=甲乙丙庚己戊磬折形

第四章、十九世紀的勾股術之內容分析

十九世紀是朝鮮算學鼎盛時期，哲宗(1850~1864)和高宗(1865~1895)朝出現南 秉哲、南秉吉、李尚爀、趙羲純四位傑出數學家，算學著述較多。他們在研究中 國數學的基礎上，配合當時社會的實際需要，更提出新的數學方法。其重要著作 有南秉哲的《海鏡細草解》；南秉吉的《緝古演段》、《測量圖解》、《勾股述要圖解》、

《無異解》、《九章術解》、《算學正義》；李尚爀的《算術管見》、《借根方蒙求》、《翼 算》及趙羲純的《算學拾遺》。經過漢譯西方數學的傳入及傳教士的衝擊之後，朝 鮮的算學會呈現何種風貌呢！本章將以李朝末年最偉大的天文、算學家南秉吉的

《九章術解》、《勾股述要圖解》、《算學正義》及趙羲純的《算學拾遺》為主，觀 看十九世紀韓國勾股術的發展與成就。

韓國實學在十六世紀後半萌芽，經費三百年的啟蒙運動，科學技術顯著的進 步，十九世紀是實學的「開化期」¹，經由實學「北學派」、²西學的衝擊及韓國的 內省活動，十九世紀是開花結果的年代。南秉吉的《九章術解》是以《數理精蘊》

的算法為藍本加以註解，以解題為主要的訴求；《勾股述要圖解》是以《數理精蘊》

的勾股術的解法為藍本加以編寫，強調勾股術的重要性；由南秉吉編排《算學正 義》的方式，就如一本「百科全書」，他要把自己的算學成就呈現出來，它的成書 也代表著東算的收成結果；趙羲純的《算學拾遺》的成書在前書之後，在西學的 傳入之後，三角學的深度、廣度都增加，他補充《數理精蘊》中「三角學」不足 的部份。

第一節、《九章術解》中的勾股術之分析

一、南秉吉之生平與著作

南秉吉(1820~1869)，字元裳，號六一齋，晚香齋，亦名相吉。在朝鮮李朝哲 宗一年(1850)時，科舉考試中的增廣文科殿試中以丙級及第，³後又擔任吏曹參判 與刑曹判書。哲宗十三年(1862)再升任議政府左參贊，他的哥哥南秉哲(1817~

1863) ，著有《海鏡細草解》，⁴曾擔任吏曹判書兼大提學(金容雲，1985c，p.4)，

__________________

1、參考金容雲、金容局共著，《韓國數學史》(日文版)，楨書店，1978，頁 208。

2、實學可分三期：第一「經世致用學派」，第二「利用厚生學派」，第三「實事求是學派」。「北學 派」即是受清朝考證學影響的學風，故「利用厚生學派」又稱「北學派」，「實事求是學派」又 稱「考證學派」。

3、文科及第者，第一至三名為甲科，第四至十名為乙科，第十一至三十三名為丙科。甲科第一名 為「狀元」，授從六品職，第二名為「榜眼」，第三名為「探花」，各授正七品職。乙科和丙科則 分別授正八品職及正九品職。原有科者，甲科第一名加四階，第二、三名各加三階，乙科加二 階，丙科加一階。參閱蔡茂松，《韓國近世思想文化史》，頁 223~227；李成茂著(楊秀芝譯)，《朝

這些官位都是『顯職』。兄弟雖然貴為兩班(yangban)士大夫(sadaebu)階級，⁵但都 喜歡研究數學與天文學，可稱韓國數學史的一段佳話。南秉吉的《無異解》(1855) 被韓國數學史家金容雲推許為韓國數學史上第一篇數學論文，而數學的著作另有

《測量圖解》(1858)、《勾股述要圖解》、《算學正義》(1867)、《九章術解》、《緝古 演段》與《玉鏡細草詳解》。⁶南秉吉不僅數學著作頗豐，在天文學方面也有《中 星新表》(1853)、《恆星出中入表》(1854)、《量度儀圖說》(1855)、《時憲紀要》(1860)、

《星鏡》(1861)、《推步捷解》(1861) 《春秋日食考》與《太陽更漏表》，另一本著 述為《選擇紀要選》。⁷

南秉吉的《量度儀圖說》是介紹量度圖形的器具；《測量圖解》是介紹測量圖 形；《無異解》是介紹「天元術」與「借根方」；《算學正義》是數學的論述；《九 章術解》是在《九章算術》上做註解；《緝古演段》是介紹王孝通的《緝古算經》；

《玉鏡細草詳解》是包含及延伸朱世傑的《四元玉鑑》；南秉吉將中國的《勾股述 要》加以「圖解」成為《勾股述要圖解》，他哥哥南秉哲的《海鏡細草解》是將李 冶的《測圓海鏡》加以註解，李尚爀的《借根方蒙求》是他在「天元即借根方解」

的認知下，用《數理精蘊》的「借根方」，來處理如《測圓海鏡》、《益古演段》

等書中的「天元術」，趙羲純則是以《數理精蘊》為主，補「勾股術」的不足。

他們處於以金正喜為主的實學第三期「實事求是學派」中，注重經典、金石、

典故的考證，研究訓詁考證之學，在研究方法上強調合理性、實證性、批判性。

由上述可以理解，朝鮮學者希望能從本土文化的特性及傳統中，經由自己的古典 文獻及中國、日本等國的相關文獻，重新的理解，整理出朝鮮的新價值文化，這 可以解釋他們不是完全的吸收，也有批判及新的見解。

