(填男生、女生)

男生人數是女生人數的( 1.5 or )倍。

(2)女生人數是男生人數的幾倍？

基準量是( 男生 )人數，比較量是( 女生 )人數。

(填男生、女生)

女生人數是男生人數的( )倍。

白緞帶

黑緞帶

3 公尺

6 公尺

(比較量) 比較量

1(基準量)

已知小博的體重是 35 公斤，爸爸的體重是小博的

7

2 2

【

【

【

【概念講解概念講解概念講解概念講解】】】 】

 「爸爸的體重是小博的

7

2 2

小博的體重是 1(基準量)，爸爸的體重是

7

2 2

 將小博與爸爸體重的線段圖如下：

爸爸的體重是 35 公斤的

7

2 2

算式：35 ×

7

2 2

【【

【【重新佈題重新佈題重新佈題重新佈題】】】 】

已知小幼有 50 元，小家的錢是小幼的 4

2

1倍，請問小家有 多少元？

答：225 元。

小博

爸爸

35 公斤

？公斤 (基準量)

(比較量) 1

教學活動 2（求比較量）

小家的錢是 小幼的錢是 1

媽媽買了一袋水梨及一袋蘋果，已知水梨的數量是蘋果的 3 倍，水梨總共有 27 顆，請問媽媽買了幾顆蘋果？

【【

【【概念講解概念講解概念講解概念講解】】】 】

 「水梨的數量是蘋果的 3 倍」，表示：

蘋果的數量是 1(基準量)，水梨的數量是 3(比較量)。

 將水梨與蘋果數量的線段圖畫出來：

水梨的數量是蘋果的 3 倍，算式：

27 ÷ 3(倍)＝9(顆) 答：9 顆。

【【

【【重新佈題重新佈題重新佈題重新佈題】】】 】

有甲、乙兩桶水，甲桶裡的水有 6 公升，是乙桶裡水的 2.5 倍，請問乙桶裡有多少公升的水？

答：2.4 公升。

蘋果

？顆

(基準量) 27 顆

(比較量) 水梨

1

3

甲桶的水是 2.5 乙桶的水是 1

學校舉辦童軍活動，參加的男生有 300 人，參加的女生人 數是男生的 2 倍，請問參加童軍活動的共有多少人？

【

【

【

【概念講解概念講解概念講解概念講解】】】 】

 「參加的女生人數是男生的 2 倍」，表示：

男生的人數是 1(基準量)，女生的人數是 2(比較量)。

 將男生與女生人數的線段圖畫出來：

 全部的人數＝男生人數＋女生的人數＝(1＋2)倍＝3 倍 全部人數是男生的 3 倍：300 × 3＝900(人)。

 也可以這樣做，先求出女生人數是 300×2＝600(人)，

總人數＝男生＋女生＝300＋600＝900(人)。

答：900 人

【

【

【

【重新佈題重新佈題重新佈題重新佈題】】】 】

爸爸和媽媽到大賣場採購，已知爸爸帶了 1500 元，媽媽帶 的錢是爸爸的 4 倍，請問爸爸媽媽共帶多少錢？

答：7500 元。

男生

女生

300 人

？人 (基準量)

(比較量)

1 總人數＝？

2

教學活動 4（基準量與比較量之和）

媽媽的錢是 4 爸爸的錢是 1

一條道路長 18000 公尺要修路，目前已修好全長的

12

7 ，請問 還有多少公尺還沒修好？

【

【

【

【概念講解概念講解概念講解概念講解】】】 】

 「一條道路長 18000 公尺，已修好全長的₁₂⁷ 」，表示：

道路全長是 1(基準量)，修好的路是

12

7 (比較量)。

 將道路全長與修好道路的線段圖畫出來：

 求出未修好的道路是全長的(1－₁₂⁷ )＝

12

5 倍，

未修好的道路：全長×

12

5 ＝18000×

12

5 ＝7500(公尺)。

 也可以這樣做，

先算修好的路長：18000×

12

7 ＝10500(公尺)；

未修好的道路：全長－修好的＝18000－10500＝7500(公 尺)。

答：7500 公尺

【

【

【

【重新佈題重新佈題重新佈題重新佈題】】】 】

小博帶 500 元到書店買書，他花了全部錢的

10

7 買了一本書，

請問小博還剩下多少錢？

答：150 元。

道路全長

修好的路

18000 公尺

？公尺

(基準量)

