化用賈憲三角 ∗ 妙算冪和

(1)

化用賈憲三角 ^∗ 妙算冪和

王猷

摘要: 正整數 ^[^註

¹

^] 的冪和似乎是個永恆的話題, 眾述紛紜。本文致力於介紹一種便捷的算法 [1], 並且創作出一款優雅的證明。此算法屬線性代數型, 其特色在於無需遞推。令人驚訝的是, 冪和竟然與「賈憲三角」有著密切的關係!

1. 緒論

開門須見山。本文之核心乃下述定義及定理。

定義: 所謂「前 n 個正整數的 p 次冪和」, 是指 S_p(n) =

Xn m=1

m^p = 1^p+ 2^p+ · · · + n^p, p∈ N. (1)

定理: 冪和 S_p(n) 是關於 n 的、缺常數項的 p + 1 次多項式, 即 S_p(n) =

Xp+1 q=1

a_qn^q = a^Tn, (2) 這裡

a=h

a₁ a₂ · · · a_p+1 iT

, n=h

n n² · · · n^p+1 iT

; 並且向量 a 滿足方程







1 0

− ²₀ ₃

0

· · · (−1)^{p−1 p}₀

(−1)^{p p+1}₀

2 1

− ³₁

· · · (−1)^{p−2 p}₁

(−1)^{p−1 p+1}₁

3 2

· · · (−1)^{p−3 p}₂

(−1)^{p−2 p+1}₂ . .. ... ...

0

p−1^p

− ^p+1_p−1

p+1 p











 a₁ a₂ a₃ ...

a_p a_p+1







=





 0 0 0 ...

0 1







, (3)

∗ 在歐美稱作「巴斯卡三角形」

(Pascal’s triangle)

。

[

註

_1]

本文約定

_:

正整數集

Z

₊

= {1, 2, 3, . . .},

自然數集

N = {0, 1, 2, . . .}

。

81

(2)

其中p q

= p!

q!(p − q)! 為二項式係數。

我們把位於 (3) 式左邊的那個矩陣作U^[^註

²

^], 其代表元素為

u_ij =







(−1)^j−i

j i− 1

, 當 i ≤ j;

0, 當 i > j.

(4)

再者, 記 [0 · · · 0 1

| {z }

p+1

]^T = e. 於是, 可將 (3) 式簡寫為

Ua= e. (3^′)

如果您很細心的話, 想必已經發現了:

(i) 祇要將 U 轉置, U^T 中的所有非零元素便構成了缺一層斜邊的、正負項交錯的賈憲三角;

(ii) e 是 R^p+1 的標準基底向量 (standard basis vectors) 之一。

2. 證明

不證明, 未可信!

筆者思索出的證明分為三個步驟, 請跟我來——

第一步縮和 (telescoping sum)

由二項式定理, 有

(m − 1)^r+1= Xr+1 q=0

r + 1 q

(−1)^r+1−qm^q

=hX^r

q=0

r+ 1 q

(−1)^r+1−qm^q i

+ m^r+1,

移項^[^註

³

^], 得

Xr q=0

(−1)^r−qr + 1 q

· m^q = m^r+1− (m − 1)^r+1. (5)

在 (5) 式中依次令 m = 1, 2, · · · , n, 一舉獲得 n 個等式。纍加諸式, 縮和其右端, 列豎式如

[

註

2] Upper triangular matrix,

上三角陣。

[

註

_3]

注意

_{, Σ -}

和式中的各項皆須變號

_,

即改

₍₋₁₎

^r+1−q 為

₍₋₁₎

^r−q 。

(3)

下: Pr

q=0(−1)^{r−q r+1}_q

· 1^q = 1^r+1 − 0^r+1 Pr

q=0(−1)^{r−q r+1}_q

· 2^q = 2^r+1 − 1^r+1 ... ... ... +) Pr

q=0(−1)^{r−q r+1}_q

· n^q = n^r+1− (n − 1)^r+1 Pr

q=0(−1)^{r−q r+1}_q

· Sq(n) = n^r+1− 0^r+1 由此, 我們得出重要的等式

Xr q=0

(−1)^r−qr + 1 q

· Sq(n) = n^r+1. (6)

