點與圓的位置關係點與圓的位置關係

(1)

點與圓的位置關係點與圓的位置關係

自我評量

直線與圓的位置關係直線與圓的位置關係

兩圓的位置關係

(2)

圓是經常看到的平面圖形，如圖 2-1

，以一定點 O 為圓心，長為半徑畫圓，

將此圓稱為圓 O 。 OP

圖 2-1

(3)

一圓將所在的平面分成圓的內部、圓周

、圓的外部。如圖 2-2 ， A 點在圓內、 B 點在圓上、 C 點在圓外。

圓的外部

分別連接圖 2-2 中的、

、，若圓 O 半徑為 r ，則＜ r 、＝ r 、＞ r 。也就是：

圖 2-2

OA OB OC

(4)

點與圓的

位置關係 A 點在圓內 B 點在圓上 C 點在圓外

圖示

點到圓心的距離

小於半徑

（＜

r

）

等於半徑

（＝

r

）

大於半徑

（＞

r

）

OA OB OC

(5)

已知圓 O 半徑為 5 ，且 D 、 E 、 F 三點與此圓心 O 的距離分別為 4 、 5 、 8 ，試判斷 D 、 E 、 F 三點與圓 O 的位置關係：（填入圓內、

圓上或圓外）

(1) D 點在 __ 。 (2) E 點在 _

_ 。

(3) F 點在 ______ 。

圓內圓上

圓外

(6)

(1) ∵ ＝ 4 ＜圓 O 的半徑 ∴ D 點在圓內

(2) ∵ ＝ 5 ＝圓 O 的半徑 ∴ E 點在圓上

(3) ∵ ＝ 8 ＞圓 O 的半徑 ∴ F 點在圓外

OD OE OF

已知圓 O 半徑為 5 ，且 D 、 E 、 F 三點與此圓心 O 的距離分別為 4 、 5 、 8 ，試判斷 D 、 E 、 F 三點與圓 O 的位置關係：（填入圓內、

圓上或圓外）

(7)

1 點與圓的位置關係如右圖，坐標平面上三點 A （ 3,3 ）、 B （－ 4,0

）、 C （ 1, － 2 ），若以原點 O 為圓心，半徑為 4 畫一圓，試判斷 A

、 B 、 C 三點與圓的位

置關係。

(8)

解解

∵O （ 0 , 0 ）為圓心，由兩點距離公式知：

(1) ＞ 4( 半徑 )

∴ A 點在圓外。

8 1 )

0 3

( )

0 3

( 

²

 

²



OA

(9)

解解

∵O （ 0 , 0 ）為圓心，由兩點距離公式知：

(2) ＝│ ( 0 － ( － 4)│ ＝ 4 （半徑）

∴ B 點在圓上。

OB

_{y 坐標是 0}^{B 點的}

(10)

解解

∵O （ 0 , 0 ）為圓心，由兩點距離公式知：

(3) ＜ 4( 半徑 )

∴ C 點在圓內

5 )

0 2

( )

0 1

( 

²

  

²



OC

(11)

在坐標平面上，若圓 O 的圓心在原點，且 A （－ 3 , 4 ）在圓 O 上，試求圓 O 的半徑

。 ∵A 點在圓上

∴ 圓 O 的半徑＝

＝ OA

5 )

0 4

( )

0 3

(  

²

 

²



(12)

不相交只交於一點交於兩點圖 2-3

如圖 2-3 ，在平面上，一圓與一直線

的位置關係有三種情形：不相交、只交於一點

或交於兩點。

(13)

1. 不相交：

如圖 2-4 ，若直線 L 與圓 O 不相交，則 L 上的點都在圓 O 外。

圖 2-4 2. 只交於一點：

如圖 2-5 ，若直線 L 與圓 O 只交於一點 P ，則 L 稱為圓 O 的切線， P 點稱為切點。

圖 2-5

(14)

3.

