98 年度指定科目考試數學乙試題第壹部分：選擇題（占

(1)

98

年度指定科目考試數學乙試題

第壹部分：選擇題（占72 分）

一﹑單選題（12 %）

說明：第1 至 2 題為單選題，每題選出一個最適當的選項。每題答對得 6 分，答錯倒扣 1.5 分，倒扣到 本大題之實得分數為零為止。未作答者，不給分亦不倒扣分數。

1. 箱子裡有 30 顆紅球﹐20 顆藍球﹒小明從箱子中隨機抽出 1 顆球﹐記錄球的顏色後放回﹒重複此動作 5 次﹐並依序記錄﹒下列各選項都是小明可能呈現的紀錄﹐試問哪一選項發生的機率最大？

(1)紅紅紅紅紅 (2)藍藍藍藍藍 (3)紅紅藍紅紅 (4)紅藍紅藍紅 (5)藍紅紅藍紅﹒

【解答】.(1)

【詳解】(1)

^{( )} ³

⁵

²⁴³

5  3125

﹐(2)

^{( )} ²

⁵

³²

5  3125

﹐(3)

^{( )} ³

⁴

² ¹⁶²

5   5 3125

﹐(4)

^{( ) ( )} ³

³

²

¹⁰⁸

5 5  3125

﹐(5)

^{( ) ( )} ³

³

²

¹⁰⁸ 5 5  3125

﹐ 故選(1)﹒

2.

A

,

B

,

C

,

D

是四組資料的散佈圖﹐如圖所示﹒利用最小平方法計算它們的迴歸直線﹐發現有兩組資料的迴歸直線相同﹐試問是哪兩組？

(1)

A

﹑

^B

(2)

A

﹑

^C

(3)

A

﹑

^D

(4)

B

﹑

^C

(5)

B

﹑

^D

﹒

【解答】(4)

【詳解】由散佈圖發現

B

﹐

C

為負相關﹐

A

為零相關﹐

D

為正相關﹐故選(4)﹒

二﹑多選題（28 %）

說明：第3 至 6 題，每題各有 5 個選項，其中至少有一個是正確的。選出正確選項。每題 7 分，各選項 獨立計分，每答對一個選項，可得1.4 分，每答錯一個選項，倒扣 1.4 分，完全答對得 7 分；整 題未作答者，不給分亦不倒扣分數。倒扣到本大題之實得分數為零為止。

3. 若

^{( , )} ^{a b}

是對數函數

^y ^ ^log ^x

圖形上一點﹐則下列哪些選項中的點也在該對數函數的圖形上？

(1)

^(1,0)

(2)

^{(10 ,} ^{a b} ^ ¹⁾

(3)

^{(2 ,2 )} ^{a b}

(4)

^{( ,1} ¹ ^b ⁾

a 

(5)

^{( ,2 )} ^a

²

^b

﹒

【解答】(1)(2)(5)

【詳解】(1)○：∵

^{log1 0} ^

﹒

(2)○：∵

^log10 ^a ^ ^{log10 log} ^ ^a ^{ } ¹ ^b

﹒

(3)╳：∵

^{log 2} ^a ^ ^{log 2 log} ^ ^a ^ ^{log 2} ^{ } ^b ² ^b

﹒ (4)╳：∵

^log ¹ ^log ^a ^b ¹ ^b

a      

﹒ (5)○：∵

^log ^a

²

^ ^2log ^a ^ ² ^b

﹒

4. 國一學生 30 萬人﹐智商測驗的結果是「平均數 100，標準差 15」的常態分配﹒若以智商 130 以上做為甄選國一學生為資優生的門檻﹐則根據這次測驗的結果判斷下列選項中的敘述﹐哪些是正確的？

(1)約有 5%的國一學生通過資優生甄選門檻 (2)約有 15 萬名國一學生的智商在 100 以上 (3)超過 20 萬名國一學生智商介於85 至 115 之間 (4)隨機抽出 1000 名國一學生﹐可期望有 25 名資優生 (5)如果某偏遠學校只有14 名的國一學生﹐那麼該校不會有資優生﹒

(2)

【解答】(2)(3)(4)

【詳解】 (1)╳：

(100% 95%) 2 2.5%   

﹒ (2)○：

30 0.5 15  

﹒

(3)○：

30 0.68 20.4  

﹒ (4)○：

1000 2.5% 25  

﹒ (5)╳：不一定﹒

5. 經濟學者分析某公司服務年資相近的員工之｢年薪｣與｢就學年數｣的資料﹐得到這樣的結論：『員工就學年數每增加一年﹐其年薪平均增加8 萬 5 千元』﹒試問上述結論可直接從下列哪些選項中的統計量得到？

