第三十一届“希望杯”全國數學邀請賽

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第三十一届 “希望杯”全國數學邀請賽

高一 第2試試題

2021年4月18日 上午 9: 00至11: 00

未經“希望杯”組委會授權,任何單位和個人均不準翻印、銷售及傳播此試卷。

一、選擇題(每小題5分,共35分.)

1.已知集合A = 19,1

3,1,3,9,27

{ }

2.已知函數f(x)= 1

ln(x +1)-x,則y=f(x)的圖象大致是( )

(A) (B) (C) (D) 3.已知數列{xn}滿足x1=20,xn+1=10xⁿ-3×5ⁿ⁺¹,則x6=( )

(A)5⁷. (B)6⁷. (C)6×5⁷. (D)7×5⁷. 4.已知f(x)是定義在 R 上的週期爲7的奇函數,且f(9)=13,則f(2023)-f(2021)=

( )

(A)10. (B)11. (C)12. (D)13.

5.已知f(x)=3sinx +k

cosx +1^{(k ∈ R+)}的最小值是4,則k 的值是( )

(A)7. (B)8. (C)9. (D)10.

6.在邊長爲a 的立方體的表面及内部可以找到9個點,使得其中任意兩個點的距離至少爲 1,則a 的最小值是( )

(A)2 23 . (B)2 33 . (C)1. (D)3.

7. 已 知 函 數 f(x) 滿 足 2f(x) - 3f(1x) = x + a⁽x ≠ 0,a ∈ R), 則 [a+f(x)]· a+f(1é x)

ëêê ù

ûúú 的最小值是( )

(A)3. (B)2. (C)1. (D)0.

二、填空題(每小題5分,共35分.)

8.已知5^a=3,4^b=2,3^c=4,2^d=5,則(abcd)²⁰²¹= . 9.方程x⁴+3x³-29x²-33x +198=0的整數解有 個. 10.集合 A =

{

|

}

B =

{

|

}

在平面直角坐標係xOy 中,A ∩B 表示的圖形的面積等於133,則a= .

11.Rt△ABC 的斜 邊 長 爲 1,兩 直 角 邊 長 分 别 爲 a,b,則³acosθ + ³bsinθ 的 最 大 值 爲 .

12.等差數列{an}的首項爲3,公差爲5;等差數列{bⁿ}的首項爲5,公差爲8.當aⁿ≤2021時, 數列{an}與{bn}有 個相同的項.

13.三稜柱ABC-A1B1C1的底面邊長和側棱長均爲1,∠BAA1=∠CAA1=60°,則直綫BC1與 AB1所成的角的餘弦值爲 .

14.在平面直角坐標係xOy 中,已知直綫l:mx +y+ 5m -2=0(m ∈ R)與圓x²+y²=25 交於A,B 兩點,過 A,B 分别作l 的垂綫與x 軸交於C,D 兩點,若 AB =8,則CD = .

三、解答題 每題都要寫出推算過程.

15.(本題滿分10分)

已知數列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=aⁿ+2.

(1)求數列{an}的通項;

(2)若bⁿ=(-1)ⁿ⁺¹(2n+1)

anan+1 ,數列{bn}的前n 項和爲Sⁿ,求S2021.

1

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正實數a,b,c 滿足ab+bc+ca=11,求(a²+1)(b²+1)(c²+1)的最小值.

17.(本題滿分10分)

△ABC 是邊長爲2的等邊三角形,頂點A 在x 軸的正半軸上滑動,頂點B 在y 軸的正半軸 上滑動,求 △ABC 的重心G 的軌迹方程.

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