南秉吉是十九世紀韓國算學的代表人物，他幫哥哥南秉哲的《海鏡細草解》

作序，為自己的《勾股述要圖解》、《算學正義》及《緝古演段》自序，李尚爀的

《算術管見》、《翼算》及趙羲純的《算學拾遺》作序，共有七篇。金炳冀為南秉 吉的《時憲紀要》作序文，而趙斗淳為《時憲紀要》作敘文，可見他當時在東算

_____________________

4、金容雲，《海鏡細草解》，收入《韓國科學技術史資料大系•數學篇(5)》，漢城：驪江出版社，

1985。

5、兩班之名，原指朝廷朝會東西文武兩班列之稱。然韓國史上之稱兩班者，一指文武人員品 官之在職或未在職者，一指士大夫、士族、士類、士林。英祖(在位年 1725~1776)時人李 重煥(1690~?)所著《擇里誌》，則分兩班、中人、下人三級。(1)兩班：宗室、大家、名家、

品官、士大夫、鄉曲品官、中正功曹。(2)中人：士大夫庶孽、外方閑散人、譯官、算員、

醫官、將校。(3)下人：京外史胥、軍戶、良人、公私賤奴婢。故兩班乃指官僚層及知識層 之人物及其家門。引蔡茂松，《韓國近世思想文化史》，頁 173~174。

6、參考金容雲、金容局共著，《韓國數學史》(日文版)，楨書店，1978，頁 268~272。

7、參閱金雲泰，《奎章閣韓國本圖書解題(經．子部)1》(漢城：大學校圖書館，1978 年)，頁

的地位之崇高。由他為南秉哲《海鏡細草解》所作序文中提到「…數源於九九，

而至於勾股，則大無不包矣，…..」，相信這是他為何特別注重勾股術的原因吧！

二、《九章術解》的體例、結構及勾股術的內容分析

綜觀《九章術解》全書，可以將它視為中國《九章算術》的註解，南秉吉 將劉徽註原序抄錄下來，卷九的勾股章共有二十四個問題，完全依照《九章算術》

原有的排列順序，而未有任何變動，題目內容、答曰、術曰均與《九章算術》相 同，在劉徽術曰之後再以較小字體書寫自己註解。因此，不免引發我們對他寫作

《九章術解》的動機好奇，在比照《九章算術》原有的劉徽註，來探討一下南秉 吉在不同的文化脈絡下，對於《九章算術》的解讀與註釋所蘊含的意義。

在中國，《九章算術》曾經佚失，直到乾隆三十八年，編纂《四庫全書》時，

由戴震輯錄校堪出《九章算術》等七部漢唐算經。據近代數學史家的研究，戴震 在輯錄過程，有著不少的錯訛、誤校，甚至冒用原文的情形。⁸因《九章算術》一 書傳入朝鮮甚早，也是算學科必讀之讀本，所以南秉吉在《九章術解》所採用的

《九章算術》底本，或許是戴震輯錄之前的版本。

為了解此一底本的問題，筆者儘可能搜羅現存《九章算術》的版本來做一比 較，其中包括有：南宋鮑澣之的《九章算術》刻本，戴震校的武英殿聚珍版《九 章算術》、《四庫全書》中的文淵閣本《九章算術》、孔繼涵刻的微波榭本《九章算 術》以及李潢著《九章算術細草圖說》(1820)五種。⁹(以下各書分別簡稱為南宋本、

聚珍本、四庫本、微波謝本與李潢本)。就內容比對，僅有幾處文字差異，表列如 下：

_____________________

8、對於《九章算術》的版本問題可參見郭書春的《九章算術釋注》(瀋陽：遼寧教育出版社，1998)，

頁 38-45。

9、朝鮮•南秉吉，《九章術解》，收入金容雲編，《韓國科學技術史資料大系•數學篇(6)》，漢城：

驪江出版社，1985。

南宋•楊輝，《詳解九章算法》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第一分冊，

鄭州：河南教育出版社，1993。

魏•劉徽著、唐•李淳風釋，武英殿本《九章算術》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通 彙》數學卷第一分冊，鄭州：河南教育出版社，1993。

