最大公因數 最大公因數

自我評量

最大公因數 最大公因數

最小公倍數

最小公倍數

國小時，我們學過以短除法求兩數的最 大公因數與最小公倍數，在本節中將介紹另一種方 法。

某幾個整數共同的因數稱為這幾個 整數的公因數，在這些公因數中，最大的一個 稱為最大公因數。

例如： 12 的因數有

、

、

、 4 、

、 1 2 ，

18 的因數有

、

、

、

、 9 、 18

，

其中 1 、 2 、 3 、 6 是 12 和 18 的公因數，而 6 就是 12 和 18 的最大公因數。通常我們用 （ 12 ,

8 ）＝ 6 。最大公因數 6 的因數 1 、 2 、 3 、 6 都是 12 和 18 的公因數，所以 12 和 18 的公因 數都是最大公因數 6 的因數。

而 15 的因數有

、 3 、 5 、 15 ，

28 的因數有

、 2 、 4 、 7 、 14 、 2

8 ，

15 和 28 除了 1 之外沒有其他的公因數，它 們的最大公因數為 1 ，即（ 15 , 28 ）＝ 1 ， 我們就說 15 和 28 兩數 互質。

任意兩正整數 a 、 b ，若（ a , b ）＝ 1 ，則

稱 a 與 b 互質。

1

求兩數的最大公因數 求 90 和 72 的最大公因數。

解解

我們將 90 、 72 的所有因數分別列出：

90 的因數有

、

、

、 5 、

、

、 10

、 15 、

、 30 、 45 、 90

，

72 的因數有

、

、

、 4 、

、 8 、

、 12 、

、 24 、 36 、 72 ， 所以 90 和 72 的最大公因數（ 90 , 72 ）＝

18 。

搭配習作 P30 基礎題 2

我們也可先將 90 、 72 作質因數分解：

90 ＝

72 ＝

觀察上兩式，我們可發現 2 × 3 × 3 是 90 和 72 的

最大公因數。

用短除法求兩個數的最大公因數時，

通常由最小的質因數開始。例如先看看兩數是

否含 有 公因 數 2 ，直到兩數已不含公因數 2

時，再看是否含有公因數 3 、公因數 5 、公因

數 7 、……，直到最後剩下的兩數互質為止。

例如： 90 與 72 的最大公因數可寫成：

2 90 72

3 45 36

3 15 12

5 4

90 、 72 有公因數 2 45 、 36 有公因數 3 15 、 12 有公因數 3

5 、 4 兩數互質

所以 90 和 72 的最大公因數

（ 90 , 72 ）＝

＝ 18

2

求兩數的最大公因數

求 1848 和 1386 的最大公因數。

解解 2 1848 1386

3 924 693

7 308 231

11 44 33

4 3

所以 1848 和 1386 的最大公因 數

（ 1848 , 1386 ）

＝ 2×3×7×11

＝ 462

最大公因數 2×3×7×11 也可以不用乘開。

搭配習作 P30 基礎題 2

求下列各式的值：

(1) （ 2652 , 792 ）

(2) （ 171 , 28 ）

搭配習作 P30 基礎題 2(6) P32 基礎題 6(1)

3 利用標準分解式求最大公因數

求 2

×3×7

和 2

×3

×5×7×11

的最大公因數。

解解

2

×3×7

＝

2

×3

×5×7×11

＝

所以（ 2 11

×3×7

, 2

×3

×5×7×11

）

＝

＝

×3×7 ＝ 84

我們可以這樣看：

2³ × 3 × 7²

2² × 3² ×5× 7 ×11²

2² 3 7 2² × 3 × 7 最大公因數

 找

數

 取指數

者

 相乘

由例題 3 可以發現

求（ a , b ）可先求出 a 和 b 的標準分解式，找

出兩者共同的質因數，把共同質因數中指數最

小者相乘，即為 a 和 b 的最大公因數。如果找

不到共同質因數，則兩者的最大公因數為 1 。

4

求兩數的最大公因數

求 2

×3

×7×11 和 138 的最大公因數。

解解

138 ＝ 2×3×23

所以（ 2

×3

×7×11 , 138 ）

＝（ 2

×3

×7×11 , 2×3×23 ）＝

2×3 ＝ 6

搭配習作 P30 基礎題 2(6)