(比較量) 1

買書的錢是 全部的錢是 1

A、B、C 三人在比較彼此身上的錢，已知 B 的錢是 A 的錢的

2

11倍，A 的錢是 C 的錢的

4

5倍，若 A 有 150 元，請問 B、C 各有多少元？

【

【

【

【解題步驟解題步驟解題步驟解題步驟】】】 】

1.同時算 B、C 的錢較為困難，一個一個算較為容易。

2.B 的錢是 A 的錢的

2

11倍，表示：

A 是 1(基準量 ¹)、B 是

2

11(比較量 ¹)，畫 A、B 的線段圖。

由上圖可以知道 B＝A ×

2

11＝150 ×

2

11＝225(元)。

3.B 算出來後，再算 C。A 的錢是 C 的錢的

4

5 倍，表示：

C 是1(基準量²)、A 是

4

5 (比較量²)，畫 A、C 的線段圖。

由上圖可以知道 C＝A÷

4

5 ＝150÷

4

5＝120(元) 答：B 有 225 元、C 有 120 元

A

B

150 元

？元

(基準量¹)

(比較量¹) 1

A

C

150 元

？元

(比較量²)

(基準量²) 1

例題講解 1（基準量與比較量）

4 5

有甲、乙、丙三根竹竿，已知甲的長度是乙的 2 倍，乙的 長度是丙的 2 倍，若已知乙竹竿的長度是 5 公尺，請問 甲、丙兩竹竿的長度各是多少？

答：甲竹竿 10 公尺、乙竹竿 2.5 公尺。

數學心算大賽，去年的參賽人數是 120 人，今年報名參加 的人數比去年多 2 倍，請問二年共有多少人報名參加？

【【

【【解題步驟解題步驟解題步驟解題步驟】】】 】

1.「今年報名參加的人數比去年多 2 倍」，表示：

去年的人數是 1(基準量)，今年的人數是比較量。

2.畫出去年與今年的人數線段圖。

3.由上圖可以知道今年的人數＝去年的 3 倍(1 倍＋2 倍)。

4.計算兩年人數總和＝去年的人數(1倍)＋今年的人數(去 年的3倍)＝去年的4倍(1倍＋3倍)。

5.今年和去年共有多少人＝120×4＝480(人)。

答：480 人

(基準量) (比較量)

總人數＝？

1 去年

今年 0

基準量

3(倍) 比較量

比去年多 2 倍 120 人

例題講解 2（基準量與比較量之和）

小家、小同競選班長，已知小家的得票數比小同多

4

1 ，若 小同的得票數是 16 票，請問小家得到幾票？

答：20 票。

爸爸在銀行裡存了 20000 元本金的定存一年，已知一年後 可以拿的利息是本金的 2%，請問一年後爸爸可以領回多少 錢？

【

【

【

【解題步驟解題步驟解題步驟解題步驟】】】 】

1.「一年後可以拿的利息是本金的 2%」，表示：

基準量為本金 20000 元，比較量為利息(本金的 2%)。

2. 1%＝

100

1 ＝0.01；100%＝

100

100＝1；

2%＝100

2 ＝0.02。

3.畫出本金與明年可拿回的錢的線段圖。

4.由上圖可知明年領回的錢＝本金(1 倍)＋利息(0.02 倍)

＝本金的 1.02 倍(1 倍＋0.02 倍)。

5.由4.知道明年領回的錢是本金的1.02倍：

20000×1.02＝20400(元)。

答：20400元

1 1.02(倍) 本金

拿回的錢

20000 元

0

2%＝0.02 基準量

比較量

？元 換你試試看

例題講解 3（銀行利率）

銀行釋出存款大優惠，定存 100000 元，1 年後到期可以拿 回本金加 10%利息，請問今天媽媽存入 100000 元定存，一 年後到期可以拿回多少錢？

答：110000 元。

博幼電器行進貨一批吹風機，每台的成本 200 元，店家將 吹風機的定價為成本再加三成，請問定價是多少元？

【【

【【解題步驟解題步驟解題步驟解題步驟】】】 】

1.「店家將吹風機的定價為成本加 3 成售出」，表示：

基準量為成本，比較量為定價。

2.一成＝10%，三成＝30%。

3.定價為成本再加三成，表示將成本價錢再加 30%做為定 價，故定價為成本的(1＋30%)＝1.3 倍。

4.畫出成本與定價的線段圖。

5.由上圖知道定價是本金的 1.3 倍：

200×1.3＝260(元)。

答：260 元

1 (倍)

