BC OA ⊥

(1)

高雄市明誠中學高二數學平時測驗日期：93.02.08 班級

範圍

4-4 球面與平面

+ANS 座號

姓名一、單選題 (共 8 分)

1. 設直線 L：

1 2 2

1 1

1= + = −

− y z

x 與球面S：x² + y² + z² = k 相切，則常數 k 之值為

(A) 6 (B) 7 (C) 35 (D) 6 35 (E)

36 35。 Ans： (D)

解析：

設切點為A(t + 1，2t − 1，t + 2) ∈ L

∵ 相切 ∴ L⇒ (t + 1，2t − 1，t + 2)．(1，2，1) = 0

⇒ t = −

\⊥

____OA

6

1 ⇒ A )

6 11 3 4 6

(5，− ，，半徑

6 = ² =35

⇒

=OA k OA

k

2. 光源放在點 A(1，2，3)，向球面 S：(x − 1)² + (y − 2)² + (z − 1)² = 1 照射，則在 xy 平面上的射影區域面積為(A) 3π (B) 4π (C) 5π (D) 6π (E) 9π。

Ans： (A) 解析：

如下圖，其射影為一個圓區域，中心為D(1，2，0)， BC 為直徑

∵ AD=3 ， AQ=2 ， QE =1 ， AE= 3，而△AEQ ～△ADB ∴ BD ： QE= AD ： AE

⇒ BD：1 = 3： 3 ⇒ BD= 3

∴ 所求面積 = π ( 3 )² = 3π

3. 下列那一個平面與球面 S：x² + y² + z² − 2x + 4y + 2z − 19 = 0 相交所成的圓面積最大？

(A) x + y + z = 0 (B) x − 2y = 0 (C) z + 1 = 0 (D) 2x − y – 2z = 5 (E) 3x + 4y − 1 = 0。

Ans： (C) 解析：

S：(x − 1)² + (y + 2)² + (z + 1)² = 25，球心為 Q(1，− 2，− 1)，半徑 r = 5 (A) Q 到 x + y + z = 0 之距離 =

3 2 3

| 1 2 1

| − − =

< r (B) Q 到 x − 2y = 0 之距離 = 5

5

| 4 1

| + = < r (C) Q 到 z + 1 = 0 之距離 = 0

(D) Q 到 2x − y − 2z − 5 = 0 之距離 = 3 1< r (E) Q 到 3x + 4y − 1 = 0 之距離 =

5 6< r

∴ z + 1 = 0 與球面 S 截出「大圓」，其面積 25π 為最大

(2)

4. 設點 P 在球面 S：x² + y² + z² = 9 上移動，點 Q 在平面 E：2x − y − 2z = 15 上移動，則PQ 的最大值為(A) 2 (B) 5 (C) 8 (D) 13 (E)不存在。

Ans： (E) 解析：

(1)PQ有最小值 = (球心 O 到 E 的距離) − 半徑 = 5 − 3 = 2。

(2) P 到平面的距離有最大值 = (球心 O 到 E 的距離) + 半徑 = 5 + 3 = 8 二、填充題 (共 10 分)

1. 球面 S 過點 A( − 1，2，1)，又與平面 E：x + 2y + z = 7 相切於點 B(1，3，0)，則球面 S 的方程式為。

Ans： x² + (y − 1)² + (z + 1)² = 6 解析：

過B 而垂直平面 E 的直線 L：

1 2

3 1

1 y z

x − =

− =

，令球心Q(t + 1，2t + 3，t) ∵ QA=QB

∴ (t + 2)² + (2t + 1)² + (t − 1)² = t² + (2t)² + t²

∴ t = − 1，∴ 球心 Q(0，1，− 1)，半徑為 6 ，

∴ S：x² + (y − 1)² + (z + 1)² = 6

2. 兩球面 S₁：x² + y² + z² = 16 與 S2：x² + y² + z² − 2x + 2y − 2z − 4 = 0 相交成一圓 C，則圓 C 所在的平面E 方程式為。

