4-1 拋物線
數學家很早就開始研究二次曲線﹐在天文學﹑地球科學中也有不少的應用。例如太陽系 中的彗星﹐它們的軌道多數是拋物線﹐少數是橢圓或雙曲線﹐而具有橢圓軌道的彗星才會週 期性地於太陽附近出現﹐例如著名的哈雷彗星﹐它的平均週期為 76 年﹐下次重返太陽系內 部的時間是 2061 年。在本章中我們將介紹這些曲線的幾何定義﹐並討論它們的基本性質。
※拋物線的定義
設平面上有一直線 L 與直線 L 外一點 F。則平面上“到直線 L 的距離等於到點 F 的距離”
的所有點所形成的圖形﹐稱為拋物線。其中直線 L 稱為此拋物線的準線﹐點 F 稱為此拋物 線的焦點。
※拋物線的各要素
對稱軸：過焦點 F 與準線 L 垂直的直線 VF 稱為此拋物線的對稱軸﹐簡稱為軸 頂點：軸與拋物線的交點 V 稱為頂點 ( V 為 ¯¯ 的中點 )
焦距：頂點 V 與焦點 F 的距離 ¯¯ 稱為焦距。
例題1--- 如圖 5 所示﹐若 表示以 F 為焦點﹐L 為準線的拋物線﹐A﹐B﹐C﹐D 四點在拋物線 上﹐
試比較 ¯¯﹐¯¯﹐¯¯﹐¯¯ 的大小。
---
解 由拋物線的定義得知﹐¯¯﹐¯¯﹐¯¯﹐¯¯ 的大小
相當於 A﹐B﹐C﹐D 四點到直線 L 的距離﹐¯¯ ＞¯¯ ＞¯¯ ＞¯¯。
隨堂練習--- 如圖 7 所示﹐已知一拋物線 通過 P 點﹐且其焦點為 F﹐若直線 L1﹐L2﹐L3 當中﹐有一條是 拋物線 的準線﹐試判斷：
(1) 哪一條直線是拋物線 的準線。
(2) A﹐B 兩點是否落在拋物線 的圖形上。
---
※拋物線的標準式：方程式 y2＝4cx。
(1)當 c>0 時﹐其圖形開口向右 (2)當 c<0 時﹐其圖形開口向左。
※拋物線的標準式：方程式 x2＝4cy
(1) 當 c>0 時﹐其圖形開口向上 (2) 當 c<0 時﹐其圖形開口向下
例題2--- 分別由拋物線的定義與標準式﹐求出滿足下列條件的拋物線方程式：
(1) 焦點為 F（3，0）﹐準線為 L：x＝－3。
(2) 焦點為 F（0，－1）﹐準線為 L：y＝1。
--- 解 (1) 依條件畫圖可知此拋物線開口向右﹐
如圖 10 所示﹐頂點為原點 O﹐ 對稱軸為 x 軸﹐c＝3
代入標準式 y2＝4cx﹐ 得拋物線方程式y2＝12x。
或是由拋物線的定義得 ＝｜x＋3｜﹐
亦可導出 y2＝12x。
(2) 依條件畫圖可知此拋物線開口向下﹐
如圖 11 所示﹐頂點為原點 O﹐ 對稱軸為 y 軸﹐c＝－1。
代入標準式 x2＝4cy﹐得拋物線方程式 x2＝－4y。
或是由拋物線的定義得 ＝｜y－1｜﹐
亦可導出 x2＝－4y。
隨堂練習--- 分別由拋物線的定義與標準式﹐求出滿足下列條件的拋物線方程式：
(1) 焦點為 F（－1，0）﹐準線為 L：x＝1。
(2) 焦點為 F（0，2）﹐準線為 L：y＝－2。
---
例題3---
求拋物線 y2＝－8x 的頂點坐標﹑焦點坐標﹑準線方程式及對稱軸方程式。
--- 拋物線 y2＝－8x 的方程式形如 y2＝4cx﹐因此
4c＝－8﹐得 c＝－2﹐所以圖形開口向左。
其頂點為原點 O（0，0）﹐
焦點 F 的坐標為（c，0）＝（－2，0）﹐
準線 L：x＝－c﹐即 x＝2。
對稱軸為 x 軸﹐如圖 12 所示。
隨堂練習---
求拋物線 x2＝－2y 的頂點坐標﹑焦點坐標﹑準線方程式及對稱軸方程式。
---
※拋物線的平移
(1) 將拋物線 y2＝4cx 平移（h，k）後﹐可得拋物線（y－k）2＝4c（x－h）。