成本 定價

200 元

0

基準量

比較量 1.3

加三成

？元 例題講解 4（成本與定價）

水果店進了一批一公斤 16 元的蘋果，店家將成本加五成做 為售價，請問店家蘋果一公斤售價為幾元？

答：24 元。

小家到超商買東西，小家買了一瓶定價 120 元的牛奶，店 員說今日買牛奶有八折優惠，請問小家今天買的牛奶比定 價便宜多少元？

【

【

【

【解題步驟解題步驟解題步驟解題步驟】】】 】

1.「牛奶有八折優惠」，表示：

基準量為定價，比較量為折扣後的牛奶錢。

2.打折數就是百分比數，例：七七折，定價×77%；五折，

定價×50%。

3.「八折優惠」是定價×80%。

4.畫出定價與折扣價的線段圖。

5.由上圖知道便宜的錢為(1－80%)＝0.2 倍的定價，

120×0.2＝24(元)。

答：24 元

1 定價

折扣後的錢

120 元

基準量 比較量 80%

便宜的錢＝？

換你試試看

例題講解 5（定價與折扣）

博幼電子行，冰箱以定價 8 折做為售價，媽媽買了一台定 價 18000 的冰箱，請問媽媽付錢時比原價便宜多少錢？

答：3600 元。

博幼社區去年的人數是 250 人，今年的人數比去年增加

25

3 ，請問今年博幼社區有多少人？若前年人數比去年少

50

7 ，請問前年博幼社區有多少人？

【

【

【

【解題步驟解題步驟解題步驟解題步驟】】】 】

1.「今年的人數比去年增加

25

3 」，表示：

基準量為去年的人數，比較量為今年的人數。

2.「比去年增加

25

3 」是去年的全部人數再加上(去年人數×

25

3 )，所以今年的人數為去年的(1＋

25

3 )倍。

3.畫出去年人數與今年人數的線段圖。

4.由上圖知道今年的人數為 250×1

25

3 ＝280(人)。

5.題目第二個問題「前年人數比去年少

50

7 」，得知基準量為 去年的人數，比較量為前年的人數。

1 去年人數

今年人數

250人

0

基準量

125

比較量 3

增加的人 例題講解 6（比基準量增加或減少）

6.「比去年少

50

7 」是除了去年的全部人數外再減掉(去年人 數×50

7 )，所以前年的人數為去年的(1－

50

7 )倍。

7. 畫出去年人數與前年人數的關係圖。

8.由上圖知道前年的人數為 250×

50

43＝215(人)。

答：今年有 280 人，前年有 215 人

哥哥的體重上個月量是 42 公斤，今天在量體重時發現體重 比上個月增加

14

1 ，請問哥哥現在的體重是多少公斤？

答：45 公斤。

1 去年人數

前年人數

250人

0

基準量

50

比較量 43

少的人數

換你試試看

將一袋 50 顆蘋果，分裝在大小兩盤子，已知大盤子裝的數 量是小盤子的 1.5 倍，請問大小盤子各裝了多少顆蘋果？

【

【

【

【解題步驟解題步驟解題步驟解題步驟】】】 】

1.「大盤子裝的數量是小盤子的 1.5 倍」，表示：

基準量為小盤子的蘋果數，比較量為大盤子的蘋果數。

2.「分裝在大小兩盤子」可以寫成「大盤子的數量＋小盤 子的數量＝一袋蘋果的數量」，所以一袋蘋果的數量是小 盤子上蘋果數量的(1＋1.5)倍。

3.畫出小盤子、大盤子與一袋蘋果數量的關係圖：

4.由上圖知道小盤的數量為50÷2.5(倍)＝20(顆)。

5.大盤的數量是小盤的20×1.5(倍)＝30(顆)。

(基準量) (比較量)

