目錄
單元一：提公因式 ... 3
課文 A：因式與倍式... 3
課文 B：因式分解 ... 9
課文 C：提公因式 ... 17
課文 D：分組提公因式. ... 28
單元二：利用乘法公式做因式分解 ... 33
課文 A：利用平方差公式因式分解... 33
課文 B：利用和的平方公式因式分解 ... 39
課文 C：利用差的平方公式因式分解 ... 43
課文 D：利用乘法公式做因式分解[進階] ... 48
單元三：十字交乘法 ... 51
課文 A：二次係數為 1 的十字交乘法 ... 51
課文 B：二次係數不為 1 的十字交乘法 ... 65
3
單元一：提公因式 課文 A：因式與倍式
我們在國小的時候有學過：6 = 3 × 2，
像這樣情況我們會講：「 6 是 2 和 3 的倍數」；
顛倒過來講：「 2 和 3 是 6 的因數」。
到了國中我們學了多項式的乘法，例如：
𝑥 乘以 (𝑥 + 2) 會得到 𝑥2+ 2𝑥 ，式子列成 𝑥(𝑥 + 2) = 𝑥2+ 2𝑥。
因此我們會知道 𝑥2+ 2𝑥 會等於 𝑥 乘以 (𝑥 + 2) ： 𝑥2+ 2𝑥 = 𝑥 × (𝑥 + 2)。
6 = 3 × 2 比對一下，這式子跟 6 = 3 × 2 的結構很像。
因此我們就講：「 𝑥2
+ 2𝑥 是 𝑥 和 𝑥 + 2 的倍式」。
國小我們教「數」，所以叫「倍數」；
國中我們教「式子」，所以叫「倍式」。
顛倒過來講：「 𝑥 和 𝑥 + 2 是 𝑥2+ 2𝑥 的因式」。
我們來看三個例題，學習怎麼判斷因式與倍式。
4
例題一：判別 𝑥2− 3𝑥 − 10 是不是 𝑥 − 5 的倍式。
◎解題思維：要怎麼判別 𝑥2− 3𝑥 − 10 是不是 𝑥 − 5 的倍式？
我們先回去想想看要怎麼判別 6 是不是 3 的倍數呢？
我們是利用除法來判別，6 除以 3 等於 2 餘 0 ， 剛好整除了，於是我們就稱 6 是 3 的倍數。
我們也同樣可以利用整除的這個想法來判斷倍式。
我們用 𝑥2− 3𝑥 − 10 除以 𝑥 − 5
2 2
5 3 1
2
0 5 2 10 2 10 0x x x
x x
x
x x
確實是整除，所以我們可以知道 𝑥2− 3𝑥 − 10 是 𝑥 − 5 的倍式。
(𝑥 − 5)𝑥= 𝑥2− 5𝑥 (𝑥 − 5)
× 2
= 2𝑥 − 105
例題二：判別 2𝑥 − 5 是不是 2𝑥2+ 𝑥 − 15 的因式。
◎解題思維：
與前一題一樣去檢查 2𝑥2 + 𝑥 − 15 能不能被 2𝑥 − 5整除，
如果可以，2𝑥 − 5 就會是2𝑥2+ 𝑥 − 15 的因式。
解：用 2𝑥2+ 𝑥 − 15 除以 2𝑥 − 5
2 2
2 5 2 15
2 5
6
0
3
15 6 15
x x x
x x
x x
x
確實整除，所以 2𝑥 − 5 就會是2𝑥2+ 𝑥 − 15 的因式。
(2𝑥 − 5)𝑥 = 2𝑥2− 5𝑥 (2𝑥 − 5)
× 3
= 6𝑥 − 156
例題三：已知 2𝑥2 + 5𝑥 − 3 = (2𝑥 − 1)(𝑥 + 3) ，請在下列的空格中，
填入「因式」或「倍式」。
(A) 2𝑥 − 1 是 2𝑥2+ 5𝑥 − 3 的 。 (B) 2𝑥2+ 5𝑥 − 3 是 𝑥 + 3 的 。
(C) 2𝑥 − 1 和 𝑥 + 3 是 2𝑥2+ 5𝑥 − 3 的 。