第二步佈陣 ^[

^註

^4]

將 (6) 式左邊寫為兩個 r + 1 維向量相乘的形式, 得

"

(−1)^r

r+ 1 0

(−1)^r−1

r+ 1 1

· · ·

r+ 1 r

#





 S₀(n) S₁(n)

...

S_r(n)







= n^r+1. (6^′)

在 (6^′) 式中依次令 r = 0, 1, · · · , p, 總共得到 p + 1 個等式。合併眾式如下:







1 0

− ²₀ ₂

1

0

3 0

− ³₁ ₃

2

... ... ... . ..

(−1)^{p−1 p}₀

(−1)^{p−2 p}₁

(−1)^{p−3 p}₂

· · · _p−1^p (−1)^{p p+1}₀

(−1)^{p−1 p+1}₁

(−1)^{p−2 p+1}₂

· · · − ^p+1_p−1 _p+1

p













S₀(n) S₁(n) S₂(n)

... S_p−1(n)

S_p(n)







=





 n n² n³ ... n^p n^p+1





 .

(7) 我們把位於 (7) 式左邊的那個矩陣記作 L^[^註

⁵

^], 顯然其轉置

L^T = U. (8)

再者, 記[S0(n) S1(n) · · · S_p(n)]^T = s 。於是, 可將 (7) 式簡寫為

Ls= n. (7^′)

[

註

_4]

構造矩陣。

[

註

5] Lower triangular matrix,

下三角陣。

(4)

第三步抽矢 ^[

^註

^6]

顯而易見, L 的行列式 det L = (p + 1)! 6= 0, 故 L 可逆。以其逆 L⁻¹ 同時左乘 (7^′) 式兩邊, 得

s= L⁻¹n, (9)

從而

S_p(n) = row(s, p + 1) = row(L⁻¹, p+ 1) n. ^[^註

⁷

^] 可見, 前述 a^T = row(L⁻¹, p+ 1)。至此 (2) 式得證!

另外, 由於 L⁻¹L= E^[^註

⁸

^], 因而

row(L⁻¹, p+ 1)L = row(E, p + 1).

把 row(L⁻¹, p+ 1) = a^T 及 row(E, p + 1) = [0 · · · 0 1

| {z }

p+1

] = e^T 代入上式, 得

a^TL= e^T. (10)

最終, 我們有

Ua⁽⁸⁾= L^Ta= L^T(a^T)^T = (a^TL)^{T (10)}= (e^T)^T = e.

至此 (3^′) 式得證, 亦即 (3) 式成立!

3. 實驗

算法得以證明, 僅肯定了其正確性; 至於其實用性, 目前尚無法評價。讓我們以 S₉(n) 為試金石, 看看此算法到底靈也不靈!

值得補充的是, 如若果真按照 (4) 式來計算 U 中的各個元素, 那定然使人難耐其繁, 好在二項式係數具有一條可愛的性質:

p q

=p − 1 q

+p − 1 q− 1

. (11)

其證明極易, 故不贅言。事實上, 賈憲三角正是據此而作成的 (可參閱 [3])。

[

註

_6]

在矩陣中抽取

₍

行

_/

列

₎

向量。矢

_,

原義為「箭」

_,

此處指「矢量」

_——

向量的別稱。

[

註

7] row(M, r)

表示抽取矩陣

^M

的第

r

行。

[

註

8] E = diag[1 · · · 1

| {z }

p+1

]

為單位矩陣。

(5)