Ans： x − y + z = 6 解析：

由(x² + y² + z² − 16) − (x² + y² + z² − 2x + 2y − 2z − 4) = 0

⇒ 2x − 2y + 2z − 12 = 0 ⇒ x − y + z = 6

3. 球面 S：x² + y² + z² + 2x − 4y − 4 = 0，一點 P(1，0，1)，過 P 點與 S 相切的平面方程式為。

Ans： 2x − 2y + z − 3 = 0 解析：

1² + 0² + 1² + 2 × 1 − 0 − 4 = 0 ⇒ P 點在球面上，

S：(x + 1)² + (y − 2)² + z² = 3²，球心A( − 1，2，0)，^____AP^\ = (2，− 2，1)。

設Q(x，y，z)為切平面上任一點，則^____AP^\ ⊥^____PQ^\

⇒ (2，− 2，1)．(x − 1，y，z − 1) = 0

⇒ 2(x − 1) − 2y + (z − 1) = 0

⇒ 2x − 2y + z − 3 = 0 為所求

4. 通過兩點(1，2，3)與(0，0，k)的直線與球面 x² + y² + z² = 1 相切，則 k 的值為。

(3)

Ans：

4 65 3±

− 解析：

(1)通過兩點(1，2，3)，(0，0，k)的直線 L 的參數式為 (x，y，z) = (0，0，k) + t(1，2，3 − k) = (t，2t，(3 − k)t + k) (2)直線 L 與球面 S：x² + y² + z² = 1 相切，

設切點(ℓ，2ℓ，(3 − k)ℓ + k)，則ℓ + (2ℓ)² + [(3 − k) ℓ + k]² = 1 ⇒ [5 + (3 − k)²]ℓ² + 2k(3 − k)ℓ + (k² − 1) = 0 有重根，

判別式 D = 0 ⇒ k²(3 − k)² − [5 + (3 − k)²](k² − 1) = 0 ⇒ x² + 3k − 7 = 0 ⇒ k =

4 65 3±

−

5. 若(x，y，z)為球面 S：x² + y² + z² − 2x − 4y − 2z − 3 = 0 上任一點，則 2x + y − z − 3 的最大值為。

Ans： 3 6 解析：

令 2x + y − z − 3 = k 表平面 E，

E 與球面 S：(x − 1)² + (y − 2) ² + (z − 1)² = 32 相交⇒

1 1 4

| 3 1 2 2

|

+ +

−

+ k ≤ 3 ⇒ | k | ≤ 3 6

⇒ −3 6 ≤ k ≤ 3 6 ∴ k 的最大值為 3 6

6. 點 P(1，2，3)到球面 S：(x + 1)² + y² + z² = 10 的切線段長為，所有切點形成一個圓，此圓所在平面方程式為，圓的圓心坐標為。

17) 30 17 20 17

( 3，， Ans： (1) 7 (2) 2x + 2y + 3z = 8 (3)

解析：

S：(x + 1)² + y² + z² = 10 的球心 Q( − 1，0，0)，

過P(1，2，3)作球的切線，一切點 T

(1)切線段長PT = PQ² −r² = (4+4+9)−10 = 7

(2)所有切點所成的圓即以 P 為中心，PT 為半徑的球面S ′與球面 S 的交圓，此圓所在平面 E 即為兩球的根平面，

S ′的方程式為 (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 7，平面 E 的方程式為

[(x + 1)² + y² + z² − 10] − [(x − 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² − 7] = 0，即 2x + 2y + 3z = 8 (3)兩球面交圓的圓心為球心連線 PQ 與平面 E 的交點，直線 PQ 的方程式：

3 2 2

1 y z

x+ = =

， 設圓心 R( − 1 + 2t，2t，3t)代入 E：2x + 2y + 3z = 8 得

2( − 1 + 2t) + 2(2t) + 3(3t) = 8 ⇒ t = 17

10，故R )

17 30 17 20 17

( 3，，

7. 若直線 L：

2 2 2

1 1

1= + = −

− y z

x 與球面S：x² + y² + z² = r²相切，則半徑r 的長

= ，切點坐標為。

(4)

Ans： 5 ， ) 3 4 3 5 3

(2，− ，

解析：

直線L：

2 2 2

1 1

1 −

+ =

− = y z

x 與球面S：x² + y² + z² = r²相切，即球心O(0，0，0)到的距

離等於球的半徑r。

設L 上一點 P(1 + t，− 1 + 2t，2 + 2t)且OP⊥L，則

．(1，2，2) = 0⇒ (1 + t，− 1 + 2t，2 + 2t)．(1，2，2) = 0

⇒ 1 + t + 2( − 1 + 2t) + 2(2 + 2t) = 0⇒ 9t + 3 = 0

⇒ t =

____\

OP

3 1 9

3 −

− =

。

r = ) 5

3 2 2 ( 3) 1 2 ( 3) 1 1

( − ² + − − ² + − ² =

=

OP ，

切點即為P 點，其坐標為 )