袋子裡的 蘋果數量

1 小盤子蘋果數量

大盤子蘋果數量

0

基準量 比較量 1.5

★換一種方法：用上一單元學習的方法來計算：

1.用比與比值的概念來算，「大盤子裝的數量是小盤子的 1.5 倍」，表示小盤子上的蘋果數量與大盤子上的蘋果數 量的比為 1：1.5。

2.表示全部的蘋果共有2.5份，小盤子占1份，大盤子占1.5 份。

3. 50÷2.5(份)＝20(顆/份)。

4.小盤子占1份，20×1＝20顆；大盤子占1.5份，20×1.5＝

30顆。

答：小盤子有20顆，大盤子有30顆

把長 12 公尺繩子剪成 A、B 兩段，已知 A 段的長是 B 段的 2 倍，請問 A、B 兩段的長各是多少？

答：A 段 8 公尺，B 段 4 公尺。

父子二人，父親的年齡是兒子 6 倍，且父親比兒子多 25 歲，請問父親與兒子的年齡各是多少？

【【

【【解題步驟解題步驟解題步驟解題步驟】】】 】

1.先找出題目中的基準量與比較量，由「父親的年齡是兒 子 6 倍」，得知基準量為兒子的年齡(1 倍)，比較量為父 親的年齡(6 倍)。

2.「父親比兒子多 25 歲」可以寫成「父親的年齡－兒子的 年齡＝25 歲」，所以 25 歲是(6－1)倍。

換你試試看

例題講解 8（「差」求基準量與比較量）

4.由上圖可知，相差的歲數是兒子年齡的 5 倍，兒子的年 齡為 25÷5(倍)＝5(歲)。

5.父親的年齡是兒子的 6 倍，父親的年齡為 5×6(倍)＝

30(歲)。

答：兒子 5 歲，父親 30 歲

已知姊姊的存款是妹妹的 4 倍，且兩人的存款相差 300 元，請問姊妹兩人的存款各是多少元？

答：姊姊 400 元，妹妹 100 元。

1 兒子年齡

父親年齡

0

基準量

6(倍) 比較量

相差 25 歲

換你試試看

6 66

6----4444----2 2 2 2 簡化問題簡化問題簡化問題簡化問題

一串串珠的編法如下圖，請看下圖回答問題

(1)若這串串珠共有 75 個，請問用了幾個 的串珠？

(2)若這串串珠共有 77 個，請問用了幾個 的串珠？

【

【

【

【概念講解概念講解概念講解概念講解】】】 】

 串珠的順序及編號：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

 照順序排列，幾個串珠一組：

每 4 個圖形剛好一組，依序是： 、 、 、 ， 每一組有 2 個 。

 每相差幾號就循環一次：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 每 4 個號碼就剛好一組，可發現下列規則：

串珠 規則

第一個 1÷4＝0…1 5÷4＝1…1 9÷4＝2…1 餘數都是 1 第二個 2÷4＝0…2 6÷4＝1…2 10÷4＝2…2 餘數都是 2 3÷4＝0…3 7÷4＝1…3 11÷4＝2…3 餘數都是 3 4÷4＝1…0 8÷4＝2…0 12÷4＝3…0 餘數都是 0 教學活動 1（規律關係-位置）

75÷4＝18…3，表示有完整的 18 組加上 3 個串珠，

18 組有幾個 ？1 組有 2 個，18 組有 18×2＝36 個 再加上 3 個串珠： 、 、 ，有 2 個

全部的 共有 36＋2＝38(個)。

 若 77 個串珠，請問用了幾個 的串珠？

77÷4＝19…1，表示有完整的 19 組加上 1 個串珠，

19 組有幾個 ？1 組有 2 個，19 組有 19×2＝38 個，

再加上 1 個： ， 有 1 個，

全部的 共有 38＋1＝39(個)。

答：(1)38 個；(2)39 個

【

【

【

【重新佈題重新佈題重新佈題重新佈題】】】 】

下列圖形是有規律的用繩子串起來如下圖，並請回答下列 問題：

這串串珠總共有 54 顆，請問☆共用了幾顆？

答：21 顆。

用長 5 公分的牙籤排三角形，如下圖方式排列，排 1 個三 角形時需要 3 枝牙籤，請問排 50 個三角形時，則需要幾枝 牙籤？

【

【

【

【概念講解概念講解概念講解概念講解】】】 】

 先簡化問題：

數量 圖形 火柴數量

1 個三角形 3 枝牙籤

2 個三角形 3＋2＝

5 枝牙籤

3 個三角形 3＋2×2＝

7 枝牙籤

4 個三角形 3＋2×3＝

9 枝牙籤

 由上表可知，除了第 1 個三角形是用 3 枝牙籤，每增加 1 個三角形要增加 2 枝牙籤。

 從第一個三角形排到第 50 個三角形共要 3＋2×(50－1)＝

101 枝。

 也可以這樣想，每個三角形都需要 2 枝牙籤，但第 1 個 需要多 1 枝，算式可以寫成 2×50＋1＝101 枝。

答：101 枝牙籤

‧‧

教學活動 2（規律關係-數量）

用長 5 公分的牙籤排正方形，如下圖方式排列，排一個正 方形時需要 4 枝牙籤，請問排 20 個正方形時，則需要幾枝 牙籤？

答：61 個。

王老先生的牧場裡養了雞和兔子共 14 隻，他們共有 46 隻 腳，請問王老先生的牧場裡，雞和兔子各有幾隻？

【

【

【

【概念講解概念講解概念講解概念講解】】】 】

 若不考慮牧場裡動物的腳數，請問雞與兔子的數量關係 為何？

雞和兔子共 14 隻，關係如下表：

雞(隻) 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 兔子(隻) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 雞跟兔子的總合是 14，所以當雞的數量減少，兔子的數 量就會增加。

 方法一：列表

雞(隻) 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 兔子(隻) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

