自我評量
最大值或最小值的應用
最大值或最小值的應用
在前面兩節的例子中，我們知道頂點對於描
繪二次函數圖形的重要性，且由於頂點可以顯示
出函數的最大值或最小值，因此在一些牽涉到最
大值或最小值的應用問題中，它也扮演相當重要
的角色。現在我們就從簡單的問題探討起。
1 和差定值問題
搭配習作 P14 基礎題 1已知兩數的差為 20 ，試求此兩數乘積的最小值。
設兩數分別為 x 、 x ＋ 20 ，兩數的乘積為 y ， 則可得二次函數為 y ＝ x （ x ＋ 20 ），
∴ y ＝ x
2＋ 20x ＝ x
2＋ 20x ＋ 10
2－ 10
2
＝（ x ＋ 10 ）
2－ 100 又（ x ＋ 10 ）
2≧ 0
∴ y ＝（ x ＋ 10 ）
2－ 100≧ － 100
故 x ＝－ 10 時，有最小值 y ＝－ 100 ， 即此兩數乘積的最小值為－ 100 。
解 解
已知兩數的和為 9 ，試求兩數乘積的最大值。
設兩數分別為 x 、 9 － x ，兩數的乘積為 y
，
∴y ＝ x （ 9 － x ）＝－（ x － ）
2＋ ≦ ，
故當 x ＝ 時，有最大值 y ＝ ， 即兩數乘積的最大值為 。
2 9
81 4
81 4 9 2
81 4
81 4
2 定長圍方問題
搭配習作 P14 基礎題 2/ P15 基礎題 3如右圖，某人想用 60 公尺的籬
笆，在河邊圍成一個長方形的
區域，且把河邊當成長方形的
一邊不圍籬笆，則所能圍出最
大的長方形面積是多少平方公
尺？
設此長方形垂直於河邊的邊長為 x 公尺，面積為 y 平方公尺，∵籬笆長 60 公尺，
∴ 平行河邊的邊長為 (60 － 2x) 公尺。
則可列得二次函數為 y ＝ x ( 60 － 2x ），
∴ y ＝ 60x － 2x2 ＝－ 2 （ x2 － 30x ） ＝－ 2(x2 － 30x ＋ 152 － 152) ＝－ 2(x － 15) 2 ＋ 450
又－ 2(x － 15)2≦0 ∴y ＝－ 2(x － 15)2 ＋ 450 4≦ 50
故 x ＝ 15 時，有最大值 y ＝ 450 ，
即所能圍出最大的長方形面積為 450 平方公 尺。
解 解
菜農想用長 36 公尺的籬笆圍成一長方形的菜圃
，請問應如何圍才能圍成最大的面積？此最大面 積是多少？
設菜圃的長為 x 公尺，寬為 (18 － x) 公尺，面 積為 y 平方公尺，
∴y ＝ x （ 18 － x ）＝－（ x － 9 ）
2＋ 81 8 ≦ 1
故當 x ＝ 9 時，有最大值 y ＝ 81 ，此時寬亦為 9 ，
即菜圃圍成邊長為 9 公尺的正方形時，面積最
大為 81 平方公尺。
3 平方和問題
搭配習作 P15 基礎題 4/ P16 基礎題 5 、 6如圖，某人在長方形的養殖場 一角，隔出兩個相連的正方形 放養池，若已知養殖場岸邊的 長度（ ＋ ）共 10 公尺，則兩個放養池的面積和 最小是多少？
AB AD
設 為 x 公尺， 為 (10 － 2x) 公 尺，
且兩個放養池的面積和為 y 平方公尺，
則可列得 y ＝ x
2＋（ 10 － 2x ）
2，
∴ y ＝ 5x
2－ 40x ＋ 100 ＝ 5 （ x
2－ 8x ）＋ 1 00
＝ 5 （ x
2－ 8x ＋ 4
2－ 4
2）＋ 100 ＝ 5 （ x － 4 ）
2＋ 20
又 5 （ x － 4 ）
2≧ 0
∴ y ＝ 5 （ x － 4 ）
