+ cb + ba BC AC BC BC

高雄市明誠中學 高二(上)平時測驗 日期：94.10.06 班級 普二 班

範 圍

2-2

空間座標 座號

姓 名 一、選擇題(每題 10 分)

1. 一線段AB在 xy 平面，yz 平面，zx 平面上的正射影長分別為 4， 15 ， 21 ，則AB的 長為(A) 5 (B) 21 (C)

2

7 (D) 26 (E) 30

【解答】(D)

【詳解】

設A(0，0，0)，B(a，b，c)，則 a² +b² = 4， b² +c² = 15 ， c² +a² = 21

⇒ a² + b² = 16，b² + c² = 15，c² + a² = 21 ⇒ a² + b² + c² = 26

∴ AB= a² +b² +c² = 26

2. 設兩平面E1，E2交於一直線L，平面E1有一點A，A在平面E2之正射影點B，自B作L的垂直 線垂足為C，若AB= 6， AC = 12，則

(1) BC=(A) 3 3 (B) 4 3 (C) 5 3 (D) 6 3 (E) 7 3 (2)兩平面之銳交角為(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60° (E) 75°

【解答】(1) (D) (2) (B)

【詳解】

(1)∵ AB⊥ E² ∴ AB⊥ BC ⇒ ∠ ABC = 90°，由畢氏定理：BC²+AB²=AC²

∵ AB= 6， AC = 12 ∴ BC²= 12² − 6² = 108 ⇒ AB= 108 = 6 3 (2)∵ AB⊥ E2， BC ⊥ L於C ∴ 由三垂線定理知 AC ⊥ L於C

⇒ ∠ACB為此二面角的平面角，令之為θ，則sinθ = AC AB =

12 6 =

2

1 ∴ θ = 30°

3. 空間一點 P(1，− 2，3)

(1) P 點到 xy 平面的距離為(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 13 (2) P 點到 yz 平面的距離為(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 13 (3) P 點到 x 軸的距離為(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 13 (4) P 點到 z 軸的距離為(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 13

【解答】(1) (C) (2) (A) (3) (E) (4) (D)

【詳解】

P(a，b，c) = P(1，− 2，3)，P 到 xy 平面的距離 = | c | = 3，P 到 yz 平面的距離 = | a | = 1 P 到 x 軸的距離 = b² +c² = 4+ = 13 ，P 到 z 軸的距離 =9 a² +b² = 1+ = 5 4

4. (複選)已知 P(− 2，3，− 5)是空間上的定點，下列敘述何者為真？

(A) P 相關於原點的對稱點是(2，− 3，5) (B) P 相關於 yz 平面的對稱點是(2，3，− 5) (C) P 相關於 x 軸的對稱點是(− 2，− 3，5) (D) P 到 xz 平面的距離為 3

(E) P 到 y 軸的距離為 29

【解答】(A)(B)(C)(D)(E)

【詳解】

(A)設對稱點為P′(x，y，z)，則(

2 2+x

− ，

2 3+ y

， 2 5+z

− ) = (0，0，0)，得P′(2，− 3，5) (B)P(− 2，3，− 5)在yz平面之投影點為(0，3，− 5)，利用中點公式得對稱點(2，3，− 5) (C)P(− 2，3，− 5)在x軸之投影點為(− 2，0，0)，利用中點公式得對稱點(− 2，− 3，5) (D)P(− 2，3，− 5)在xz平面之投影點Pxz = (− 2，0，− 5)，故P到xz平面之距離PP = 3 _xz (E)P(− 2，3，− 5)在y軸之投影點Py = (0，3，0)，故P到y軸之距離 =PP_y= 29

二、填充題(每題 10 分)

1. 設A(1，− 3，5)與B(2，1，− 4)是空間中兩點，P是x軸上一點，求PA²+PB 的最小值為 ²

。

【解答】 2 103

【詳解】

∵ P ∈ x軸 ∴ 設P(t，0，0)

PA2+PB²= [(t − 1)² + (− 3)² + 5²] + [(t − 2)² + 1² + (− 4)² ]

= 2t² − 6t + 56 = 2(t − 2 3)² +

2 103

當t =2

3時，PA²+PB 有最小值為² 2 103

2. 空間中三點A(3，0，0)，B(0，4，0)，C(0，0，5)，則△ABC的形狀是 三角形。

（請填直角，等腰，銳角，鈍角，…等等）

【解答】銳角

【詳解】三邊長分別為AB= 5， BC = 41 ，CA = 34

( 41 )² < 5² + ( 34 )²，即BC²<AB²+CA² ⇒最大角∠A為銳角，△ABC為銳角三角形 3. 設P(x，y，z)為第一卦限上的點，已知P到x，y，z軸之距離分別為 41 ， 65 ， 74 ，

則P之坐標為 。

【解答】(7，5，4)

【詳解】 ，

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

= +

= +

74 65 41

2 2

2 2

2 2

y x

z x

z

y ……c

……d

……e

c+d+e

　 2 ⇒ x² + y² + z² = 90 ……f f−c，f−d，f−e分別得x² = 49，y² = 25，z² = 16 ∴ P(7，5，4)

4. 設A(− 1，1，9)，B(5，4，7)，則AB= 。

【解答】7

【詳解】AB= (5+1)² +(4−1)² +(7−9)² = 36+9+4= 7

5. 設A(3，− 1，2)，B(2，1，1)，若點P在zx平面上使△ABP為正三角形，則P點坐標為 或 。

【解答】(1，0，3)或(4，0，0)