腳(隻) 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 由上表可知，雞有 5 隻、兔子有 9 隻。

‧‧‧

教學活動 3（雞兔同籠）

 方法二：

如果王老先生養的都是雞時，應該有 2 × 14＝28 隻腳，

但現場有 46 隻腳，多了 46－28＝18 隻腳，

每隻兔子比雞多 2 隻腳，

現在總共多 18 隻腳，表示多了(18 ÷ 2)隻兔子的腳。

所以，兔子有 18 ÷ 2＝9 隻 雞有 14－9＝5 隻。

 方法三：

如果王老先生養的都是兔子時，應該有 4 × 14＝56 隻 腳，但現場只有 46 隻腳，少了 56－46＝10 隻腳。

每隻雞比兔子少 2 隻腳，

現在總共少 10 隻腳，表示少了(10 ÷ 2)隻雞的腳。

所以，雞有 10 ÷ 2＝5 隻，兔子有 14－5＝9 隻。

答：有兔子 9 隻，雞 5 隻。

【

【

【

【重新佈題重新佈題重新佈題重新佈題】】】 】

停車場裡有腳踏車(兩輪)、三輪車共 20 台，腳踏車和三輪 車合起來的輪胎是 50 個，請問腳踏車和三輪車各有幾台？

答：腳踏車 10 台和三輪車 10 台。

媽媽今年 30 歲，兒子今年 6 歲，請問幾年後媽媽的年齡剛 好是兒子的 3 倍？

【

【

【

【概念講解概念講解概念講解概念講解】】】 】

 若不考慮媽媽年齡與兒子年齡的倍數關係，媽媽與兒子 年齡之間有何規則？

五年 前

四年 前

三年 前

二年 前

一年

前 今年 一年

後 二年

後 三年

後 四年

後 五年

後 六年

後

媽媽年齡 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 兒子年齡 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 不管往前或往後幾年，媽媽與兒子的年齡都相差 24 歲。

 方法一：列表

幾年後 0 1 2 3 4 5 6 7 8 媽媽年齡 30 31 32 33 34 35 36 37 38 兒子年齡 6 7 8 9 10 11 12 13 14 倍數(倍) 5

