 的內積是一個正數？

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南寧高中 105 學年度 第二學期 第一次段考 高二數學科 B4 1-3~3-1

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一、多選題(每題 5 分，錯一個得 3 分，錯三個以上不給分)

( )1. 右圖是一個正立方體。下列哪些向量和AB



_{的內積是一個正數？}

(1)AC



_(2)AD



_(3)AG



_(4)DG



_(5)FH



( )2. 在坐標空間中，有關直線的概念哪些是正確？

(1)x+2y=0代表通過原點的直線

(2) 1 3 1

2 3 1

x− = y− = z− 與 3 6

4 6 2

x− = y− = 互相平行 z

(3) 2 0

3 0

x y x y z

 − =

 + − =

 表示一個方向向量為(1, 2, 7)的直線

(4) 2 3

2 3 x t

y t

z t

 =

 = −

 = − +



與

2 6 2 3 1 9

x s

y s

z s

 = +

 = −

 = +



分別代表不同的兩條直線

(5) 3 4

5 2

x− = z− ，y=5代表一條方向向量為(5, 0, 2)的直線

( )3. 關於直線 1 2 3

: 1 2 3

x y z

L − = − = +

− ，選出正確的選項：

(1)直線L 與 ₁ 1 2 3

: 2 4 6

x y z

L − = − = +

− − 重合 (2)直線 L 與 ₂ 1

:1 2 3 x y z

L = = −

− 平行 (3)直線L 與 ₃ 1 2 3

: 3 2 1

x y z

L − = − = +

− 交於一點 (4)直線 L 與 ₄:

1 1 1 x y z

L = =

− 歪斜 ( )4. 下列哪些增廣矩陣所表示的一次聯立方程式恰有一組解？

(1)

1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 4

 

 

 

 

 

(2)

1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0

 

 

 

 

 

(3)

1 2 3 4 0 1 2 3 0 0 1 2

 

 

 

 

 

(4)

1 2 3 4 4 3 2 1 0 0 0 5

 

 

 

 

 

(5)

1 2 3 4 4 3 2 1 0 0 0 0

 

 

 

 

 

二、填充題(每格 5 分)

1. 設



a =(3, 2,1)_，



_{b =(4,1, 2)− ，}



_{c =(1, 2,5)，若 (}

  

_{a +t b )⊥ c ，試求實數 t 之值}= _________

2. 右圖是一個邊長為 6 的正立方體，AP=BP， 6CQ=CD，6ER=EF， 求∠QPR之值= _________

3. 已知



a = −( 2,1, 2)_，



_{b =( , , )x y z ，若 |}



_{b | 6= ，求使 a b}

 

_{⋅ 的值最大時之 b}



_{=_________}

A E F

B D C

H G

A F B E

C D

P Q

R

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4. 空間中三點A(1,1, 6)，B(5, 1,10)− ，C( 2, 3, 4)− ，試求 ABC∆ 的面積_________

5. 右圖中，O(0, 0, 0)，A(1, 2, 2)，B(2, 2,1)− ，C x y z( , , )是正立方體的四個 頂點，且z> ，求C 點坐標為_________ 0

6. 設空間中有兩點A(1, 2, 3)− ，B( 5, 1, 0)− − ，平面 E 的方程式為x+ −y 2z+ =3 0，若AB交 E 於 C 點，

試求AC BC: =_________

7. 為了提高接收的效率，太陽能板在接收太陽光時，板面一值保持和太陽光 垂直。現在設定空間坐標，將地面設為xy平面，發現經過點A(3, 3, 4)的太 陽光射到太陽能板 E 上的點B(2, 2, 3)，求

(1)平面E 的方程式為_________

(2)經過一段時間，太陽能板的板面與地面的夾角是30° ，而且太陽光通過點C(4, 2, )t ， (t 是一個正數)射到板面上的點B(2, 2, 3)，求 t 值= _________

8. 坐標空間中的xy平面上有一正方形，其頂點為O(0, 0, 0)，A(4, 0, 0)，B(4, 4, 0)，C(0, 4, 0)。另 一點 P 在xy平面的上方，且與 O ，A， B ，C 四點的距離皆等於 2 3 。試求平面ABP的方程式 為_________

9. 已知直線 ₁ 1 2 3

: 2 3 4

x y z

L − = − = − 與 ₂ 3 1

:2 3 4

x y z

L = − = − 為兩平行直線，若平面 E 包含直線L 與 ₁ L 試求平面2 E 的方程式為_________

10.空間中有一點P(8, 6, 6)− 與平面E: 3x+2y−3z=10。求出 P 點關於平面 E 的對稱點為_________

A

B C

O

A

BE

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11.解下列三元一次聯立方程式

2 2

2 2 1

4 3 4 x y z

x y z x z

+ + =

 − − =

 + =



_________

12.已知矩陣

1 2 5

2 3 3

3 1 2 a b

c

 − 

 − − 

 

−

 

 

經過列運算後，得

1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2

 

 

 

 

 

，求( , , )a b c =_________

13.王先生去歐洲旅行，他在法國每天的食、宿、保險費分別為 2500 元，2000 元，300 元；在德國 的食、宿、保險費分別為 2200 元，2800 元，300 元；在西班牙的食、宿、保險費分別為 2000 元，2000 元，300 元。已知他在這三個國家總共的食、宿、保險費各花了 25100 元，24400 元，

3300 元。問他在這三個國家分別停留_________天

14.設a a₁, ₂,,a₁₀₀是從−1, 0,1這三個整數中取值的數列。若a₁+a₂+ + a₁₀₀=2且

2 2 2

1 2 100

(1−a) + −(1 a ) + + − (1 a ) =134，則a a₁, ₂,,a₁₀₀當中有_________項是 1

15.過P(1, 2, 3)之平面 E 交x軸、y軸、 z 軸正向於A、 B 、 C ，O 為原點，則OA+2OB+3OC有最 小值時，此時平面 E 的方程式為_________

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南寧高中 105 學年度 第二學期 第一次段考 高二數學科簡答 B4 1-3~3-1

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一、多選題(每題 5 分，錯一個得 3 分，錯三個以上不給分)

1. 2. 3. 4.

(1)(3)(4) (2)(3)(5) (1)(2)(3) (1)(2)(3)

二、填充題(每格 5 分)

1. 2. 3. 4.

3 0 ^{( 4, 2, 4)−} 3

5. 6. 7.

( 2, 1, 2)− − 4 :1 (1) x+ + =y z 7 (2) 3 2 3+

8. 9. 10. 11.

4

x+ = z 2x− = − z 1 ^{( 4, 2, 6)− −} 無解

12. 13. 14. 15.

(3,1, 6)

法國 5 天 德國 3 天 西班牙 3 天

20 x+ + =y z 6