3 4 3 5 3

(2，− ，

8. 球面 S：x² + y² + z² + 2x + 4y + 4 = 0 上任一點 P 到平面 E：2x − y + 2z = 6 的最大距離

= ，最小距離 = 。 Ans： (1) 3

(2) 1 解析：

S：(x + 1)² + (y + 2)² + z² = 1，球心 A( − 1，− 2，0)，半徑 r = 1。

A 到平面 E：2x − y + 2z = 6 的距離 d(A，E) = 2 3 6 4

1 4

| 6 0 2 2

| = =

+ +

− + +

− ，

則S 上任一點 P 到 E 的距離最大值 = d(A，E) + r = 2 + 1 = 3，

最小值 = d(A，E) − r = 2 − 1 = 1

9. 設平面 x + y + z = 1 與球面 x² + y² + z² = 4 相交部分為圓 S。已知平面 2x + 2y + z = 1 與圓 S 交於 P，Q 兩點，則PQ之長為。

Ans： 2 3 解析：

依題意，即二平面x + y + z = 1 與 2x + 2y + z = 1 的交線與球面x² + y² + z² = 4 的交點為 P，Q

設兩平面的交線L：

d − c ⇒ x + y = 0 ⇒ x = − y c × 2 − d ⇒ z = 1，∴ L 之參數式為

對L 上任一點 R(t，− t，1)，球心 O，

⎩⎨

⎧

= + +

1 2

2

1 z y x

z y

x " …c

……d

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

∈

−

=

z 1

R t t y

t x

）

（

OR2= t² + t² + 1 = 2t² + 1，最小值 1

(5)

∴ OR 之最小值 1（即球心到直線 L 的距離），

球之半徑 r =OP = 2 ，∴ PQ=2 2²−1² =2 3

10. 已知一球面 S：x² + y² + z² − 2x + 4y − 2z − 3 = 0

(1)球心坐標為。(2)若平面 x + y + z + k = 0 與 S 相切，則實數 k 之值 = 。 3

Ans： (1)(1，− 2，1) (2) ±3 解析：

(1)球心 P(1，− 2，1)，半徑 3

(2)平面 E：x + y + z + k = 0 與球面 S 相切⇒ 球心 P 到 E 的距離 = S 的半徑 ⇒ 3 3 3

1 1 1

| 1 2 1

| = ⇒ =±

+ +

− k k

11. 若 x² + y² + z² − 2x + 4y − 4z − 55 = 0，則

(1) x + 2y + 2z 的最大值為。(2)(x − 3)² + (y + 1)² + (z − 4)²之最小值為。 Ans： (1) 25 (2) 25

解析：

x² + y² + z² − 2x + 4y − 4z − 55 = 0⇒ (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 2)² = 64，

球心O(1，− 2，2)，半徑 r = 8 (1)切用柯西不等式得

(1² + 2² + 2²)[(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 2)²] ≥ [(x − 1) + 2(y + 2) + 2(z − 2)]² ⇒ 9 × 64 ≥ (x + 2y + 2z − 1)² ⇒ − 24 ≤ x + 2y + 2z − 1 ≤ 24 ⇒ − 23 ≤ x + 2y + 2z ≤ 25 ∴ x + 2y + 2z 的最大值為 25 (2)設 A(3，− 1，4)，則OA= (3−1)² +(−1+2)²+(4−2)² = 3

∴ (x − 3)² + (y + 1)² + (z − 4)²的最小值= (r −OA)² = (8 − 3)² = 25

12. 如下圖，在球面 S 中，球心 O 的同一側有距離為 9 的兩平行截面(E1，E2距離為 9)，所截圓的面積各為 49π，400π，求S 半徑 = 。

Ans： 25 解析：

d − c得 x = 15 代入c得 r = 25

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

= +

2 2

49 ) 9 (

400 r x

r

x ……c

……d

13. 球面 S：x² + y² + z² − 2x − 6y − 4z − 11 = 0 與平面 E：2x + 2y − z + 3 = 0 交於一圓，則 (1)此交圓的圓心為。(2)交圓的面積為。

Ans： (1)( − 1，1，3) (2) 16π 解析：

(1)球面 S：x² + y² + z² − 2x − 6y − 4z − 11 = 0

⇒ (x − 1)² + (y − 3)² + (z − 2)² = 25，球心 O(1，3，2)，半徑 r₁ = 5。

(6)

設交圓圓心為A(x，y，z) ⇒ // (2，2，− 1)

⇒ (x − 1，y − 3，z − 2) = t(2，2，− 1)