交於兩點：

如圖 2-6 ，若直線 L 與圓 O 交於 A 、 B 兩點，則 L 稱為圓 O 的割線。

圖 2-6 如圖 2-7 ，直線 L 外的

任一點 A 與直線 L 上各點的連線段，以垂直於直線 L 的線段最短，此線段的長度稱為點 A 到直線 L 的距離。

AH

圖 2-7

(15)

前面學過，可以用「點到圓心的距離與圓半徑的大小關係」，判別點與圓的位置關係。同樣地，也可以用「圓心到直線的距離與圓半徑的大小關係」，判別直線與圓的位置關係。

如圖 2-8 ，通過圓心 O ，且交圓 O 於 C 、 D 兩點。

CD

圖 2-8

(16)

若一直線 L 垂直，如圖 2-9(a) 。 CD

1. 在圖 2-9 (a) 中， L 與圓 O 交於兩點，此時圓心 O 到 L 的距離小於半徑。

圖 2-9(a) 圖 2-9(b) 圖 2-9(c)

(17)

2. 將 L 逐漸向 D 點移動，並保持與垂直。

當 L 通過 D 點時，圓心 O 到 L 的距離等於半徑，如圖 2-9(b) 。

CD

圖 2-9(a) 圖 2-9(b) 圖 2-9(c)

(18)

3. 再將 L 向右移動，並保持與垂直。當 L 與圓 O 不相交時，圓心 O 到 L 的距離大於半徑，如圖 2-9(c) 。

CD

圖 2-9(a) 圖 2-9(b) 圖 2-9(c)

(19)

在圖 2-9 (b) 中，若 L 通過 D 點，且垂直，則 L 是否必為圓 O 的切線呢？

OD

圖 2-9(a) 圖 2-9(b) 圖 2-9(c)

(20)

如果在 L 上任取異於 D 的一點 Q ，則 O 、 D 、 Q 三點可形成一個直角三角形，如圖 2- 10 ，其中

為斜邊，所以＞半徑，故 Q 點在圓外。也就是說，

L 與圓 O 不可能有第二個交點

，根據「圓的切線與圓只有一個交點的定義」，所以 L 為圓 O 的切線。

OQ OQ OD

圖 2-10

(21)

反過來說，如果 L 是圓 O 的切線，

則除了 D

點外， L 上的其他任一點 Q' 都會在圓外，因此

＞半徑，也就是說，是圓心到直線 L 的最短距離，所以 ⊥ L

。 '

OQ OD OD

OD

(22)

因此，圓與切線間具有下列兩個性質：

(1) 一圓的切線必垂直於圓心與切點的連線。

(2) 圓心到切線的距離等於圓的半徑。

由上面的討論可知，要畫出通過圓 O 上一點 A 的切線，只要連接，再作通過 A 點且與垂直的直線即可。

OA

(23)

如圖， A 點在圓 O 上，請利用尺規作圖，

畫出過 A 點的切線。

如果以 r 表示圓的半徑， d 表示圓心到

直線的距離，則直線與圓的位置關係有下列三種情

形：

(24)

直線與圓的位置關

係

交於兩點

（直線是圓的割線）

交於一點

（相切）

( 直線是圓的切線 )

不相交

圖示

d 和 r 的

大小比較

d ＜ r d ＝ r d ＞ r

(25)

圓 O 的半徑為 10 ，若圓心到三直線 L

₁

、 L

₂

、 L

₃

的距離分別為 5 、 10 、 13 ，請問 L

₁

、 L

₂

、 L

₃

與圓 O 分別有幾個交點？

(1) 圓心到 L

₁

的距離＝ 5 ＜圓 O 的半徑 ∴ L

₁

與圓 O 有 2 個交點

(2) 圓心到 L

₂

的距離＝ 10 ＝圓 O 的半徑

∴L

₂

與圓 O 只有 1 個交點

(3) 圓心到 L

₃

的距離＝ 13 ＞圓 O 的半徑

∴L

₃

與圓 O 沒有交點

(26)

如圖 2-11 ，從圓外一點 P 到此圓作一切線， A 為切點，則稱為 P 點到圓 O 的切線長。

如何利用尺規作圖，

從圓外給定的一點向此圓作切線

，我們將在下一節中討論。現在讓我們來看看一些關於切線長的問題。

圖 2-11

PA

(27)