解：(A) 2𝑥 − 1 是 2𝑥2+ 5𝑥 − 3 的 因式 。 (B) 2𝑥2+ 5𝑥 − 3 是 𝑥 + 3 的 倍式 。
(C) 2𝑥 − 1 和 𝑥 + 3 是 2𝑥2+ 5𝑥 − 3 的 因式 。
例題四：請問1
2𝑥是不是4𝑥2的因式？
解：是，因為4𝑥2 = (1
2𝑥)(8𝑥)。
7
重點提問
1. 根據上面的課文，請解釋什麼是「因式」？什麼是「倍式」？
2. 根據上面的課文，判斷因式或倍式的方法是什麼？
請利用這個方法判斷 𝑥
－
3 是不是 2𝑥2 − 6𝑥 + 3 的因式？3. 連連看，請將相對應的因式、倍式連起來。
倍式 因式
𝑥2+ 4𝑥 + 3 ● ● 𝑥 + 1
● 𝑥 + 3
2𝑥2 + 5𝑥 − 3 ● ● 2𝑥 − 1
8
2 2
3 2
6 5 6
6 9
4 6
4 6
0
2 3
x
x x
x x
x x x
․隨堂練習：
1.請判斷 𝑥2− 2𝑥 − 3 是不是下列多項式的倍式。
(1) 𝑥 + 1 (2) 𝑥 − 1 (3) 𝑥 − 3
2.請判斷 𝑥 + 2 是不是下列多項式的因式。
(1) 𝑥2+ 𝑥 − 2 (2) 𝑥2− 4 (3) 𝑥2+ 4𝑥 + 6
3. (6𝑥2− 5𝑥 − 6) ÷ (2𝑥 − 3) 的直式除法如右，則
(1) (6𝑥2 − 5𝑥 − 6) ÷ (2𝑥 − 3) 的餘式為 。 (2) (6𝑥2 − 5𝑥 − 6) 是 (2𝑥 − 3) 的 。 (3) (2𝑥 − 3) 是 (6𝑥2 − 5𝑥 − 6) 的 。 (4) (3𝑥 + 2) 是 (6𝑥2 − 5𝑥 − 6) 的 。
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課文 B：因式分解
看完因式與倍式以後，接下來我們要來看因式分解。
什麼是因式分解呢？
我們先回想一下我們國小學過的因數分解。
舉個例子來說，我們要將 36 因數分解，
我們用短除法把36拆成 4 × 3 × 3，所以 36 = 4 × 3 × 3。
這樣把一個數字拆成多個數字相乘的過程，我們就稱為因數分解。
而因式分解也一樣，只不過它的主角從數字變為了式子。
我們把一個式子，拆成兩個式子或是三個式子相乘，就稱因式分解。
那我們舉一個例子來看一下。
4 36 3 9 3
10
例題一：
已知 2𝑥 + 1 是 6𝑥2− 𝑥 − 2 的因式，請將 6𝑥2− 𝑥 − 2 因式分解。
◎解題思維：
既然 2𝑥 + 1 是 6𝑥2− 𝑥 − 2 的因式，就來除除看。
2 2
2 1 6 2
6 3
4 2
4 2
0
3 2
x x x
x x
x x x
我們學過除法原理：被除式 = 除式 × 商式 + 餘式 6𝑥2 − 𝑥 − 2 = (2𝑥 + 1) × (3𝑥 − 2)，餘式是 0 不用寫
除法原理告訴我， 6𝑥2− 𝑥 − 2 這個式子可以拆成 (2𝑥 + 1)、(3𝑥 − 2) 這兩個式子相乘，這一個過程我們就叫做因式分解。
6𝑥2− 𝑥 − 2 = (2𝑥 + 1) × (3𝑥 − 2) 因式分解
(2𝑥 + 1)3𝑥= 6𝑥2+ 3𝑥 (2𝑥 + 1)(−2) = −4𝑥 − 2
11
例題二：已知 20𝑥2 − 11𝑥 − 42 可以因式分解成 (4𝑥 − 7)(𝑚𝑥 + 𝑛) ， 則 m、n =？
◎解題思維：
我們既然知道