求下列各組數的最大公因數：

(1)2

×3

×5×7

、 2

×3×5

×7 (2)45 、 2

×3×5

×7

420 （或 2²×3×5×7 ） 15

我們已學會了求兩個整數的最大公 因數。那麼三個數的最大公因數又該怎麼求呢

？

22 3

最大公因數

5 求三數的最大公因數

求 72 、 120 、 84 三數的最大公因數。

解一解一

先個別作質因數分解，再求最大公因數 72 ＝

120 ＝

84 ＝

所以 72 、 120 、 84 的最大公 因數

（ 72 , 120 , 84 ）＝

＝ 12

我們可以這樣看：

72 ＝ 2³ × 3²

120 ＝ 2³ × 3 ×5 84 ＝ 2² × 3 × 7

搭配習作 P31 基礎題 3

解二解二

利用短除法

2 72 120 84 2 36 60 42 3 18 30 21 6 10 7

所以 72 、 120 、 84 的最大公因 數

（ 72 , 120 , 84 ）＝

＝ 1

2

6

求三數的最大公因數

求 72 、 108 、 252 三數的最大公因數。

解解 2 72 108 252

2 36 54 126

3 18 27 63

3 6 9 21

2 3 7

所以 72 、 108 、 252 的最大公因 數

（ 72 , 108 , 252 ）＝ 2

×3

＝ 36

搭配習作 P31 基礎題 3

求下列各組數的最大公因數：

(1) 42 、 56 、 154 (2) 72 、 54 、 1

26

7

求已分解三數的最大公因數

求 2

×3

×5×7 、 2

×3×5

×11 、 2

×3

×5×11 三數的 最大公因數

解解

2

× 3

× 5 ×7 2

× 3 × 5

×11 2

× 3

× 5 ×11

所以最大公因數為 2

×3×5 ＝ 60

搭配習作 P32 基礎題 6(2)

求 2

×3×7 、 2×3×5

×7 、 2

×3

×5 三數的最大

公因數。

8 最大公因數的應用問題

顏舒基想用大小相同的正立方體

積木填滿內部長 72 公分、寬 60

公分、高 48 公分的箱子，請問

他所用的正立方體積木，邊長最

大可能是多少公分？此時需要多

少個積木才能填滿整個箱子？

解解

因為要用正立方體積木填滿整個箱子，所以 積木的邊長必須為 72 、 60 和 48 的公因數

，因為正立方體積木的邊長要最大，所以邊 長就是 72 、 60 和 48 的最大公因數。

2 72 60 48 2 36 30 24 3 18 15 12 6 5 4

所以（ 72 , 60 , 48 ）＝ 2×2×3 ＝ 12 即所用正立方體積木邊長最大為

12 公分

72÷12 ＝

， 60÷12 ＝

， 48÷12 ＝

共需積木 6×5×4 ＝ 120 （個）

有 84 位男童軍、 63 位女童軍混合編隊，各隊的 男生人數一樣多，各隊的女生人數也一樣多，例 如下圖是其中一種編隊方法，共編成 3 隊。請問 最多可以編成幾隊？每隊有幾

位男童軍、幾位女童軍？

最多可編成 21 隊，

每隊有 4 位男童軍、 3 位 女童軍。

9

最大公因數的應用問題

有一個四邊形的公園，四邊長分別是 140 公尺、

154 公尺、 168 公尺與 210 公尺，現在要在公園 的四周種樹，每棵樹的距離相等，且公園的四個 頂點也要種樹，請問最少要種幾棵樹？

解解

因為每棵樹的距離相等，且公園的四個頂點

也要種樹，故每棵樹的距離是 140 公尺、 15

4 公尺、 168 公尺與 210 公尺的公因數，又

因為樹的數目要最少，所以樹距是它們的最

大公因數。

(140 , 154 , 168 , 210)