另外, 為了便於行文, 我們引進兩個名詞: 「上斜層, 下斜層」。稱呼 r 階方陣的主對角線為第 1 上 (下) 斜層, 緊貼於第 1 上 (下) 斜層上 (下) 方的副對角線為第 2 上 (下) 斜層, 以此類推, 直至第 r 上 (下) 斜層——方陣右上 (左下) 角的單個元素。

以下, 我們就來陳述 S₉(n) 的演算流程。對照前文所給出的定理、公式及下面這個方程, 各道工序都是易於理解的。







1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1

2 −3 4 −5 6 −7 8 −9 10

3 −6 10 −15 21 −28 36 −45 4 −10 20 −35 56 −84 120 5 −15 35 −70 126 −210

6 −21 56 −126 252 7 −28 84 −210

0

⁸ ⁻³⁶ ¹²⁰

9 −45 10











 a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ a₇ a₈ a₉ a₁₀







=





 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1







(A) 指定冪次 p = 9。

(B1) 製作 p + 1 階方陣 U0, 使之符合下列要求:

• 首行的所有元素均為 1;

• 屬於主對角線的諸元素, 從左至右依次為 1, 2, · · · , p + 1 ;

• 主對角線上方的其餘元素, 皆等於各自的左鄰元與左上鄰元之和;^[^註

⁹

^]

• 主對角線下方的所有元素均為 0。

(B2) 在 U0 中, 將序號為偶數的「上斜層」全部冠以負號, 於是生成方陣 U。

(C) 採用「逆向代入法」(backward substitution) 求解方程 Ua = e, ^[^註

¹⁰

^] 從而解出向量 a。

(D) 以 n 的降冪為序, 展示 Sp(n) = a^Tn。

上述流程完全是機械化的, 因而可以利用數學軟體來實現。筆者所用的是著名的 Maple 8, 該軟體具有強大的符號運算功能。下面, 請您瀏覽這段 Maple 程式, 它結構清晰, 一目了然。

[

註

_9]

依據

₍₁₁₎

式。

[

註

_10]

因為

^U

是行

_-

階梯形矩陣。

(6)

> with(LinearAlgebra): > end do:

> p:=9: > end do:

> r:=p+1: > for j from 1 to r do

> m:=Vector(r): > for i from 1 to j do

> U:=Matrix(r,shape=triangular): > U[i,j]:=(-1)^(j-i)*U[i,j]:

> for j from 1 to r do > end do:

> m[j]:=n^j: > end do:

> U[1,j]:=1: > E:=IdentityMatrix(r):

> U[j,j]:=j: > e:=Column(E,r):

> end do: > a:=BackwardSubstitute(U,e):

> for j from 3 to r do > S:=DotProduct(a,m):

> for i from 2 to j-1 do > S:=sort(S);

> U[i,j]:=U[i,j-1]+U[i-1,j-1]:

激活 Maple 8, 在其工作窗口中輸入並執行以上程式, 一眨眼, 聰明的 Maple 便算出了下述結果。

S := 1

10n¹⁰+ 1

2n⁹+3

4n⁸ − 7

10n⁶+ 1

2n⁴− 3 20n²

即使將源程式的第二行改為 p := 500 : , 且以低檔電腦執行之, 耗時也不過 20秒而已。算法如此快速, 其實用性毋庸置疑!

4. 猜想

猜想, 起源於觀察。

欲全面觀察各次冪和, 最佳途徑莫過於求出 (9) 式中之 L⁻¹, 因為它的第 q + 1 行給出了 S_q(n) 的係數。下面, 我們就用 Maple 來計算 14 階的 L⁻¹。為此, 將源程式的第二行改成 p := 13 : , 並將其末尾四行替換成左下方的兩行^[^註

¹¹

^]。

> L:=Transpose(U):

> L1:=ForwardSubstitute(L,E); L1 :=







14 × 14 Matrix Data Type: anything Storage: rectangular Order: Fortran order







[

註

_11]

在程式中以

_L1

表示

^L

⁻¹。

(7)

