任何三角形都是等腰三角形？

林柏佐

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任何三角形都是等腰三角形？

在學 Euclidean 幾何時，常常我們還是無可避免的談到公設等，讓人覺得很 枯燥乏味，但是其實在這些公設的背景之下，我們才能推出豐富的幾何性質之 外，他還有什麼用呢？還有一個目的是避免人很直觀的錯誤，底下我們來看一個 很有趣，但是是很嚴重錯誤的“證明＂，就是任意三角形都是等腰三角形，如果 這件事情對的話，那我也可以推到任意三角形都是正三角形，那全世界就只有一 種三角形！大家一起想想，到底是哪裡出問題呢？

如右圖，做 A 的分角線與 BC 的中垂線交於 , G

從 G 對 BC CA AB 作垂足分別為 , , D E F 考慮 , , , Δ AFG 與 Δ AEG , ∵ ∠ AFG = ∠ AEG = 90 ,

( FAG EAG AD

∠ = ∠ ∵ 是分角線)，且 AG = AG ,

( ) , (1)

AFG AEG AAS GF GE AF AE

⇒ Δ ≅ Δ ⇒ = =

再來我們考慮 Δ BFG 與 Δ CEG , ∵ GF = GE , ∠ BFG = ∠ CEG = 90 ,

BG = CG ( ∵ 中垂線上的點到 2 點等距離) ⇒ Δ BFG ≅ Δ CEG RHS ( ) ⇒ BF = CE (2), 由(1)(2)

我們就可以推得 AB = AF + BF = AE + CF = AC , 故 Δ ABC 為等腰三角形。

或許有人會說，這個又不一定會交於內部，有可能是 交於外部，事實上不是可能，是一定交於外部？為什麼 呢？如果我們已經知道 AB > AC 由內分比我們可以知

道， BH AB 1

HC = AC > ⇒ H 在 D 的右邊。因此他們必交於 外部，但是交於外部問題就解決了嗎？其實沒那麼容 易。

如右圖，於前面的方法一樣，我們所做的輔助線 都一樣，唯一的差異是在交於外部，那麼利用相同的 證明方式，我們還是可以說它是等腰三角形。那問題 出在哪邊呢？從前面的“證明＂中，如果我們假設它 是對的，那就可以得 ∠ BGF = ∠ CGE , ∠ BGD = ∠ CGD

, FGD EGD

⇒ ∠ = ∠ 又 ∠ AGF = ∠ AGE 且

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AGF FGD DGA EGD DGA AGE DGA AGE

∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ ∴ 我們得到

A

B C

G

D F E

A

B C

G

D E

F

H G D

A

B C

林柏佐

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0 , DGA

∠ = 也就是此不合理的現象，造成我們前面得到錯誤的“證明＂。

底下我們就展示出正確的圖形為何：

F

E

G D

A

B C

事實上，分角線與中垂線的交點，分別對兩邊做高，一定一個在三角形內部，另 一個在三角形外部，這個結果就能將我們剛剛所有覺得很奇怪的情況一網打盡，

而不在會有問題。

希望能從這樣的例子中，讓大家更能體會為什麼要學數學？為什麼要學幾何

學？為什麼要學證明？除了訓練邏輯思考外，更重要的是你不會被別人牽著鼻子

走，不會因為別人畫的不精準，錯誤的“證明＂你就相信世界上就只有正三角形

一類，希望能夠重新打開你對數學的認知。