2 求切線長

如右圖，與圓 O 切於 A 點，已知圓 O 的半徑為 5 ，

＝ 10 ，試求切線長。 PA

OP

AP

(28)

解解

如右圖，連接。

∵ 為圓 O 的半徑，∴ ＝ 5

，

又與圓相切於 A 點，

∴ ，故△ OPA 為直角三角形。

根據勾股定理：

OA

PA OA 

OA OA

PA

3 5

5 10

² ²

2 2









 OP OA

AP

(29)

如右圖，圓 O 外一點 P ，與圓 O 切於 A 點，已知＝ 13 ，＝ 12 ，試求圓 O 的半徑。

AP OP AP

連接，則

∴

即圓 O 的半徑為 5

OA OA  PA

5 12

13

² ²

2

   

 OP AP

OA

(30)

如圖 2-12 ，通過圓心 O ， A 點為圓 O 上任一點，且 A 點不在上， B 點為 A 點對的對稱點，由對稱的概念知為的垂直平分線，且＝

，因為為半徑，所以也是半徑，

因此 B 點也在圓 O 上，故為圓 O 的對稱軸。

OP

OP OP

OP

OP AB

OA OB OA OB

(31)

由上可知，圓是一個線對稱圖形，

有無限多條對稱軸，而且都會通過圓心。

圖 2-12

(32)

如圖 2-13 ，設為圓 O 的切線

， A 為切點，以為對稱軸，沿著對摺，可找到 A 點的對稱點 B ，因為∠ OAP

＝ 90° ，所以∠ OBP ＝ 90° ，因此 B 點也是切點，且為的對稱邊，∠ BPO 為∠ A PO 的對稱角。所以＝且∠ APO

＝∠ BPO 。

PA OP

PB PA OP

PA PB

(33)

由上面的說明可知：

如圖 2-14 ，、為圓 O 的兩切線， A 、 B 為切點，

則＝，∠ APO ＝∠ BPO 。 PA PB

PA PB

圖 2-13

(34)

3 切線長的應用

如右圖，、、分別切圓 O 於 A 、 B 、 E 三點，且 _{為圓 O 的直徑，}

已知＝ 3 ，＝ 5

，回答下列問題：

(1) 試求。

(2) 試說明∠ DOC ＝ 90°

AD BC CD

AB

AD BC

CD

(35)

證明證明

(1) 連接、。＝＋＝＋＝ 3 ＋ 5 ＝ 8

OD OC CD DE CE

AD BC

（圓外一點到此圓兩切線長相等）

(1) 試求。 CD

(36)

證明證明

AD BC CD

AD

OA  OB  BC AD BC

(2) ∵ 、、分別切圓 O 於 A 、 B 、 E 三點，

∴∠1 ＝∠ 2 ，∠ 3 ＝∠ 4 且

，，

因此 // ， ∠ ADE ＋ ∠ BCE

＝ 180°

（∠ 1 ＋∠ 2 ）＋（∠ 3 ＋∠ 4 ）＝ 180°

2 2 ∠ ＋ 2 3 ∠ ＝ 180°

∠2 ＋ ∠ 3 ＝ 90°

故∠ DOC ＝ 90°

(2) 試證∠ DOC ＝ 90°

(37)

4 切線長的應用

如右圖，四邊形 ABCD 的四邊分別與圓 O 切於 P 、 Q 、 R

、 S 四點，試證＋

＝＋。 AB CD AD BC

證明證明

(1) ∵ 、、、分別與圓 O 切於 P 、 Q 、 R 、 S 四點，

∴ ＝，＝

，

＝，＝ AB BC CD AD

AP AS BP BQ

CQ CR DR DS

(38)

證明證明

(2) ＋＝（＋）＋（

＋）

＝（＋

）＋（＋）

＝（＋

）＋（＋）

＝＋即＋＝＋

。

AB CD AP BP CR DR AS BQ CQ DS AS DS BQ CQ AD BC

AB CD AD BC

(39)

在例題 4 中，四邊形 ABCD 的四邊

分別與圓 O 相切，我們稱四邊形 ABCD 為圓

O 的外切四邊形，且稱圓 O 為四邊形 ABCD

的內切圓。

(40)