魏•劉徽著、唐•李淳風釋，《九章算術》，收入文淵閣《四庫全書》1781。

魏•劉徽著、唐•李淳風釋，《九章算術》，收入孔繼涵《微波榭叢書》1773。

清•李潢，《九章算術細草圖說》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第四分冊，

鄭州：河南教育出版社，1993。

九章術解 南宋本 聚珍本 四庫本 微波榭本 李潢本

勾 勾 句 句 句 句

答 荅 答 答 荅 荅

勾股較 勾股較 句股差 句股差 句股差 句股差 勾股和 勾股并 句股并 句股并 句股并 句股并 1

2 3

(1)用畢 氏定理說 明

(1)弦互 求圖，句 實之矩，

股實之矩 圖。

(2)又句 自乘以減 弦自乘其 餘開方除 之即股。

未寫在文 本上

(1)弦互 求圖，句 實之矩，

股實之矩 圖。

(1)弦互 求圖，句 實之矩，

股實之矩 圖。

(2) 又句 自乘以減 弦自乘其 餘開方除 之即股。

「方」未 寫上

(1)未附 圖。

(2) 又句 自乘以減 弦自乘其 餘開方除 之即股。

未寫在文 本上

(1)出入相 補圖。

4 答曰二尺 四寸五分

荅曰二尺 四寸

答曰二尺 四寸

答曰二尺 四寸

荅曰二尺 四寸五分

荅曰二尺 四寸五分 5 七周乘三

圍

七周乘三 圍

七周乘七 圍

七周乘三 圍

七周乘三 圍

七周乘三 圍 7 郤

答曰一丈 二尺二十 一分尺之 一 白畀應是 勾畀

卻 荅曰一丈 二尺六分 尺之一

卻 荅曰一丈 二尺六分 尺之一

卻 荅曰一丈 二尺六分 尺之一

郤 答曰一丈 二尺二十 一分尺之 一

郤 答曰一丈 二尺二十 一分尺之 一 潢按當作 一丈二尺 六分尺之 一 8 郤

於垣高與 垣齊

卻 于上高與 垣齊

卻 于上高與 垣齊

卻 于上高與 垣齊

郤 於垣高與 垣齊

郤 於垣高與 垣齊 12 勾實之矩

+股實之 矩

三圖 勾股差、

并與弦互 求圖 股實廣袤

勾股差、

并與弦互 求圖 股實廣袤

無圖 勾實之矩+

股實之矩

合圖 句實廣袤 合圖

合圖 句實廣袤 合圖 13 答曰四尺

二十分尺 之十一

荅曰四尺 二十分尺 之一十一

答曰四尺 二十分尺 之一十一

答曰尺四 二十分尺 之一十一

荅曰四尺 二十分尺 之十一

荅曰四尺 二十分尺 之十一 14 邪 邪 斜 斜 邪 邪 15 得方一步 得方一步

勾股容方 圖

得方

岸方字下 原本衍一 步二字乃 後人妄加 今刪正

勾股容方 圖

得方

岸方字下 原本衍一 步二字乃 後人妄加 今刪正

勾股容方 圖

得方一步 得方一步 勾股容方 圖

16 勾股容圓 圖

勾股容圓 圖

勾股容圓 圖

勾股容圓 圖 17 太半步 大半步 大半步 太半步 太半步 太半步 18 東門十五

步

東門一十 五步

東門一十 五步

東門一十 五步

東門十五 步

東門十五 步 22 有 今有 今有 今有 今有 今有 23 有 今有 今有 今有 今有 今有 24 有

實如法得 一丈

今有 實如法得 一寸

今有 實如法得 一

今有 法得一法 得一

案此句之 下原本衍 寸字乃後 人妄加今 刪正

今有 實如法得 一寸

今有 實如法得 一寸

由上表可知，它與孔繼涵的《微波榭本》是最為貼近，再由 HPM 通訊第五卷第十 二期第三版，蘇意雯所寫的《九章術解》卷三校勘及其他卷的校勘中，更能說明

《微波榭本》可能是《九章算術》的母本，故孔繼涵的《微波榭本》是最貼近的 文本。

南秉吉在寫作《九章術解》時，他保留了《九章算術》中的題目及術曰，在 每條術曰之後加上自己注釋及圖形，他只有在第一、二、三問之後只給一個圖形

證法，是以三角形的相似性質來說明面積相等，此一證法為畢達哥拉斯的證法，

第十二問給一個勾實之矩＋股實之矩的圖形，以「出入相補」證明，第二十一題 他將自己的注解夾在原來的術曰之中，這是比較特別的，筆者將它們題列如下：

1. 今有勾三尺，股四尺，問為弦幾何？

答曰：五尺。

2. 今有弦五尺，勾三尺，問為股幾何？

答曰：四尺。

3. 今有股四尺，弦五尺，問為勾幾何？

答曰：三尺。

術曰：勾股各自乘，并，而開方除之，

即弦。又股自乘，以減弦自乘，

其餘開方除之，即勾。又勾自 乘，以減弦自乘，其餘開方除 之，即股。

南秉吉：斜分長之半，其短邊為勾，長 邊為股，斜邊為弦，而勾畀、

股畀并之與弦等。

證明：

甲乙丙、甲乙癸、乙丙癸為同式勾股形 若甲乙=b，乙丙=a，甲丙=c

則甲乙：甲丙=甲癸：甲乙 故甲癸= b²

/c

甲乙=大股=中弦=b 甲癸=中股=b²

/c

/c

甲癸子辛=中股 × 大弦=甲乙庚己(股 畀)=大股 × 中弦=b²

癸丙壬子=小勾 × 大弦=乙丙丁戊(勾 畀)=小勾 × 大弦=a²

甲癸子辛+癸丙壬子=甲丙壬辛(弦 畀)=c²

南秉吉所畫的圖形為《數理精蘊》中的圖形，證法也是與它相同，它是利用相似 三角形的比例關係，證明畢式三數組的成立。

12、今有戶不知高廣，竿不知長短。橫 之不出四尺，從之不出二尺，邪之 適出。問戶高、廣、袤各幾何？

答曰：廣六尺，高八尺，袤一丈。

術曰：從、橫不出相乘，倍，而開方除 之。所得加從不出即戶廣，加橫 不出即戶高，兩不出加之，得戶 袤。

南秉吉：戶廣為勾，戶高為股，戶袤為 竿長即弦，橫不出即勾弦較，

從不出即股弦較也，夫勾弦 較、股弦較相乘積二倍與弦和 較相乘自乘畀等，加股弦較為 勾即戶廣，加勾弦較為股即戶 高，加兩較為弦及戶袤。

證明：

甲乙丙丁=弦畀(正方) 甲乙丙丁－戊己庚丁(股畀)

=甲乙丙庚己戊磬折形

=辛乙癸壬(勾畀)

甲辛子戊=(c-b)(c-a)

丑癸丙庚=(c-b)(c-a)

子己丑壬=甲辛子戊+丑癸丙庚

=﹝(b+a)-c﹞

a ) b ) ( c 2 ( c

−

− =(b+a)-c

﹝(b+a)-c﹞+(c-b)=a(戶廣)

﹝(b+a)-c﹞+(c-a)=b(戶高)

﹝(b+a)-c﹞+(c-b)+(c-a)=c(戶袤)

這題與《數理精蘊》下編〈卷十二〉第十問，圖形相同，證明也相同，顯然他是 以此為參考資料。

21. 今有邑方十里，各中開門。甲乙俱 從邑方中央而出。乙東出；甲南 出，門不知步數，邪向東門磨邑適 與乙會。率甲行五，乙行三。問甲、

乙行各幾何？

答曰：甲出南門八百步，邪東北行四千

術曰：令五自乘，三亦自乘，并而半之，

為邪行率。邪行率減於五自乘 者，餘為南行率。以三乘五，為 乙東行率(求諸率之義與上問二 人同所立同)置邑方半之，以南 行率乘之，如東行率而一，即得 出南門步數。以增邑方半，即南

八百八十七步半，及乙。乙東行 四千三百一十二步半。

行。(東行率即股率，南行率即 勾率，半邑方即小股，出南門即 小勾，以股率與小股之比，同於 勾率與小勾之比，而得出南門步 以加半邑方即自邑中央南行也。) 置南行步求弦者，以邪行率乘 之，求東者以東行乘之，各自為 實，實如南行率得一步。