(2) 將拋物線 x2＝4cy 平移（h，k）後﹐可得拋物線（x－h）2＝4c（y－k）。
例題4---
(1) 已知一拋物線的準線是 L：x＝－3﹐焦點為 F（－1，2）﹐試求此拋物線的方程式。
(2) 已知一拋物線的準線是 L：y＝1﹐焦點為 F（2，－3）﹐試求此拋物線的方程式。
---
隨堂練習--- 求滿足下列各條件的拋物線方程式：
(1) 準線為 L：x＝3﹐焦點為 F（1，2）。
(2) 準線為 L：y＝－1﹐焦點為 F（2，3）。
---
例題5--- 已知一拋物線的頂點為 V（2，3）﹐其焦點為 F（2，4）﹐試求此拋物線的方程式。
---
（x－h）2＝4c（y－k）﹐可得此拋物線方程式為
（x－2）2＝4（y－3）﹐
即為x2－4x－4y＋16＝0。
隨堂練習--- 已知一拋物線的頂點為 V（3，2）﹐其焦點為 F（－1，2）﹐試求此拋物線的方程式。
---
例題6--- 已知一拋物線的方程式為 y2＋8x－4y－4＝0﹐試求其頂點坐標﹑對稱軸方程式﹑焦點坐標及 準線方程式。
--- 將 y2＋8x－4y－4＝0 配方可得（y－2）2＝－8x＋8﹐
整理得（y－2）2＝－8（x－1）﹐即（y－2）2＝4 ‧（－2）‧（x－1）﹐
此方程式形如（y－k）2＝4c（x－h）﹐
得頂點（h，k）＝（1，2）﹐且 c＝－2﹐ 所以其圖形開口向左﹐焦點在頂點的左方﹐
頂點在準線的左方﹐如圖 21 所示﹐因為對稱軸通過頂點（1，2）且與 x 軸平行﹐所以 對稱軸為 y＝2﹐由焦點在對稱軸 y＝2 上且與頂點的距離為｜c｜＝｜－2｜＝2﹐
可得焦點為（1－2，2）＝（－1，2）﹐
而準線與對稱軸垂直﹐又頂點（1，2）在準線的左方且距離為｜c｜＝2﹐所以準線為 x
＝3。
隨堂練習---
已知一拋物線的方程式為 x2－4x＋8y＝0﹐試求其頂點坐標﹑對稱軸方程式﹑焦點坐標及準
線方程式。
---
因為對稱軸與 x 軸平行或重合的拋物線方程式為（y－k）2＝4c（x－h）﹐
展開後化簡形如x＝Ay2＋By＋C。
同理﹐對稱軸與 y 軸平行或重合的拋物線方程式為（x－h）2＝4c（y－k）﹐
展開化簡後必形如y＝Ax2＋Bx＋C。
注意到此式和高一所學的二次函數圖形是一致的。
例題7--- 已知一拋物線的對稱軸平行 x 軸﹐且過（－2，1）﹐（2，－1）﹐（－1，2）三點﹐試求此 拋物線的方程式。
--- 解 由題意可設此拋物線方程式為
x＝Ay2＋By＋C﹐ 將（－2，1）﹐（2，－1）﹐（－1，2）代入得
解之得 A＝1﹐B＝－2﹐C＝－1﹐
故拋物線方程式為
x＝y2－2y－1。
隨堂練習--- 已知一拋物線的對稱軸平行 y 軸﹐且過（1，6）﹐（－1，2）﹐（0，3）三點﹐試求此拋物 線的方程式。
---
例題8--- 已知有一自動灑水器如圖所示﹐其出水口距地面 1 公尺﹐噴出的水柱最高點距地面 2 公尺 高﹐且與灑水器的水平距離為 2 公尺﹐試求灑水器噴出的水柱落在地面上後﹐離灑水器的最 遠距離為多少公尺？
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將圖形坐標化﹐以水柱的最高點為原點 O﹐
方程式 可設為 x2＝4cy﹐其中 c＜0﹐。
因為通過點（－2，－1）﹐代入得（－2）2＝4‧c‧（－1）﹐
所以 c＝－1﹐因此拋物線方程式為 x2＝－4y﹐ 將 y＝－2 代入上式得 x＝±2 ﹐
因此 ¯＝2＋2﹐
所以水柱的最遠距離為 2＋2 公尺。
隨堂練習--- 如圖﹐有一座拋物線形的拱橋﹐當水面在 L 線時﹐拱頂離水面 4 公尺﹐此時水面寬 8 公尺﹐