如右圖，四邊形 ABCD 為圓 O 的 外切四邊形， ＝ 2x ＋ 1 ， ＝ 2x ＋ 3 ，＝ 4x － 2

，＝ 3x － 2 ，試求 x 之 值。

AB

CD AD

BC

∵ 四邊形 ABCD 為圓 O 的外切四邊形

∴ ＋＝＋

（ 2x ＋ 1 ）＋（ 4x － 2 ）＝（ 3x － 2 ）＋

（ 2x ＋ 3 ）

x ＝ 2

AB CD AD BC

(41)

如圖 2-15 ，為圓 O 的弦，

於 M ，則 的長度稱為的弦心距。習習慣上

既可表示這條線段。在本書中，我們將以弦心距表示圓心到此弦的垂垂直線段，也代表此線段的長度。

圖 2-15 AB OM  AB

OM OM

AB

(42)

5

^{弦心距垂直平分弦}

如右圖，

是圓 O 中的一弦，

為直徑，且，試證＝。

AB CD

AB

CD  AM BM

證明證明 (1) 如右圖，連接、。

(2) ∵ ，

∴∠1 ＝∠ 2 ＝ 90° 。 OA OB AB

CD 

搭配習作 P.27 基礎題 4

(43)

證明證明 (3) 在△ AOM 與△ BOM 中，

∵∠1 ＝∠ 2 ＝ 90° ，＝，＝ .

（半徑），

∴△AOM △BOM （ RHS ），

∴ ＝。

OM OM OA OB

AM BM 由例題 5 可知：

一弦的弦心距垂直平分此弦。



(44)

6

弦心距的應用

如右圖，弦的弦心距

＝ 3 ，

＝，試求圓 O 的半徑

。

AB OP

AB 6 3

解解 ∵ 為弦的弦心距，

∴ 垂直平分弦，

＝．＝．＝

連接，依據勾股定理：

故圓 O 的半徑為 6 。 OP AB

OP AB

BP 12

AB 21 6 3 3 3 OB

OB  BP ²  OP ²  (3 3)²  3²  6

(45)

已知 為圓 O 上的一弦，若 的弦心 距為 6 ，圓 O 的半徑為 10 ，試求。

AB AB

AB

(46)

接下來，我們來探討弦長與弦心距之間的關係：

已知圓 O 的半徑為 r ，、 為圓 O 上的 兩弦，、

、分別為、的弦心距。

AB CD OM ON AB CD

1. 若＝：

如圖 2-16 ，，且＝，

＝。

設 ＝＝ m ， 根據勾股定理可知：

OM ON

AB

OM  ON  CD AM AB CN CD

OM ON

圖 2-16

12

(47)

2 2

2

2 OM r m

OA

AM    

2 2

2

2 ON r m

OC

CN    

∴ ＝，故＝

。

反之，若＝

_{＝ a ，}

則 ＝＝ a ，＝ ＝ a ，

根據勾股定理可知：

AM CN AB CD AB CD

AM 12 AB CN CD 21

12

12 2 )

( 1 ²

2 2

2 AM r a

OA

OM    

2 )

( 1 ²

2 2

2 CN r a

OC

ON    

∴ OM ＝ ON 1.

(48)

我的成功歸功於精細的思考，只有不斷地思考，才能到達發現的彼岸。

— 牛頓（ Sir Isaac Newton ， 1642-1727 ） 2. 若＞：

如圖 2-17 ，，，

且＝，＝。

設 ＝ m ，＝ n ， 根據勾股定理可知：

OM ON

圖 2-17 AB

OM  ON  CD AM AB CN CD

OM

12

12 ON

(49)

2 2

2

2 OM r m

OA

AM    

2 2

2

2 ON r n

OC

CN    

∵m ＞ n ，∴

＜

，

即

＜，故＜。

反之，如圖 2-18 ，若＝ a ， ＝ b

，且 a ＞ b ，

則 ＝＝ a ，＝ ＝ b ，

根據勾股定理可知：

2

2 m

r  r²  n² AM CN

AB CD

AB CD AM 21 AB CN CD

21

12

圖 2-18

(50)