第十六問有解釋切線與切點得關係，半徑垂直切線，用面積的觀念求半徑。

第十七問用「容方」，第十八問用「容長方」，第十九問用「容方」來說明，再用 比率解出，第二十問至第二十四問都直接用對應邊成比例解說。在察考勾股章的 註解後，我們發現南秉吉所使用的數學知識是以《數理精蘊》為主¹⁰，劉徽與李淳 風的註解為輔。¹¹若將此注解與劉徽的注解加以比較，南秉吉比較注重算法與說 明，主要幫助讀者能利用算法去解題，解題方法是主要重點，正好與書名「術解」

作為呼應，主要完成解讀術曰的工作而已。

反觀劉徽的注解，¹²則是注重一般原理的說明、算則應用的提示，且分析各種 數學概念、方法、命題之間的關係。¹³不過，由於兩人的注解《九章算術》的 目的不同，自然而然在注解的策略與方法會有明顯的差異。

由以上的術曰中的註解我們不難看出南秉吉是利用當時他所掌握的西方數學 知識，重新對於勾股章的內容加以解讀¹⁴。在註解時部分用劉徽的方法，部分用

《數理精蘊》的方法，他將註解簡化易懂，而《數理精蘊》的部分也是由多種方 法中，用他認為最簡單的方法來說明，所以他用《數理精蘊》的數學知識重新註 解《九章算術》的用心，是值得大家肯定的。若把《九章術解》拿來自學指南，

仔細研讀，應是很容易可以讀懂的。再看《九章術解》的跋中所寫的：

___________________

10、清•康熙御制《數理精蘊》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第三分冊，鄭 州：河南教育出版社，1993。

11、朝鮮在正祖時期(1777~1800)，李承壎曾帶回《幾何原本》與《數理精蘊》，因此南秉吉熟 知《數理精蘊》的可能性很大。見李儼＜從中國算學史上看中朝交流文化＞一文，收入《李 儼、錢寶琮科學史全集》(瀋陽：遼寧教育出版社，1998)，第八卷，頁 562~563。

12、參見郭書春，《九章算術提要》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》數學卷第一分冊，

(鄭州：河南教育出版社，1993)，頁 79~93。

13、參見郭書春，《古代世界數學泰斗—劉徽》，頁 136。

14、南秉吉在他的數學著作《無異解》一書中亦可得知。參見洪萬生(2000) ＜《無異解》三案探：

一個 HPM 的觀點＞一文，收入《科學教育學刊》第八卷第三期(2000)，頁 215-264。

《九章算術》數學之鼻祖也，劉徽注之，李淳風釋之，然俱多未曉處，抑或 鴛鴦而藏其金針之義歟，注釋所以啟來者，而終莫能端倪，故余因原術解之，

發明其萬一，未敢為覺後覺，而使好學者，庶其易曉云爾。

更可以了解他的用心吧！但劉徽注《九章算術》的時間約為 263 年，而南秉吉 (1820~1869)為十九世紀，期間經過十六世紀的演進，及西方數學的傳入，南秉吉 的注解或許是更貼近現代的知識領域。

第二節、《勾股述要圖解》勾股術之分析 一、《勾股述要圖解》的體例與結構

本書內容為劉氏勾股述要圖解序、求勾股弦率、求帶畸率及題目二百二十 四題，其後有答、術曰、又術解、圖解、又術圖解及解。由序文知：

「李君志叟曾見某家有勾股述要云，故紹介得見，乃寫本而編名以劉氏焉，

時適無暇，倩人影寫，置諸篋中，亦數年矣，邇來余善病，聊為消受之，資 搜出玩繹，其設例二百二十有四，則不甚秘奧，而參互錯綜，為術賅備算方 諸書所未道者甚多。」¹⁵

南秉吉從李尚爀處得到的抄本，此抄本是劉氏的《勾股述要》，因為生病的情 況下，才有時間精讀勾股述要，南秉吉發現這二百二十四題並不很難，其中有很 多的題型，在其他的勾股算學書籍都沒有提到。

「近代華儒諸集，以數理為格致之先務，多所闡揚，而何無一人之為此鋪張者 耶。我東素乏文獻，至於數學，尤不知可樻豈或東人之湮滅無稱者耶。康熙 中，何國柱來留賓館時，有劉生壽錫與之論算，無乃其所著述者耶，未可知 也。人雖不傳，書不可不傳，故茲具圖解，使人易曉，付之活印，雖不足以 發明劉氏，聊以共同好云爾。」¹⁶

他感慨於近代東算的文本中，無人能對於勾股術有所延伸，南秉吉希望利用此書 來把勾股術的部份，傳書於世人之中，而此「劉氏」不知為何人也，阮芸臺《疇 人傳》的收錄頗多，為何不見此人的任何紀錄，這是很令人不解的事情，這是中 算學者中何人的作品，亦不可知也。在康熙年中，何國柱(1713)來訪時，曾與劉壽 錫、洪正夏討論“勾股”問題，而他們所討論的文本已經遺失，不能得知他們所

_________________________

15、金容雲主編，《韓國科學技術史資料大系•數學篇(6)》，(漢城：驪江出版社，1985)，頁 3。

16、同上，頁 4。

討論的文本為何書？只知何國柱所用的是西法，而劉壽錫、洪正夏則大都用以籌 算列出方程式，然後再用中國宋元『開方術』解得正根，但文本並未流傳下來，

這也是很令他遺憾的地方，讓他感到文本保留的重要性，故南秉吉編寫《勾股述 要圖解》，想必是希望借由此文本的產生，能夠使文本好好的保留，也讓東算在勾 股術上有自己的文本，並由此告知東算在勾股術上的成就。更由此序文知道南秉 吉應是熟悉洪正夏的《九一集》才是。

