班級 範
圍 1-1 向量、內積(1)
座號
姓 名 一. 單一選擇題 (每題 5 分)
1、( B ) 正△ABC 中，AB=2，則 AB BC⋅ = (A) 2 3− (B)-2 (C)2 (D) 2 3 (E)4 解
解析析：：AB BC⋅ =|AB| |BC| cos120° = × ×2 2 cos120° = −2
2、( D ) 設a ≠ 0, , b ≠ 0 a− ⏐=⏐ ⏐−⏐ ⏐b b a 之充要條件為 (A)a b⋅ = (B) , 0 方向相 同，且
a b
a⏐>⏐ ⏐b (C)a, b 方向相反，且 a⏐>⏐ ⏐b (D) a , b 方向相同，且 a⏐<⏐ ⏐b (E)a , b方向相反，且 a⏐<⏐ ⏐b
3、( E ) 設正五邊形ABCDE 中，AB=2，則下列 積 值何者最小？ (A)
( ) (D)
內 之
B (C
AB AC⋅ ) AC AD⋅ AC AE⋅ AB AD⋅ (E) AB AE⋅
解析解析：∵：∵AB AC⋅ =⏐ ⏐⏐ ⏐AB ACcos 36° >0 cos 72 0 AB AD⋅ =⏐ ⏐⏐ ⏐AB AD ° >
cos108 0 AB AE⋅ =⏐ ⏐⏐ ⏐AB AE ° <
cos 36 0 AC AD⋅ =⏐ ⏐⏐ ⏐AC AD ° >
cos 72 0 AC AE⋅ =⏐ ⏐⏐ ⏐AC AE ° >
4、( A ) 正六邊形 ABCDEF 中，令 AB= , BC ba = ，則 EA= (A)a−2b (B) (E)
2 a+ b (C)2 a−b (D)2 b−a b−2a
解析解析：：EA=EO OA+ =(a−b) (+ −b)= −a 2b
5、( A ) D在△ABC 之 BC 邊上，且CD=2BD，G 為 AC 之中點，若將 GD 向量寫為
，其中 r 及 s 為實數，則
GD=r AB s AC+ r+ 之值等於 (A)s 1
2 (B)2 3 (C)1
3 (D) 1
−3 (E) 4
−3
解析解析：： 1 1 1 1
( )
2 3 2 3
GD=GA AB BD+ + = − AC AB+ + BC= − AC AB+ + AC AB− 2 1 3AB 6AC
= −
∴∴ 1 r+ =s 2
6、( D ) 正△ABC 中，AB=2且 AH ⊥BC於 H，則 (AB HC+ )⋅AH = (A)-3 (B) 2 3−
(C) 2 3 (D)3 (E)6
解析解析：： 3
( ) 2 3
AB HC+ ⋅AH =AB AH⋅ = × × 2 = 3
7、( B ) 正六邊形 ABCDEF 中，設AD, BE, CF 相交於一點 O，設 AB= , BC ba = ，則 (C)
a− = (A)b OE (B)OB AC (D) BF (E) CA 解析解析：：a− =b OA AB+ =OB
二、 填充題 (每題 10 分)
1、 ABCD 為平行四邊形，且∠ = °A 60 , AB=2, AD= ，則(1) AB AD3 ⋅ = ______, (2)AC AB⋅ =______。
; ; 77 答案答案：3：3
解析解析：： 1
cos 60 2 3 3 AB AD⋅ =⏐ ⏐⏐ ⏐AB AD ° = × × =2
( ) | |2 4 3
AC AB⋅ = AB AD+ ⋅AB= AB +AD AB⋅ = + = 7
2、 設 a⏐=2, b⏐=4，且 (3a−b)與 (a+b)垂直，則(1) a b⋅ = ______，(2)設 與 之夾 角為
a b θ，則 cosθ = ______。
答案答案：2：2;; 1 4
解
解析析：： a⏐=2, , b⏐=4, , (3a−b) (⋅ +a b)=0 ∴∴a b⋅ =2
2 1
cosθ = 4 2= 4
×
3、設 a⏐=1, b⏐= 3，且a ⊥ b，若(t2+2)a+ 與 a t bb + 互相垂直，則t=_____或_____。
答案答案：-：-1;1; --2 2 解
解析析：：a ⊥ b ∴∴a b⋅ =0，又，又 a⏐=1,, b⏐= 3 [(t2+2)a+b] [⋅ +a t b]=0
2 2
2 2
(t + ⏐ ⏐ +⏐ ⏐ +2)a t b [ (t t + +2) 1]a b⋅ = ⇒0 t2+ + =2 3t 0, , t = −1或-或-2 2 4、設 a⏐=5, b⏐=5, c⏐=6，若a+ + =b c 0，則a b⋅ = ______，又
______。
a b⋅ + ⋅ + ⋅ =b c c a 答案答案：-：-7;7; --4343
解析解析：： a+ ⏐=⏐− ⏐b c ,, a⏐ + ⋅ +⏐ ⏐ =⏐ ⏐2 2a b b 2 c 2，，∴∴a b⋅ = −7， ，
∴∴
2 2 2
2 43
a b c
a b b c c a −⏐ ⏐ −⏐ ⏐ −⏐ ⏐
⋅ + ⋅ + ⋅ = = −