) a

( ²

2 2

2



1





 OA AM r

OM

) b

( ²

2 2

2



1





 OC CN r

ON

∵a ＞ b ，

∴

＜

，

即＜。

) a ( ²

2

 1

r ² ⁽ ^b ⁾²

2

 1 r

OM ON 由上面的說明可知：

(1) 在同一圓中，弦心距相等，則所對應的弦相等；反之亦然。

(2) 在同一圓中，弦心距愈短，則所對應的弦愈長；反之亦然。

(51)

前面討論過直線與圓的位置關係，接下來探討兩個圓的位置關係。

同時通過兩圓圓心的直線稱為連心線，兩圓圓心間的距離稱為連心線長。如圖 2-19 ，

直線 L 為圓 O

¹

與圓 O

²

的連心線，而為連心線長。

在圖 2-19 中，大小兩圓的半徑分別為 r1 和 r2 ，且 r1 ＞ _{r2 。圓 O}

¹

_{與圓 O}

²

不相交，圓 O

¹

與圓 O

²

稱為外離，此時＞ _r1+r 2 。

2 1

O O

2 1

O

(52)

圖 2-19 兩圓外離

在圖 2-20 中，若連心線 L 分別交圓 O₁ 與 圓 O₂ 於 A 、 B 與 C 、 D 四點。過 B 、 C 、 D 三 點分別作圓 O₁ 與圓 O₂ 的切線 M₁ 、 M₂ 及 M₃ ，由於圓心與切點的連線垂直於過此切點的切線，所以 切線 M₁ 、 M₂ 及 M₃ 都垂直於直線 L 。

(53)

圖 2-20

如果將圓 O₂ 沿著連心線 L 往左移動，並保持 切線 M₂ 與連心線 L 垂直。如圖 2-21 ，圓 O₂ 逐漸靠近 圓 O₁ ，直到切線 M₁ 及 M₂ 重合，此時兩圓恰好交於一 點（ B 、 C 兩點重合），此點稱為兩圓的切點，圓 O₁ 與圓 O₂ 稱為外切，此時

＝ r

₁

＋ r

₂ 。

2 1O O

(54)

圖 2-21 兩圓外切

如圖 2-22 ，圓 O₂ 沿著 L 繼續往左移動，直 到兩圓交於 E 、 F 兩點，此時 E 、 O₁ 、 O₂ 可形成一個三角形，根據「三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊

之差小於第三邊

」的性質，可得 r₁ ＋ r₂ ＞ 且 r₁ － r₂ ＜，即

r

₁

－ r

₂

＜

＜ r

₁

＋ r

₂ 。

2 1

O

O O

1

O

2 2

1

O

(55)

圖 2-22

兩圓交於兩點

(56)

如圖 2-23 ，圓 O₂ 沿著 L 繼續往左移動，直 到切線 M₁ 及 M₃ 重合，此時圓 O₂ 與圓 O₁ 再度交於一 點（ B 、 D 兩點重合），此點也稱為兩圓的切點，圓 O₁ 與圓 O

O

₂ 稱為內切，此時¹

O

²

＝ r

₁

－ r

₂ 。

圖 2-23 兩圓內切

(57)

如圖 2-24 ，圓 O₂ 沿著 L 繼續往左移動，

直到圓 O₂ 在圓 O₁ 的內部，且兩圓不相交，圓 O₁ 與 圓 O₂ 稱為內離。若兩圓心不重疊，此時

＜ r

₁

－ r

₂ 。

2 1

O O

圖 2-24 兩圓內離

(58)

如圖 2-25 ，當圓 O₂ 與圓 O₁ 的圓心重疊，

圓 O₁ 與圓 O₂ 稱為同心圓，此時

O

¹

O

²

＝ 0

。

圖 2-25 同心圓

(59)

由上面的說明可以知道：

(1) 比較兩圓的連心線長與兩圓半徑的和或差，即可判斷兩圓的位置關係。

(2) 兩圓外切或內切時，連心線必通過切點。

若圓 O₁ 與圓 O₂ 半徑相等，則圓 O₁ 與圓 O₂ 稱為等圓。在等圓中，兩圓是否會有外離、外切、交於兩點、內切或內離的位置關係？

等圓有外離、外切與交於兩點的位置關係

(60)