20𝑥2− 11𝑥 − 42 可以因式分解成 (4𝑥 − 7)(𝑚𝑥 + 𝑛)，
即20𝑥2 − 11𝑥 − 42 = (4𝑥 − 7)(𝑚𝑥 + 𝑛)，
對照除法原理：被除式 = 除式 × 商式，
我們可以將 20𝑥2 − 11𝑥 − 42 當被除式、將 4𝑥 − 7 當除式，
用長除法找出商式就可以得到答案了。
解：將20𝑥2− 11𝑥 − 42 除以 (4𝑥 − 7) ：
2 2
4 7 20 42
20 35
24 42 24 42 0
5
11
6
x x x
x x
x x x
被除式 = 除式 × 商式 20𝑥2− 11𝑥 − 42 = (4𝑥 − 7)(𝑚𝑥 + 𝑛) = (4𝑥 − 7)(5𝑥 + 6) 所以我們可以知道 m = 5、n = 6。
(4𝑥 − 7)5𝑥= 20𝑥2− 35𝑥 (4𝑥 − 7)
× 6
= 24𝑥 − 4212
想想看有沒有不用除的方式就可以算出 𝑚 跟 𝑛 呢？
20𝑥
2− 11𝑥− 42
= (4𝑥 − 𝟕)(𝑚𝑥 + 𝑛)將 (4𝑥 − 7)(𝑚𝑥 + 𝑛) 乘開後的 𝑥2 項會是什麼？
就是 4𝑥 乘以 𝑚𝑥 ，會等於 20𝑥2。 所以 4 × 𝑚 = 20，那麼 m = 5。
將 (4𝑥 − 7)(𝑚𝑥 + 𝑛) 乘開後的常數項會是什麼？
就是 −7 乘以 𝑛 ，會等於−42。
所以−7 × 𝑛 = −42，那麼 n = 6。
13
例題三：
已知 6𝑥2 − 𝑘𝑥 + 6 可以因式分解成 (2𝑥 − 3)(3𝑥 − 2) ，則 𝑘 =？
◎解題思維：
6𝑥2 − 𝑘𝑥 + 6 可以因式分解成 (2𝑥 − 3)(3𝑥 − 2)，
即 6𝑥2− 𝑘𝑥 + 6 = (2𝑥 − 3)(3𝑥 − 2)，
我們就將 (2𝑥 − 3)(3𝑥 − 2) 乘開比較，
解：
(2𝑥 − 3)(3𝑥 − 2) =
6𝑥
2− 4𝑥
− 9𝑥+ 6
= 6𝑥2− 13𝑥 + 6 與原式比較： 6𝑥2 − 𝑘𝑥 + 6 發現 −𝑘 = −13 ，所以 𝑘 = 13。14
重點提問
1. 根據課文 A，我們可以利用 來判斷
「 𝑥 − 2 是不是 𝑥2+ 𝑥 − 6 的因式？」：
因為 ， 所以 𝑥 − 2 (是/不是) 𝑥2+ 𝑥 − 6 的因式。
而且根據上面計算的結果，我們可以知道：
𝑥2+ 𝑥 − 6 可以因式分解成 ( )×( )
2. 根據上面的課文，請解釋什麼是「因式分解」？
15
3. (A) 𝑥 + 1 (B) 2𝑥 + 1 (C) 𝑥 − 1 (D)𝑥 + 3 (E)2𝑥 + 3 (F) 𝑥 + 2
請將上面三個選項填入下面適當的空格當中：
(1) 是 𝑥2 + 3𝑥 + 2 的因式。
(2) 是 2𝑥2+ 7𝑥 + 3 的因式。
(3) 是 2𝑥2+ 𝑥 − 3 的因式。
4. 請根據上題的結果，將下列三個多項式做因式分解。
(1) 𝑥2+ 3𝑥 + 2 = ( )×( ) (2) 2𝑥2 + 7𝑥 + 3 = ( )×( ) (3) 2𝑥2 + 𝑥 − 3 = ( )×( )
․隨堂練習：
1.已知 2𝑥 + 1 是 2𝑥2+ 7𝑥 + 3 的因式，請將 2𝑥2 + 7𝑥 + 3 因式分解。
2.已知 3𝑥2 + 10𝑥 + 3 是 𝑥 + 3 的倍式，請將 3𝑥2 + 10𝑥 + 3 因式分解。
16