(1)「年薪｣之眾數與｢就學年數｣之眾數 (2)｢年薪｣之全距與｢就學年數｣之全距 (3) ｢年薪｣之平均數與｢

就學年數｣之平均數 (4)｢年薪｣與｢就學年數｣之相關係數 (5)｢年薪｣對｢就學年數｣之迴歸直線斜率﹒

【解答】(5)

【詳解】設就學年數為

^x

﹐年薪為

^y

﹐則

^y ^ ^8.5 ^{x k} ^

（萬元）﹐其中

k

為常數﹒顯然﹐年薪對就學年數之迴歸線斜率為8.5﹐故選(5)﹒

6. 某縣市教育局欲瞭解高中生參加課外活動社團的意願﹐開學日隨機調查高一、高二、高三學生各 1067 名﹐詢問本學期是否要參加課外活動社團﹒已知該縣市的高一、高二、高三學生人數幾乎一樣多﹐各年級學生調查結果如下圖：

試問下列選項中的敘述，哪些是正確的？

(1)學生要參加課外活動社團之比例隨著年級增加而遞減 (2)由上述資訊可以估算全體學生要參加課外活動社團的比例 (3)在 95%信心水準下﹐每一個年級學生要參加課外活動社團的比例之信賴區間﹐都可以由題目中已知的數據算出 (4)在 95%信心水準下﹐三個年級的調查結果﹐以高一學生要參加課外活動社團的比例的信賴區間最長 (5)在 95%信心水準下﹐三個年級的調查結果﹐以高三學生要參加課外活動社團的比例的信賴區間最短﹒

【解答】(1)(2)(3)(5)

【詳解】(1)○：∵

66% 52% 22%  

﹒ (2)○：∵約

¹ (66% 52% 22%) 47%

3   

﹒

(3)○：∵信賴區間為

2 p ⁽¹ p ⁾

p n

 

﹐其中

^p

表比例﹐

ⁿ

表人數皆已知﹐∴當然可算出﹒

(4)╳﹒

(5)○：∵信賴區間長度為

4 p ⁽¹ p ⁾ n



﹐∴只要比較

^p ⁽¹ ^ ^p ⁾

之大小即可﹒

66% 52%

22%

34% 48%

78%

高一高二高三

不參加

要參加

(3)

三﹑選填題（32 %）

說明：7 至 10 題各題為選填題。每一題完全答對得 8 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

7. 陳先生三年前買了一輛剛出廠的新車買價 100 萬元；該汽車的價值在第一年後折舊 20%﹐第二年以後每年折舊前一年車價的15%﹒陳先生現在想用這部車換新車﹐試問舊車可抵多少萬元？

答：__________萬元﹒（萬元以下四捨五入）

【解答】58

【詳解】

100 0.8 0.85 0.85 57.8    

≒58（萬元）

8. 某實驗室欲評估血液偵測老年癡呆症技術的誤判率﹙即偵測錯誤的機率﹚﹒共有 760 人接受此血液偵測技術實驗﹐實驗前已知樣本中有735 人未患老年癡呆症﹒實驗後﹐血液偵測判斷為未患老年癡呆症者有665 人﹐其中真正未患老年癡呆症有 660 人﹒試問此血液偵測技術的誤判率為_________

_﹒（化成最簡分數）

【解答】

² 19

【詳解】由右表得所求

^{5 75} ² 760 19

  

﹒

9. 某公司召聘新員工﹐共有 1600 人應徵參加筆試﹒筆試場地借用甲大學的教室﹐該校可租借的大教室有50 間﹐每間可容納 40 人﹐每間租金 500 元；小教室有 60 間﹐每間可容納 20 人﹐每間租金 150 元﹒考慮監考人員的限制﹐筆試教室不能超過60 間﹒試問租借大教室__________間﹐小教室______

____間﹐來進行筆試﹐最省租借場地費用﹒

【解答】20﹐40

【詳解】設大教室

^x

間﹐小教室

^y

間﹐

40 20 1600 60

0 50

0 60

x y

x y x y

 

   

   

   



﹐且

^x

﹐

^y

為整數﹒

^

求

⁵⁰⁰ ^x ^ ¹⁵⁰ ^y

最小值

可行解區域如右圖所示﹐

又

顯然﹐當

x  20

﹐

^y ^ ⁴⁰

時有最小值﹒

10. 某動物園的遊園列車依序編號 1 到 7﹐共有 7 節車廂﹐今想將每節車廂畫上一種動物﹒如果其中的兩節車廂畫企鵝﹐另兩節車廂畫無尾熊﹐剩下的三節車廂畫上貓熊﹐並且要求最中間的三節車廂必須有企鵝﹑無尾熊及貓熊﹐則7 節車廂一共有__________種畫法﹒

【解答】72

【詳解】△：企鵝﹐╳：無尾熊﹐○：貓熊 △╳△╳○○○

^

3!