7

兩圓的位置關係

在坐標平面上，圓 O₁ 、圓 O₂ 的半徑分別為 8 和 6

，其

連心線長為，則圓 O₁ 和圓 O₂ 的位置關係為何？

34

解解 ∵ 8 － 6 ＜＜ 8 ＋ 6 ，

∴ 圓 O₁ 和圓 O₂ 交於兩點

。

34

搭配習作 P.24 ～ 25 基礎題 6 ～ 9

(61)

在坐標平面上，圓 O₁ 和圓 O₂ 的半徑分別為

、，其圓心坐標分別為 O₁ （ 4,12 ）和 O₂ （－

2,6 ），則此兩圓的位置關係為何？

2

4 2 2

兩圓半徑和＝＋＝故兩圓的連心線長＝兩圓半徑和

即兩圓外切

2 6

6 6

) 6 (12 )

2 (

4   ²   ²  ²  ² 

 ﹝ ﹞

2 1

O O

2

4 2 2 6 2

(62)

平面上，若一直線同時與兩圓相切，且兩圓均在此直線的同側，則此直線稱為這兩個圓的外公切線，如圖 2-26 ，直線 L 是圓 O₁ 和圓 O₂ 的外公切線

，而為兩圓的外公切線長。

AB

圖 2-26

(63)

平面上，若一直線同時與兩圓相切，且兩圓在此直線的異側，則此直線稱為這兩個圓的內公切線

，如圖 2-27 ，直線 M 是圓 O₁ 和圓 O₂ 的內公切線，

而為兩圓的內公切線長。

CD

圖 2-27

兩圓的外公切線或內公切線，統稱為這兩圓的公切線。

(64)

兩圓的位置，與其內、外公切線數量的關係如下表：

兩圓的

位置關係圖示外公切線

的數量內公切線

的數量

外離 2 條 2 條

外切 2 條 1 條

(65)

位置關係兩圓的圖示外公切線

的數量內公切線的數量

交於兩點 2 條 0 條

內切 1 條 0 條

內離 0 條 0 條

(66)

8

求外公切線長

如右圖，直線 L 與兩圓分別切於 A

、

B 兩點，已知＝ 8 ，

＝ 3 ，

＝ 13 ，試求。 A

O¹ O²B

2 1O

O AB

解解 如右圖，作於 H ，

∴∠ O₁HO₂ ＝ 90° 。

又∠ HAB ＝∠ O₂BA ＝ 90° ，

∴ 四邊形 HO₂BA 為長方形。

＝－＝－

＝ 8 － 3 ＝ 5

A O H

O²  ¹

H

O¹ O¹A HA O¹A O²B

(67)

解解 在直角三角形 O₁O₂H 中：

∴ ＝＝ 12 。

12 5

13² ²

2

2 1

2

1    

 O O O H H

O²

AB O²H

(68)

如右圖，直線 L 與兩圓分別切 於 A 、 B 兩點，已知

＝ 5 ，

＝ 2 ，＝ 6 ，試求

A O¹ B

O² AB O1O2

(69)

作於

H

∴ 四邊形 HO₂

BA 為長方形

＝－

＝－＝ 5 － 2 ＝ 3 ＝＝ 6 ＝

A O H

O²  ¹ H

O¹ O¹A HA A

O¹ O²B

H AB O²

2 1O

O O¹H ²  O²H ²  3²  6²  3 5

(70)

9

求內公切線長

如右圖，直線

L

與兩圓分別切於 A 、 B 兩點，已知＝ 10 ，＝ 5 ， ＝ 25 ，試求

。

A

O¹ O²B

2 1O

O AB

證明證明如右圖，作

於 H ，

∴∠O₁HO₂ ＝ 90° ，

又∠ O₁BA ＝ ∠ HBA ＝ 90° ，

∴ 四邊形 ABHO₁ 為長方形，

 H O¹

B O²

(71)