2＋ 20 20 ≧ 故 x ＝ 4 時，有最小值 y ＝ 20 ，
即兩個放養池的面積和最小是 20 平方公尺。
AB CD
解 解
將一條 24 公尺長的繩子剪成兩段，各圍出一
個正方形。若要使得這兩個正方形的面積和
最小，則此繩子所剪成兩段的長度分別是多
少公尺？
設剪成兩段的長度為 x 與 24 － x 公尺，面積和 為 y 平方公尺，
∴y ＝（ ）
2＋（ ）
2
＝ （ x － 12 ）
2＋ 18 18 ≧
故當 x ＝ 12 時，有最小值 y ＝ 18 ，此時另一段 亦為 12 ，即剪成兩段的長度均為 12 公尺時，面 積和最小。
4 x
21 x 4
8 1
4 最高收入問題
某旅行社招攬旅行團，預定人數為 20 人，每 人收費 3200 元，若人數達到 20 人以後，每增 加 1 人，則每人減收 100 元。請問增加多少人 時，旅行社才能收到最多的錢？最多共可收到 多少元？
設增加 x 人，參加人數為 (20 ＋ x) 人，旅行 社共收到 y 元，又每人減收 100x 元，因此 每人收費為 (3200 － 100x) 元。
解 解
故可列得 y ＝（ 20 ＋ x ）（ 3200 － 100x ）
∴ y ＝－ 100x
2＋ 1200x ＋ 64000
＝－ 100 （ x
2－ 12x ）＋ 64000
＝－ 100 （ x
2－ 12x ＋ 6
2－ 6
2）＋
64000
＝－ 100 （ x － 6 ）
2＋ 67600 又－ 100 （ x － 6 ）
2≦ ， 5 0
∴ y ＝－ 100 （ x － 6 ）
2＋ 67600 67600 ≦
，
故 x ＝ 6 時，有最大值 y ＝ 67600 。
即增加 6 人時，旅行社收到最多的錢，
最多共可收到 67600 元。
解 解
果農在橘子園種了 40 棵橘子樹，每棵橘子 樹年產 1000 個橘子，若每加種 1 棵橘子樹
，則每棵橘子樹年產量會少 20 個橘子。請
問果農應加種幾棵橘子樹，才能使此橘子園
的橘子產量達到最大？
設加種 x 棵，橘子產量為 y ，
∴ 共有 (40 ＋ x) 棵橘子樹，每棵年產 (1000 － 20x)
個橘子，可得
y ＝（ 40 ＋ x ）（ 1000 － 20x ）
＝－ 20 （ x － 5 ）
2＋ 40500 40500 ≦ 故當 x ＝ 5 時，有最大值 y ＝ 40500 ，
即加種 5 棵，產量會達最大。
5 飛行路徑問題
某職棒選手擊出一支安打。如圖，若球飛行的 水平距離為 x 呎時，球離地面的高度為 y 呎，
且兩者滿足關係式 y ＝－ (x
2－ 300x － 3100) ，回答下列問題：
(1) 擊球點離地面多少呎？
(2) 球飛行途徑的最高點 離地面多少呎？
(3) 從擊球點到球落地時，飛行的水平距離是多 少呎？
800 1
(1) ∵ 擊球點為拋物線與 y 軸的交點，
故將 x ＝ 0 代入關係式 y ＝－
（ x
2－ 300x
－ 3100 ）中，
得 y ＝ ，即擊球點離地面 呎。
800 1
31 8
31 8
解 解
(2) ∵ y ＝－ （ x
2－ 300x － 3100 ） ＝－ （ x
2－ 300x ＋ 150
2－ 150
2－ 3100 ）
＝－ 〔（ x － 150 ）
2－ 2 5600 〕
＝－ （ x － 150 ）
2＋ 32 32
≦
∴ 當 x ＝ 150 時，有最大值 y ＝ 32 。 即球飛行途徑的最高點離地面 32 呎。
