數學科測驗題解答 數學科填充題答案

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國立臺中文華高級中學 100 學年度第一次教師甄選

數學科測驗題解答

數學科填充題答案

一、填充題(第 1 題至第 8 題每題 4 分，第 9 題至第 16 題每題 6 分，共 80 分) 1. 已知函數 f(x) 滿足 f(x + 1) =^1+f(x)_1−f(x) ，若 f(2)=2011，試求 f(f(2)) =_________。

2. 試求 ∫ x₀^{2 2}(1 − x)²³ dx =_________。

3. 將甲乙丙丁戊己庚七人分成 A、B、C、D 四組（每組至少一人），若甲乙丙三人均不同組

，其分法數有_______種。

4. 設 x>0，求方程式 ³√x + 18− √x − 18³ =3 的解_________。

1 ⁻¹⁰⁰⁶

1005 9 20

2 ⁻⁴

25 10 60

3 4200 11 ²

3< 𝑃𝑃 < 1

4 5√13 12 ¹⁶

3

5 ¹⁷

16 13 f(x) = x²+ x +¹₆

6 16 14 71

7 5－ 13 15 ¹

√7

8 4 16 ⁸

√35

測驗說明:

1. 本試題分為兩部分：填充題與計算證明題。

2. 題目共兩頁，請依序於答案卷上作答，不需抄題，填充題不需列出計算過程，計算證明題請 清楚標明題號再作答，並詳列演算過程或理由。

3. 不得自行攜帶計算紙張(試務中心會提供一張計算紙)或使用量尺工具、計算機等電子產品。

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5. 設 x⁴−3x³+5x²+ + = 的四根為 , , , ,x 2 0 a b c d 則 1 1 1 1 2 a+2 b+2 c+2 d =

− − − − _________。

6. 空 間 坐 標 中 ， 設 0≤ +x 2y≤ ， 16 − ≤ −x 3y+ ≤ ， 1z 3 ≤ +x 3y−2z≤ 所 圍 成 的 平 行 7 六 面 體 為Γ， 則 Γ的 體 積 _________。

7. 曲線Γ：3x²＋6xy＋7y²－12＝0 上一點 P( h、k )，則 h²＋k² 最小值為_________。

8. 設P 為雙曲線Γ：x² + 6xy + y² + 10x − 2y + 1 = 0 上任一點，F 與 F ′是Γ 的兩個焦點，

|PF′−PF| = _________。

9. 若 1 ^{1 1 1} ... ¹ ,

2 3 4 120

k= + + + + + 求

[ ]

10. 某百貨公司想在周年慶時辦理抽獎遊戲，辦法如下 : 設置 3 個不同的抽獎箱，每個抽獎 箱中至少有 1 個球且只有 1 個紅球，其它皆為白球，而從 3 個抽獎箱都抽出紅球者即為中 獎，百貨公司希望這遊戲中獎的機率是 ¹

200，試問 3 個抽獎箱內白球球數的配置有 _________種方法。

11. 假設每一架飛機的引擎在飛行中出現故障率爲1− p p( < ，且各引擎是否有故障是獨立 1) 的，如有至少 50%的引擎能正常運行，飛機就可成功飛行。若 4 引擎飛機比 2 引擎飛機 更爲安全，求p的範圍_________。

12. 求

5 5 5

6

1 3 ... (2 1) limn

n

→∞ n

+ + + −

=_________。

13. 已知f（x）是連續函數且 ²

1 ( ) ,

x

x f t dt x x R

− = ∀ ∈

∫

14. 箱子裡有若干個大小相同的號碼球，其中i號球有i個(i=2k−1,k=1, 2,...,50)。從箱子裡 取出一球，每球被取的機會均等。今計算該球之球號與某數a之差的絕對值。為使這些 差的絕對值之期望值為最小，求a值為_________。

15. 四角錐 OABCD 中， ABCD 為正方形， OCD∆ 爲正三角形，

平面 OCD 垂直平面 ABCD ，若兩平面 OBD 與 OBC 所夾銳 角為θ ，求 cosθ =_________。

O

A B

D C

P

3

16. 平面上有兩個橢圓，其中一個橢圓為Γ₁:x² +2y² =1，另一個橢圓Γ 為₂ Γ 繞原點逆時針 ₁ 旋轉60 。已知這兩個橢圓相交於四個點，逆時鐘順序依次連成一個四邊形，請問該四邊 ⁰ 形的面積_________。