第二章 函数与基本初等函数

第二章 函数与基本初等函数

第二章 函数与基本初等函数

高考总复习 数学

第二章 函数与基本初等函数

1．奇函数、偶函数定义

(1) 如 果 对 于 函 数 f(x) 的 定 义 域 内 任 意 一 个 x ， 都 有 ；即互为相反数的两个自变量值对应的函数 值互为相反数，那么函数f(x)就叫做奇函数．

(2) 如 果 对 于 函 数 f(x) 的 定 义 域 内 任 意 一 个 x ， 都 有 ，即互为相反数的两个自变量值对应的函数值 相等．那么函数f(x)就叫做偶函数．

f(－x)＝－f(x)

f(－x)＝f(x)

第二章 函数与基本初等函数

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2．奇函数和偶函数的性质

(1)奇函数图象关于 对称；偶函数图象关于 对称．

(2)偶函数在区间(a，b)上递增(减)，则在(－b，－a)上 ， 奇函数在区间(a，b)与(－b，－a)上的增减性 ．

原点

递减(增)

相同

第二章 函数与基本初等函数

3．奇偶函数的判断

(1)定义是判断函数奇偶性的主要依据，就是确定 f(x)与 f(－x)的关系．

(2)为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行 化简，或利用定义的等价式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0

⇔ f－x

fx ＝±1(f(x)≠0)．

第二章 函数与基本初等函数

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4．周期函数定义

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域

内的每一个值时，都有 ，那么函数f(x)就叫做

周期函数，T为函数的一个周期．

f(x＋T)＝f(x)

第二章 函数与基本初等函数

1．(2010·广东)若函数f(x)＝3

＋3

与g(x)＝3

－3

的定义 域均为R，则( )

A．f(x)与g(x)均为偶函数

B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C．f(x)与g(x)均为奇函数

D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 [解析] f(－x)＝3

＋3

＝f(x)，

g(－x)＝3

－3

＝－g(x)．

[答案] B

第二章 函数与基本初等函数

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[答案] C

2．函数 f(x)＝ 1

x －x 的图象关于( )

A．y 轴对称 B．直线 y＝－x 对称

C．坐标原点对称 D．直线 y＝x 对称

第二章 函数与基本初等函数

3．(2010·山东)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，

f(x)＝2

＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( ) A．3 B．1

C．－1 D．－3

[解析] 因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，可 求得b＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(2

＋2＋b)＝－3.故选D.

[答案] D

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第二章 函数与基本初等函数

(1)f(x)＝lgx

＋lg 1 x

； (2)f(x)＝(x－1)· 1＋x

1－x ； (3)f(x)＝lg 1－x

1＋x ； (4)f(x)＝





x

＋x

－x

＋x

；

(5)f(x)＝x

－|x－a|＋1.

第二章 函数与基本初等函数

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[解] (1)函数的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点 对称，且 f(x)＝lg(x²·1

x²)＝0.(x≠0)．∴f(x)既是奇函数又是偶 函数．

(2)由1＋x

1－x≥0 得定义域为[－1,1)，关于原点不对称，故 f(x)为非奇非偶函数．

第二章 函数与基本初等函数

(3)由1－x

1＋x＞0 得－1＜x＜1，故 f(x)的定义域为(－1,1)．

∵f(－x)＝lg1＋x

1－x＝lg(1－x

1＋x)^－1＝－lg1－x

1＋x＝－f(x)．

所以 f(x)为奇函数．

第二章 函数与基本初等函数

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(4)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)

－x

＝－(x

＋x)＝－f(x)；

当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)

－x＝x

－x

＝－(－x

＋x)＝－f(x)．

∴ 对 任 意 x∈( － ∞ ， 0)∪(0 ， ＋ ∞ ) 都 有 f( － x) ＝ －

f(x)．∴f(x)为奇函数．

第二章 函数与基本初等函数 (5)函数的定义域为R.

当a＝0时，f(x)＝x

－|x|＋1.有f(－x)＝f(x)，

∴f(x)是偶函数．

当a≠0时，f(a)＝a

＋1，f(－a)＝a

－2|a|＋1.

f(a)≠f(－a)．

且f(a)＋f(－a)＝2(a

－|a|＋1)

＝2(|a|－1

2)²＋3

2≠0.

∴f(x)为非奇非偶函数．

第二章 函数与基本初等函数

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[点评与警示] 判断函数的奇偶性，应首先求出函数的定

义域，并视定义域是否关于原点对称．只有定义域关于原点对

称，才有验证是否有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)的必要．

第二章 函数与基本初等函数

已知f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，且在区间[0,1)

上是增函数，若有不等式f(a－2)－f(3－a)<0成立．求实数a的取

值范围．

第二章 函数与基本初等函数

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[解] 因为 f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，由 f(a－2)－f(3－a)<0 得 f(|a－2|)<f(|3－a|)．

又因为 f(x)在[0,1)上递增，从而有





－1<a－2<1

－1<3－a<1

|a－2|<|3－a|

⇒







1<a<3 2<a<4 a< 5

2

⇒2<a< 5

2 ，于是 a 的取值范

围是(2， 5

2 )．

第二章 函数与基本初等函数

[点评与警示] 本例题的求解过程中，既要利用函数的奇 偶性，又要利用函数的单调性．求解此类问题的一般思路有两 条：一是就a－2与3－a的符号进行分类讨论(过程繁琐)；二是 利用偶函数的性质f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．而得到

“|x

|<|x

|⇔f(x

)<f(x

)”．

第二章 函数与基本初等函数

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已知f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，且在区间(－1,0]上是 减函数，若有不等式f(a－2)－f(a－3)＜0成立，求实数a的取值 范围．

上是增函数 f(|a－2|)＜f(|a－3|)



－1＜a－2＜1

－1＜a－3＜1

|a－2|＜|3－a|

⇒





1＜a＜3 2＜a＜4 a＜5

2

⇒2＜a＜5 2

∴a 的取值范围(2，5 2)

第二章 函数与基本初等函数

函数 f(x)＝ ax＋b

1＋x

是定义在(－1,1)上的奇函数，且 f( 1 2 )

＝ 2 5 .