試問：當水面上升 1 公尺後﹐水面寬為多少公尺？
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習 題 4-1 一﹑基本題
1. 下圖中以 F（3，2）為焦點﹐L：x＝－1 為準線的拋物線 中﹐
(1) 會通過 A﹐B﹐C﹐D﹐E 中哪一點？
(2) 若拋物線 與直線 x＝a 有兩個交點﹐求 a 的範圍。
(3) 拋物線 分別與直線 CD﹐直線 EG 有幾個交點？
2. 試求拋物線 x2＋2x＋4y－7＝0 的頂點坐標﹑焦點坐標﹑準線方程式及對稱軸方程式。
3. 求滿足下列條件的拋物線方程式：
(1) 焦點為（－3，0）﹐準線為 x＝3。
(2) 焦點為（2，－1）﹐準線為 y＝－5。
(3) 頂點為（－2，－2）﹐對稱軸平行 x 軸﹐且過點（2，－6）。
(4) 頂點為（3，4）﹐焦點為（3，2）。
4. 已知一拋物線其對稱軸平行 x 軸﹐並且通過（－3，－1）﹐（－7，3）﹐（－13，4）三 點﹐試求此拋物線的方程式。
5. 試在拋物線 y2＝12x 上﹐找一點 P 使得 P 點與焦點的距離等於 15﹐試求 P 點坐標。
二﹑進階題
6. 已知拋物線方程式 x＝ay2＋by＋c﹐ 試判斷下列各選項的正負號。
(1) a。
(2) b。
(3) c。
(4) b2－4ac。
(5) 4a＋2b＋c。
7. 一拱門寬 8 公尺﹐拱門成拋物線形狀﹐兩端皆距地平面 3 公尺高﹐中央離地平面 8 公尺 高﹐現以最高點為原點﹐公尺為單位﹐試求此拱門所成的拋物線方程式。
8. 設有一動圓 C' 與圓 C：x2＋y2－8x＋12＝0 及直線 L：x＋2＝0 均相切﹐求此動圓 C' 的圓 心所成的圖形方程式。
三﹑挑戰題
9. 已知拋物線 ：x2＝4y 及坐標平面上一點 A（3，5）﹐其中 F 為 之焦點。若 P 為 上任 意點﹐試求 △AFP 周長之最小值。
4-2 橢圓
※橢圓的定義
設F1與F2為平面上相異兩定點﹐若定值2a 滿足 2a＞¯﹐則在平面上滿足
¯＋¯＝2a
的所有點P 所形成的圖形稱為橢圓﹐其中 F1與F2稱為此橢圓的兩個焦點。
例題1--- 下圖 是以 F1﹐F2 為圓心的兩組同心圓﹐各組四個同心圓的半徑分別為 1 2 3 4﹐ ﹐ ﹐ ﹐且 ¯＝
4﹐如果有一橢圓 以 F1﹐F2 為焦點﹐且此橢圓上的點到 F1 與 F2 的距離和為 5﹐請利用同
心圓的交點找出橢圓 上的點﹐並利用平滑的曲線連接起來。
---
隨堂練習--- 下圖是以 F1﹐F2 為圓心的兩組同心圓﹐各組六個同心圓的半徑分別為 1 2 3 4 5 6﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹐ 且 ¯＝6﹐如果有一橢圓 以 F1﹐F2 為焦點﹐且通過 P 點﹐試問 A﹐B﹐C﹐D﹐E 這五點﹐
有哪些點也在此橢圓上。
---
※橢圓的各要素
中心：兩焦點連線段 F1F2 的中點 O 稱為中心。
長軸：通過兩焦點的直線與橢圓有兩個交點 A﹐B 兩點﹐此兩頂點的連線段 AB 稱為長軸。
短軸：過中心點 O 且與長軸垂直的直線與橢圓有兩個交點 C﹐D 兩點﹐此兩頂點的連線段 CD 稱為橢圓的短軸。
橢圓的頂點：A﹐B﹐C﹐D 四點稱為橢圓的頂點。
橢圓的長軸 ¯¯ 長為 2a 短軸 ¯ 長為 2b
兩焦點間的距離為 2c﹐則 a2＝b2＋c2。
例題2---
已知一橢圓的長軸長為 10﹐兩焦點間的距離為 8﹐試求此橢圓的短軸長。
