=×+×+×+×=−−+ ijikjijkkjki 3232 =×+++×++ iijkjijk 2323 ACijijk ×=+×++ 23 AC × BAABk ×=−×=− 3 jj0 ×= 2 ij × 2 −+ ij 2 ji ×− i −+ ij 2 ii0 ×−= ABijijijjikkk ×=+×−+=×+×−=+= 222 3 ABBA ×=−×

(1)

【解】首先要了解兩向量運算是否合理或合法，而且要知其運算結果是向量或純量。兩向量加、減法運算與兩向量純量積、向量積運算，向量與純量運算，

這些皆是合法向量運算。兩向量加、減法運算，運算結果是向量；兩向量的純量積運算結果是純量；兩向量的向量運算結果是向量，向量與純量的數乘積運算結果是向量。三個向量運算中有括號先運算，知其結果是向量或純量，然後再與第三個向量做運算，判斷結果是向量或純量，這三個向量運算才是合理或合法。同時特別注意兩向量的向量積運算不滿足交換律，差一個負號，即^{A B}^{× = −}

(

B A 。在未計算結果之前，先判斷其運^×

)

算結果是向量或純量，而向量運算必須遵守向量運算規則運算才是正確的。

(a) 先判斷A B× 與B×A是合法向量積運算，運算結果是向量。因兩向量分量並非完整三分量式，所以向量積運算用向量叉積對加法分配律（即 (2-42)式，不用(2-46)式，再配合圖 2-27 及(2-44) 式）。

A B× = + × − +

(

i j

) (

i ²j

)

= ×i

( )

²j + × − =j

( )

i ²k+ = 3k k

（ i 對

(

^{− +}ⁱ ²j 運算使用(2-42)式有兩項，

)

ⁱ^{× − =}

( )

ⁱ ^{0 零向量及}

( )

²

×

i j ，同理對j

(

^{− +}ⁱ ²j 運算使用(2-42)式有兩項，向量

)

及

( )

× − j i

( )

²

× =

j j 0 零向量）

^{B A}^{× = −}

(

^{A B}^×

)

^{= −}³^k

(b) A C 運算結果是向量； × ^{A C}^{× = + ×}

(

ⁱ ^j

) (

²ⁱ⁺³^j⁺^k

)

^{= ×}ⁱ

(

²ⁱ⁺³^j⁺^k

)

^{+ ×}^j

(

²ⁱ⁺³^j⁺k （使用(2-42)式）

)

^{= ×}ⁱ ³^j^{+ × + ×}^{i k} ^j

( ) (

²ⁱ ^{+ ×}^{j k}

)

⁼³^k^{− −}^j ²^k⁺i （使用(2-42)式再 配合圖 2-27 及(2-44) 式）

(2)

= − +i j k A Ci 結果是純量；

A Ci =A C_x _x+A C_y _y+A C_z _z （兩向量的純量積運算是各相應x y z, , 分量相乘積再相加）

= +

(

i j

) (

i ²i+³j+k

)

= × + × + × =1 2 1 3 0 1 5 （缺項補+ k0 ） (c)

(

^{A B}⁺

)

^×^{C 結果是向量；}

(

^A⁺^B

)

^{× =}^C ^⎡_⎣

(

ⁱ⁺ ^j

) (

^{+ − +}ⁱ ²^j

) (

^⎤_⎦^× ²ⁱ⁺³^j⁺^k

)

⁼³^j^×

(

²ⁱ⁺³^j⁺^k

)

⁼³^j^×

( )

²ⁱ ^{+ ×}³^j

( )

^k ^{= − + = −}⁶^k ³ⁱ ³ⁱ ⁶^k

(d)

(

^{A B C}ⁱ

)

^{結果是向量；}

(

^{A B C}ⁱ

)

⁼^⎡_⎣

(

ⁱ⁺ ^j

) (

ⁱ ^{− +}ⁱ ²^j

) (

^⎤_⎦ ²ⁱ⁺³^j⁺^k

) (

^{= × − + ×}¹ ^{1 1 2}

)(

²ⁱ⁺³^j⁺^k

)

⁼^{1 2}

(

ⁱ⁺³^j⁺^k

)

⁼²ⁱ⁺³^j⁺^k

(

^{A B C}^×

)

i 結果是純量，因(a)小題已知結果A B× =3k ；

(

^{A B C}^×

)

ⁱ ⁼³^kⁱ

(

²ⁱ⁺³^j⁺^k

)

^{= × =}^{3 1 3}

(e)

(

^{A B}^×

)

^×C 結果是向量，因(a)小題已知結果A B× =3k ；

(

^{A B}^×

)

^{× =}^C ³^k^×

(

²ⁱ⁺³^j⁺^k

)

⁼³^k^×

( )

²ⁱ ⁺³^k^×

( )

³^j

=6j−9i= − +9i 6j