【詳解】

∵ P在zx平面上 ∴ 設P(x，0，z)，由PA=PB=AB得

2

2 1 ( 2)

) 3

(x− + + z− = (x−2)² +1+(z−1)² = 1+4+1

⇒ ⇒

c − d得 − 2x − 2z = − 8 ⇒ x + z = 4 ∴ z = 4 − x代入d得 x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

− + +

−

=

− + +

−

6 ) 1 ( 1 ) 2 (

6 ) 2 ( 1 ) 3 (

2 2

2 2

z x

z x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

− +

−

=

−

− +

0 2 4

8 4

6

2 2

2 2

z x z x

z x z

x …… c

…… d

2 + (4 − x)² − 4x − 2(4 − x) = 0 ⇒ x² − 5x + 4 = 0 ⇒ x = 1 或x = 4

∴ z = 3 或z = 0，故P(1，0，3)或P(4，0，0)

6. 設點A，B，C在平面E上，AB⊥ BC，PA垂直平面E於點A，若PA= 3，AB= 4，BC =12，

則 PC = 。

【解答】13

【詳解】

PA⊥AB，AB⊥ BC ∴ PB⊥ BC （三垂線定理）

∴ PB= PA²+PB² = 3²+4² = 5 又 PC = PB²+BC² = 25+144= 13

7. 設點A(3，4，5)，B(− 1，2，1)，而點P在xy平面上移動，則△ABP的最小周長為 。

【解答】6 + 2 14

【詳解】

xy 平面的方程式為 z = 0 ∴ 點 A(3，4，5)，B(− 1，2，1)在 xy 平面的同側

∵ A(3，4，5)對於 xy 平面的對稱點為 A'(3，4，− 5)

∴ PA+PB=P′A+PB≥A′B= 2 14

∴ △ABP 的周長 =AB+PA+PB≥AB+ 2 14 = 6 + 2 14

∴ △ABP 的最小周長為 6 + 2 14

8. 平面E與平面F所夾銳角θ，E上一個三角形的邊長分別為 5，12，13，且此三角形在平面 F上的正射影也是一個三角形，其面積為 15 3 ，則θ = 。

【解答】θ = 30°

【詳解】

邊長 5，12，13 的三角形為直角三角形，其面積 = 2

1× 5 × 12 = 30

∴ 30cosθ = 15 3 ⇒ cosθ = 2

3 ，知θ = 30°

9. 不共面三射線OX ， OY ， OZ 兩兩夾成 30°角，點 P ∈ OX ， OP = 2，P 至平面 YOZ 的 投影為 Q，Q 到 OY 的垂足為 R，QR交 OZ 於點 S，求 OR 與 PS 的長。

【解答】 3 ， 6− 2

【詳解】

PQ⊥RQ，QR⊥ OY ⇒ PR⊥ OR （三垂線定理）

在△OPR 中， OP = 2，∠POR = 30°，∠PRO = 90° ⇒ OR = 3 在△ORS 中， OR = 3 ，∠ROS = 30°，∠SRO = 90° ⇒ OS = 2 在△POS 中，由餘弦定理

∴ PS²=OS²+OP²− 2 OS ．OP cos30° = 4 + 4 − 2(2)(2)(

2

3 ) = 8 − 4 3

∴ PS = 8−2 12 = 6− 2

10.長方體相鄰三邊 OA ， OB ， OC 的長分別為 2，4，3，

(1)作CH ⊥AB於 H，求 OH = __________與CH = __________。

(2)求△ABC 的面積____________。

(3)求點 O 到平面 ABC 的距離______________。

【解答】(1) OH = ₂ AB

OB OA． =

5

4 ， CH = OC²+OH² = 61 =5

5

305 (2)△ABC = 61

(3) 61 12

【詳解】

右圖中

(1) △OAB 中，∠AOB = 90°，OA= 2，OB = 4 因 OC⊥ OA，OC ⊥ OB ⇒ OC ⊥ 平面 OAB

又 CH⊥AB，故 OH⊥AB（三垂線定理之另一形式－逆定理）

∴ OH ．AB=OA．OB ⇒ OH ． 2²+4² = 2 × 4 ⇒ OH = 5 28 =

5 4

又 CH= CO² +OH² =

5 3² +16=

61 =5 5 305

(2) △ABC 的面積 = 2

1 AB． CH= 2

1 20 ．

61 = 61 5 (3)設點 O 到平面 ABC 的距離為 d，三角錐 OABC 的體積 =

3

1△ABC．d = 3

1△OAB．OC

∴ 61 d = 2

1．2．4．3，故 d = 61 12

11.如下圖，一長方體 ABCD - EFGH，已知AE= 1，AB= 3，AD= 5，求 (1)一隻螞蟻從 F 點爬到 D 點，其爬行所經最短的距離。

(2)一隻蚊子從 A 點飛到 G 點，其飛行所經最短的距離。

【解答】(1) 41 (2) 35

【詳解】

(1)考慮把平面 BCGF 與 CGHD 攤平；FGCB 與 CDAB 攤平，如上圖 則爬行側面之最短路線長為 1+(5+3)² = 65

爬行向上之最短路線長為 5² +(1+3)² = 41 ∴ 所求最短路線長為 41

(2)飛行所經最短路線長就是對角線 AG 之長 = 1² +3²+5² = 35