--- 解 由題意知 2a＝10 2﹐ c＝8﹐
所以 a＝5﹐c＝4﹐
因此 b＝＝＝3﹐ 故短軸長 2b＝6。
隨堂練習---
已知一橢圓的長軸長為 8﹐短軸長為 6﹐試求此橢圓兩焦點間的距離。
---
橢圓的標準式
※橢圓的標準式
方程式 ＋＝1 與 ＋＝1 統稱為橢圓的標準式。
例題3---
(1) 已知一橢圓的兩焦點為（2，0）﹐（－2，0）﹐長軸長為 6﹐試求此橢圓的方程式。
(2) 已知一橢圓的兩焦點為（0，3）﹐（0，－3）﹐短軸長為 8﹐試求此橢圓的方程式。
--- (1) 因為兩焦點為（2，0）﹐（－2，0）﹐
所以中心為原點﹐長軸在 x 軸上﹐且 c＝2﹐
又長軸長 2a＝6﹐所以 a＝3﹐而 b2＝a2－c2＝9－4＝5﹐ 代入標準式 ＋＝1﹐得橢圓的方程式＋＝1。
(2) 因為兩焦點為（0，3）﹐（0，－3）﹐
所以中心為原點﹐長軸在 y 軸上﹐且 c＝3﹐
又短軸長 2b＝8﹐所以 b＝4﹐而 a2＝b2＋c2＝16＋9＝25﹐ 代入標準式 ＋＝1﹐得橢圓的方程式＋＝1。
隨堂練習---
(1) 已知一橢圓的兩焦點為（4，0）﹐（－4，0）﹐短軸長為 6﹐試求此橢圓的方程式。
(2) 已知一橢圓的兩焦點為（0，3）﹐（0，－3）﹐長軸長為 10﹐試求此橢圓的方程式。
---
例題4--- (1) 已知一橢圓的方程式為 9x2＋16y2＝144﹐試求其長軸長﹑短軸長﹑焦點坐標及頂點坐標。
(2) 已知一橢圓的方程式為 9x2＋4y2＝36﹐試求其長軸長﹑短軸長﹑焦點坐標及頂點坐標。
--- (1) 將方程式 9x2＋16y2＝144﹐改寫成 ＋＝1﹐
此為中心在原點的橢圓﹐焦點在 x 軸上﹐
且 a＝4﹐b＝3﹐c＝＝。
所以長軸長 2a＝8﹐短軸長 2b＝6﹐
焦點為（，0）﹐（－，0）﹐
頂點為長軸的兩端點（4，0）﹐（－4，0）﹐
及短軸的兩端點（0，3）﹐（0，－3）
(2) 將方程式 9x2＋4y2＝36﹐改寫成 ＋＝1﹐
此為中心在原點的橢圓﹐焦點在 y 軸上﹐
且 a＝3﹐b＝2﹐c＝＝ ﹐
所以長軸長 2a＝6﹐短軸長 2b＝4﹐
焦點為（0， ）﹐（0，－ ）﹐
頂點為長軸的兩端點（0，3）﹐（0，－3）﹐
及短軸的兩端點（2，0）﹐（－2，0）
隨堂練習--- (1) 試求橢圓 ＋＝1 的長軸長﹑短軸長﹑焦點坐標及頂點坐標。
(2) 試求橢圓 ＋＝1 的長軸長﹑短軸長﹑焦點坐標及頂點坐標。
---
※橢圓的平移 設a＞b＞0：
(1) 將橢圓 ＋＝1 平移（h，k）後﹐可得橢圓方程式為＋＝1。
(2) 將橢圓 ＋＝1 平移（h，k）後﹐可得橢圓方程式為＋＝1。
例題5---
已知一橢圓的兩焦點為（3，2）﹐（－1，2）﹐長軸長為 2 ﹐試求此橢圓的方程式。
--- 因為兩焦點為（3，2）﹐（－1，2）﹐
所以中心（h，k）＝（1，2）﹐長軸平行 x 軸﹐2c＝4﹐c＝2﹐
如圖 36 所示﹐且此橢圓方程式形如
＋＝1﹐ 因為長軸長 2a＝2 ﹐a＝ ﹐ 而 b＝＝ ﹐
代入方程式 ＋＝1﹐
得此橢圓方程式為 ＋＝1。
隨堂練習--- 已知一橢圓的兩頂點為（2，1）﹐（2，9）﹐一焦點為（2，8）﹐試求此橢圓的方程式。
---
例題6--- 已知將橢圓 ＋＝1 的圖形沿 x 軸方向平移 3 單位﹐再沿 y 軸方向平移 4 單位﹐可以得到橢圓
的圖形﹐試求橢圓 的方程式。
--- 依題意將橢圓 ＋＝1 的中心平移（3，4）﹐得
＋＝1﹐ 因此﹐橢圓 的方程式為 ＋＝1。