3.已知 6𝑥2 + 5𝑥 − 6 可以因式分解成 (2𝑥 + 3)(𝑚𝑥 + 𝑛) ，則 𝑚、𝑛 =？
4.已知 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 可以因式分解成 (2𝑥 + 1)(𝑥 − 2) ，則 𝑎
、
𝑏、
𝑐 =？還是不太懂，
請看下面影片 因式分解(例 1~例 3)
https://www.youtube.com/w atch?v=tZ7aLEV6kmY
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課文 C：提公因式
接下來我們來說明如何利用提公因式進行因式分解。
在說明提公因式前，我們先來介紹一下公因式。
國小的時候曾經說過公因數，舉個例子來說：
3 是 9 的因數
3 是 12 的因數
⟩ 3 就是 9 和 12 的公因數。我們現在是要說公因式，一樣的道理。比方來說：
2𝑥 是 8𝑥
3 的因式8𝑥3 可以拆成
2𝑥 乘以 4𝑥2 8𝑥3 = 2𝑥 × 4𝑥2
2𝑥 是 2𝑥
2(𝑥 + 1) 的因式2𝑥2(𝑥 + 1) 可以拆成
2𝑥 乘以 𝑥(𝑥 + 1) 2𝑥2(𝑥 + 1) = 2𝑥 × [ 𝑥(𝑥 + 1)]
所以 2𝑥 就是 8𝑥3 和 2𝑥2(𝑥 + 1)的公因式 2 乘 4 為 8 ，
𝑥 乘 𝑥2 為 𝑥3 2𝑥 乘 𝑥 為 2𝑥2
18
例題一：下列各多項式中，那些是 12𝑥2 和 4𝑥3 的公因式？
(A) 𝑥 (B) −2𝑥 (C) 4𝑥2 (D) 2𝑥3 (E)1
2𝑥 解：
(A)
12𝑥2 可以拆成 𝑥 乘以 12𝑥 12𝑥2 = 𝑥 × 12𝑥 𝑥 是 12𝑥2 的因式
4𝑥3 可以拆成 𝑥 乘以 4𝑥2 4𝑥3 = 𝑥 × 4𝑥2 𝑥 是 4𝑥3 的因式 所以 𝑥 是 12𝑥2 和 4𝑥3 的公因式
(B)
12𝑥2 可以拆成(−2𝑥)乘以(−6𝑥)
12𝑥2 = (−2𝑥) × (−6𝑥)
−2𝑥 是 12𝑥2 的因式
4𝑥3 可以拆成(−2𝑥)乘以(−2𝑥2)
4𝑥3 = (−2𝑥) × (−2𝑥2)
−2𝑥 是 4𝑥3 的因式 所以−2𝑥 是 4𝑥2 和 − 12𝑥3 的公因式
(C)
12𝑥2 可以拆成 4𝑥2 乘以 3 4𝑥2 = 4𝑥2 × 3 4𝑥2 是 12𝑥2 的因式
4𝑥3 可以拆成 4𝑥2 乘以 𝑥 4𝑥3 = 4𝑥2 × 𝑥 4𝑥2 是 4𝑥3 的因式 所以 4𝑥2 是 12𝑥2 和 4𝑥3 的公因式
(D)
12𝑥2 的次方比 2𝑥3 的次方還低 (12𝑥2) ÷ (2𝑥3) 的餘式會是12𝑥2
12𝑥2 不能被 2𝑥3 整除 所以 2𝑥3 不會是 12𝑥2 的因式
4𝑥3 可以拆成 2𝑥3 乘以 2 4𝑥3 = 2𝑥3 × 2 2𝑥3 是 4𝑥3 的因式 所以 2𝑥3 不是 12𝑥2 和 4𝑥3 的公因式
(−2 )乘(−6)為12 ， 𝑥 乘 𝑥 為 𝑥2
(−2 )乘(−2) 為4 ， 𝑥 乘 𝑥2 為 𝑥3
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12𝑥2 可以拆成1
2𝑥乘以 24 12𝑥2 = 1
2𝑥 × 24
1
2𝑥 是 12𝑥2 的因式
4𝑥3 可以拆成1
2𝑥乘以 8𝑥2 4𝑥3 = 1
2𝑥 × 8𝑥2
1