7

31 4

3 11

5 17

11

35 3

13 37

7 19

由上表可知，當媽媽 36 歲、兒子 12 歲時，媽媽的年齡 剛好是兒子年齡的 3 倍，所以 6 年後，媽媽的年齡是兒 子的 3 倍。

 方法二：畫線段圖比較

由媽媽及兒子的年齡相減，30－6＝24 歲，兩人相差 24 歲，畫圖表示。

由上圖可知，

基準量是幾年後兒子的年齡，

比較量是幾年後媽媽的年齡，

相差 24 歲，剛好為(3－1)倍，也就是基準量的 2 倍，

基準量為 24÷2＝12，幾年後兒子的年齡為 12 歲，即媽媽 的年齡為兒子的 3 倍，

12 歲－兒子現在的年齡＝幾年後，12－6＝6，

答案是 6 年後。

答：6 年後

【

【

【

【重新佈題重新佈題重新佈題重新佈題】】】 】

爸爸今年 35 歲，女兒今年 5 歲，請問幾年後爸爸的年齡剛 好是女兒的 4 倍？

答：5 年後。

1 媽媽年齡

兒子年齡

3(倍) 比較量 相差 24 歲

30 歲

基準量 6 歲

幾年後

幾年後

音樂教室裡的座位，按照號碼從第 1 行第一列開始坐，每 一列有 7 個座位，坐滿後再坐到下一列。小家的座號是 33 號，請問小家坐在第幾行，第幾列？

【

【

【

【解題步驟解題步驟解題步驟解題步驟】】】 】

1.先簡化問題，將座位表列出。

第三列 15 16 17 18 19 20 21

第二列 8 9 10 11 12 13 14

第一列 1 2 3 4 5 6 7

第 1 行 第 2 行 第 3 行 第 4 行 第 5 行 第 6 行 第 7 行

黑板

2.第一列與第二列的數字都相差 7，第二列與第三列的數字 也都相差 7。

3.找出每一行間的規律：

第三列 15÷7＝

2…1

16÷7＝

2…2

17÷7＝

2…3

18÷7＝

2…4

19÷7＝

2…5

20÷7＝

2…6

21÷7＝

3…0

第二列 8 ÷ 7 ＝ 1…1

9 ÷ 7 ＝ 1…2

10÷7＝

1…3

11÷7＝

1…4

12÷7＝

1…5

13÷7＝

1…6

14÷7＝

2…0

第一列 1 ÷ 7 ＝ 0…1

2 ÷ 7 ＝ 0…2

3 ÷ 7 ＝ 0…3

4 ÷ 7 ＝ 0…4

5 ÷ 7 ＝ 0…5

6 ÷ 7 ＝ 0…6

7 ÷ 7 ＝ 1…0 第 1 行 第 2 行 第 3 行 第 4 行 第 5 行 第 6 行 第 7 行

黑板

4.由上面的規律找到，座號 ÷ 7＝商數……餘數，

5.小家的座位，33÷7＝4…5，

列數：4＋1＝5，第 5 列 行數：餘數＝5，第五行。

答：第 5 行，第五列

列數＝商數＋1 行數＝餘數

音樂廳裡的座位，按照號碼從第 1 行第一列開始坐，每一 列有 15 個座位，坐滿後再坐到下一列。小同拿到的座位號 碼是 110 號，請問小同坐在第幾行第幾列？

答：第 5 行第 8 列。

答：靠窗的位置。

小幼將圓球照下列圖形排列，如果按照規律排下去，請問 小幼排到圖 8 時，圖 8 會用到幾個圓球？

【【

【【解題步驟解題步驟解題步驟解題步驟】】】 】

1.先簡化問題，觀察各圖所需圓球的數量。

圖 數量 規律 圖 1 4 1×4＝4 圖 2 8 2×4＝8 圖 3 12 3×4＝12

2.由上面的規律知道「圖 n」，球的數量為 n×4 顆。

3.圖 8 需要幾顆圓球，8×4＝32，需要 32 顆圓球。

答：32 顆圓球。

換你試試看

例題講解 2(規律關係-數量)

圖 1 圖 2 圖 3

如下圖，小家將黑色圍棋依圖 1、圖 2、圖 3、圖 4 的規律 排成正三角形，試問圖 15 需要用到多少顆黑色圍棋？答：

45 顆。

小幼將圓球照下列圖形排列，如果按照規律排下去，請問 小幼排到圖 5 時，圖 5 會用到幾個圓球？從圖 1 到圖 5 共 用了多少顆圓球？

【

【

【

【解題步驟解題步驟解題步驟解題步驟】】】 】

1.先簡化問題，觀察各圖所需圓球的數量。

圖 數量 規律 圖 1 1 1×1＝1 圖 2 4 2×2＝4 圖 3 9 3×3＝9 圖 4 16 4×4＝16

2.由上面的規律知道「圖 n」需要的數量為 n×n 顆。

3.圖 5 需要幾顆圓球，5×5＝25，需要 25 顆圓球。

4.將全部的球加起來，

1＋4＋9＋16＋25＝55，共使用了 55 顆。

答：圖 5 需要 25 顆圓球，圖 1 到圖 5 共使用 55 顆圓球

圖 1 圖 2 圖 3 圖 4

例題講解 3(規律關係-正方形數)

圖 圖 圖 圖

如下圖，小家將正方形磁磚依圖 1、圖 2、圖 3 的規律排成 大正方形，試問圖 9 需要使用到多少片磁磚？

答：81 片。

媽媽的年齡和兒子的年齡相差 36 歲，請問當媽媽的年齡是 兒子年齡的 3 倍時，媽媽是幾歲？兒子是幾歲？

【

【

【

【解題步驟解題步驟解題步驟解題步驟】】】 】

1.將年齡用圖表示

2.由圖可以看出相差 36 歲剛好是 3－1 倍。

3.36 ÷ 2＝18，兒子 18 歲。

4.18 × 3＝54，媽媽 54 歲。

5.驗證：54－18＝36，相差 36 歲，計算正確。

圖 1 圖 2 圖 3

例題講解 4(年齡問題)

1 媽媽年齡

兒子年齡

0 3(倍)

比較量

相差 36 歲

基準量

爺爺的年齡和孫子的年齡相差 54 歲，當爺爺的年齡是孫子 年齡的 10 倍時，爺爺跟孫子各是幾歲？

答：爺爺 60 歲，孫子 6 歲。

把一條繩子摺成等長的 7 摺，用剪刀剪 2 刀，共可剪成幾 段？

【

【

【

【解題步驟解題步驟解題步驟解題步驟】】】 】 1.簡化問題：

摺成等長 圖 切口數 段數

2 摺 2×2＝4 2×2＋1＝5

3 摺 3×2＝6 3×2＋1＝7

4 摺 4×2＝8 4×2＋1＝9

2.由圖可以看出，段數＝等長的幾摺×刀數＋1。

3.7×2＋1＝15。

答：15 段

把一條繩子摺成等長的 8 摺，用剪刀剪 3 刀，共可剪成幾 段？段。

例題講解 5(剪繩子)