隨堂練習--- 將橢圓 ＋＝1 平移（－1，2）所得的橢圓方程式為何？
---
※橢圓的伸縮
(1) 將橢圓 ＋＝1 的圖形以原點為中心伸縮 t 倍（t＞0）﹐可得 到橢圓＋＝1 的圖形。
(2) 將橢圓 ＋＝1 的圖形以原點為中心伸縮 t 倍（t＞0）﹐可得 到橢圓＋＝1 的圖形。
同理﹐若將橢圓 ＋＝1 上每一點坐標由（x0，y0）變成（sx0，ty0）﹐即沿 x 方向伸縮 s 倍﹐
沿 y 方向伸縮 t 倍（s，t＞0）﹐則可得橢圓＋＝1。
例題7--- 已知橢圓 ：＋＝1﹐將圖形 以原點為中心伸縮 3 倍﹐得到一個新橢圓 ' 的圖形﹐試求橢 圓 ' 的方程式。
--- 解 如圖 44 所示﹐將橢圓 ：＋＝1
以原點為中心伸縮 3 倍﹐可得 橢圓 '：＋＝1﹐即
＋＝1。
隨堂練習--- 若將橢圓 ：＋＝1 上的每一點沿 x 方向伸縮 2 倍﹐沿 y 方向伸縮 倍﹐試求所得的圖形方程 式。
---
將前面討論的橢圓方程式展開整理後﹐可得到形如
Ax2＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 的形式﹐其中 A＞0﹐C＞0﹐且 A C。
例題 8--- 試描述方程式 2x2＋3y2＋4x＋12y＋8＝0 的圖形。
--- 將方程式 2x2＋3y2＋4x＋12y＋8＝0﹐依 x﹐y 配方﹐
得2（x2＋2x＋1）＋3（y2＋4y＋4）＝－8＋2＋12﹐ 化簡﹐得2（x＋1）2＋3（y＋2）2＝6﹐
即＋＝1﹐
所以方程式的圖形是一個橢圓﹐中心為（－1，－2）﹐長軸長為 2 ﹐短軸長為 2 ﹐亦求 得兩焦點為（0，－2）﹐（－2，－2）﹐
隨堂練習--- 試描述方程式 4x2＋3y2－8x－12y＋4＝0 的圖形。
---
習 題 4-2 一﹑基本題
1. (1) 試求橢圓 ＋＝1 的中心坐標﹑長軸長﹑短軸長﹑焦點坐標及頂點坐標。
(2) 試求橢圓 ＋＝1 的中心坐標﹑長軸長﹑短軸長﹑焦點坐標及頂點坐標。
(3) 試求橢圓 x2＋4y2－6x＋8y＋9＝0 的中心坐標﹑長軸長﹑短軸長﹑焦點坐標及頂點坐標。
2. 關於橢圓 ：＋＝6﹐試求橢圓 的焦點坐標﹑長軸長及中心坐標。
3. 求滿足下列條件的橢圓方程式：
(1) 焦點（－1，1）﹐（7，1）﹐長軸兩頂點（－2，1）﹐（8，1）。
(2) 中心為（1，2）﹐兩焦點距離為 6﹐長軸平行 x 軸﹐且長為 8。
4. (1) 試求橢圓 ：＋＝1 以原點為中心伸縮 3 倍所得的圖形方程式。
(2) 承(1)﹐將橢圓 上每一點的坐標沿 x 方向伸縮 4 倍﹐沿 y 方向伸縮 3 倍﹐試求所得的 圖形方程式。這是什麼圖形？
二﹑進階題
5. 試求滿足下列條件的橢圓方程式：
(1) 長軸在直線 x＝5 上﹐短軸在直線 y＝1 上﹐而短軸長為長軸長的 倍﹐且中心到焦點的 距離為 12。
(2) 兩焦點為（2，－1）﹐（2，3）﹐且過點（5，3）。
6. 已知一橢圓的兩焦點為 F1（0，3）﹐F2（0，－3）﹐弦 AB 過點 F1﹐△ABF2 的周長為 20﹐試求此橢圓的方程式。
7. 如右圖﹐圓 C 的直徑和橢圓 的短軸都在同一直線上﹐各線段長度如圖示﹐C 為圓心﹐A
為橢圓的一個焦點﹐B﹐D 為圓與橢圓的兩交點﹐試求 ABCD 的周長。
8. 若方程式 ＋＝1 為橢圓﹐試求 a 的最大可能範圍。
9. 如右圖﹐已知將橢圓 ：＋y2＝1 圖形上的每一點的坐標
伸縮 t 倍﹐得一新橢圓 '。若橢圓 ' 上一點 A 到橢圓 ' 上兩焦點 F1﹐F2 所形成△AF1F2
