成大研發快訊 - 文摘
1 of 2
成大研發快訊 第二十五卷 第五期 - 2013年十二月六日 [ http://research.ncku.edu.tw/re/articles/c/20131206/2.html ]
以多項式等位法計算吸引子
王大中1,*, Sanjay Lall2, Matthew West3
1 國立成功大學航太系民航所 2 美國史丹福大學航太系 3 美國伊利諾大學機械系 tachung@mail.ncku.edu.tw
Journal of the Franklin Institute Volume 349, Issue 9, November 2012, Pages 2783–2798
在本研究中我們探討了計算非線性系統中的吸引子的問題。吸引子在一個動態系統 中是一個具有不變性的子集合，該子集合具有一個相對應的收斂區域。當系統狀態進 入了一個吸引子的收斂區域，則此系統狀態就會隨著時間的進行逐漸進入該吸引子且 不會再離開，因此，吸引子的 分析對於系統的穩定性分析具有其重要的地位。除此之 外，吸引子的特性亦可被用作於建立一個具安全性的私人數位通訊系統，然而欲使該 系統可成功建立，吾人需要先對於該吸引子的組成有一相當程度的瞭解。
利用前述吸引子的特性，如欲獲得吸引子的外形，一個常見的方法即是先在該吸引子的收斂區域中產生一 個具不變性的子集合，然後觀察該子集合隨系統變化的情形，最後該子集合的形狀即會逐步趨近於該吸引 子。本研究即利用此一概念，提出一個觀察子集合變化的演算法，利用多項式零等位集合來代表欲觀察的 子集合，並利用半定規劃來計算出該多項式子集合在下一時間的變化。本演算法的基本步驟如下：
已知一系統的動態方程式 ，以及一個用來代表初始子集合的多項式 p(x) ，計算另一個多項式 q(x)
，使得多項式 q(x) 所表示之集合中的點在上一時刻均來自於多項式 p(x) 的子集合，如此一來，多項式 q(x) 即可視為是多項式 p(x) 隨時間變化的演進。圖一中可看出本計算理念以及其對應於子集合的情形。
圖一. 本演算法的概念
為完成上述概念的演算法，我們也使用了近似的方式來使得以多項式表示多項式等位子集合變化為可行之 做法。利用所提出的演算法，我們也功成地以六次多項式表示出了有名的勞侖次吸引子的外形。圖二即為 我們所算出之吸引子外形，圖中的紅線和綠線為系統的軌跡，由這些軌跡可看出我們所計算出之吸引子的 確為一個具時間不變性的系統狀態子集合。
成大研發快訊 - 文摘
2 of 2
圖二. 勞侖次吸引子