⇒ (x，y，z) = (2t + 1，2t + 3，− t + 2)在平面

E：2x + 2y − z + 3 = 0 上， 2(2t + 1) + 2(2t + 3) − ( − t + 2) + 3 = 0

∴ t = − 1 ∴ (x，y，z) = ( − 1，1，3) (2) r22 = r12 −

____\

OA

OA2= 5² − [(1 + 1)² + (3 − 1)² + (2 − 3)²] = 16，∴ 交圓面積 = 16π

14. 給定球面 S：x² + y² + z² − 4x + 6y = 0，

(1)試求過點(5，− 3，2)且與 S 相切的平面方程式為。 (2)若直線 L：

2 2 1

3

2 = = −

− y z

x 與球面S 相交於 A，B 兩點，求線段AB長 = 。 Ans： (1) 3x + 2z = 19 (2) 14

解析：

S：(x − 2)² + (y + 3)² + z² = 13⇒ 圓心 O(2，− 3，0)，半徑 13 (1) Q(5，− 3，2)代入 S 方程式得(5 − 2)² + ( − 3 + 3)² + 2² = 13

∴ Q 在 S 上 ⇒ 平面 E 切 S 於 Q(5，− 3，2)。 = (3，0，2) ∴ E：3x + 2z = 19 (2)設 L 上一點 P(2 + 3t，t，2 + 2t)，

____\

OQ OP2= (3t)² + (t + 3)² + (2 + 2t)² = 14t² + 14t + 13 = 14(t +

2 1)² +

2 19

∴ OP 最小值 = d(O，L) = 2

19 ， 14

2 14 2 2 13 19

2 − = =

= ．

AB

15. 求過點 A(3，5，3)且與球面 S：x² + y² + z² − 2x − 4y + 6z = 35 相切的平面方程式。 Ans： 2x + 3y + 6z − 39 = 0

解析：

球面S：x² + y² + z² − 2x − 4y + 6z = 35⇒ (x − 1)² + (y − 2)² + (z + 3)² = 49，

球心O(1，2，− 3)，半徑 = 7，將 A(3，5，3)代入 S 得 9 + 25 + 9 − 6 − 20 + 18 = 35，

故A 在球面 S 上，即 A 為切點， = (2，3，6)，平面方程式可設為 2x + 3y + 6z + k = 0，

又過(3，5，3)⇒ 2 × 3 + 3 × 5 + 6 × 3 + k = 0 ∴ k = − 39

∴ 平面方程式為 2x + 3y + 6z − 39 = 0

____\

OA

16. 二球面 S1，S2相交於一圓C，其中 S1：x² + y² + z² − 4x − 4y − 2z + 1 = 0，

S2：x² + y² + z² − 3x − 2y − 4z + 6 = 0，則圓 C 之圓心為。 Ans： O(1，0，3)

解析：

此二球之根平面E：S2 − S1 = 0 ⇒ E：x + 2y − 2z + 5 = 0，

圓C 之圓心 O 為球心 O1(2，2，1)在 E 上之投影

(7)

⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= +

=

−

=

−

=

3 1 2 1

0 1 2 2

9 1 1 9 2

．

z y x

⇒ O(1，0，3)

17. 求空間中一點( − 4，4，4)到球面 x² + y² + z² − 4x − 2y + 4z = 0 上任一點 Q 的最長距離

= ；此時之 Q 點坐標為。 Ans： (1) 12 (2)(4，0，− 4)

解析：

球面方程式：(x − 2)² + (y − 1)² + (z + 2)² = 9⇒ 球心 O(2，1，− 2)，半徑 3 P( − 4，4，4)代入得( − 4 − 2)² + (4 − 1)² + (4 + 2)² = 81 > 9

∴ P 在球外， OP= 9 ∴ PQ=PO+OQ= 9 + 3 = 12。

QO

QP ： = 12：3，由分點公式得 Q = 3 12

12

− (2，1，− 2) + 3 12

3

−

− ( − 4，4，4) = (4，0，− 4)

18. 假設一地球儀的半徑為 R，在北緯 30°的緯圈上，由東經 30°的位置沿逆時鐘方向東移 到東經 60°的位置，其所經的弧長為。

Ans： πR 12

3

解析：

設球心O，北緯 30°的小圓圓心 O′，半徑 r。在北緯 30°的緯圈上，東經 30°的位置為 A，

東經 60°的位置為 B

∴ ∠AO′B = 30°，r = Rcos30° = 2

3 R

∴ ︵

AB = r．

6 π =

2 3 R ×

6

π = πR 12

3