二、《勾股述要圖解》的內容分析

《勾股述要圖解》為《韓國科學技術史資料大系•數學篇(6)》，頁 3~190。

從劉氏勾股述要圖解〈序〉起，再來為求〈勾股弦率〉，求〈帶畸率〉，最後為題 目二百二十四題，其後有答、術曰、又術解、圖解、又術圖解及解。現在我們就 由本書的內容，提供一點說明。

(一) 求勾股弦率：先任置若干數為母數，次任置若干數為子數，視子母之數可 約，則約之，乃子母數各自乘相併為弦，又子母數各自乘相較

為勾，又子母數相乘倍之為股也。即令 p 為母數，q 為子數，q<p，

p、q 為一奇一偶之數，令 c=p²+q²，b=2pq，a=p²-q²。(頁 5)，由 圖解來解釋如何給予母數及子數，以便解決問題為主要目標。

故圖解以比例三率求勾股弦法，即畢氏三數組。

丁 巳

辛

戊 乙

庚 甲 丙

此圖與《數理精蘊》下編卷十二、面部二、勾股(定勾股弦無零數 法)頁 611 完全相同。由此可之知南秉吉是參考使用《數理精蘊》

裡的圖形。

(二)求帶畸率：子母數各自乘，相併為實，倍子數為法，除實得數又有奇零，乃命 分為弦，子母數各自乘，相減為實，倍子數為法，除實得數又有奇 零，乃命分為勾，以母數為股也。

(三)劉氏勾股述要圖解：題目二百二十四題，每題的型式為，題目—答、術曰、又 術解、圖解、又術圖解及解。

清•康熙御制《四庫全書》中的《數理精蘊》，主要是由西方數學來解釋十八 世紀以前的中國數學，畢式定理即中國的“勾股術”，乾嘉學派的李銳(1769-1817) 所編著的《勾股算術細草》就是以它為主要來源。而《數理精蘊》的“勾股”在 下編，卷十二、十三，包含三題解釋 a²+b²=c²之外，共有六十四題，其中有二十五 題的題型重新出現在《勾股述要圖解》中，如題 26：給予 a，(a+b)-c，求 b、c。

如題 38：給予(a+b)-c，c-(b-a)，求 a、b、c。如題 62：給予 ab，(a+b)-c，求 a、b、

c。等等。但其術曰都是在《數理精蘊》的基礎下，給予技巧性的表現出來。

我們觀察南秉吉所用的圖形，題 1 圖與《數理精蘊》下編卷十二、面部二、

勾股(勾股弦相求法)頁 613 中的圖同，古圖與 629 頁同。題 4 與頁 633 中的圖同。

題 6 與頁 630 中的圖同。題 19 與頁 631 中的圖同。題 20 與頁 633 中的圖同。題 55 與頁 635 中的圖同。題 61 與頁 628 中的圖同。題 88 與頁 628 中的圖同。題 211 與 619 中的圖同。在此更說明南秉吉熟悉《數理精蘊》的想法應是無需置疑的。

《勾股述要圖解》故名思義，應是都有圖解，全書共有題目 224 四題，只有 1、

4、6、19、20、55、61、88、115、211 與 218 題給予圖形，共有十八圖而已。有 些題目有兩個圖解以上，二百二十四題中只有六十二題與圖形有直接或間接的關 係，其他均未提及圖解，由筆者將圖形與題問整理如下表：

1、勾六十七尺二寸，股七十五尺四寸，

問弦？

答：弦一百零一尺。

術曰：勾股相乘，倍之，加入勾股差自 乘為實，平方除即弦。

古法曰：勾股各自乘，併之，平方除即 弦。

圖解：

甲乙丙丁為弦平方，內容甲戊乙、乙巳 丙、丙庚丁、丁辛甲四勾股積，戊巳庚 辛一勾股差自乘方，故勾股相乘，倍 之，又加勾股差自乘積為弦自乘積也。

古法圖解：

^{丙 乙} 戊

巳 辛

庚

丁 甲

甲乙丙丁=c²

甲戊乙=乙巳丙=丙庚丁=丁辛甲=

2 1ab

戊巳庚辛=(b-a)² (b-a)²+4×

2

1ab=c²，c= (

a

b

ab

甲乙丙勾股形，甲乙癸子為股畀，乙丙 辛壬為勾畀，甲丙丁庚為弦畀，自乙直 角過甲丙弦作乙戊巳線，則將甲丙丁庚 正方形分甲戊巳庚、戊丙丁巳二長方 形，而甲乙丙勾股形分為甲乙戊、乙 丙戊同式兩勾股，其甲戊與甲乙若甲乙 與甲丙為連比例三率，故甲乙中率，所 作甲乙癸子正方積與甲戊首率，甲庚末 率所作甲戊巳庚長方積相等也，又戊丙 與乙丙若乙丙與甲丙為連比例三率，故 乙丙中率所作乙丙辛壬正方積與戊丙 首率丙丁末率所作戊丙丁巳長方積相 等也，弦畀所分之二長方既與勾 畀股畀各自相等則勾畀股畀相併必與 弦畀等也。

甲乙癸子=b² 乙丙辛壬=a² 甲丙丁庚=c² 甲戊=

c

b

戊丙=

c a

甲戊巳庚=

c b

×c=b²

乙丙辛壬=

c a

×c=a²

甲戊巳庚+乙丙辛壬=甲丙丁庚 b²+a²=c²

c=

a

b

南秉吉在編寫《勾股述要圖解》時，將古法及畢式定理的證明都有列出，他 將中法與西法並用，題二、三及十二問也用此圖解。「平方除」即「開平方」，中 算中沒有這樣的寫法，十七、八世紀的東算也未出現這樣的說法。