的周長為 3＋3﹐試求新橢圓 '' 的方程式。
三﹑挑戰題
10. 如下圖﹐牆角為直角﹐¯¯ 代表一把梯子﹐A 點位於牆上﹐B 點位於地面上自由移動。今在
¯¯ 上﹐滿足 ¯¯：¯¯＝2：1 的 P 點處橫放一把油漆刷。當 A﹑B 兩點滑動時（梯長固 定）﹐油漆刷在另一牆面上所畫出的圖形為何？
4-3 雙曲線
※雙曲線的定義
設 F1 與 F2 為平面上相異兩定點﹐若定值 2a 滿足 0＜2a＜¯﹐則在平面上滿足
│¯－¯│＝2a
的所有點 P 所形成的圖形稱為雙曲線﹐其中 F1 與 F2 稱為此雙曲線的兩個焦點。
例題1--- 如圖所示﹐ F1﹐F2 為圓心的兩組同心圓﹐各組六個同心圓的半徑分別為
1 2 3 4 5 6﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹐ ﹐且 ¯＝6﹐如果有一雙曲線 以 F1﹐F2 為焦點﹐且此雙曲線 上的點到 F1 與 F2 的距離差為 2﹐試利用同心圓的交點找出 上的點﹐並利用平滑的曲線連接起來。
---
隨堂練習--- 承例題 1﹐若雙曲線 上的點到 F1 與 F2的距離差為 3﹐試利用下圖同心圓的交點找出雙曲
線 上的點﹐並利用平滑的曲線連接起來。
---
※雙曲線的各要素
中心：兩焦點連線段 F1F2 的中點 O 稱為中心﹐
焦距：¯＝2c。
頂點：通過兩焦點的直線與雙曲線有兩個交點 A﹐B 稱為雙曲線的頂點 貫軸：此兩頂點的連線段 AB 稱為貫軸。
雙曲線的定義得： │¯¯－¯¯│＝2a
共軛軸：線段 CD 稱為雙曲線的共軛軸。¯¯＝2b 其中 b＝（即滿足 c2＝a2＋b2）
例題2---
已知一雙曲線的貫軸長為 8﹐兩焦點間的距離為 10﹐試求此雙曲線的共軛軸長。
--- 解 由題意知 2a＝8 2﹐ c＝10﹐所以 a＝4﹐c＝5﹐因此
b＝＝＝3﹐
故共軛軸長 2b＝6。
隨堂練習---
已知一雙曲線的貫軸長為 6﹐共軛軸長為 8﹐試求此雙曲線兩焦點間的距離。
---
※雙曲線的標準式
(一) 中心在原點﹐焦點在 x 軸上的雙曲線：－＝1 (二) 中心在原點﹐焦點在 y 軸上的雙曲線：－＝1
a、b 差別說明
雙曲線的“ a ”永遠代表貫軸長之半﹐“ b ”永遠代表共軛軸長之半，a、b 無大小關係。
橢圓中的 a﹐b 分別代表長﹑短軸長之半﹐必有 a＞b。
例題3---
(1) 已知一雙曲線的兩焦點為（3，0）﹐（－3，0）﹐貫軸長為 4﹐試求此雙曲線的方程式。
(2) 已知一雙曲線的兩焦點為（0，4）﹐（0，－4）﹐共軛軸長為 4﹐試求此雙曲線的方程式
---
隨堂練習---
(1) 已知一雙曲線的兩焦點為（4，0）﹐（－4，0）﹐共軛軸長為 6﹐試求此雙曲線的方程式
(2) 已知一雙曲線的兩焦點為（0，5）﹐（0，－5）﹐貫軸長為 8﹐試求此雙曲線的方程式。
---
例題4--- (1) 已知一雙曲線的方程式為 9x2－16y2＝144﹐試求其貫軸長﹑共軛軸長﹑中心﹑焦點及頂點
坐標。
(2) 已知一雙曲線的方程式為 9x2－4y2＝－36﹐試求其貫軸長﹑共軛軸長﹑中心﹑焦點及頂點 坐標。
---
隨堂練習--- (1) 求雙曲線 －＝1 的貫軸長﹑共軛軸長﹑中心﹑焦點及頂點坐標。
(2) 求雙曲線－＋＝1 的貫軸長﹑共軛軸長﹑中心﹑焦點及頂點坐標。
---
※雙曲線的漸近線
當點 P 沿著雙曲線向遠處移動時﹐我們考慮點 P 到某一條直線 L 的距離的變化情形﹐如果 此距離愈來愈接近 0﹐我們就稱這條直線 L 是雙曲線的漸近線﹐如圖所示。