2𝑥 是 4𝑥3 的因式 所以 1
2𝑥 是 12𝑥2 和 4𝑥3 的公因式
接下來我們就來用 4 個例題練習利用提公因式來作因式分解。
例題二：利用提公因式來將 12𝑥2+ 4𝑥3 作因式分解，
◎解題思維：
從例題一：我們知道 4𝑥2 是 12𝑥2 和 4𝑥3 的公因式，
所以 12𝑥2+ 4𝑥3，可以同時提出 4𝑥2。
解：
12𝑥2 +4𝑥3 = 4𝑥2(3 +𝑥 )
12𝑥2 提出 4𝑥2，會剩下 3 ； 4𝑥2× 3 = 12𝑥2
+4𝑥3 提出 4𝑥2，會剩下 𝑥；
4𝑥2× 𝑥 = 4𝑥2
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例題三：在下列各式中，提出公因式作因式分解：
(1) 2𝑥2 − 6𝑥 (2) 𝑥(2𝑥 − 3) − 𝑥(𝑥 − 2)
◎解題思維 (1)：
2𝑥2−6𝑥，那麼可以同時提出 2𝑥，2𝑥2 −6𝑥 = 2𝑥(𝑥 −3 )
(2)：
𝑥(2𝑥 − 3) − 𝑥(𝑥 − 2)，那麼可以同時提出 𝑥，
𝑥(2𝑥 − 3)− 𝑥(𝑥 − 2) = 𝑥[(2𝑥 − 3)
−
(𝑥 − 2)]= 𝑥(2𝑥 − 3
−
𝑥+
2)= 𝑥(𝑥 − 1)
解：
(1) 2𝑥2 − 6𝑥 = 2𝑥(𝑥 − 3)
(2) 𝑥(2𝑥 − 3) − 𝑥(𝑥 − 2) = 𝑥[(2𝑥 − 3) − (𝑥 − 2)]
= 𝑥(2𝑥 − 3 − 𝑥 + 2) =𝑥(𝑥 − 1)
2𝑥2 提出 2𝑥，會剩下 𝑥 ； 2𝑥 × 𝑥 = 2𝑥2
都有 𝑥 ，可以提出 𝑥
可以提出 2 −6𝑥 提出 2𝑥，會剩下 −3；
2𝑥 × (−3) = −6𝑥
都有 𝑥 ，可以提出 𝑥
注意！−(𝑥 − 2)前面是減，
拆了括號變成 −𝑥 + 2 。
21
例題四：對下列式子，提出公因式作因式分解：
3(2𝑥 − 3)2− (2𝑥 − 3)
◎解題思維：
3 (2𝑥 − 3)2 −(2𝑥 − 3) 可以提出 2𝑥 − 3
3(2𝑥 − 3)2− (2𝑥 − 3) = (2𝑥 − 3)[3(2𝑥 − 3) − 1 ]
(2𝑥 − 3)[3(2𝑥 − 3) − 1 ] = (2𝑥 − 3)(6𝑥 − 9 − 1)
= (2𝑥 − 3)(6𝑥 − 10)
= 2(2𝑥 − 3)(3𝑥 − 5)
解：3(2𝑥 − 3)2− (2𝑥 − 3) = (2𝑥 − 3)[3(2𝑥 − 3) − 1]
= (2𝑥 − 3)(6𝑥 − 9 − 1) = (2𝑥 − 3)(6𝑥 − 10) = 2(2𝑥 − 3)(3𝑥 − 5)
(2𝑥 − 3)2 代表有兩個 2𝑥 − 3 相乘
(2𝑥 − 3)2 代表有兩個 2𝑥 − 3 相乘，
提出一個 2𝑥 − 3 ，還留下一個 2𝑥 − 3
(2𝑥 − 3) 代表有一個 2𝑥 − 3 ， 提出一個 2𝑥 − 3 ，留下的是 1 ， 1 × (2𝑥 − 3) = 2𝑥 − 3
不會是 0 ，0 × (2𝑥 − 3) = 0
可以提出 2
22
例題五：在下列各式中，提出公因式作因式分解：
(1) (𝑥 + 3)(𝑥 − 5) − (𝑥 − 2)(5 − 𝑥) (2) (𝑥 − 3)2(2𝑥 + 5) − (𝑥 − 1)(3 − 𝑥)2
◎解題思維(1)：