＝ 2×7 ＝ 14

由圖可以看成每邊的一端種、

一端不種，所以 每邊的間隔數

＝ 每邊種樹的數目

10

＋

＋

＋

＝ 48

（棵）

所以最少要種 48 棵樹。

解解 2 140 154 168 210

7 70 77 84 105

10 11 12 15

140 公尺 140÷14 ＝ 10

210 公 210÷14 ＝尺 1 5

168 公尺

168÷14 ＝ 12 154 公尺

154÷14 ＝ 11

有一個三角形的公園，三邊長分別是 216 公 尺、 264 公尺與 360 公尺，現在要在公園的 周圍種樹，每棵樹的距離相等，但是公園的三 個頂點不種樹而設置垃圾桶，請問最少要種幾 棵樹？

最少要種 32 棵樹

某幾個整數共同的倍數稱為這幾個

整數的公倍數，在這公倍數中，最小的一個稱

為最小公倍數。

例如： 12 的倍數有 12 、 24 、

、 48 、 60

、　　　

、 84 、 96 、

、

……

18 的倍數有 18 、

、 54 、

、 90

、

、 126 、 144 、 ……

其中 36 、 72 、 108 都是 12 和 18 的公倍

數，而 36 就是 12 和 18 的最小公倍數。通常

我們用 〔 12,18 〕來表示 12 和 18 的最小公

倍數，即〔 12,18 〕＝ 36 。最小公倍數 36

的倍數 36 、 72 、 108 、…… 都是 12 和 18

的公倍數，所以 12 和 18 的公倍數都是最小

公倍數 36 的倍數。

　　我們也可以這樣想：

因為 12 ＝ 2×2×3 ＝（

） ×2 18 ＝ 2×3×3 ＝（

） ×3

其中

是 12 和 18 的最大公因數。

如果甲數是 12 和 18 的公倍數，因為甲數是 1 2 的倍數，所以甲數至少為（

） ×2 ，甲 數又是 18 的倍數，所以甲數至少為（

）

×2×3 ＝ 36 ，即 12 和 18 的最小公倍數為 36

。

10 求兩數的最小公倍數

求 36 和 84 的最小公倍數。

解一解一 先個別作質因數分解，再求最小公倍數

36 ＝ 2 × 2 × 3 × 3

84 ＝ 2 × 2 × 3 × 7

所以 36 和 84 的最小公倍 數

〔 36 , 84 〕＝

52

倍，

2×2×3×3×7

是 84 的 3

倍。

解二解二

2 36 84

2 18 42

3 9 21

3 7

利用短除法

36 、 84 有公因數 2 18 、 42 有公因數 2 9 、 21 有公因數 3

3 、 7 兩數互質

其中，（ 36 , 84 ）＝

， 所以 36 和 84 的最小公倍數

〔 36 , 84 〕＝

252

求下列各式的值：

(1) 〔 8 , 20 〕 (2)

〔 15 , 24 〕

11 求兩數的最小公倍數

求 126 和 108 的最小公倍數。

2 126 108

3 63 54

3 21 18

7 6

解解

所以 126 和 108 的最小公倍數

〔 126 , 108 〕

＝ 2×3×3×7×6 ＝ 756

搭配習作 P31 基礎題 4

12 利用標準分解式求最小公倍數

求 2

×3×5 和 2

×5×7

的最小公倍數。

解解

2

×3×5 ＝ (2

×5)×2×3 2

×5×7

＝ (2

×5)×7

所以最小公倍數

〔 2

×3×5 , 2

×5×7

2

〕

＝（ 2

×5 ） ×2×3×7

　　＝ 2

×3×5×7

我們可以這樣看：

2⁵ × 3 × 5

24 × 5 × 7²

2⁵ 3 5 7² 2⁵ × 3 × 5 × 7² 最小公倍數

 選全部質 因數

 取指數最 大者

 相乘

搭配習作 P31 基礎題 4 (5) P32 基礎題 6(1)