5、若 a⏐=1, b⏐=2, a+ ⏐=b 7，則 a , b 之夾角為______。
答案答案： 60： °
解析解析：： a+ ⏐ =⏐ ⏐ +b 2 a 2 2a b⋅ +⏐ ⏐ =b 2 7 ∴∴a b⋅ =1
∴∴cos 1
2 a b a b θ = ⋅ =
⏐ ⏐⏐ ⏐
∴∴θ = ° 60
6、設 ABCD 為平行四邊形，AB=4, AD=1，則 AC BD⋅ = ______。
答案答案：-：-1515
解析解析：∵：∵ABABCCDD為為平平行行四四邊邊形形 ∴∴ AC=AB AD+ BD=AD AB− ∴∴AC BD⋅ =⏐ ⏐ −⏐ ⏐ = −AD2 AB2 15
7、設 a⏐= ⏐ ⏐≠2b 0，且 7⏐ + ⏐= ⏐ − ⏐a b 3a b ，則 a , b 之夾角θ = ______。
答案答案：120： °
解析解析：令：令 b⏐=K ,, a⏐=2K, , 7⏐ + ⏐ = ⏐ − ⏐a b 2 3a b 2 ∴∴a b⋅ = −K2
∴
∴
2 1
cos (2 ) 2
a b K
K K a b
⋅ −
= = = −
⏐ ⏐⏐ ⏐
θ ∴∴θ =120°
8、在四邊形 ABCD 中，∠A=120°,AB=1,AD=2且AC=3AB+2AD，求 AC = ________。
答案答案： 13： 解
解析析：：AC2 =⏐ ⏐ = ⏐ ⏐ +AC2 9AB2 12AB AD⋅ + ⏐ ⏐4AD2 9 12 1 2 ( 1) 16 13
= + ⋅ ⋅ ⋅ −2 + = (( 1
| || | cos 12 1 2 ( ) 1 AB AD⋅ = AB AD A= ⋅ ⋅ ⋅ −2 2
∵ = − ))
∴ AC∴ = 13
9、△ABC 中，AB= , 5 BC= , 6 CA= ，則(1)CA CB7 ⋅ = ________。 (2)CA⋅AB=________。
00 ((22 答
答案案：(：(11)) 33 ) ) −−1199
解析解析：(：(11))CA CB⋅ =⏐ ⏐⏐ ⏐⋅CA CB cosC
2 2
2
CA CB AB CA CB
CA CB
⏐ ⏐ +⏐ ⏐ −⏐ ⏐2
=⏐ ⏐⏐ ⏐⋅
⏐ ⏐⏐ ⏐
2 2 2
1( )
2 CA CB AB
= ⏐ ⏐ +⏐ ⏐ −⏐ ⏐ 1(72 62 5 )2 30
= 2 + − =
(2(2)) CA⋅AB= −AC AB⋅
2 2 2
1( )
2 AC AB BC
= − ⏐ ⏐ +⏐ ⏐ −⏐ ⏐ 1(49 25 36) 19
= −2 + − = −
10、設 a⏐=3, b⏐=1， a 與b 之夾角為 30 ，若° a t b+ 與 a 垂直，則 t =______。
答案答案： 2 3：− 解
解析析：： 3 3
3 1 3
2 2
a b⋅ = × × = ,, (a t b+ )⋅ = 0a ∴∴ 2 3 3 2 0
a⏐ + ⋅t = ∴∴t= −2 3
11、如圖 EF 為 1 的正六邊形，則下列各內積的大小排列為何？
(A)
，ABCD 邊長為
AB AB⋅ (B) AB AC⋅ (C) AB AD⋅ (D) AB AE⋅ (E) AB AF⋅ 。 答案答案：(：(AA))AB AB⋅ =⏐ ⏐ =AB2 1
(B(B)) AB AC⋅ = 3
cos 1 3 cos 30 AB AC⏐⏐ ⏐⋅ ∠BAC= ⋅ ⋅ ° = 2 (C(C)) AB AD⋅ =⏐ ⏐⏐ ⏐⋅AB AD cos∠BAD= ⋅ ⋅1 2 cos 60° =1 (
(DD)) AB AE⋅ =⏐ ⏐⏐ ⏐⋅AB AE cos∠BAE= ⋅1 3 cos 90⋅ ° =0
(E(E))AB AF⋅ 1
cos 1 1 cos120 AB AF BAF 2
=⏐ ⏐⏐ ⏐⋅ ∠ = ⋅ ⋅ ° =−
∴∴(B)>(A)=(C)>(D)>(E)
12、設 a⏐=3, b⏐=5, c⏐=6。若a+ + =b c 0，試求a b⋅ 之值。
答案答案：由：由a+ + =b c 0得得a+ = −b c 取其取其長長 a+ ⏐=⏐− ⏐b c 平方平方 a+ ⏐ =⏐− ⏐b 2 c 2
展開展開 a⏐ +2 2a b⋅ +⏐ ⏐ =⏐ ⏐b 2 c 2 將值將值代代入入得得到到 32+2a b⋅ +52 =62
1 a b⋅ =
13、在正六邊形 ABCDEF 中，設a = AB, b =BC。試以 a , b 表 DF , AE ,EC。
2 AE= AD DE+ = b−a
2 2 EC =EF FC+ = − +b a = a− b 14、正八邊形的邊，共可決定幾個向量？
答案答案：八：八邊邊分分成成44組對組對應應，，每每組組對對邊邊平平行行且且等等長長，，所所以以只只能能選選出出44個互個互不不平平行行等等長長的的邊邊，， 共
共可可決決定定 4 2× =8個向個向量量。。
