102 202  bc 10 AC 202 102

高雄市明誠中學  高二數學平時測驗        日期：106.06.09  範 

圍  4‐2 橢圓(B)  班級 二年____班 姓 名

  座號  

一、多重選擇題(每題 10 分)

（ ）    1.坐標平面上有四點 A(–7, –5), B(7, –7), C(9, 7), D(–5, 9),  已知有兩點是橢圓 Γ 的頂點,  另兩 點是 Γ 的焦點,  下列敘述何者正確？ 

(A)二焦點的距離必為 20 (B)短軸長必為 20 2 (C)長軸長必為10 2   (D)長軸所在直線方程式為 3x – 4y + 1 = 0 (E)點(6, 6)在 Γ 上。 

  解答  A 

  解析  如圖所示∵長軸頂點與焦點共線,  ∴另二頂點必為短軸頂點, 

AC 中點(1, 1) =BD中點(1, 1) =  中心點,  又AC BD  16²12² = 20,   b c 10 

∴a² = b² + c² = 100 + 100 = 200, 

即 a =10 2 ,  也就是長軸長為 20 2 ,   

因無法確定 A, C 為焦點  or B, D 為焦點,  故(D)(E)均不真. 

（ ）    2.關於橢圓 Γ： (x1)²(y2)²  (x1)²(y2)² 6,  下列何者為真？ 

(A)(0, 0)是 Γ 的中心 (B)(1, 2), (1, 2)為 Γ 的焦點 (C)Γ 的短軸長為 4 (D)Γ 對稱直線 x=y (E)Γ 對稱於(1, 2)與(1, 2)的連線。 

  解答  A,B,C,E 

  解析  由橢圓定義知, 

焦點(1, 2) , (1, 2),長軸長 2a6,  2c2 5,中心( ^{1 1}, ^{2 2}) (0, 0)

2 2

     , 

短軸長2b2 a²c² 2 9 5  , 4

長軸二焦點(1, 2) , (1, 2)方程式為 2xy0,   

短軸與長軸垂直且過中心方程式為 x+2y0,故選(A)(B)(C)(E). 

（ ）    3.已知橢圓一焦點(－3, 3),  長軸頂點(6, 3),  短軸長 6,  下列敘述哪些正確﹖  

(A)中心(1, 3)   (B)正焦弦長¹⁸

5   (C)橢圓上任一點與兩焦點的距離和為 5   (D)短軸在直線 y＝3 上 (E)內接正方形面積²²⁵

34 .    解答  A, B 

  解析  b＝3, 6－(－3)＝9＝a＋c 或 a－c,  又 b²＝a²－c²＝(a＋c)(a－c),    若 a－c＝9  3²＝9  (a＋c)  a＋c＝1  a＝5, c＝－4（不合）,   

若 a＋c＝9  3²＝9  (a－c)  a－c＝1 且 a＋c＝9  a＝5, c＝4（合）,    另一焦點為(－3＋2  4,3) = (5,3),   

中心(^{5 ( 3) 3 3}, )

2 2

  

= (1,3). 

2 2

( 1) ( 3) 25 9 1 x y

    

(A)中心(1,3).   (B)正焦弦長

2 2

2 3 18

2 5 5 b

 a    .  (C)2a＝5  2＝10.   (D)短軸在 x＝1 上.  

(E) 

2 2

( 1) ( 3) 25 9 1 x y

  內接正方形面積與

2 2

25 9 1 x y

  同 

設內接正方形第象一限頂點( , )t t

2 2

2 2 225 450

1, 34 225, 4 4

25 9 34 17

t t

t t

        

或代入公式橢圓內接正方形面積公式： 

內接正方形面積為

2 2 2 2

2 2 2 2

4 4 5 3 900 450 34 17 5 3

a b a b

    

  .故選(A)(B). 

（ ）    4.已知橢圓



(A)中心為( 1, 1) (B)一頂點為( 1, 1) (C)短軸長為 2 5   (D)



3 .    解答  A,C,D,E 

  解析  橢圓二焦點F₁( 1, 3), F₂( 1, 1)  F F_{1 2}4,   

∴中心為O( 1, 1), a3,c2,b a²c²  5,  短軸長為 2b2 5, Γ 對稱於長軸所在直線,  正焦弦長

2 2 10

 b  3

a ,故選(A)(C)(D)(E). 

（ ）    5.考慮坐標平面上所有滿足 (x2)²y²  (x2)²(y4)² = 10 的點 P(x, y)所形成的圖 形,  則下列選項哪些為真？ 

(A)此一圖形為橢圓  (B)此圖形是雙曲線  (C)此圖形中心在(2, ‐2)(D)此圖形對稱於 x = 2  (E)有一頂點(2, ‐3). 