4、勾三十尺，股弦和一百二十五尺，

問股、弦？

答：股五十八尺九寸，弦六十六尺一 寸。

圖解：

甲乙丙丁=c² 戊巳庚丁=b² 甲乙丙庚巳戊=a²

戊

巳 癸 寅 庚

丁

丙 乙

甲

b b c

c

a

2

甲癸+癸庚=c+b 甲戊=癸乙=c-b (c+b)(c-b)=a²

b c c b

c

2 ) ( ) (

c b b c b

c

這些 5、7、8、143、146、159、160、161、177、178 及 179 題圖解的部份都是參 用此圖解。

6、弦四十一尺，勾股和五十四尺二寸，

問勾、弦？

答：勾十六尺八寸，股三十七尺四寸。

圖解：

甲乙丙丁=(b+a)² 甲戊巳= ×

ab

2 1 戊辛庚巳=c² 壬癸子丑=(b-a)²

甲乙丙丁=壬癸子丑+8×甲戊巳 (b+a)²=(b-a)²+8× ×

ab

2 1

2c²=2(b-a)²+8× ×

ab

1 =(b+a)²+(b-a)²

(b-a)= 2

c

b

a

丑 子 癸 辛 壬

庚

巳 戊 丁

丙 乙

甲

第 9、12、35 及 88 題圖解的部份都是參用此圖。

19、勾弦和一百三十六尺九寸，股弦和 一百六十八尺二寸，問勾、股、弦？

答：勾四十六尺四寸，股七十七尺五寸，

弦九十尺五寸。

術曰：兩和相乘倍之為實平方開得弦和 和，內減股弦和餘為勾也，減勾 弦和餘股也，以股減股弦和餘為 弦。

又術曰：兩和各自乘併之為實，兩和併 倍之為正廉，以一為負隅平方 開得弦。

(1) 2(

c

a

c

b

x

x=(

c

a

c

b

圖解：

甲乙=c+a 甲丁=c+b

甲乙丙丁=甲乙 × 甲丁=(c+a)(c+b) 戊巳庚丁=c²

甲辛巳戊=bc 辛乙壬巳=ab 巳壬丙庚=ac 癸子丑寅=(a+b+c)² 午未申辰=b²

酉子戊未=a² a²+b²=c²

亥卯辰午=辰申坎巳=bc 癸艮午亥=申乾丑坎=ac 艮酉戊未=未戊乾申=ab 癸子丑寅=2×甲乙丙丁

巳 戊 丁

庚

丙 壬

乙 辛

甲

^乾 申

戊 未

子 酉 午 艮 辰

亥 癸 卯

丑 坎 寅

巳

戊 甲

巳 辛

庚 乙 丙

壬 丁

寅

未

丑 午 子

辰 巳

卯 癸

又術圖解：

甲乙丙丁=(c+a)² 甲辛巳戊=a² 巳庚丙壬=c²

辛乙庚巳=巳壬丁戊=ac 癸子丑寅=(c+b)²

(a+b+c)²=2(c+a)(c+b)

癸子=a+b+c= 2(

c

a

c

b

癸巳辰卯=b² 辰午丑寅=c²

巳子午辰=辰未寅卯=bc

(c+b)²+(c+a)²=3c²+2bc+2ac=c(3c+2b+2a) 2〔(c+b)+(c+a)〕=4c+2b+2a

-

x

x=(

c

a

c

b

第 158，162，163，167，168，172，173 問用此圖形，圖解的部份《數理精蘊》

裡有證明，又術解則為南秉吉解的，他用開方法來解題。

20、勾股和一百十二尺七寸，勾弦和一 百三十五尺二寸，問勾、股、弦？

答：勾五十五尺五寸，股五十七尺二 寸，弦七十九尺七寸。

術曰：兩和各自乘相減餘為實，兩和相 減倍之為從，以一為隅平方開得 勾，以勾減勾股和餘為股，以股 減股弦和餘為弦。

2 +2

x

x=(

c

a

b

a

甲乙丙丁=(a+b)² 戊乙庚巳=a² 辛巳壬丁=b²

甲戊巳辛=巳庚丙壬=ab

癸子丑寅=(c+a)² 卯子巳辰=a² 午辰未寅=c²

癸卯辰午=辰巳丑未=ac

丁

壬

丙

辛 甲

巳 戊

庚 乙

寅

未

丑 亥 巳 子

辰 卯 乾 酉

午 癸

申

2 +2

x

x=(

c

a

b

a

第 21 問用此圖形來圖解。

55、勾弦差四尺五寸，股弦差得三尺六 寸一分，問勾、股、弦？

答：勾九尺三寸一分，股十尺二寸，

弦十三尺八寸一分。

圖解：

甲乙丙丁=c²=弦畀(正方) 戊巳庚丙=b²(股畀) 辛癸壬甲=(勾畀)

甲乙丙丁－戊巳庚丙(股畀)

=甲乙巳戊庚丁磬折形

甲乙巳戊庚丁磬折形-甲壬丑戊子辛磬 折形=戊丑癸子=〔(b+a)-c〕²

乙巳=丁庚=c-b 壬乙=辛丁=c-a 戊丑=b-(c-a)

辛子庚丁=(c-b)(c-a) 丑巳乙壬=(c-b)(c-a)

辛 甲

丑 戊 子

癸 壬

乙 巳 丙

庚 丁

戊丑癸子=辛子庚丁+丑巳乙壬 =﹝(b+a)-c﹞²

) )(

(

2 c − b c − a

﹝(b+a)-c﹞+(c-b)=a

﹝(b+a)-c﹞+(c-a)=b

﹝(b+a)-c﹞+(c-b)+(c-a)=c

此題最後給予「自此至第五十七問並同」，第 180、181、182、184 及 185 問都用 此圖解。

61 勾弦差七尺二寸二分，勾股相乘積八 十尺六十二寸八分，問勾、股、弦？

答：勾六尺六寸三分，股十二尺一寸六 分，弦十三尺八寸五分。

術曰：積自乘為實，差自乘為下廉，倍 差為隅立方開得勾。

圖解：

甲乙丙丁=c² 戊巳壬丁=a²

癸 子

辛

庚 甲

壬

乙 巳

丙 丁

a a c

a c

b

−

−

− ) ( 2

) ( ²

2

甲乙丙壬巳戊磬折形=b² 庚乙辛巳=(c-a)²

甲庚巳戊=巳辛丙壬=c(c-a)