證明證明＝＋

＝＋＝ 5 ＋ 10 ＝ 15 在直角三角形 O₁O₂H 中：

∴ ＝＝ 20 。 H

O² O²B BH B

O² AO¹

H

O¹  O¹O² ²  O²H ²  25² 15²  20 AB O¹H

(72)

如右圖，直線 L 與兩圓分別切於 A

、 B 兩點，已知＝ 5 ， ＝ 3 ，

＝ 10 ，試求。 A

O¹ O²B AB O¹O²

作於 H

∴ 四邊形 ABO₂

H 為長方形

＝＝ 10

＝＋＝＋＝ 5 ＋ 3 ＝ 8

＝ A

O H

O²  ¹

H AB O²

H

O¹ O¹A AH O¹A O²B

2 1O

O O¹H ²  O²H ²  8²10²  2 41

(73)

1. 點與圓的位置關係：

(1) 若點在圓內，則點到圓心的距離小於半徑。

(2) 若點在圓上，則點到圓心的距離等於半徑。

(3) 若點在圓外，則點到圓心的距離大於半徑。

2. 直線與圓的位置關係：

(1) 若直線與圓不相交，則圓心到直線的距離大於半徑。

(2) 若直線與圓只交於一點，則圓心到直線的距離等於半徑。

(3) 若直線與圓交於兩點，則圓心到直線的距離小於半徑。

(74)

3. 切線：

(1) 圓心與切點的連線必垂直於過此切點的切線。

(2) 圓心到切線的距離等於圓的半徑。

(3) 圓外一點到此圓的兩切線長相等。

4. 圓外切四邊形與內切圓：

如圖 2-28 ，四邊形 ABCD 的四邊分 別與圓 O 相切，則四邊形 ABCD 稱 為圓 O 的外切四邊形，圓 O 稱為四

邊形 ABCD 的內切圓。 圖 2-28

(75)

5. 弦心距：

(1) 一弦的弦心距垂直平分此弦。

(2) 在同一圓中，弦心距相等，則其所對應的弦相等；

反之亦然。

(3) 在同一圓中，弦心距愈短，則其所對應的弦愈長；

反之亦然。

6. 連心線：

(1) 同時通過兩圓圓心的直線稱為連心線。

(2) 兩圓圓心間的距離稱為連心線長。

(3) 兩圓外切或內切時，連心線必通過切點。

(76)

7. 兩圓的位置關係：

兩圓的位置關係有外離、外切、交於兩點、內切

、

內離等情形。

8. 公切線：

同時和兩圓相切的直線稱為此兩圓的公切線。

9. 兩圓位置關係與公切線數量：

如果圓 O₁ 半徑為 r₁ ，圓 O₂ 半徑為 r₂ ，且 r₁ ＞ r₂

，圓 O₁ 與圓 O₂ 的連心線長為，則：

2 1O O

(77)

位置關係兩圓的圖示

、 r₁ 、 r₂ 的關係（ r₁ ＞ r

2 ）

公切線數量

外離 ＞ r₁ ＋ r₂ 4 條

外切 =r₁＋ r₂ ^{3 條}

2 1O O

(78)

兩圓的

位置關係圖示、 r₁ 、 r₂ 的關係

（ r₁ ＞ r₂ ）

公切線數量

交於兩點 r₁

－

r₂

＜＜

r₁

＋ r₂ 2 條

2 1O O

(79)

位置關係兩圓的圖示

、 r₁ 、 r

2的關係

（ r₁ ＞ r₂ ）

公切線數量

內切 =r₁

－

_r₂ _{1 條}

內離

＜

r₁

－

_r₂ ^{1 條}

2 1O O

(80)

2-1 自我評量

1. 如右圖，四邊形 OABC 中，∠ A 和∠ C 均為直角， _{＝ 24}

，

＝ 7 ，＝ 15 ，回答下列問題：

(1) 試求。

(2) 若以 O 點為圓心， 為半徑畫圓，則 A

、 B 、 C 三點會分別落在圓內、圓上或圓外？

OA AB BC

OC

OA

(1) 連接，＝

＝ (2) ＝半徑，∴ A 點在圓上

＝ 25 ＞半徑，∴ B 點在圓外 ＝ 20 ＜半徑，∴ C 點在圓內

OB OB OA²  AB²  24²  7²  25 OC OB²  BC²  25² 15²  20 OA

OB OC

(81)