  解答  (A)(C)(D) 

  解析  F1(2, 0), F2(2, ‐4),  F F = 4 = 2c,   _{1 2}

1 2

PF PF = 10 = 2a > 2c,  所以圖形是橢圓,    中心坐標為 F1, F2的中點 (^{2 2 0 ( 4)},

2 2

  

) = (2, ‐2),    長軸：x = 2,  短軸：y = ‐2,   

圖形對稱於 x = 2,  且 a = 5, c = 2, b = 5²2²  21,    頂點坐標為(2, 3), (2, ‐7)及( 2 21, ‐2),  故選(A)(C)(D). 

二、填充題(每題 10 分) 

    1.橢圓 9x²+16y²54x+64y+10 的焦點坐標為 .    解答  (3 7,2) 

  解析  9x²+16y²54x+64y+10 , 

9(x3)²+16(y+2)²144 ( 3)² ( 2)² 16 9 1 x y

   , 

則 c²a²b²1697 c 7,且中心為(3 , 2)    故焦點(3 7,2).   

    2.一橢圓與

2 2

16 9

x  y = 1 共焦點且短軸長為 8,  則此橢圓方程式為 ___________ . 

  解答 

2 2

23 16 1 x  y  . 

  解析  若共焦點,  則中心不變, c 也不變,  此橢圓方程式可設為

2 2

2 2

x y

a b = 1,   

所以 c² = 16－9 = a²－b²,  又短軸長= 2b = 8  b = 4, a²－16 = 7  a² = 23,    故橢圓方程式為

2 2

23 16

x y

 = 1.   

    3.已知橢圓長軸上的兩頂點分別為A(5, 2),  B( 3, 2) ,  且橢圓通過點P(3, 5),  則橢圓方程式為 .    解答 

2 2

( 1) ( 2) 16 12 1

 

 

x y

  解析  ∵橢圓二頂點為(5, 2)及( 3, 2) ,  得中心(1, 2),  又此二頂點位在長軸上,  得 a = 4,  設橢圓方程式為

2 2

2

( 1) ( 2) 16 1

   

x y

b ,    又過點(3, 5),  代入得 ^{4 9}₂ 1 ² 12

16  b 

b ∴橢圓方程式為

2 2

( 1) ( 2) 16 12 1

   

x y

.      4.設

2 2

2 1

x y

k  k

 =1 表一橢圓,  則 k 的值為 .    解答  1

2 1

k 但k . 

  解析  k > 0, 2k－1 > 0 且 2k－1≠k  k > 0, k >¹

2, k≠1,  故 k >¹

2,  但 k≠1. 

    5.設 F(–3, 8), F '(1, –4)為橢圓 Γ 的兩焦點,  若點 P(–3, –1)也在 Γ 上,  則 Γ 的短軸長為 .    解答  6 

  解析  2c =FF' 4²12² 4 10 c = 2 10 , 

∵PF PF '= 2a, 9 + 4²3² = 2a, a = 7, 

∴b² = a² – c² = 7² –(2 10)²= 9, b = 3,  ∴短軸長= 2b = 6. 

    6.若一橢圓與橢圓

2 2

10 7 1

x  y  共焦點,  且過(^{2 3}, 2 2)

3 ,  則此橢圓的方程式為 .    解答 

2 2

12 9 1

x y

      解析  設橢圓方程式為

2 2

10 7 1

x y

t t 

  ,(^{2 3}, 2 2)

3 代入 

2

2

(2 3)

(2 2)

3 1 ( 2)(3 29) 0

10 7 t t

t  t     

  得 t=2 或 ²⁹

 3 （不合）（因 7+t>0）,  故橢圓方程式為

2 2

12 9 1 x  y  . 

    7.橢圓兩焦點分別為 F1(0, 3), F2(0, ‐3),  若弦AB過 F1,  且ᇞABF2周長為 20,  則橢圓方程式為 .    解答 

2 2

16 25 1 x  y   

  解析  如圖,  ∵AF₁AF₂2a,  又BF₁BF₂2a, 

∴AB BF ₂AF₂= 4a,  即 20 = 4a,  ∴  a = 5. 

設 Γ：x²₂ y₂² 1 b a  , 

∵  c² = a² ‐ b²,  ∴  3² = 5² ‐ b²,  得 b² = 16, 

∴橢圓方程式為 ^{2 2} 1 16 25

x  y  . 