a c c

a c

b

−

− +

) ( 2

) ( ²

2

2(c-a)x³+(

c

a

x

ab

第 73~78，82，112，114，127，128 用此圖形。

115 勾畀弦畀共一萬九千七百八十一尺 十四寸，勾弦和一百九十二尺二 寸，問勾、股、弦？

答：勾七十尺五寸、股九十九尺二寸、

弦一百二十一尺七寸。

術曰：倍共畀內減和畀餘為實，平方開 得勾弦差，加和半之即弦，減和 半之即勾。

圖解：

甲乙丙丁=c² 丁戊巳庚=a² 子壬丑巳=c² 乙辛壬癸=a² 甲辛丑庚=(c+a)² 子癸丙戊=(c-a)²

) ( ) ( ) (

2

a

c

a

c

c

a

第 174，175，176 用此圖。

211 勾十一尺五寸，股二十五尺二

寸，弦二十七尺七寸，問中容圓徑？

答：圓徑九尺。

術曰：勾股相乘倍之為實，併勾股弦法除 實得圓徑。

又術：以弦減勾股和得弦和較即圓徑。

圖解；

《數理精蘊》

設如有勾八尺，股十五尺，弦十七尺，

問內容圓徑幾何。

法曰：以勾八尺，與股十五尺相乘，得 一百二十尺，乃以勾八尺，股十 五尺，弦十七尺，三數相加，共 四十尺，除之，得三尺，為容半 徑，倍之，得六尺，為容全徑也。

圖解：

甲乙丙勾股形，內容丁圓形，試自 圓中心至甲乙丙三角，作丁甲、 丁

丑

壬 癸

子 戊

庚

辛 甲

乙 巳

丙 丁

癸 辛

丙 壬

子 乙

巳 戊

庚 丁 甲

丑

甲乙丙勾股形，內容丁圓形，試自圓 中心丁至甲乙丙三角，作丁甲、 丁 乙、丁丙三線，則分甲乙丙勾股形為 甲丁乙、甲丁丙、乙丁丙三三角形。

勾股弦三線皆為底邊，丁庚等半徑，

皆為垂線。各以底邊為長半徑為闊作 長方形，則其積必大於各三角形，聯 成辛癸大長方形，則其長即勾股弦總 和，其闊即半徑，其積即甲乙丙勾股 積之二倍，與勾股相乘積等。而今求 容圓全徑，故勾股相乘倍之為實，以 總和為法除之也。

D=

a b c ab

+ +

2

又術圖解：甲乙丙勾股形，自中心作 丁甲、丁乙、丁丙三線，

又作丁戊、丁己、丁庚三 垂線，則丙戊與丙己等，

乙、丁丙三線，則分甲乙丙勾股形 為甲丁乙、甲丁丙、乙丁丙三三角 形。勾股弦三線皆為三角形之底 邊，而丁戊半徑，皆為其垂線矣。

今勾股相乘所得之長方積，原比甲 乙丙勾股形積大一倍，即如將所分 三三角形，各用垂線乘底邊所得之 三長方積，合為一長方也。三長方 之長，雖不同，而闊則一。故各以 長除積，而得闊者。即如，勾股弦 三邊除勾股相乘之積，而得半徑 也。

戊 戊 戊

戊

戊

戊 丁

丁 丁

丁

丙

丙 丙

乙 乙 乙

甲 甲 甲

又法曰：以勾八尺，與股十五尺相加，

得二十三尺，內減弦十七尺，

餘六尺，即為內容圓之全徑 也。

另圖解：甲乙丙勾股形，自圓中心作丁 甲、丁乙、丁丙三線，又作丁 乙、戊、丁己、丁庚三垂線，

丙、則丙戊與丙己等，甲戊與 丁、甲庚等，乙己與乙庚等。

戊、甲乙股與乙丙勾相併，比

甲戊與甲庚等，乙己與乙 庚等。今甲乙股內減去與 甲戊等之甲庚乙丙勾內 減與丙戊等之丙巳所餘 乙庚與乙巳各為容圓半 徑相併得全徑即弦和較 也。

D=a+b-c

己、甲丙弦所多者，為乙己、

庚、乙庚二段，今於甲乙股與 辛、乙丙勾相併，度內減去甲 壬、丙弦，即如甲乙股內減去 癸、與甲戊等之甲庚，乙丙勾 內減去與丙戊等之丙己，所餘 者止乙庚與乙己，皆為圓之半 徑，二半徑相合為全徑也。

庚

己 戊 丁

乙 丙 甲

第 212~218 用此圖，這裡的證法與《數理精蘊》相同，只有敘述上的差異而已。

由南秉吉的證明可知，他還是以中算的證明為主，以《數理精蘊》的證法為 輔，同一題中先以中算處理之後，再加入西學的證明方法，他更用「開方法」的 代數方法來加以處理勾股術。

除了術曰之外，他會加上自己的解法，如題 1：有術曰、古法曰、圖解、古法 圖解(頁 9-10)；又如題 55：它的圖形 56、57 均可使用(頁 56-59)。南秉吉一口氣放 了 224 題，整體用了 190 頁，他在處理題型時，把相似題組放在一起(頁 19-23)，

如題 13 後“自此至第十八問所求雖異，解則並同”(頁 20)，而每題的型式為：題 目—答(圖解)—術曰(解)—圖解。這樣的處理方式源於《數理精蘊》的方式，由此 可以知道《勾股述要圖解》源於《數理精蘊》的說法更為貼切。

南秉吉在 224 題中，需解三次方程式有 31~34、61~64、162、163 共有十題，

需解四次方程式有 10~12、35、36、65、66、85~87、93、96~111、118~120、133~135、

149~151 共有三十六題，¹⁷其他為開平方及中算的方法，南秉吉除了解二次方程式 之外，他也用中國的古法來說明《數理精蘊》在下編卷十一中，關於“勾股”的 部份，解二次方程式(頁 443-456)，而要解三次方程式則在下編卷二十四(頁

