因式分解法解一元二次方程式

因式分解法解一元二次方程式

1 一元二次方程式

n 一元二次方程式:當方程式經過化簡後含有

一個未知數且最高次數為二次時，此方程式 稱為一元二次方程式。

【說明】以下皆為一元二次方程式：

x²+2x+1=0 -2x²+3x-1=3x+1

x²-1 2=0

2 一元二次方程式的解

n 一元二次方程式的解:滿足一元二次方程式

中的未知數，使等號恆成立的數，稱為此一 元二次方程式的解。

【說明】

(1).-1 為一元二次方程式 x²+2x+1=0 的解。

(2).-1 和 3 都是一元二次方程式 x²-2x-3=0 的解

3 解一元二次方程式

n 如果A×B=0，則 A =0 或 B=0。

n 當A、B 都是一元一次式時：

(aX+b)(cX+d)=0 則 ax+b=0 或 cx+d=0

ax=-b 或 cx=-d

即 x=-b

a 或 x=-d c

n 如果一元二次方程式 Ax²+Bx+C=0

【說明】

(1).如果(x-1)(x-2)=0 則 x-1=0 或 x-2=0 即 x=1 或 x=2

(2).一元二次方程式 x²-2x-3=0 可以分解為 (x-3)(x+1)=0 就可以得到 x-3=0 或 x+1=0

能夠因式分解為(ax+b)(cx+d)=0

則可以得到 x=-b

a 或 x=-d

c 的解。

即 x=3 或 x=-1

範 例 講 解 Ex1.下列那些方程式是一元二次方程式?

(1).2-3x (2).x²-3x=2 (3) 2x+1=0 (4).3(1-4x)=-x² (5).1-1

x=0 (6).5x²=0

Hw1.下列那些方程式是一元二次方程式？

(1). 5x²+x+2=0 (2). 4x+3=0 (3). x²-4x=0 (4). 9-x²=0 (5). 8x²=0 (6). -3x²+x-7=0

Ans: 2、4、6 Ans: 1、3、4、5、6

Ex2.下列哪些敘述是正確的?

(A).1 是-x²-5x+4=0 的解 (B). 0 是 9x²=-2x 的解 (C). 2 是(2x-3)(x-2)=1 的解 (D).1 是(2x-1)(5x-4)=1 的解 (E).2

1是(2x+1)(x-5)=0 的解

(F).3

5是(3x-5)(3-x)=0 的解。

Hw2.下列哪些敘述是正確的?

(A). 1 是 3x²-5x-4=0 的解 (B).-2 是 x²-3x-10=0 的解 (C). 3 是(x-3)(x+2)=1 的解 (D).-

3

2是(x+1)(3x+2)=0 的解。

Ans: B、D、F Ans: B;D

Ex3.求下列各方程式的解:

(1). x²=0

(2). 2x(1+3x)=0 (3). 2x²-5x=0 (4). 9x²=4x (5). (x-3)²=4

Hw3.求下列各方程式的解：

(1). (x-8)(2x+7)=0 (2). x(x+5)=0 (3). 5x²=2x (4) .3x²-12=0 (5).(x-7)²=25 Ans: 0,0;0,-

3 1;0,

2 5;0,

9

4; 5,1 Ans: 8,-

2

7;0,-5;0, 5

2;-2,2;12,2

Ex4.求下列各方程式的解:

(1). 4x(5x-2)=3(5x-2) (2). (2x+3)(x-1)=(x-1)²

(3). (x+1)(2x+3)=(4x-5)(x+1)

Hw4.求下列各方程式的解:

(1). x(3x+2)=3x(3x+2) (2). (x+2)²=(2x-1)(x+2)

(3). (x-99)(x-1)+(x+199)(x-1)=0 Ans:

5 2或

4

3;1 或-4; -1 或 4 Ans: 0 或 -

3

2; -2 或 3; 1 或-50

Ex5.求下列各方程式的解:

(1). (x+2)²=4x² (2). (2x+

2 5)²=(x-

2 3)²

(3). 9x²-42x+49=0

Hw5.求下列各方程式的解:

(1). (3x-4)²=x² (2). (2x+3)²=(x-2)² (3). 4x²+4x+1=0

Ans: - 3

2或 2; x=- 3

1或 x=-4;

3

7(重根) Ans: 1 或 2; 5 或 1; - 2

1

Ex6.求下列各方程式的解:

(1). x²-8x+16=0 (2). 2x²-x-6=0

(3). 12x²-76x+112=0 (4). 6x²+13x-8=0

Hw6.求下列各方程式的解:

(1). x²+12x+36=0 (2). 91x²-59x+4=0 (3). 16x²-32x-48=0 (4). 94x²+4x-15=0

Ans: 4(重根); 2 或- 2 3;4 或

3 7;

2 1或-

3

8 Ans: -6(重根);

7 4或

13

1 ; -1 或 3;

2 3或-

2 5

Ex7.求下列各方程式的解:

(1). (x+1)(x-5)=7 (2). (2x+3)(2x-3)=35x (3). (x+1)²-7(x+1)-18=0

(4). (x+4)²-7(x+4)(2x-1)+12(2x-1)²=0 (5). (x²-2x-2)²-7(x²-2x-2)+6=0

Hw7.求下列各方程式的解:

(1). (x+2)(x-3)=6

(2). (x+5)(x+7)=115-4x (3). (y-3)²+8(y-3)²+7=0

(4). 3(x+1)²+5(x+1)(x-4)+2(x-4)²=0 (5).(x²+2x+3)²-5(x²+2x+3)+6=0

Ans: -2 或 6;9 或- 4

1; -3 或 8;

7 8或

5 7;3,-1,

4,-2

Ans: -3 或 4;4 或-20;2 或-4;1 或 2

3;-1,-1,0,-

2

Ex8.求下列各方程式的解:

(1). x²+ 12

5 x- 4 1=0

(2).12

1 (x-3)²= 3

1x

(3). 2 17 x＋

=3

2x(x+2)

(4). 1.5x²-0.5x=2 (5).2

3(x-5)(2x+3)=

3

2(x-5)(x-1)

Hw8.求下列各方程式的解:

(1).

4 1x²+

3 1x-

3 1=0

(2).2

1(x+17)=

3

2x(x+2)

(3). 3 6 2）（ － ）

＋

（x x

= 4

1）

（x－ x

(4).0.3x²-2.8x=-3.2 (5). x(x+5)=

3

2(x+5)(x-1)

Ans:

3 1或-

4

3;1 或 9; 3 或 4 17

－ ; -1 或 3 4;5,-

14 31

Ans: -2 或 3 2;3,-

4

17 ; 16,-3; 8 或 3 4;-5,4

Ex9.求下列各方程式的解:

(1).若-6 是方程式-x²+7ax+15=0 的解,則 a=？，若 5 是方程式 3x²-14x=k 的其中一 根，則此方程式的另一根為何？

(2). 設一元二次方程式

(m+2)x²-2mx+m²+3m+2=0，有一根恰 巧為 0，則 m=？

(3).x 的二次方程式 x²+x-2=0 與 x²+3x-a=0 有一共同解，則 a=？

(4).已知 x=-1 是一元二次方程式

(x-1)²+px-2=0 之一根，則另一根為何？

Hw9.求下列各方程式的解:

(1). 若 0 為一元二次方程式

5x²-3ax+(a+5)=0 的一根，試求此方程式 的另一根為何?

(2).二次方程式(k+1)x²+2kx+(k²+3k+2)=0 恰有一根為 0，求: k=?另一根為何?

(3). 若-1 是方程式 x²-ax+b=0，x²+ax+2=0 之解，則 a+b＝？

(4).若 x 的二次方程式 x²+x+a=0 有一根為

2

1，則另一根為何?

Ans: 2 1

－ , 3 1

－ ;-1; -2,4;1 Ans: -3;-2,-4;-1;-

2 3

Ex10.

(1).若方程式(a-b)²+2(a-b)-15=0，且 a<b，

則 a-b=？

(2). x 的二次方程式

(k+1)x²+2kx+(k²+3k+2)=0 恰有一根為 0，則 k=？

(3).若 x²+ax-b=0 的兩個根為 7 和-4，則 a-b=?

Hw10.

(1).設 x、y 均不為 0，且 2x²+xy-3y²=0，

則x

y 之值為何?

(2).設 x 的二次方程式

(m+2)x²-2mx+m²+3m+2=0 有一根為 0, 則 m 之值為何?

(3).若 2 與-3 是 x 的一元二次方程式 3x²+ax+b=0 的兩根,則 a+b 之值為何?

Ans: -5;-2;-31

Ans: 1,- 3

2; -1；-15

Ex11.

(1).若 x²+x-5=0，求

(x²+x+2)²+5(2x²+2x+3)-4 之值。

(2).若α是方程式 x²+3x-8=0 的解，則 3α²+9α-14 之值為何?

(3).當 x 為何值時，多項式 x²-9x+10 之值等 於-10?

Hw11.

(1). 若 x²+x-4=0 且

(x²+x+a)²+5(2x²+2x+a)-4 之值為 16，求 a=?

(2).設 m 是方程式 1+2x-x²=0 的根，則 m²-2m+10 的值為何?

(3). 欲使 8x²-2x-12 的值為 3，則 x 的值可能 為下列何者?

Ans: 110;10;4

Ans: -4,-9;11;

2 3、

4 5

－

Ex3.翰翰和小熏同解一個 x² 項的係數為 1 的二 次方程式,翰翰將 x 項係數看錯,解得兩根為 3、-6;小熏將常數項看錯,解得兩根為 3、4, 則正確的方程式為何?

Hw3.袁太和小梅同解方程式 x²+ax+b=0,袁太看 錯 a 解得兩根為-1,3;而小梅看錯 b,解得兩 根為-4,2,則原方程式正確的解為何?

Ans: x²-7x-18=0 Ans: -3,1