高中選修數學甲(上)習作 第 1 章 機率統計 7
1-2 二項分布
重點一 獨立事件 例題1
丟一枚均勻硬幣 2 次，A 表第一次出現正面之事件，B 表第二次出現反面之事件，C 表 1 次 正面、1 次反面出現之事件，試問：
(1)A，B 是否為獨立事件？（3 分） (2)B，C 是否為獨立事件？（3 分）
(3)A，C 是否為獨立事件？（3 分） (4)A，B，C 是否為獨立事件？（3 分）
解 樣本空間 S＝｛（正﹐正）﹐（正﹐反）﹐（反﹐正）﹐（反﹐反）｝
A＝｛（正﹐正）﹐（正﹐反）｝
B＝｛（正﹐反）﹐（反﹐反）｝
C＝｛（正﹐反）﹐（反﹐正）｝
A∩B＝｛（正﹐反）｝，B∩C＝｛（正﹐反）｝
A∩C＝｛（正﹐反）｝，A∩B∩C＝｛（正﹐反）｝
(1)∵P（A∩B）＝1
4，P（A）＝P（B）＝1
2 P（A∩B）＝P（A）P（B）
∴A，B 是獨立事件 (2)∵P（B∩C）＝1
4，P（B）＝P（C）＝1
2 P（B∩C）＝P（B）P（C）
∴B，C 是獨立事件 (3)∵P（A∩C）＝1
4，P（A）＝P（C）＝1
2 P（A∩C）＝P（A）P（C）
∴A，C 是獨立事件 (4)∵P（A∩B∩C）＝1
4，P（A）＝1
2，P（B）＝1
2，P（C）＝1 2
P（A∩B∩C）≠P（A）P（B）P（C）
∴A，B，C 為相依事件 例題2
擲一顆公正骰子一次，令A 表示點數為奇數的事件，B 表示點數為大於 1 且小於 4 的事件，
C 表示點數為偶數的事件，試問：
(1) A，B 是否為獨立事件？（3 分）
(2) A，C 是否為獨立事件？（3 分）
(3) A，B，C 是否為獨立事件？（4 分）
解 S＝｛1﹐2﹐3﹐4﹐5﹐6｝，A＝｛1﹐3﹐5｝，B＝｛2﹐3｝，C＝｛2﹐4﹐6｝
A∩B＝｛3｝，A∩C＝，B∩C＝｛2｝，A∩B∩C＝
P（A）＝1
2，P（B）＝1
3，P（C）＝1 2 P（A∩B）＝1
6，P（A∩C）＝0，P（B∩C）＝1
6，P（A∩B∩C）＝0 (1)P（A）P（B）＝1
6＝P（A∩B）＝1
6 ∴A，B 為獨立事件 (2)P（A）P（C）＝1
2 × 1 2＝1
4≠P（A∩C）＝0 ∴A，C 為相依事件 (3)P（A∩B∩C）＝0≠P（A）P（B）P（C）＝1
2 × 1 3 × 1
2 ∴A，B，C 為相依事件 重點二 重複試驗
例題3
小明投擲一顆公正的骰子 5 次，並假設每次投擲的結果都是互相獨立的，試求他投擲 5 次恰
高中選修數學甲(上)習作 第 1 章 機率統計 8
出現 3 次偶數的機率為 。（10 分）
解 公正的骰子投擲一次，將出現偶數點視為成功，則成功的機率 p＝1
2，失敗的機率 q＝
1 2
則「投擲 5 次恰出現偶數 3 次」表示重複試驗中，恰有 3 次成功，2 次失敗 則 pppqq 其排列方法共有 5!