由例題 12 可以發現，

求〔 a , b 〕 可先求出 a 和 b 的標準分解式，

找出兩者全部的質因數，把相同的質因數中指

數最大者相乘，即為 a 和 b 的最小公倍數。

求下列各組數的最小公倍數：

(1)180 、 216 (2)280 、 800 (3)2

×3

×5 、 3×5

×7 (4)135 、 3

×7

1080 5600

12600( 或 2³×3²×5²×7) 8505 （或 3⁵×5×7 ）

我們學會了求兩個數的最小公倍數，

那麼如何求三個數的最小公倍數呢？我們以求 4 、 10 、 6 的最小公倍數為例來說明。

先將 4 、 10 、 6 分別作質因數分解：

4 ＝ 2×2

10 ＝ 2 ×5

6 ＝ 2 ×3

若甲數為 4 、 10 、 6 的公倍數，則甲數為 4 的 倍數，所以甲數至少為 2×2 ；甲數又為 10 的倍 數，所以甲數至少為 2×2×5 ；而且甲數也為 6 的 倍數，所以甲數至少為 2×2×5×3 。

所以甲數最小為 2×2×3×5 ＝ 60 ，即 4 、 10 、 6

之最小公倍數為 60 。

13 求三數的最小公倍數

求 70 、 42 、 18 三數的最小公倍數。

解解

70 ＝

42 ＝

18 ＝

所以 70 、 42 、 18 的最小公倍數

〔 70 , 42 , 18 〕＝

630

搭配習作 P32 基礎題 5

我們也可以用短除法求三數的最小公 倍數。通常求三數的最小公倍數的題目常伴隨 求其最大公因數，因此使用短除法計算時，先 將三數共有的質因數提出來，再逐步將兩數共 有的質因數提出，直到兩兩互質。把所有的質 因數及剩下來的數相乘，即為最小公倍數。

我們以例題 13 來說明：

2 70 42 18

3 35 21 9

7 35 7 3

5 1 3

70 、 42 、 18 都含有公因數 2 21 、 9 含有公因數 3

35 、 7 含有公因數 7

所以〔 70 , 42 , 18 〕＝

630

因為 630 ＝ 2×3×7×5×1×3 ，所以 630 含有 70 所有質因數的乘積 2×5×7 ，同理，也 含有 42 、 18 所有質因數的乘積，所以 630 是

70 、 42 、 18 　 　

　　的公倍數。

14 利用短除法求三數的最小公倍數

求 27 、 30 、 45 三數的最小公倍數。

解解 3 27 30 45

3 9 10 15

5 3 10 5

3 2 1

所以〔 27 , 30 , 45 〕

＝

27 、 30 、 45 都含有公因數 3 9 、 15 含有公因數 3

10 、 5 含有公因數 5

搭配習作 P32 基礎題 5

求下列各組數的最小公倍數：

(1) 28 、 36 、 48 (2) 24 、 20

、 30

1008 （或 2⁴×3²×7 ） 120 （或 2³×3×5 ）

15 求已分解三數的最小公倍數

求 2

×3

×5 、 2

×3

×7 、 2

×5

×7 三數的最小公倍數。

解解

2

× 3

× 5

2

× 3

× 7 2

× 5

× 7

所以最小公倍數為 2

×3

×5

×7

搭配習作 P32 基礎題 5(4) 、 6(2)