^

2!=12﹐

○○△╳○△╳

^

3!

^

2!=12﹐ △○△╳○╳○

^

3!

^

2!

^

2!=24﹐ ╳○△╳○△○

^

3!

^

2!

^

2!=24﹐

∴共 12+12+24+24=72 種﹒

實驗前

實驗後有病沒病合計有病 20 75 95 沒病 5 660 665 合計 25 735

頂點

(20, 40) (40,0) (50,0) (50,10)

500 x  150 y

16000 20000 25000 26500

(4)

第貳部分：非選擇題（占28 分）

說明：本大題共有二題計算證明題，同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。每題配分標於題末。

1. 某製造玩具工廠﹐每次接到訂單都需開模 5 萬元﹐製造每一千個玩具材料費需 2 萬元﹐由此建立生產的基本成本函數

^{f x} ^{( ) 5 2} ^{ } ^x

﹐其中

^x

以千個為單位﹒依過去經驗﹐接到訂單數量與報價總值有如下關係：

數量（千個）

報價總值（萬元）

5 37.5

10 70

15 97.5

以此資料建立一個二次函數的報價總值函數

^{g x} ^{( )}

﹐以及獲利函數

^{h x} ^{( )} ^ ^{g x} ^{( )} ^ ^{f x} ^{( )}

﹒

(1) 若接到訂單為 20 千個﹐試問交貨時﹐每千個玩具的基本成本平均是多少萬元？﹙2 分﹚

(2) 試求報價總值函數

^{g x} ^{( )}

﹒﹙7 分﹚

(3) 根據

^{h x} ^{( )}

﹐試問訂單數量是多少時﹐獲利總值最高？﹙5 分﹚

【解答】.(1)2.25 萬元 (2)

( ) ¹

²

8 g x   10 x  x

(3)30 千個

【詳解】(1)∵

f (20) 5 2 20 45    

﹙萬元﹚﹐∴所求

⁴⁵ ^2.25

 20 

﹙萬元﹚﹒

(2)令

g x ( )  ax

²

 bx c 

﹐則

25 5 37.5

100 10 70

225 15 97.5 a b c

a b c

  

    

    



^ ¹

a   10

﹐

^b ^ ⁸

﹐

^c ^ ⁰

﹐∴

^{( )} ¹

²

⁸ g x   10 x  x

﹒

(3)

( ) ( ¹

²

8 ) (5 2 ) ¹

²

6 5 ¹ ( 30)

²

85 10 10 10

h x   x  x   x   x  x    x  

﹐ ∴訂單數量是 30 千個時﹐獲利總值最高﹒

2. 設有

A

,

B

兩支大瓶子﹐開始時﹐

A

瓶裝有

^a

公升的純酒精﹐

B

瓶裝有^b公升的礦泉水﹒每一輪操作都是先將

A

瓶的溶液倒出一半到

B

瓶﹐然後再將

B

瓶的溶液倒出一半回

A

瓶（不考慮酒精與水混合後體積的縮小）﹒設

ⁿ

輪操作後﹐

A

瓶有

a

n公升的溶液﹐

B

瓶有

b

n公升的溶液﹒已知二階方陣 ¹¹ ¹²

21 22

a a

 

 

 

滿足 ¹¹ ¹²

21 22

n n

n

a a a a

a a

b b

     

      

 

﹒

(1) 求二階方陣 ¹¹ ¹²

21 22

a a

 

 

 

﹒﹙5 分﹚

(2) 當

²

a  3

﹐

¹

b  3

時﹐求

a

100及

b

100﹒﹙4 分﹚

(3) 當

a  ²

﹐

b  ¹

時﹐在第二輪操作後﹐

A

瓶的溶液中有百分之多少的酒精？﹙5 分﹚

(5)

【解答】(1)

3 1 4 2 1 1 4 2

 

 

 

(2) 100

2 a  3

﹐ 100

1 b  3

(3)

^68.75%

【詳解】(1)經過第一輪後﹐

A

瓶有

¹ ( ) ³ ¹

2 2 2 4 2

a a

b a b

   