(𝑥 + 3)(𝑥 − 5) − (𝑥 − 2)(5 − 𝑥) 乍看之下好像沒有公因式可以提 但我們仔細看一下，(𝑥 + 3)(𝑥 − 5) 中有 (𝑥 − 5) ，
(𝑥 − 2)(5 − 𝑥) 中有 (5 − 𝑥) 。 試著思考一下 (𝑥 − 5) 與 (5 − 𝑥) 之間的關係。
解：因為 (𝑥 − 5) = −(5 − 𝑥)。
所以我們可以提出 (𝑥 − 5) ，但是前面的符號要變號！
(𝑥 + 3)(𝑥 − 5) − (𝑥 − 2) (5 − 𝑥)
= (𝑥 + 3)(𝑥 − 5) + (𝑥 − 2) (𝑥 − 5) 可以提出 (𝑥 − 5)
= (𝑥 − 5)[(𝑥 + 3) + (𝑥 − 2)]
= (𝑥 − 5)(𝑥 + 3 + 𝑥 − 2)
= (𝑥 − 5)(2𝑥 + 1)
前面不變 (5 − 𝑥)變成(𝑥 − 5)，前面 − 要變 + 。
23
◎解題思維(2)：
(𝑥 − 3)2(2𝑥 + 5) − (𝑥 − 1)(3 − 𝑥)2 乍看之下好像沒有公因式
仔細看發現有 (𝑥 − 3) 跟 (3 − 𝑥) ，可以試著將 (3 − 𝑥) 變成 (𝑥 − 3) 。
解：因為(3 − 𝑥) = −(𝑥 − 3)，
但是再注意一下，題目是：(𝑥 − 3)2(2𝑥 + 5) − (𝑥 − 1)(3 − 𝑥)2， (𝑥 − 3)2、(3 − 𝑥)2，都是有兩個相乘的。
(3 − 𝑥)2 = [−(𝑥 − 3)]2 = (𝑥 − 3)2
(𝑥 − 3)2(2𝑥 + 5) − (𝑥 − 1)(3 − 𝑥)2
= (𝑥 − 3)2(2𝑥 + 5) − (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)2 可以提出 (𝑥 − 3)2
= (𝑥 − 3)2[(2𝑥 + 5)
−
(𝑥 − 1)]= (𝑥 − 3)2(2𝑥 + 5
−
𝑥+
1)= (𝑥 − 3)2(𝑥 + 6)
− 的平方會變成正的！
注意！−(𝑥 − 1)前面是減，
拆了括號變成 −𝑥 + 1 。
24
重點提問
1. 根據上面的課文，請解釋什麼是「公因式」？
2. 2𝑥 + 1 (是/不是) 2𝑥2+ 5𝑥 + 2 的因式；
2𝑥 + 1 (是/不是) 2𝑥2− 𝑥 − 1 的因式。
2𝑥 + 1(是/不是) 2𝑥2+ 5𝑥 + 2和2𝑥2− 𝑥 − 1的公因式。
3. 根據上面的課文所說，我們可以利用「提公因式」這個方法對一 個式子做因式分解。如果要利用提公因式將 2𝑥2+ 3𝑥 因式分解，
2𝑥2 與 3𝑥 的公因式是 ，將它提出來後，2𝑥2+ 3𝑥 的 因式分解可以寫成 ( ) × ( ) 。
25
4. 利用提公因式將 5𝑥 (2𝑥 + 1) + 2(2𝑥 + 1) 因式分解，
要先找出5𝑥 (2𝑥 + 1) 與 2(2𝑥 + 1) 的公因式是 ， 將它提出來後，5𝑥 (2𝑥 + 1) + 2(2𝑥 + 1) 的因式分解可以寫成 ( ) × ( ) 。
26
․隨堂練習：
1.下列各多項式中，哪些是 6𝑥2 和 12𝑥3 的公因式？
(A) 𝑥 (B) 2𝑥 (C) 4𝑥2 (D)−3𝑥
2.在下列各式中，提出公因式作因式分解：
(1) 6𝑥2+ 12𝑥 (2) 𝑥(2𝑥 + 1) − 𝑥(𝑥 − 1)
3.在下列各式中，提出公因式作因式分解：
(1) 𝑥(𝑥 + 1) + (𝑥 + 1) (2) (𝑥 + 2)2+ (𝑥 + 2)