2. 若圓 O 的直徑為 10 ，圓心到三條直線 L₁ 、 L₂ 、 L₃ 的距離

分別為 3 、 5 、 7 ，回答下列問題：

(1) 這三條直線中，哪一條是切線？哪一條是割線？

(2) 已知直線 M 恰好與圓 O 交於一點，試求圓心 O 到 M 的

距離。

(1) 圓 O 的直徑為 10 ，∴半徑＝ 5 又圓心到 L₁ 的距離為 3 ＜半徑 圓心到 L₂ 的距離為 5 ＝半徑 圓心到 L₃ 的距離為 7 ＞半徑 故 L₂ 為切線， L₁ 為割線

(82)

2. 若圓 O 的直徑為 10 ，圓心到三條直線 L₁ 、 L₂ 、 L₃ 的距離

分別為 3 、 5 、 7 ，回答下列問題：

(1) 這三條直線中，哪一條是切線？哪一條是割線？

(2) 已知直線 M 恰好與圓 O 交於一點，試求圓心 O 到 M 的

距離。(2) M 與圓 O 只交於一點

故 M 為切線， M 到圓心的距離＝半徑＝

5

(83)

3. 如右圖，與圓 O 切於 A 點，已知圓 O 的半徑 為 6 ，

＝ 12 ，試求 及△ OPA 的面積。

PO

AP

PA

連接，＝

△OPA ＝．．＝．． 6 ＝

OA PA OP ²  OA ²  12²  6²  6 3 PA OA

21

12 6 3 18 3

(84)

4. 如右圖，等腰梯形 ABCD 為圓 O 的外切四邊形，若 // ， ＝ 3 ，＝ 5 ，試求

圓 O 的半徑。

AD BC AD BC

ABCD 為圓 O 的外切四邊形

∴ ＋＝＋＝ 3 ＋ 5 ＝ 8

又 ABCD 為等腰梯形

∴ ＝＝ 4

作 於 E 點，∴ ＝ 1

＝

圓 O 的半徑＝＝ BC

DE 

AB CD AD BC AB CD

CE

DE CD ²  CE ²  4² 1²  15 21

DE 152

(85)

5. 如右圖，為圓 O 上的一弦，為 的弦心距，若圓 O 的半徑為 10 ，＝ 16 ，試 求。

AB OP AB

AB OP

＝＝ 8 連接

＝ PB AB

OB

OP OB ²  PB ²  10²  8²  6

6. 若半徑分別為 7 、 5 的兩圓交於兩點，試問此兩圓的連心線長可以是下列哪些長度？（請圈起來）

1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 10 、 11

、 12 、 13∵ 兩圓交於兩點 ∴ 7 － 5 ＜連心線長

＜ 7 ＋ 5

2 ＜連心線長＜ 12 12

(86)

7. 在坐標平面上，圓 O₁ 與圓 O₂ 的半徑分別為 6 、 4

，其圓心坐標分別為 O₁ （ 6, － 3 ）和 O₂ （ 0,5 ）

，則圓 O₁ 和圓 O₂ 的位置關係為何？

＝

圓 O₁ 與圓 O₂ 的半徑和＝ 6 ＋ 4 ＝ 10 ＝

∴ 圓 O₁ 與圓 O₂ 外切

2 1O

O (6 0)²  (3 5 )² 10

2 1O O

(87)

8. 如右圖，圓 O₁ 和圓 O₂ 兩圓外切，直線 L 與圓 O₁ 和 圓 O₂ 分別切於 A 、 B 兩點，且圓 O1 半徑為 5 ，圓 O₂ 半徑為 3 ，試求 AB 。

作於 D

∴ABO²

D 為長方形

＝－＝－＝ 5 － 3 ＝ 2

＝＝ A

O D

O²  ¹

D

O¹ O¹A DA O¹A O²B

AB O²D O¹O² ²  DO¹ ²  8²  2²  2 15

點與圓的位置關係 點與圓的位置關係