    8.設拋物線



2 2

2: 1

 9 

x y







  解答  10 

  解析 







又





    9.已知坐標平面上 A, B, C 三點,  若 A(3, 10), B(3, 0),  AC3 10,  BC 10,  則以 A, B 為焦點,  且 通過 C 點的橢圓方程式為 . 

  解答 

2 2

( 3) ( 5) 15 40 1

   

x y

  解析  ∵AC BC 3 10 10 4 102a ,  ∴a2 10.    AB之中點(3, 5)為橢圓中心,   

又AB102c c 5. 

∴b² a²c² 15,  故橢圓方程式為

2 2

( 3) ( 5) 15 40 1

   

x y

.   

  10.試求過(3, 2)且與(x－3)² + (y + 4)² = 64 相切之圓的圓心軌跡方程式為 .    解答 

2 2

( 3) ( 1) 7 16 1

x  y  . 

  解析  設圓心 P(x, y),  半徑 r ，B(3, 2), A(3,  －4),   

在已知圓之內部所以內切PA PB    (8 r) r = 8,    將 A, B 視為兩焦點,  則PA PB = 2a = 8（定值）,   

則軌跡為橢圓且為「直立」型,  即中心(3,  －1), a = 4, c = 3, b = 7 ,    故橢圓方程式為

2 2

( 3) ( 1)

7 16

x  y = 1. 

  11.若橢圓中心為原點,  且長軸長與短軸長的比值為 2,  已知其中一個焦點是(^{2 15} , 0),  則此橢圓標 準方程式為 . 

  解答 

2 2

80 20 1 x  y   

  解析  ∵所求橢圓為標準式,  且 F(^{2 15}, 0), 

∴設 Γ：^x2₂ ^y₂^{2 1}

a b  ,其中² 2 2

a

b   a = 2b. 

又 c² = a² ‐ b²(2 15)²4b²b²3b²,   

∴  b² = 20, a² = 4b² = 80,  故 Γ：

2 2

80 20 1 x  y  . 

12.設橢圓

2 2

5 9 1

x y

  的兩焦點為 F1與 F2, P 為橢圓上一點,  且PF PF₁ ₂  ,  則 cos(F3 1PF2) .    解答  13

27 

  解析  設PF₂  , t PF₁  ,  又3 t PF₁PF₂ 2a , 6 則 t+t+36 ³ ₂

t 2 PF

   ,  ₁ ⁹

PF  2,  F F_{1 2}  , 4

ΔPF1F2中,  已知三邊長,則

2 2 2

1 2

3 9

( ) ( ) 4 2 2 13 cos( )

3 9 27 2 2 2

F PF  

  

  . 

  13.設 P 在橢圓



2 2

25 9 1

x  y  上的一點且位在上半平面,  若 F1, F2為 Γ 的焦點,  且F1PF2為直角,  則 P 點的 y 坐標為 . 

  解答  9 4 

  解析  c²a²b²25916,   

設 P(α, β),  因為 P 在 Γ 上,  所以

2 2

25 9 1

α β

  ,   

又 _{1 2} 1 ² 16 ^{2 2} 16 ²

4 4

β β

PF PF β α α β

α α

          

  , 

代入

2 2

25 9 1

α  β  得 9(16  β²) + 25β² = 225 ^{2 81 9}

16 4

β β

    . 

  14.橢圓過點( ³, 1)

2  ,  且與

2 2

5 8 1

x  y  共焦點,  則此橢圓方程式為 . 

  解答 

2 2

1 4 1 x  y   

  解析  可設

2 2

5 8 1

x y

k  k 

  過( ³, 1) 2  ,  則

3

4 1 1

5 k 8 k 

  , k4,  故橢圓方程式為

2 2

1 4 1 x  y  .   

  15.坐標平面上有一個橢圓,  已知在(8, 4), (9, 11), (15, 5)和(16, 12)這四個點中,  有兩個點是焦點,  另 外兩個是頂點,  則此橢圓的半長軸長度等於 . 

  解答  5 2 

  解析  令 A(8, 4), B(9, 11), C(15, 5), D(16, 12),  AD中點BC中點=(12, 8), 

且AD8 2,  BC6 2,則a² b²c² (4 2)² (3 2)² 50,  即a5 2,  故半長軸長度為 5 2 . 

  16.如附圖,  橢圓 Γ：

2 2

9 4

x y

 = 1 的兩個焦點 F1, F2,  若AB為 Γ 的焦弦,  則 ᇞABF1的周長為 . 

  解答  12. 

  解析  ᇞABF1周長=AF₁BF₁AB AF ₁BF₁AF₂BF₂= 12.