向量內外積談三角和差公式
1.內積
1 1 2 2
1 2 1 2
cos( ) cos( ) ( , ) ( , )
(cos ,sin ), (cos ,sin ) (cos ,sin ) (cos ,sin )
1 1cos( ) cos cos sin sin ...(1) (cos ,sin ) (cos ,sin )
1 1cos( ) sin sin
=
=
a b a b a b
a b x y x y x x y y
a b
b a a b
a a b b
a a b b
b a a b a b
b b a a
a b a
× = × - = × -
Þ × ×
= +
=
Þ ×
= × - = +
Þ ×
= × - =
%%
%%
% %
令
cos cos ...(2)
cos( ) cos cos sin sin cos( ) sin sin cos cos
(1)(2)
=
b a b
b a a b a b
a b a b a b
+
- +
- = +
由故可得
2.外積
1 1
2 2
1 2 2 1
sin( ) sin( )
0 0
( )
(cos ,sin ), (cos ,sin ) (cos ,sin ) (cos ,sin )
cos sin 0 cos sin 0
(cos sin sin cos ) 1 1sin( ) 1 1sin( )
sin(
a b a b a b
i j k a b x y
x y
x y x y k
a b
i j k
k
=- -
=
=
-
令
由上式可得
b a a b
a a b b
a a b b
a a
b b
a b a b
b a a b
b
´ = -
´
= -
=
´
=
= -
= × - =- ×
% %
% % %
% %
%
% %
% % %
%
) (cos sin sin cos ) sin( ) sin cos cos sin
=
- =( - )
a a b a b
a b a b a b
- -
1 1
2 2
( , ) ( , )
a x y b x y
=
% =
%
其中
x y
b a α
β β
xy
b a
α
β β
xy
