第二章 比

952201010 數碩二 吳蕙稜

第二章 比

這一章節我們將介紹會介紹到比例式、連比、比與比值，我們比較有疑問的是其 實很多問題都可以用分數來解釋，為什麼一定要用比來解釋？透過一個「：」符 號到底好在哪裡？我們可以將此連結到生活中，如地圖比例尺，1:60000 是多 大；如畫設計圖，按比例計算這些家具在家中的相對大小；所以「比」在生活中 是經常發生的，但我們常常是用「比值」來計算。

2-1 比與比值

這一節在敘述文字和數學符號的轉換，比與除法息息相關，未來我們可以知道比 值與分數息息相關。

比

首先複習小學學過的比，a和 兩數的比，記為 : ，讀作 比 ，b a b a b

b

a

1. 比率

接下來解釋中文的辭彙─比率，如全校男生與全校人數的比為 525：1000，比值

1000

525 等於全校男生在全部學生的比率，通常將比率換成百分比來表示，如 52.5%。同理，女生比率為 1-52.5%=47.5%，1 當作全體。

例一:在 170 公克的水中，加入純酒精 30 公克，混合後得到的酒精溶液中，純酒 精與酒精溶液重量的比是 : ，其比值為 ，也可以用 %來表示。

→ 學生必須知道重量不滅定律，在自然課可能會做過的實驗，食鹽所佔比率為

20

1 ，通常寫成 5%。

2.與基準量比較之相對比值

有時作比較並不是相對總體作比較，如『全校男生有 525 人，女生有 475 人』， 也就是女生比男生為 19:21，女生人數是男生的

21

19，約為 90.5%，意思是說以男

生為基準，女生人數是男生的 21

19，但是生活中很少這樣說；倒是常說「多的」

是「少的」幾倍？如，男生是女生的 19 21倍。

動動腦: 若美華與森雄的身高比為10：9，廷聰與森雄的身高比為12：11，請問 美華和廷聰誰比較高？

→ 在不久之後，使用連比的形式，會使用通分的想法。

隨堂練習: 腳踏車定價1200元，年終特賣時，民雄大賣場打八五折出售，大林腳 踏車店減價200元，哪一家商店的腳踏車比較便宜？

→ 這是很符合實際生活的標準題型。

動動腦: 牛排餐一客 900 元，餐廳週年慶，推出兩個特惠方案：

1 依定價900元先打八折，再外加一成服務費。

2 依定價900元先加一成服務費，再打八折。

在上述的兩個方案中，哪一個對顧客比較有利？

→ 目的是讓學生知道乘法有交換律。

前面都是使用同類量的比。接下來要注意單位不同時，要化成同一單位，在求比 與比值。如，一個人 43 公斤和 88 磅，要換成同單位在計算。常用的單位有買地 的單位畝、甲、坪、尺，還有稱重的斤、台斤，這些單位很值得在小學數學就交 代，因為這是最生活化的單位，但小學沒有教公制單位以外的單位，所以最好要 告知學生這些事。

隨堂練習: 廷聰家房子的面積是35坪，森雄家房子的面積是98平方公尺，請寫出 他們兩家房子面積的比和比值。（以1平方公尺＝0.3坪計算）

→ 利用單位換算 1 平方公尺=0.3 坪，化成同單位計算此題。另外，要提醒學生 常用的 1 英吋=2.54 公分。

接下來介紹外幣兌換與買進賣出，非常符合真實情境。

3. 異類量的比

像身高與體重這種異類量的比，可以用來看成 BMI。接下來比較重要的比為速 率，也就是位移與時間的比，可視為異類量的比。同類量比和異類量比的差異，

在於同類量的比值沒有單位，可以想成彼此之間相對的倍數，異類量的比是有單 位的，可以記成如每小時多少公里。

注意: 這一節技術上的東西不多，但是老師們應該注意教學腳步不能太快，因為 這邊在語言上定義了一些說法，也就是這樣說代表了數學的某種表徵，代表了數 學的符號。熟練這樣的式子，學生在將來容易從文字的題目對應出數學的式子。

例4: 若爸爸開車的速度是每小時80 公里，鄭伯伯開車的速度是每分鐘1200 公 尺，寫出他們速度的比，並計算其比值。

→ 不同單位的兩個量相比，要換成同單位。如，每小時 80 公里與每分鐘 1200 公尺，是不同的單位。必須換成同一種單位每分鐘 1200 公尺等於每小時 72 公里。

注意:一般學生對公尺比較有實際概念。

繁分數

小學時學過

m n n

m

現在擴展這個約定，當a、 為分數時，

m

b

a b

b

a

以分數。在這裡，我們應該多舉一個例子，如

2 1 3 2 12 23

÷

= 就叫做繁分數。化減成

3 2 4 3

2× = ，可以觀察出一口訣為『內項相乘等於外項相乘』。

例 5: 計算下列繁分數

(1) 23

1 (2)

23 79

(3) 310

1 .

1 (4) 12 . 1

6 . 5

→ 3)4) 要複習一下

10 1 11 .

1 = 、

10 6 56 .

5 = 、

100 12 112 . 1 =

→ 1)要想成 23 11

，簡化的特例反而不自然，尤其對於剛學此方法的學生，要特

別提一下，不要第一次做。

隨堂練習：計算下列繁分數 (1)

35

1 (2)

2 11

1 (3) 718

29

→ 帶分數要換成假分數才能繼續做。

在運算上繁分數有分數有許多類似的地方，如 3

2的倒數就是 2

3，也就是 23

1 。我

們可以推廣成對任何非零的數a(有理數)，它的倒數就是

a

1。前面我們說到，約 分就是a和 同除一個數，在這裡就說約分就是同乘一個數，只不過這個數是一 個分數。例如，我們可以用負數來討論加法與減法的性質。同樣的，我們以前可 能要分別討論乘法與除法的性質，現在我們能將除法看成是乘法，也就是乘以倒 數，有了倒數觀念以後，我們就能知道所有的除法就是乘法。所以，以前說通分 或約分就是分子分母要同除一個數，現在可以看成同乘一個數。

b

例七: 林伯伯由甲地開車到乙地，去程速度是每小時60公里，回程速度是每小時 80公里。求他來回的平均速度。

→ 是一個極為標準的題目，平均速度不是相加除二，此題與一開始令的距離 x 無關，做到後面發現 x 消掉了，可以將 x 寫成 1 來表示，也就是

80 1

601 + 除 2 在 做倒數，另一講法就是給定兩數 60、80，

80 1

601 + 做平均值再做倒數，這就是調 和平均。