778-815)，因此南秉吉在《勾股述要圖解》需要解三次或更高次時，這是不夠的，

由此可知，他應該已經會高次的開方術了。

《勾股述要圖解》之所以有 224 題，主要是它將每一種類型，六種型式都有例 題給予說明，¹⁸故有很多題型會有類似的解法，而他增列入 166 問，這些題型在中 算中，很多都找不到類似的題型，故他在序文中提到「 …其設例二百二十有四，

則不甚秘奧，而參互錯綜，為術賅備算方諸書所未道者甚多。…康熙中，何國柱 來留賓館時，有劉生壽錫與之論算，無乃其所著述者耶，未可知也，人雖不傳，

書不可不傳，故茲具圖解，使人易曉，付之活印，雖不足以發明劉氏聊以共好云 爾。」他感到何國柱所贈予的《勾股圖說》的文本，不知在那裡？感念傳書的可 貴，故編寫《勾股述要圖解》，附圖解說使人更容易了解，雖然不是發明，但也可 以共好者有書可讀。

它除了《數理精蘊》的題型之外，增列了股弦積、勾弦積與勾股弦和較 12 問，

勾股積、股弦積、勾弦積與小勾、小股、小弦 18 問，勾股弦與小勾、小股、小弦 六問，勾股弦和較與小勾、小股、小弦 32 問，勾股弦和與勾弦較、股弦較、勾股 積、股弦積、勾弦積共 5 問，勾股弦和與勾股積、股弦積、勾弦積和共 3 問，勾 股弦和與勾畀加勾弦積、股畀加股弦積、(弦畀加勾股績、勾弦積、股弦積)共 5 問，

勾股弦和與勾股和乘勾弦和、勾股和乘股弦和 2 問，勾股弦和與弦畀加減勾股和 畀、股畀加減勾弦和畀、勾畀加減股弦和畀共 6 問，弦畀加勾畀與勾股弦和較差 共 15 問，弦畀加股畀與勾股弦和較差共 15 問，股畀減勾畀與勾股弦和較差共 15 問，勾股較畀、勾弦較畀、股弦較畀與勾股較、勾弦較、股弦較共 14 問，勾弦較 畀股弦較畀和與勾股較股弦較差 1 問，勾弦較畀股弦較畀差與勾弦較股弦較和 1 問，勾弦較畀股弦較畀差與勾股較股弦較差 1 問，勾股和畀、勾弦和畀、股弦和 畀與勾畀股畀弦畀和較再與勾股弦及勾股較、勾弦較、股弦較共 15 問，總共有 166 問。¹⁹

再看題問中的單位已用到「絲」，有什麼樣的實際需要會用到這樣複雜的數字 呢？這些數字從何而來？無從得知，我們來看一下例子：

137.股畀弦畀共一千九百四十七尺五零八一，弦除股得九寸九分七釐一毫二絲，

問勾、股、弦？

答：勾二尺三寸七分、股三十一尺一寸六分、弦三十一尺二寸五分。

__________________________

17、參考附錄(二)的《勾股述要圖解》。 18、參考附錄(二)的《勾股述要圖解》。 19、參考附錄(一)。

140.股畀弦畀共一千一百三十七尺五三二一，弦除勾得四寸六分一百一分分之四 十六，問勾、股、弦？

答：勾十一尺七寸三分，股二十二尺三寸六分，弦二十五尺二寸五分。

《劉氏勾股述要圖解》的數字都很龐大，因此筆者將二百二十四題的勾股數，

題列附表：²⁰觀察附表中的數字，真是令人嘆為觀止，但從 218~224 題中為勾、股 與容方互求部分，除了 219 題外，其他均不是整數解的勾股數，筆者猜想，因算 式中不需用到弦的數字，故未加以注意到弦的整數性吧！否則前面那麼大的數字 都可以處理，為何獨漏此六題呢？由上述的各文本可知，在勾、股與容方互求部 分，均都是非整數勾股，此部份的解題方式，都以中算古法為主。除了圖解之外，

南秉吉大都用開方、開立方術來處理剩下的問題，他以「增乘開方法」為主，融 合了《數理精蘊》、楊輝的《詳解九章算法》，李冶的《測圓海鏡》與《益古演段》

，朱世傑的《算學啟蒙》與程大位的《算法統宗》中的方法，他對於開方術的注 解比劉徽的注解容易了解多了，但他並未用《數理精蘊》的。由下一節的資料可 以知道南秉吉已經會使用「借根方」的方法，他應是熟知宋元的算學，他認為東 算學者，若能在中算的基礎下，就用中算的方法來處理，或許這就是他處理這本 書的方式吧！但開方術不是本論文的重點，在此不論。若要讀會《勾股述要圖解》， 應該要對於中算及東算的數學文本的訊息，要有相當性的需求，而這些書單還需 要直接證據來加以確認，但是，他至少熟悉中國算學的文本及其注釋的文本，應 是可知的。而研讀朝鮮王朝的數學，是不能忽視南秉吉對於數學傳承的努力及朝 鮮數學文本的流通性。

由序文「….康熙中，何國柱來留賓館時，有劉生壽錫與之論算，無乃其所著 述者耶，未可知也。……」可知，南秉吉對於洪大容的《九一集》應是相當的熟 悉才是，因為《九一集》的所有題型都出現在《勾股述要圖解》中，且大部份的 解法均相同，下列為同題型但有不同處理的方式：²¹

《九一集》 《勾股述要圖解》

a/b、a/c 「餘勾」 「小勾」

b/a、b/c 「餘股」 「小股」

c/a、c/b 「餘弦」 「小弦」

__________________

20、參考附錄(二) 的《勾股述要圖解》。

21、參考附錄(二) 的《九一集》與《勾股述要圖解》。