27
4.在下列各式中，提出公因式作因式分解：
(1) (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) − 5(2 − 𝑥)
(2) (2𝑥 − 1)2(𝑥 + 5) − (𝑥 − 5)(1 − 2𝑥)2
還是不太懂，
請看下面影片(1) 公因式
https://www.youtube.com/w atch?v=6LDRPX-xVGY
還是不太懂，
請看下面影片(2) 提出公因式(例 1)
https://www.youtube.com/w atch?v=mSrniOZLs50
還是不太懂，
請看下面影片(3) 提出公因式(例 2)
https://www.youtube.com/w atch?v=NWpMyAb7l7c
還是不太懂，
請看下面影片(4) 提出公因式(例 3)
https://www.youtube.com/w atch?v=w-tlKdhL4lI
還是不太懂，
請看下面影片(5) 提出公因式(例 4)
https://www.youtube.com/w atch?v=487vn2_eWeY
28
課文 D：分組提公因式.
接著我們要來看分組提出公因式。
從標題我們可以知道要利用分組來提出公因式。那為什麼要分組呢？
現在用第一題來說明。
例題一：因式分解 𝑥2− 3𝑥 + 𝑎𝑥 − 3𝑎
◎解題思維：
我們仔細觀察這個式子，這式子共有 4 項：𝑥2、 − 3𝑥
、
𝑎𝑥、
− 3𝑎 前面三項的公因式是 𝑥 ，但最後一項沒有 𝑥 ，所以沒辦法直接提出𝑥。那沒辦法一次提出來的話，我們就可以試著先分組再提提看，
第一種是 𝑥2− 3𝑥 一組、𝑎𝑥 − 3𝑎 一組；
𝑥2− 3𝑥 + 𝑎𝑥 − 3𝑎 = (𝑥2− 3𝑥) + (𝑎𝑥 − 3𝑎)
=
𝑥(𝑥 − 3)
+ 𝑎(𝑥 − 3) 可以提出 (𝑥 − 3)= (𝑥 − 3)(𝑥 + 𝑎)
因此可以知道 𝑥2− 3𝑥 + 𝑎𝑥 − 3𝑎 可以因式解成 (𝑥 − 3)(𝑥+ 𝑎) (𝑥2− 3𝑥) 可以提出 𝑥 (𝑎𝑥 − 3𝑎) 可以提出 𝑎
29
第二種是 𝑥2+ 𝑎𝑥 一組、−3𝑥 − 3𝑎 一組；
𝑥2− 3𝑥 + 𝑎𝑥 − 3𝑎 = ( 𝑥2 + 𝑎𝑥 ) + (−3𝑥 − 3𝑎)
=
𝑥(𝑥 + 𝑎)
− 3(𝑥 + 𝑎) 可以提出 (𝑥 + 𝑎)= (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 3)
因此可以知道 𝑥2− 3𝑥 + 𝑎𝑥 − 3𝑎 可以因式解成 (𝑥 + 𝑎)(𝑥− 3) 會發現跟第一種分組方法算出來的結果是一樣的，
所以可以知道分組方法可能不只有一種，
但分解出來的結果都會是一樣的。
例題二：因式分解 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑦
解：
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑦
= (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥) + (𝑎𝑦+ 𝑏𝑦+ 𝑐𝑦)
=
𝑥(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) +