執行修改後的程式, 輸出如右上方所示——狡猾的 Maple 不直接顯示超過 10 階的矩陣, 解決辦法是分塊顯示。例如, 指令 SubMatrix(L1, 8..14, 1..7); 可用來顯示 L1 左下角的 7 × 7 子塊, 餘者仿此。人工拼接這些子塊, 得到

L⁻¹ =





 1

1 2

1 2 1

6

1 2

1 3

0 ¹₄ ¹₂ ¹₄

−₃₀¹ 0 ¹₃ ¹₂ ¹₅ 0 −₁₂¹ 0 ₁₂⁵ ¹₂ ¹₆

1

42 0 −¹₆ 0 ¹₂ ¹₂ ¹₇

0 ₁₂¹ 0 −₂₄⁷ 0 ₁₂⁷ ¹₂

−₃₀¹ 0 ²₉ 0 −₁₅⁷ 0 ²₃ 0 −₂₀³ 0 ¹₂ 0 −₁₀⁷ 0

5

66 0 −¹₂ 0 1 0 −1

0 ₁₂⁵ 0 −¹¹₈ 0 ¹¹₆ 0

−₂₇₃₀⁶⁹¹ 0 ⁵₃ 0 −³³₁₀ 0 ²²₇ 0 −⁶⁹¹₄₂₀ 0 ⁶⁵₁₂ 0 −¹⁴³₂₀ 0

0

1 8 1 2

1 9 3 4

1 2

1 10

0 ⁵₆ ¹₂ ₁₁¹

−¹¹₈ 0 ¹¹₁₂ ¹₂ ₁₂¹ 0 −¹¹₆ 0 1 ¹₂ ₁₃¹

143

28 0 −¹⁴³₆₀ 0 ¹³₁₂ ¹₂ ₁₄¹







不難發現, 在 L⁻¹ 中:

(i) 第 1 下斜層 (即主對角線) 的第 r 個元素為 1

r (r = 1, 2, · · · , 14);

(ii) 第 2 下斜層的所有元素皆為 1 2;

(iii) 第 3–14 下斜層的符號特徵可以列表如下——Eureka! 週期性!

下斜層 3rd 4th 5th 6th 7th 8th 9th 10th 11th 12th 13th 14th

符號 + 0 − 0 + 0 − 0 + 0 − 0

掌握了以上三條線索, 順藤摸瓜, 筆者提出下述猜想——

猜想: 對於任意 p ∈ N, 冪和多項式

S_p(n) = ap+1n^p+1+ apn^p+ · · · + a1n 之係數滿足下列條件:

a_p+1 = 1

p+ 1, a_p = 1

2; (12a)

(8)

sgn a_p−q = sinqπ

2 (q = 1, 2, · · · , p − 1).^[^註

¹²

^] (12b)

事實上, (12a) 式是容易證明的, 祇需解出方程 (3) 底端的兩行











p p− 1

a_p−p + 1 p− 1

a_p+1= 0

p + 1 p

a_p+1= 1 即可。至於 (12b) 式, 就留與諸位研究吧。

5. 結語

本文所介紹的冪和算法, 屬於 H. J. Schultz [1]。他在推測^[^註

¹³

^](2) 式成立的基礎上, 用

「未定係數法」導出了方程 (3)。無疑, 如此推導存在著漏洞。儘管該漏洞可以被彌補: 用「縮和法 + 數學歸納法」, 證明 (2) 式並非很困難 (可參閱 [2])——但是打了補丁的方案畢竟「真而不美」。

創作一款「真而美」的證明! 這, 便是筆者的初衷。之後, 筆者收穫了稱心如意的證明, 進而編程解決了冪和多項式的係數計算問題。不料, 卻又引出了更為複雜的係數結構問題, 可謂

「庸人自擾」。然而, 「探索無止境」, 這不恰是數學的魅力所在嘛!

化用賈憲三角 ∗ 妙算冪和