(1)确定函数 f(x)的解析式；

(2)用定义证明 f(x)在(－1,1)上是增函数；

(3)解不等式 f(t－1)＋f(t)<0.

第二章 函数与基本初等函数

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[分析] (1)通过建立方程，求出a、b的值．确定f(x)的解析 式．(3)利用函数的单调性脱掉“f”．

[解] (1)依题意，得



f0＝0 f1

2＝2 5

即







 b

1＋0²＝0 a

2＋b 1＋1 4

＝2 5

⇒

a＝1 b＝0

∴f(x)＝ x

1＋x².

第二章 函数与基本初等函数

(2) 任 取 － 1<x₁<x₂<1 ， f(x₁) － f(x₂) ＝ x₁

1＋x₁²－ x₂

1＋x₂²＝

x₁－x₂1－x₁x₂

1＋x₁²1＋x₂²

∵－1<x₁<x₂<1，∴x₁－x₂<0

1＋x₁²>0,1＋x₂²>0.又∵－1<x₁·x₂<1，

∴1－x₁x₂>0.∴f(x₁)－f(x₂)<0.

∴f(x)在(－1,1)上是增函数．

(3)f(t－1)<－f(t)＝f(－t)，∵f(x)在(－1,1)上是增函数

∴－1<t－1<－t<1，解得 0<t<1 2.

第二章 函数与基本初等函数

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[点评与警示] (1)如果一个奇函数在x＝0处有定义．那么 f(0)＝0.

(2)解不等式f(t－1)＋f(t)<0时，注意函数定义域对t的限制．

第二章 函数与基本初等函数

函数 f(x)＝ ax＋b

1＋x

是定义在(－1,1)上的奇函数，且 f(－ 1 2 )

＝－ 2 5

(1)确定函数 f(x)的解析式；

(2)用定义证明 f(x)在(－1,1)上是增函数；

(3)解不等式 f(1－t)＋f(－t)＜0.

[答案] (1)f(x)＝ x

1＋x

(2)略 (3) 1

2 ＜t＜1

第二章 函数与基本初等函数

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已知奇函数f(x)定义在R上，其图象关于直线x＝1对称，

当x∈[0,1]时，f(x)＝2

－1.

(1)当x∈[－1,0)时，求f(x)的表达式；

(2)证明f(x)是周期函数，并求出它的一个周期；

(3)当x∈[4,5]时，求f(x)．

第二章 函数与基本初等函数

[解] (1)当－1≤x<0时．－x∈(0,1]，而f(－x)＝2

－1，且 f(x)是奇函数．所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)＝－2

＋1.

(2)因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)＝

f(2－x)，用－x替换x，就有f(－x)＝f(2＋x)．由f(x)是奇函数 得f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，进而f(x＋4)＝－f(x＋2)

＝f(x)．可知f(x)是周期函数，4是它的一个周期．

(3)当4≤x≤5时，0≤x－4≤1.所以f(x－4)＝2

－1.

而f(x－4)＝f(x)，所以f(x)＝2

－1(x∈[4,5])为所求．

第二章 函数与基本初等函数

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[点评与警示] (1)已知奇函数f(x)的图象关于x＝a对称，则 f(x)是周期函数，且4a为其中的一个周期；若偶函数f(x)的图象 关于直线x＝a对称，则2a为其中的一个周期．

(2)注意分清函数图象的几种关系：①若f(x)满足f(a＋x)＝

f(a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．

②若f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)的周期为2a.

③函数y＝f(x－a)与函数y＝f(a－x)图象关于直线x＝a对

称．

第二章 函数与基本初等函数

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1．判断函数奇偶性就是看f(－x)与f(x)是否有相等关系或互 为相反数的关系．

2．函数的奇偶性是对整个定义域而言的，因此讨论函数 奇偶性首先要看其定义域．“函数的定义域关于原点对称”是 它具有奇偶性的前提．

3．要注意从数和形两个角度理解函数的奇偶性．要充分

利用f(x)与f(－x)之间的转化关系和图象的对称性解决有关问

题．

第二章 函数与基本初等函数

4．解题中要注意以下性质的灵活运用．

(1)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．

(2)若奇函数 f(x)的定义域包含 x＝0.则 f(0)＝0.

5．f(x)为周期函数，T 为 f(x)的一个周期，则 kT(k∈Z，

k≠0)也是 f(x)的周期．

6．容易得到①f(x＋c)＝－f(x)，则 f(x＋2c)＝f(x)，②f(x

＋c)＝± 1

fx，则 f(x＋2c)＝f(x)，即 2c 是 f(x)的周期．

第二章 函数与基本初等函数

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