3!2!＝C35種，而每一種機率都是 1 3
2
1 2
2
故投擲 5 次恰出現偶數點 3 次機率為C35
1 3
2
1 2
2
＝ 5 16 例題4
小華打靶，平均每 4 發中 1 發，並假設每次射擊的結果都是互相獨立的，今射擊 3 發，則恰 中 2 發的機率為 。（10 分）
解 將擊中目標視為成功，則成功機率 p＝1
4，失敗機率 q＝3 4 故恰中 2 發的機率為C23
1 2
4
3 4
＝ 9 64 例題5
中央氣象局長期觀測臺北市 9 月分降雨機率為 25％，今預測今年 9 月 1 日至 9 月 4 日，且每 次預測結果互相獨立，試問：
(1) 恰有 2 天降雨的機率為 。（5 分）
(2) 至少 3 天降雨的機率為 。（5 分）
解 (1)將降雨視為成功，則成功機率 p＝25％＝1
4，失敗機率 q＝1－25％＝3 4 故所求機率為C24
1 2
4
3 2
4
＝6 × 1 16 × 9
16＝ 27 128 (2)至少成功 3 次的情形，包括恰成功 3 次或恰成功 4 次
故所求機率為C34 1 3
4
3 4
＋C44 1 4
4
＝ 13 256 例題6
擲一枚均勻硬幣 6 次，恰在第 6 次出現第 4 次正面的機率為 。（10 分）
解 依題意知，前 5 次出現 3 次正面且第 6 次出現正面 故所求機率為C35
1 3
2
1 2
2
1 2
＝10 64＝ 5
32 例題7
某次數學段考有是非題 5 題，每題 10 分，答錯不倒扣，每題答對與否互相獨立。大雄看不懂 題目，只想一路猜到底，則大雄猜到 30 分以下（含 30 分）的機率為 。（10 分）
解 所求為
5 5 0
1 C 2 ＋
1 4
5 1
1 1 2 2 C ＋
2 3
5 2
1 1 2 2 C ＋
3 2
5 3
1 1 2 2 C ＝ 1
32＋ 5 32＋10
32＋10 32＝26
32＝13 16
↑ ↑ ↑ ↑ 5 題全錯 5 題答對 1 題 5 題答對 2 題 5 題答對 3 題 重點三 二項分布
例題8
高中選修數學甲(上)習作 第 1 章 機率統計 9
小英到廟裡拜拜擲筊，出現「聖筊」機率為1
2，且每次擲筊的結果互相獨立。設隨機變數 X 表 示擲筊 3 次後出現「聖筊」的總次數，試求隨機變數 X 的期望值為 次，變異數為
（10 分）
解 擲筊一次，將出現「聖筊」視為成功，則成功的機率 p＝1
2，失敗的機率 q＝1 2 此隨機變數 X 的機率分布為二項分布 B 1
3 2
， ，其機率分布如下表：
X 0 1 2 3
pX 3
C0
1 3
2
＝1 8
3
C1
1 3
2
＝3 8
3
C2
1 3
2
＝3 8
3
C3
1 3
2
＝1 8
期望值 E（X）＝0 × 1
8＋1 × 3
8＋2 × 3
8＋3 × 1 8＝12
8 ＝3
2（次）
變異數 Var（X）＝
3 2
0 2
－ × 1 8＋
3 2
1 2
－ × 3 8＋
3 2
2 2
－ × 3 8＋
3 2
3 2
－ × 1 8＝3
4 重點四 二項分布的性質
例題9
某球袋中裝有紅球 1 顆，白球 3 顆，球大小一致，且被取出機會均等。假設每次取球的結果 互相獨立，今自袋中取球 4 次，每次取 1 球，放回後再取，試求取得白球的
(1)期望值為 次。（3 分） (2)變異數為 。（3 分）
(3)標準差為 次。（3 分）
解 依題意得，每次取得白球機率 p＝3
4，紅球機率 q＝1 4
設隨機變數 X 表示取得白球次數，則(1)期望值 E（X）＝np＝4 × 3
4＝3（次）
(2)變異數 Var（X）＝npq＝4 × 3 4× 1
4＝3
4；(3)標準差 Var X（ ）＝ 3 4 ＝ 3
2 （次）
例題10
假設生男孩與生女孩的機率相同，今有 3 個小孩的家庭，以隨機變數 X 表示男孩子的數量，
則 X 的：
(1)期望值為 個。（3 分） (2)變異數為 。（3 分）
(3)標準差為 個。（3 分）
解 依題意，每次生男孩的機率 p＝1
2，生女孩的機率 q＝1 2
設隨機變數 X 表示生男孩的數量，則(1)X 的期望值 E（X）＝np＝3 × 1 2＝3
2（個）
(2)X 的變異數 Var（X）＝npq＝3 × 1 2× 1
2＝3
4；(3)X 的標準差 Var X（ ）＝ 3 4 ＝ 3
2
（個）