﹐令 ₁

³ ¹

4 2

a  a  b

；

B

瓶有

¹ ( ) ¹ ¹

2 2 4 2

a  b  a  b

﹐令 ₁

¹ ¹

4 2

b  a  b

﹐則 ¹

1

3 1 4 2 1 1 4 2

a a

b b

 

 

      

   

 

 

     

﹐故 ¹¹ ¹²

21 22

3 1 4 2 1 1 4 2

a a

 

 

 

  

 

   

 

 

﹒

(2)∵ ¹

1

2 2

3 1

3 3

4 2

1 1 1 1

4 2 3 3

a b

   

 

   

 

         

       

             

﹐ ² ¹

2 1

2 3 1

3 4 2

1 1 1

4 2 3

a a

b b

 

 

   

     

   

 

   

 

   

﹐

^

顯然 ¹⁰⁰

100

2 3 1 3 a

b

   

 

  

 

   

   

﹐∴ ₁₀₀

²

a  3

﹐ ₁₀₀

¹ b  3

﹒

(3)∵

2

2 2

11 5 11 5

3 1

16 8 16 8

4 2

1 1 5 3 5 3

4 2 16 8 16 8

a b

a a a

b b b

a b

 

      

 

     

        

     

 

   

 

              

﹐∴ 2

11 5 16 8 a  a  b

∴

A

瓶含酒精為

¹¹ ^{11 2}

16 a  16 3 

﹐∴所求=

^{11 2 2 11} ^68.75%

16 3 3 16    

﹒

98 年 度 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 試 題 第壹部分：選擇題（占

98

( ) 3

243

5  3125

( ) 2

32

5  3125

( ) 3

2 162

5   5 3125

( ) ( ) 3

2

108

5 5  3125

( ) ( ) 3

2

108 5 5  3125

A

B

C

D

A

B

A

C

A

D

B

C

B

D

B

C

A

D

( , ) a b

y  log x

(1,0)

(10 , a b  1)

(2 ,2 ) a b

( ,1 1 b )

a 

( ,2 ) a

b

log1 0 

log10 a  log10 log  a   1 b

log 2 a  log 2 log  a  log 2   b 2 b

log 1 log a b 1 b

a      

log a

 2log a  2 b

(100% 95%) 2 2.5%   

30 0.5 15  

30 0.68 20.4  

1000 2.5% 25  

x

y

y  8.5 x k 

k

66% 52% 22%  

1 (66% 52% 22%) 47%

3   

2 p (1 p )

p n

 

p

n

4 p (1 p ) n



p (1  p )

66% 52%

22%

34% 48%

78%

高一 高二 高三

不參加

要參加

100 0.8 0.85 0.85 57.8    

2 19

98 年度指定科目考試數學乙試題第壹部分：選擇題（占

^{( )} ³

²⁴³

^{( )} ²

³²

^{( )} ³

² ¹⁶²

^{( ) ( )} ³

²

¹⁰⁸

^{( ) ( )} ³

²

¹⁰⁸ 5 5  3125

^B

^C

^D

^C

^D

^{( , )} ^{a b}

^y ^ ^log ^x

^(1,0)

^{(10 ,} ^{a b} ^ ¹⁾

^{(2 ,2 )} ^{a b}

^{( ,1} ¹ ^b ⁾

^{( ,2 )} ^a

^b

^{log1 0} ^

^log10 ^a ^ ^{log10 log} ^ ^a ^{ } ¹ ^b

^{log 2} ^a ^ ^{log 2 log} ^ ^a ^ ^{log 2} ^{ } ^b ² ^b

^log ¹ ^log ^a ^b ¹ ^b

^log ^a

^ ^2log ^a ^ ² ^b

^x

^y

^y ^ ^8.5 ^{x k} ^

¹ (66% 52% 22%) 47%

2 p ⁽¹ p ⁾

^p

ⁿ

4 p ⁽¹ p ⁾ n

^p ⁽¹ ^ ^p ⁾

高一高二高三

² 19

^{5 75} ² 760 19

^x

^y

^x

^y

^

⁵⁰⁰ ^x ^ ¹⁵⁰ ^y

^y ^ ⁴⁰

^

^

^

^

^

^

^

^

^

^

^{f x} ^{( ) 5 2} ^{ } ^x

^x

^{g x} ^{( )}

^{h x} ^{( )} ^ ^{g x} ^{( )} ^ ^{f x} ^{( )}

^{g x} ^{( )}

^{h x} ^{( )}

( ) ¹

⁴⁵ ^2.25

^ ¹

^b ^ ⁸

^c ^ ⁰

^{( )} ¹

⁸ g x   10 x  x

( ) ( ¹

8 ) (5 2 ) ¹

6 5 ¹ ( 30)