換你試試看

6 66

6- -- -4 44 4- -- -3 3 3 3 間隔問題 間隔問題 間隔問題 間隔問題

在道路的一旁，每隔 14 公尺種 1 棵樹，道路頭尾二端都 種，共種 10 棵樹。這條道路長幾公尺？

【【

【【概念講解概念講解概念講解概念講解】】】 】

 簡化問題：

樹的

數量 圖 間隔數 路長

2 2－1＝1 1×14＝14

3 3－1＝2 2×14＝28

4 4－1＝3 3×14＝42

 可知，頭尾都種的路長＝(樹的數目－1)×間隔長度。

 題目問種 10 棵樹的路長，

(10－1)×14＝126。

答：道路全長 126 公尺

【

【

【

【重新佈題重新佈題重新佈題重新佈題】】】 】

在道路的一旁，每隔 18 公尺種 1 棵樹，道路的頭尾二端都 種樹木，共種 20 棵樹。這條道路長幾公尺？答：342 公尺。

教學活動 1(頭尾都種)

在道路的一旁，每隔 14 公尺種 1 棵樹，道路頭尾一端種一 端不種，共種 10 棵樹。這條道路長幾公尺？

【

【

【

【概念講解概念講解概念講解概念講解】】】 】

 簡化問題：

樹的

數量 圖 間隔數 路長

1 1 1×14＝14

2 2 2×14＝28

3 3 3×14＝42

 可知，一端種、一端不種的路長＝樹的數目×間隔長度。

 題目問種 10 棵樹的路長，

10×14＝140。

答：道路全長 140 公尺

【

【

【

【重新佈題重新佈題重新佈題重新佈題】】】 】

在道路的一旁，每隔 25 公尺種 1 棵樹，道路頭尾一端種一 端不種，共種 20 棵樹。這條道路長幾公尺？

答：500 公尺。

在道路的一旁，每隔 14 公尺種 1 棵樹，道路頭尾二端都不 種，共種 10 棵樹。這條道路長幾公尺？

【

【

【

【概念講解概念講解概念講解概念講解】】】 】

 簡化問題：

樹的

數量 圖 間隔數 路長

1 1＋1＝2 2×14＝28

2 2＋1＝3 3×14＝42

3 3＋1＝4 4×14＝56

 可知，頭尾都不種的路長＝(樹的數目＋1)×間隔長度。

 題目問種 10 顆樹的路長，

(10＋1)×14＝154。

答：道路全長 154 公尺

【【

【【重新佈題重新佈題重新佈題重新佈題】】】 】

在道路的一旁，每隔 15 公尺種 1 棵樹，道路的頭尾二端都 不種樹木，共種 20 棵樹。這條道路長幾公尺？

答：315 公尺。

教學活動 3(頭尾都不種)

有一圓形公園，有 20 棵樹種在公園周邊，且每棵樹的間隔 距離都相同，今要沿著公園周邊在兩棵樹中間設置 1 張長 椅，請問這圓形公園可以設置多少張長椅？

【

【

【

【概念講解概念講解概念講解概念講解】】】 】

 簡化問題：

樹的數量 圖 間隔數 長椅數

2 2 2

3 3 3

4 4 4

 可知，間隔數＝樹的數量＝長椅的數量。

 題目問種 20 顆樹，沿著周邊在每兩棵樹中間放 1 張長 椅，代表詢問圓形公園的 20 棵樹可以分隔出多少間隔。

20 棵樹＝20 個間隔，可以放 20 張長椅。

答：20 張長椅

【

【

【

【重新佈題重新佈題重新佈題重新佈題】】】 】

有一圓形步道上在旁邊種了 30 棵樹，且要沿著圓形步道，

在兩棵樹的中間掛上 1 條彩帶，請問需要多少條彩帶？

答：30 條。

博愛路全長 3600 公尺，在道路的一側，每隔 150 公尺設 1 座路燈，請問：

(1)頭尾兩端都設路燈，一共要設幾座路燈？

(2)其中一端設路燈，另一端不設路燈，一共要設幾座路 燈？

(3)頭尾兩端都不設路燈，一共要設幾座路燈？

【【

【【解題步驟解題步驟解題步驟解題步驟】】】 】

1.簡化問題(以道路全長 10 公尺，每隔 2 公尺設 1 座路燈 為例)：

圖 間隔數 路燈數量

頭尾兩端

都設路燈 10÷2＝5 5＋1＝6

一端設路 燈另一端 不設

10÷2＝5 5＋0＝5

頭尾兩端 都不設路

燈

10÷2＝5 5－1＝4

2.由上述的表格，先算出道路的間隔數，3600÷150＝24，

間隔數為 24 個。

3.(1) 頭尾兩端都設路燈，24＋1＝25；

(2) 一端設路燈另一端不設，24＋0＝24；

(3) 頭尾兩端都不設路燈，24－1＝23。

答：(1)25 座；(2)24 座；(3)23 座 例題講解 1(固定距離求數量)