𝑦(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)= (𝑥 + 𝑦)(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
想想看！有沒有別種分組方式呢？
𝑎𝑥, 𝑏𝑥, 𝑐𝑥一組、𝑎𝑦, 𝑏𝑦, 𝑐𝑦一組 𝑥2+ 𝑎𝑥 可以提出 𝑥 (−3𝑥 − 3𝑎) 可以提出−3
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例題三：因式分解 (𝑎 − 3)𝑥 − (3𝑎 − 𝑥2)
◎解題思維：
要因式分解 (𝑎 − 3)𝑥 − (3𝑎 − 𝑥2) 這個多項式，看起來好像已經 經過分組在提公因式了，但 (𝑎 − 3)𝑥 與 (3𝑎 − 𝑥2)沒有公因式可 以再提了。那該怎麼辦？
應該是它分組的方式我們不合用，所以我們就必須重新再分組。
要先回去原來的式子，也就是展開：
(𝑎 − 3)𝑥 −(3𝑎 − 𝑥2) = 𝑎𝑥 − 3𝑥−3𝑎+𝑥2
然後再分組提公因式，就可以作因式分解了。
解：(𝑎 − 3)𝑥 −(3𝑎 − 𝑥2) = 𝑎𝑥 − 3𝑥−3𝑎 +𝑥2 = (𝑎𝑥 − 3𝑎) + (𝑥2− 3𝑥)
= 𝑎(𝑥 − 3) + 𝑥(𝑥 − 3) 可以提出 (𝑥 − 3) = (𝑎 + 𝑥)(𝑥 − 3)
𝑎𝑥、−3𝑎 一組，
𝑥2、−3𝑥 一組
注意！−(3𝑎 − 𝑥2)前面是減，
拆了括號變成 −3𝑎 + 𝑥2 。
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重點提問
1. 因式分解 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑
這個多項式，四項中沒有共同的公因式，需要分組提公因式，
下列有三種分組方式，如果依照分組方式可以完成因式分解的，
請在題號前□中打 v，並繼續完成步驟到因式分解；如果依照分 組方式不可以完成因式分解的，請在題號前□中打 X。
□ (1) 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 = (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑑)
□ (2) 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 = (𝑎𝑏 + 𝑎𝑑) + (𝑏𝑐 + 𝑏𝑑)
□ (3) 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 = (𝑎𝑏 + 𝑏𝑑) + (𝑏𝑐 + 𝑎𝑑)
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․隨堂練習：
1.因式分解 𝑥2+ 7𝑥 + 𝑎𝑥 + 7𝑎
2.因式分解 𝑎2+ 5𝑎 + 𝑎𝑏 + 5𝑏
3.因式分解 2𝑥3+ 5𝑥2 + 2𝑥 + 5
4.因式分解 𝑥2+ (𝑎 − 1)𝑥 − 𝑎
還是不太懂，
請看下面影片
分組提出公因式(例 1~例 3)
https://www.youtube.com/wa tch?v=CESsRpKP02w