※雙曲線的漸近線
(1) 雙曲線 －＝1 的兩條漸近線分別是 bx－ay＝0 和 bx＋ay＝0。
(2) 雙曲線－＋＝1 的兩條漸近線分別是 ax－by＝0 和 ax＋by＝0。
(3) 漸近線作圖：以原點為中心﹐貫軸長 2a 和共軛軸長 2b 張出的矩形對角線 L1：bx－ay＝0 和 L2：bx＋ay＝0
(4) 雙曲線上一點 P 到兩條漸近線的距離乘積是一個常數 說明：
設 P（x0，y0）是雙曲線 －＝1 上一點﹐則得 －＝1﹐即 b2x02－a2y02＝a2b2。 考慮兩條直線：L1：bx－ay＝0﹐
L2：bx＋ay＝0。P（x0，y0）到直線 L1 與直線 L2 兩個距離的乘積﹐由上式可得
‧＝＝＝
例題5--- 試求雙曲線 －＝1 的兩條漸近線方程式。
---
隨堂練習--- 試求雙曲線－＋＝1 的兩條漸近線方程式。
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※共軛雙曲線
有共同中心的兩雙曲線﹐若其中一個雙曲線的貫軸及共軛軸分別為另一個雙曲線的共軛軸 及貫軸﹐則此兩雙曲線互稱為共軛雙曲線。例如雙曲線 －＝1 與－＋＝1 就是互為共軛雙曲 線﹐它們有相同的漸近線。
隨堂練習--- 試求雙曲線 －＝1 的共軛雙曲線。
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※等軸雙曲線
如果雙曲線的貫軸與共軛軸的長度相等﹐我們稱之為等軸雙曲線。
隨堂練習--- 下面四個雙曲線中﹐何者是等軸雙曲線？
(A) x2－y2＝1 (B) 4x2－3y2＝1 (C)－5x2＋5y2＝15 (D)－3x2＋3y2＝－12
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雙曲線的平移
(1) 將雙曲線－＝1 平移（h，k）後﹐可得方程式為－＝1。
(2) 將雙曲線 －＋＝1 平移（h，k）後﹐可得方程式為－＋＝1。
例題 6---
已知一雙曲線的兩焦點為（－4，2）﹐（2，2）﹐貫軸長為 4﹐試求此雙曲線的方程式。
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隨堂練習---
已知一雙曲線的兩焦點為（1，7）﹐（1，－3）﹐貫軸長為 8﹐試求此雙曲線的方程式。
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※雙曲線的伸縮
(1)將雙曲線－＝1 的圖形以原點為中心伸縮 t 倍（t＞0）﹐
可得到雙曲線 －＝1 的圖形。
(2) 將雙曲線－＝1 的圖形以原點為中心伸縮 t 倍（t＞0）﹐
可得到雙曲線－＝1 的圖形。
(3) 同理﹐若將雙曲線上每一坐標由（x0，y0）變成（sx0，ty0）﹐即沿 x 方向伸縮 s 倍﹐沿 y 方向伸縮 t 倍（s﹐t＞0）﹐則上述兩雙曲線分別會伸縮成
－＝1 和－＝1。
例題7--- 已知雙曲線 ：－＝1﹐將圖形 以原點為中心伸縮 3 倍﹐得到一個新雙曲線 ' 的圖形﹐試 求雙曲線 ' 的方程式﹐並求其漸近線方程式。
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隨堂練習--- 若雙曲線 與雙曲線 '：－＝1 有相同的漸近線﹐且通過點（15，6）﹐試求 的方程式。