求 3

×5×7

、 2×3×7

、 2

×3×5×7 三數的最小 公倍數。

最小公倍數 =2³×3²×5×7³

16 ^{最小公倍數的應用問題}

將一個正方體的邊長分別依 3

公分、 4 公分、 6 公分切割成

小長方體，剛好可分割完而沒

有剩下，請問此正方體的邊長

最小是多少公分？

解解

這個正方體的邊長必須被 3 、 4 、 6 整除，

所以必是 3 、 4 、 6 的公倍數，其中最小的 就是 3 、 4 、 6 的最小公倍數。

2 3 4 6

3 3 2 3

1 2 1

〔 3 , 4 , 6 〕＝ 2×3×1×2×1

＝ 12

所以正方體的邊長最小是 12

公分。

佩妮用長 6 公分、寬 4 公分、高 8 公分的積木堆成一個實心的正 方體，所有的積木都依同方向排 列，請問這個正方體的邊長至少 是多少公分？共用去多少塊積木

？

17 最小公倍數的應用問題

甲、乙、丙三人，同時從同地出發，朝同方向

繞一周長為 1800 公尺的圓形水池行走，設甲每

分鐘走 90 公尺，乙每分鐘走 100 公尺，丙每分

鐘走 60 公尺，則至少在幾分鐘之後三人會於原

出發點會合？

解解

圓形水池周長為 1800 公尺，所以

甲每分鐘走 90 公尺， 20 分鐘回到原點；

乙每分鐘走 100 公尺， 18 分鐘回到原點；

丙每分鐘走 60 公尺， 30 分鐘回到原點。

2 20 18 30

3 10 9 15

5 10 3 5

2 3 1

〔 20 , 18 , 30 〕

＝ 2×3×5×2×3×1

＝ 180

所以在 180 分鐘之後三人

會於原出發點會合。

有一條公路長 3600 公尺，自起點開始，在中 央分隔島每隔 60 公尺種一棵樹，每隔 80 公 尺設置一盞路燈，若起點既種樹也設置路燈

，請問同時種樹與設置路燈共有多少處？

16 處

1. 公因數與最大公因數：某幾個整數共同的因 數稱為這幾個整數的公因數，在這幾個整數 的公因數中，最大的一個稱為最大公因數。

2. 公倍數與最小公倍數：某幾個整數共同的倍

數稱為這幾個整數的公倍數，在這幾個整數

的公倍數中，最小的一個稱為最小公倍數。

3. 互質：若兩數的最大公因數為 1 ，則稱兩 數互質。

4. 已完成標準分解式的幾個數之最大公因數：

取共同質因數，最小指數者相乘。

5. 已完成標準分解式的幾個數之最小公倍數：

取全部質因數，最大指數者相乘。

如果我比其他人看得遠一些，那是因為我站 在巨人的肩膀上。

— 牛頓（ Isaac Newton ， 1642

1727 ）

2-2 自我評量

1. 指出 1 、 7 、 8 、 15 、 23 五數中，哪些數與 12 互質？

1 、 7 、 23

2. 求下列各組數的最大公因數：

(1) 42 、 36 (2) 21 、 46

(3)288 、 336 (4)160 、 2

×5×7

6 1

48 80

(5)24 、 32 、 36 (6)2

×3×7 、 2×3

×5

4 6

3. 求下列各組數的最小公倍數：

(1)12 、 21 (2)8 、 15

(3)240 、 252 (4)280 、 2

×7×1 1

84 120

5040

（或 2⁴×3²×5×7 ） 2⁴×5×7×11

(5)7 、 24 、 14 (6)27 、 20 、 18

168 （或 2³×3×7 ） 540 （或 2²×3³×5 ）

4. 淑惠家的客廳長 690 公分、寬 720 公分，她

想將地板鋪滿大小相同的正方形瓷磚。在不切 割瓷磚的前提下，淑惠所能選擇的瓷磚邊長最 大是多少公分？此時共需要多少塊瓷磚才能將 地板鋪滿？

邊長最大為 30 公分，共需 552 塊。

5. 俊傑的三個姊姊都已出嫁，大姊每 7 天回娘 家一次，二姊每 5 天回娘家一次，三姊每 10 天回娘家一次。某次她們三位姊妹在娘家碰 面 ， 請 問 再 過 幾 天 ， 三 位 姊 妹 才 能 再 次 碰

面？