公園直線道路全長 360 公尺，在道路的一側，每隔 30 公尺 設 1 張長椅，請問公園的入口及出口不設長椅，請問一共 設了幾張長椅？

答：11 張。

博愛路全長 4620 公尺，在道路的一側，要設 21 座路燈，

請問：

(1)頭尾兩端都設路燈，每隔多少公尺設置 1 座路燈？

(2)其中一端設路燈，另一端不設路燈，每隔多少公尺設置 1 座路燈？

(3)頭尾兩端都不設路燈，每隔多少公尺設置 1 座路燈？

【【

【【解題步驟解題步驟解題步驟解題步驟】】】 】

1.簡化問題(以道路全長 12 公尺，設 3 座路燈為例)：

圖 間隔數 兩座路燈距離

頭尾兩端

都設路燈 3－1＝2 12÷2＝6

一端設路 燈另一端 不設

3－0＝3 12÷3＝4

頭尾兩端 都不設路

燈

3＋1＝4 12÷4＝3 例題講解 2(固定數量求間隔距離)

2.由上述的表格，先算出設置時的間隔數，

(1) 頭尾兩端都設路燈，間隔數為 21－1＝20；

(2) 一端設路燈另一端不設，間隔數為 21－0＝21；

(3) 頭尾兩端都不設路燈，間隔數為 21＋1＝22。

3.(1) 頭尾兩端都設路燈，4620÷20＝231；

(2) 一端設路燈另一端不設，4620÷21＝220；

(3) 頭尾兩端都不設路燈，4620÷22＝210。

答：(1) 231 公尺；(2) 220 公尺；(3) 210 公尺

游泳池單邊長 60 公尺，在岸上的一側，要設 15 座標示，

請問若起點不設，終點要設，請問每隔多少公尺放一個標 示？

答：4 公尺。

有一正方形的活動會場，會場的外圍周長是 1200 公尺，沿 著外圍每一邊距離 30 公尺放一束氣球，請問：

(1)若活動會場的四個角都要放氣球，一共要放多少束氣 球？

(2)若活動會場的四個角都不要放氣球，一共要放多少束氣 球？

換你試試看

例題講解 3(正方形植樹問題)

1.簡化問題(活動會場的四個角都要放氣球)：

會場周長 圖 每邊數量 氣球(束) 規則

120 2 4

120÷4＝30 (30÷30)×4＝

4

240 3 8

240÷4＝60 (60÷30)×4＝

8

360 4 12

360÷4＝90 (90÷30)×4＝

12

2.由上述的表格，可以找出活動會場的四個角都要放氣球 規則，(周長÷4÷30)×4，(1200÷4÷30)×4＝40，四個角都 要放時，需要 40 束氣球。

3.簡化問題(活動會場的四個角都不要放氣球)：

會場周長 圖 每邊數量 氣球(束) 規則

120 0 0

120÷4＝30 (30÷30)＝1 (1－1)×4＝0

240 1 4

240÷4＝60 (60÷30)＝2 (2－1)×4＝4

360 2 8

360÷4＝90 (90÷30)＝3 (3－1)×4＝8 4.由上述的表格，可以找出活動會場的四個角都不要放氣

球規則，

(周長÷4÷30－1)×4

(1200÷4÷30－1)×4＝36，四個角都不要放時，需要 36 束 氣球。

答：(1) 40 束；(2) 36 束

有一正方形的游泳池，游泳池的外圍周長是 1200 公尺，沿 著岸邊每一邊距離 15 公尺放一張椅子，請問：

(1) 若游泳池的四個角都要放椅子，一共要放多少張椅 子？

(2) 若游泳池的四個角都不要放椅子，一共要放多少張椅 子？

答：(1)80 張；(2)76 張。

長 25 公分的紙，用膠水將 25 張黏成一長條狀，每張紙的 接口處相疊 2 公分，請問黏接後共長多少公分？

例題講解 4(紙張重疊) 換你試試看

1.簡化問題：

紙張

數量 圖 計算方式

2 25×2－2×(2－1)

＝48

3 25×3－2×(3－1)

＝71

4 25×4－2×(4－1)

＝94 2.由圖可以看出連接「n 張」計算方式為 25×n－2×(n－1)

公分。

3.題目問連接 25 張，共長 25×25－2×(25－1)＝577 公分。

答：577 公分

長 30 公分的紙，用膠水將 10 張黏成一長條狀，每張紙的 接口處相疊 1 公分，請問黏接後共長多少公分？

答：291 公分。

2公分

25公分 25公分 2公分

25公分 25公分 2公分

25公分 2公分

25公分 25公分 2公分

25公分 2公分

25公分

換你試試看