800 1
800 1
800 1
800 1
解 解
(3) 球落地時，離地面的高度是 0 呎，故將 y ＝ 0 代入關係式 y ＝－ (x
2－ 300x － 31 00) 中，
得－ (x
2－ 300x － 3100) ＝ 0
x
2－ 300x － 3100 ＝ 0 x
2－ 300x ＝ 310 0
x
2－ 300x ＋ 150
2＝ 3100 ＋ 150
2（ x － 150 ）
2＝ 25600
x － 150 ＝ 160 或 x － 150 ＝－ 160 x ＝ 310 或 x ＝－ 10 （不合）
∴ 球飛行的水平距離是 310 呎。
800 1 800 1
解 解
某鉛球選手投出一球。如圖，若球飛行的水平 距離為 x 公尺時，球離地面的高度為 y 公尺，
且兩者滿足關係式 y ＝－ （ x
2－ 20x － 4 4 ），回答下列問題：
(1) 投球點離地面多少公尺？
(2) 球飛行途徑的最高點離 地面多少公尺？
(3) 從擊球點到球落地時，飛行的水平距離是 多
少公尺？
25 1
(1) x ＝ 0 時， y ＝ ，∴投球點離地面 公尺
(2) y ＝－ （ x
2－ 20x － 44 ）
＝－ （ x － 10 ）
2＋
≦
∴x ＝ 10 時，有最大值 y ＝
，即最高點離地面 公尺。
44 25
25 44 25 1
25 1
144 25
144 25 144 25
144 25
(3) y ＝ 0 時， x
2－ 20x － 44 ＝ 0 （ x － 22 ）（ x ＋ 2 ）＝ 0 x ＝ 22 ，－ 2 （不合）
即球飛行的水平距離為 22 公
尺。
運用二次函數解應用問題的過程：
(1) 假設變數 x 、 y 。 (2) 列出二次函數。
(3) 利用配方法求出二次函數的最大或最小 值 值 值 值 值 。
(4) 依題意作答。
天才是一分的天份，加上九十九分的後天 努力。
— 愛迪生
（ Thomas Alva. Edison ， 1847-1931 ）
1-3 自我評量
1. 若一長方形的周長為 24 ，則其面積的最大值是 多少？
設長方形的長為 x ，寬為 12 － x ，面積為 y ，
∴y ＝ x （ 12 － x ）＝－（ x － 6 ）
2＋ 3 6 36 ≦
故當 x ＝ 6 時，有最大值 y ＝ 36 ，
即其面積最大為 36 。
2. 已知甲正方形的邊長為 m ，乙正方形的邊長 為
n ，若 m ＋ 2n ＝ 3 ，則甲、乙兩正方形的 面積和最小是多少？
設兩正方形的面積和為 y ， 5
∴y ＝ m
2＋ n
2
＝（ 3 － 2n ）
2＋ n
2＝ 5 （ n － ）
2＋ ≧
故當 n ＝ 時，有最小值為 y ＝ ， 即兩正方形的面積和最小為 。
5 6
5 9
5 9 5 6
5 9
5 9
3. 若一梯形的高與上底的和為 6 ，且其高與下 底的和為 12 ，則此梯形面積的最大值是多少
？ 設高為 x ，梯形面積為 y ，∴上底為 6 － x ，下底為 12 － x ，
可列得 y ＝
＝ x （ 9 － x ）
＝－（ x － ）
2＋ ≦
故當 x ＝ 時，有最大值 y ＝
，
即梯形面積最大為
2 ) 12
6
( x x x
9 2
81 4
81 4 9 2
81 4
81 4
4. 如圖，圓 O
1與圓 O
2外切，且知其連心線 為 6 ，則兩圓面積和的最小值是多少？
（圓周率以 π 表示）
2 1
