Precalculus，Ch6 多項函數與有理函數，Cheng‐Fang Su
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6-4 多項式的常用性質
前情提要：國高中學過的多項式概念
1.定義：形如a xn nan1xn1a x1 a0的式子，稱為 x 的多項式，常以 f x( )、g x( )、h x( )，…
表示。例： f x( ) x 6，g x( ) x2 10x，h x( )x210x24…均是 x 的多項式。
2.多項式的文字符號 x 不可在根號內，不可在分母，不可在絕對值內。
（雖然我們先前學多項式時都是採用以上的規則，但若 n 為非負偶數，因為 xn xn，所以 xn的寫法不犯規。）
3.係數與常數項：f x( )＝a xn n an1xn1a x1 a0，其中
a
、na
n、 、 、 稱為1a a
1 0 f x( )的係數。a 是 k 次項的係數，也稱為
k xk的係數，其中a 又稱為常數項。
04.多項式的次數：考慮多項式 f x( )＝a xn nan1xn1a x1 a0，當
a
n ，0a 稱為領導係數，
nn 稱為
f x( )的次數，記作 deg f x( )＝n，此時稱 f x( )為 n 次多項式。【例】多項式 2x4 + x2－5x + 7，次數為 4，其領導係數為 2，常數項為 7。。
【例】5，3，－2， 7 ，8
5均為零次多項式，而 0 稱為零多項式。
6.整係數多項式：係數均為整數的多項式，記作 Z﹝x﹞。
有理係數多項式：係數均為有理數的多項式，記作 Q﹝x﹞。
實係數多項式：係數均為實數的多項式，記作 R﹝x﹞。
複係數多項式：係數均為複數的多項式，記作 C﹝x﹞。
在微積分課程裡，我們所討論的多項式，若無特別指明，均指實係數多項式。
7.降冪(次)排列：依 x 的次方數，由大到小排列。
升冪(次)排列：依 x 的次方數，由小到大排列。
【例】a xn nan1xn1a x1 a0：降冪(次)排列
1
0 1 1
n n
n n
a a xa x a x ：升冪(次)排列
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8.多項式的相等：一個多項式，其各次項係數均是唯一確定的，因此二個多項式要相等，必須 次數相等且同類項(x 次數相同的項)的係數都相等。
主題一 多項式的常用性質－除法原理（除法法則）
1. 整數的除法原理：若 a、bZ，可找到唯一的整數 q，r，使得 a＝bq + r，其中0 r b。 2. 除法原理（除法法則）：
(1) 設 f x( )、g x( )為多項式，且g x( )≠0，可利用長除法得到多項式q x( )、r x( )， 使得 f x( )＝g x( )．q x( )＋r x( )，其中r x( )＝0 或 degr x( )＜degg x( )。
滿足以上條件之多項式q x( )，r x( )是唯一的，其中q x( )稱為 f x( )除以g x( )的商式，
( )
r x 稱為 f x( )除以g x( )的餘式。 f x( )稱為被除式，g x( )稱為除式。
【例】設 f x( )＝3x3－x2－2x + 6，g x( )＝x2 +16，將 f x( )當做被除式，g x( )當做除式，
則由除法法則可知， f x( )可寫成 3x3－x2－2x + 6＝(x2 +16)(3x－1)＋(－50x＋22)，
其中 3x－1 為商式，－50x＋22 為餘式。
(2) 若 r (x)＝0，則 f x( )＝g x( )．q (x)，即f x( )為g x( )的倍式（或g x( )為 f x( )的因式）。
2.一個多項式a xn n an1xn1a x1 a0中的 x，若以一數 代入，可以得到一個數值
1
1 1 0
n n
n n
a a a a ，此數以 f ( )表示。
【例】 f x( )＝5x3－4x2－3x + 7，則 f (2)＝25；f (－1)＝1。
主題二 多項式的常用性質－除法 1.因式與倍式：
(1)設 f x( )、g x( )為多項式，且g x( )≠0，若存在一多項式q x( )，使得 f x( )＝g x( ) q x( )，則 ( )
f x 是g x( )的倍式，g x( )是 f x( )的因式。
(2)若g x( )是 f x( )的因式，則對於任意不為 0 的實數 t 而言，tg x( )也是 f x( )的因式，且g x( ) 也是 tf x( )的因式。
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【例】若 x3－1＝(x－1)(x2 + x + 1)，
則 x3－1 是 x－1 與 x2 + x + 1 的倍式，x－1 與 x2 + x + 1 是 x3－1 的因式。
2.長除法與綜合除法
【例】設 f x( )＝x3－7x2＋13，g (x)＝x +5，試求出 f x( )除以 g (x)之商式及餘式。
主題三 綜合除法的應用－泰勒形式 我們從一個問題出發。
【例】設 f x( )＝x3＋x2＋x＋1，試求 f (0.99)之近似值至小數點以下第二位。
這個問題並不難解決，在同學們完全不知道有什麼工具可以使用的情形下，還有最後一招
「暴力代入法」，把 x＝0.99 直接代入 f x( )，硬算，就可以把題目要求的 f(0.99)直接算出來。
但這個題目只有三次方，算起來已經很麻煩了，很容易出錯，如果題目是五次方或是更高次豈 不是要算到天荒地老？
我們之前已學過除法法則與綜合除法，事實上，利用這兩項工具，就可以用比較漂亮的手 法解決這個問題。
解題的想法是這樣的，如果我們可以把 f x( )＝x3＋x2＋x＋1 化成 f x( )＝a(x－1)3＋b(x－1)2
＋c(x－1)＋d 的形態，並確實地計算出 a、b、c、d 的值，那麼，要求 f(0.99)，就只需要把 x
＝0.99 代入 f x( )＝a(x－1)3＋b(x－1)2＋c(x－1)＋d 即可，然後得到
f (0.99)＝a(0.99－1)
3＋b(0.99－1)2＋c(0.99－1)＋d＝a(－0.01)3＋b(－0.01)2＋c(－0.01)＋d
c(－0.01)＋d （因為題目只要求計算到小數點以下第二位）
看起來是不是好算多了？所以我們接下來的目標，是要想辦法利用除法法則與綜合除法，
把 f x( )＝x3＋x2＋x＋1 化成f x( )＝a(x－1)3＋b(x－1)2＋c(x－1)＋d 的形態。
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然而，除了利用除法法則與綜合除法求出 a、b、c、d 的值之外，我們還可以利用之前所 學過的「微分」概念，定義出多項函數的泰勒形式（或稱泰勒多項式）。日後，當我們需要計 算 a、b、c、d 時，亦可以利用微分來得到我們想要的結果。
定義
設 f x( )為 n 次多項函數， f x( )a xn nan1xn1 a x1 a0，則稱
( )
'( ) ''( ) 2 ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1! 2! !
n
f a f a f a
nf x f a x a x a x a
n
為「以 a 為參考點， f x( )的泰勒形式（或稱泰勒多項式）」。
