因 式 分 解

因式分解

凡藝數學

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因 式 分 解

單 元 內 容

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因式與倍式

n 因式：如果多項式A 可以被多項式 B 整 除，則多項式B 為多項式 A 的因式。

【說明】x²+2x+1=(x+1)(x+1)

因為x²+2x+1 可以被 x+1 整除 所以x+1 是 x²+2x+1 的因式

x²+2x+1 是 x+1 的倍式 n 倍式：如果多項式 A 可以被多項式 B 整

除，則多項式 A 為多項式 B 的倍式。

範 例 講 解

Ex1.下列哪些是 x³-2x²-5x+6 的因式? (A) x+1 (B) x-1 (C) x-2 (D) x-3。

Hw1.下列哪些是 x²-7x-8 的因式? (A) x-1 (B) x+1 (C) x-8 (D) x+8。

Ex2.

(1).若 6x²-7x+m 是 2x-3 的倍式，試求 m 的值。

(2).如果 x-2 為 5x²-11x+a 與 x²+bx-2 的公因 式，則 a－b 的值為何？

Hw2.

(1).已知 x-1 是 x²+mx+3 的因式，則 m＝?

(2).設 x+4 為 5x²+17x+a 與 x²+bx-36 之因式，則 b-a=?

Ex3.若 3x²+6x-9=3(x-1)(x+3)，則下列哪些是 3x²+6x- 9 的因式？(甲) 3x-1 (乙) 3x-3 (丙) 3x+3 (丁) 3x+9 (戊) x²+2x-3 (己) 2x-2。

(A)(甲)(丁)(B)(丙)(丁)(戊)(C)(乙)(丁)(戊)(D)(乙)(

丁)(戊)(己)。

Hw3.已知

21 x²-x-4=

21 (x+2)(x-4)，則下列哪些是 2 1

x²-x-4 的因式? (A)

21 x+1 (B)

21 x-4 (C)

21 x+2 (D) x²-2x-8 (E)

21 x-2 (F) x+2。

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因式分解

n 因式分解：將一個多項式寫成兩個或兩 個以上多項式的乘積，就稱為該多項式 的因式分解。

【說明】x²-1=(x+1)(x-1)

即x²-1 的因式分解為(x+1)(x-1) 其中x+1 和 x-1 都是 x²-1 的因式

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提出公因式分解法

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因式分解

凡藝數學

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n 分配律：

Ø A(B+ C)= AB+ AC Ø A(B- C)= AB- AC

n 提出公因式：將多項式中含有共同因式 的部分提出，使其變為多項式的乘積。

Ø AB+ AC= A(B+ C) Ø AB- AC= A(B- C) Ø

【說明】

(1).x²-x=x．x+x．1=x(x+1) (2).(x+1)(x-1)+2(x-1)

=(x+1+2)(x-1)

=(x+3)(x-1)

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分組分解法

n 分組分解：當一個多項式無法利用提出 公因式的方法因式分解時，可利用分組 的方式來尋找共同的因式，再作因式分 解。

【說明】ac+ad+bc+bd =(ac+ad)+(bc+bd) =a(c+d)+b(c+d) =(a+b)(c+d)

ac+ad+bc+bd =(ac+bc)+(ad+bd) =c(a+b)+d(a+b)

=(a+b)(c+d)

範 例 講 解

Ex4.提出公因式分解下列各式：

(1).4x²-7x (2).(2x-3)-(2x-3)²

(3).(x+1)(x-2)-(x+1)(3x-5) (4).(3x-5)²-4x(5-3x) (5).(y+3)²-8y-24

(6).(x+1)(x+3)²-(x+1)²(x+3) (7).-5(a-b)+4(b-a)²

(8).(2x-3)²+(1+x)(3-2x)

Hw4.提出公因式分解下列各式：

(1). 3a²-a (2).(x-3)+(x-3)²

(3).2(x-1)(y-3)+(x-1)(3y+5) (4).(6x-8)²+3x(4-3x) (5).(2x-1)+(2x²-x)

(6).(x-2)(x-3)²-2(x-2)²(x-3) (7).(3x-5)²-4x(5-3x) (8).(x-1)(3x-7)-(1-x)²

Ex5.分組分解下列各式：

(1).2x³-5x²+2x-5 (2). 6x²y+10xy+9x+15 (3). 2x³-3x²+4x-6 (4).x²-3ax+bx-3ab (5). x³-2x²y-x²+2xy

Hw5.分組分解下列各式：

(1).xy²+4y-5xy-20 (2). 3x²y+5xy-9x-15 (3). 2x³-3x²+4x-6 (4). ax³+2ax²-5ax (5).6x²+3b-9x-2bx

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因式分解

凡藝數學

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(6).2ax-3cx+8y+12cy-8ay-2x (7).x²+3x+2

(6).2ax-8x+3by+2xb+3ay-12y (7).x²+6x+5

Ex6.有一面積為 3x²-2x+6x-4 的大矩形和一面積為 x²+2x-3x-6 的小矩形，若大矩形的寬剛好和小 矩形的長相等，則何者為大矩形的長？

Hw6.矩形 ABCD 的面積為 3(x+3)(x-4)-(x+3)(x-2)，已 知BC=x+3，求AB

的長？

Ex7.有甲、乙、丙三種類型 的紙片，甲為邊長 x 公 分的正方形，乙為邊長

x 公分，1 公分的矩形，丙為邊長 1 公分的正 方形。小杰以這三種紙片緊密地排成一個邊 長為(x+4)公分，(x+1)公分的長方形，請問共 使用甲、乙、丙三種紙片多少張？

Hw7.如圖，有甲、乙、丙、丁 四種不同的長方形，已 知邊長均為整數，今用 3 個甲，2 個乙，3 個丙，

2 個丁合併成一個較大的長方形，則其兩鄰 邊長分別為多少？

Ex8.若 a=19，b=29，y=39，則 2ay+3by-25y=? Hw8.若 a=998，b=228，請先因式分解 ab+2b-3a- 6，再求其值為下列何者？

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