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例題8--- 已知雙曲線 的兩漸近線方程式為 3x－4y＋2＝0 與 3x＋4y－14＝0﹐且 雙曲線 通過點
（6，2）﹐試求雙曲線 的方程式。
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隨堂練習--- 已知雙曲線 的兩漸近線方程式為 4x－3y－1＝0 與 4x＋3y－7＝0﹐且 雙曲線 通過點
（4，1）﹐試求雙曲線 的方程式。
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例題
9--- 試描述方程式 4x2－9y2－24x－18y－9＝0 的圖形。
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隨堂練習--- 試描述方程式 －4x2＋5y2－8x－10y－19＝0 的圖形。
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習 題 4-3 一﹑基本題
1. 雙曲線│－│＝2﹐試求：
(1) 焦點。 (2) 中心。 (3) 貫軸長。 (4) 共軛軸長。
2. 雙曲線方程式為 3x2－y2＋6x＋2y－16＝0﹐試求：
(1) 中心。 (2) 貫軸長。 (3) 共軛軸長。(4) 頂點。(5) 焦點。 (6) 漸近線方程式。
3. 在坐標平面上﹐貫軸平行 y 軸﹐中心為（1，1）﹐且通過點（3，5）的雙曲線﹐也會通過 下列哪些點？
(A)（1，1）
(B)（－1，－3）
(C)（3，－3）
(D)（－1，－2）
(E)（3，1）
二﹑進階題
4. 試求滿足下列條件的雙曲線方程式：
(1) 兩焦點為（2，3）﹐（2，－1）﹐且通過點 P（5，－1）。
(2) －＝1 的共軛雙曲線。
(3) 與 ＋＝1 有相同的焦點﹐且貫軸長為 2。
(4) 兩漸近線方程式為 2x－y＝0 2﹐ x＋y＝4﹐且通過點 P（6，10）。
(5) 中心在原點﹐一漸近線方程式為 3x－4y＝0﹐一焦點為（－3，0）。
(6) 將 －＝1 以原點為中心伸縮 2 倍。
5. 已知兩定點 A（2，1）﹐B（0，1）﹐滿足│¯－¯│＝k 的所有點 P 所形成的圖形是一個雙 曲線﹐試求 k 值的最大可能範圍。
6. 在坐標平面上﹐請問下列哪些直線與雙曲線－＋＝1 不相交？
(A) 5y＝2x (B) 5y＝3x (C) 5y＝2x＋5 (D) 5y＝－x＋5 (E) y＝100
7. 一動圓恆過定點 A（5，0）﹐且與圓 Γ：（x＋1）2＋y2=4 相切﹐試求動圓圓心位置所形成 之圖形方程式。
8. 坐標平面上方程式 ＋＝1﹐A﹐B ＞ 0 的圖形與 －＝1 的圖形共有幾個交點？
(A)可能沒有交點
(B)若有交點﹐則必為 4 個
(C)若 A＞B﹐且 B＝9 時﹐則沒有交點 (D)若 A＞B﹐且 B16 時﹐有 4 個交點
三﹑挑戰題
9. 在一無人島 A 上及陸地 B 上架設無線電信號發射臺﹐附近海上的船隻可利用與 A﹐B 兩發
射臺所傳送無線電信號到達的時間差﹐來測量其與此兩發射臺的距離差。已知 A﹐B 兩發
射臺的距離為 40 浬﹐
(1) 今有一船以等速直線方向由 A 地出發﹐若干時間後﹐測得與 A﹐B 兩發射臺的距離差 為 20 浬﹐求此時此船與 A 地距離的最小值。
(2) 現有一船與 A 地距離為 d 浬﹐且同樣測出與 A﹐B 兩發射臺的距離差為 20 浬。若此船 可能位置有四個﹐求 d 的最大可能範圍。
