4 4 --11
經濟性等值
Economic Equivalence
4 4 --22
關鍵概念
• 定義經濟性等值與其性質
• 將時間、利率與現金流的大小視為變數來 描述其運用
• 介紹債券、股票、與貸款的概念
• 描繪貸款、股票、債券如何為資本投資提 供資金
4 4 --33
建立經濟性等值
• 現金流的大小與發生時間需已知
• 利率
– 在研究期間N的一組利率已知時，便可建立等值關係。
然而如果這些利率中有任一個改變，等值關係就必須 重新建立
• 共同的時間基準
– 通常會由利率的複利期間所定義
• 共同的衡量單位
– 必須選擇單一的貨幣單位
4 4 --44
經濟性等值的性質 在經濟上等值的現金流
1. 會在某個共同時間點上具有相同的貨幣價值 2. 可以建立在任何時間點上
3. 可以建立在任何期數上
4. 兩組在經濟上等值的現金流之間的差異為零 5. 在研究期間內利率不需固定不變
6. 可以使用流通貨幣與市場利率來建立，或使 用實質貨幣與無通膨利率來建立
4 4 --55
原則1
• 在經濟上等值的現金流，會在某個共同時 間點上具有相同的貨幣價值
– 如果將兩組現金流重新繪製為同個時間的兩筆 單一現金流，且這兩筆等值現金流相等，則原 本的兩組現金流便是等值
4 4 --66
例題
• 阿根廷開發銀行與營運邊境Yacyreta水壩的兩國委員會同 意籌設一筆5億6,340萬美金的資金，以在2008年完成此水 壩計畫。政府已(將)提供以下款項(美金)：2005年1億9,640 萬元、2006年1億6,950萬元、2007年1億1,270萬元、以及 2008年8,480萬元。
• 假設現金流發生在每年年底，6%的年利率，試說明這份 付款時程在經濟上等值於2007年底5億9,300萬元的單筆現 金流。
資料來源：“Argentina Govt Bank in Pact to Fund Yacyreta Dam Project,” Dow Jones Newswires, January 20, 2005.
4 4 --77
解答
• 繪製現金流圖：
• 求解P07： P07=?
05 06 07 08 84.8 196.4
169.5 112.7
2
07 $196.4M(1+0.06) +$169.5M(1+0.06)
$84.8M
+$112.7M $593.05M (1+0.06)
P =
+ =
4 4 --88
原則2
• 經濟性等值可以建立在任何時間點上：
– 要在哪一期建立經濟性等值並沒有任何限制；
– 可以輕易地將其重新建立在任何期間上，
– 只需要運用單筆款項的複利總額因子或現值因 子
4 4 --99
例題
• 請考量前一例題：
– 建立2007年底的等值性。
• 現在請找出時間零 (2004年)的單筆等值現金 流
4 4 --1010
解答
• 繪製現金流圖：
• 求解
P
： P=?04 05 06 07 08 84.8 196.4
169.5 112.7
P=$196.4M
(1 + 0.06)+$169.5M
(1 + 0.06)2+$112.7M
(1 + 0.06)3+ $84.8M
(1 + 0.06)4= $497.93M P =$593.05M
(1 + 0.06)3= $497.93M
4 4 --1111
原則3
• 等值性可以建立在任何期數上
– 也可以建立在一段期間的多次等額付款系列 現金流
例題
• 請利用先前的例題，建立在2005、2006、
2007與2008年的一系列等額等值
4 4 --1212
解答
• 繪製現金流圖：
• 求解P：
3
$593.05M
= $497.93M (1+0.06)
= ( / ,6%,4)=$497.93M(0.2886)=$143.70M P
A P A P
=
A ………….. A=?
04 05 06 07 08 84.8 196.4
169.5 112.7
4 4 --1313
原則4
• 兩組在經濟上等值的現金流之間的差異為 零
– 因為兩者在任何時間點均會有相同的價值，
故轉換為相同時間點會有相同的金額 – 這是一項很重要的概念，
因為在比較兩組現金流時，重要的是兩者間 的差異程度 (而相似程度會彼此抵銷)
4 4 --1414
原則5
• 在研究期間內利率不需固定不變
例題
請重新檢視原本的付款計畫，但假設利率如 下：
• 2005-2006年：6%，每半年複利計算
• 2007年：每年12%
• 2008年：每月1.5%
– 採用這些新的利率，找出2007年底的等值現金 流
4 4 --1515
解答
• 繪製現金流圖：
• 求解
P
07：07 $196.4M(1+0.0609)(1+0.12)+$169.5M(1+0.12)
$84.8M
+$112.7M $606.83M (1+0.1956)
P =
+ =
P07=?
05
84.8 196.4
169.5 112.7 6.09% 12% 19.56%
08
06 07
4 4 --1616
原則6
• 可以使用流通貨幣與市場利率，或實質貨 幣與無通膨利率來建立
4 4 --1717
例題： 包含通貨膨脹的等值性
• Bluescope Steel Ltd.表示該公司已與BHP Billiton及其 Mount Newman Partners進入一項新簽訂的鐵礦砂長期 購買合約中。
• 在這筆交易裡，Bluescope每年必須購買超過400萬噸 的礦砂。這項新合約會一直持續到2009年6月。
• 假設從2005年6月開始一直持續到2010年6月，每半年 200萬噸礦砂的現金流，價格為每噸25美元 (2004年12 月)。如果每半年的通貨膨脹率為3.5%，利率為12%。
• 請問這些鐵礦銷售的現值為何？
資料來源：“Bluescope Complete Long-Term Iron Ore Contract,” Dow Jones Newswires, January 26, 2005. 4 -4 -1818
解答：實質貨幣
• 繪製現金流圖：
• 這些是實質貨幣，故使用無通膨利率 i’ ：
• 現值：
′ i = (1+ i)
(1+ f )−1= (1+ 0.12)
(1+ 0.035)−1 = 8.21%
$50M ………..$50M 04 05 06 09
11 11
(1 0.0821) 1 ( / ,8.21%,11) $50M
(0.0821)(1 0.0821) $353.43M
P A P A ⎡ + − ⎤
= = ⎢⎣ + ⎥⎦
=
4 4 --1919
解答：流通貨幣
• 繪製現金流圖：
• 這些是流通貨幣，故使用市場利率 i：
1 1
11 11
( / ,3.5%,12%,11)
1 (1 0.035) (1 0.12) $50M(1.035)
(0.12 0.035) $353.30M
P A P A
−
=
⎡ − + + ⎤
= ⎢⎣ − ⎥⎦
=
04 05 09
$50M(1.035)11
$50M(1.035)
答案相同 (計算誤差)
4 4 --2020
利率未知的等值
• 有些時候必須找出利率以建立等值性
• 這在轉換未來值與現值時，可能是件微不 足道的工作
• 然而，從現值轉換為等值的多次等額付款 (年金)系列時，這可能會是件困難的工作
– 通常必須「搜尋」解答
4 4 --2121
例題
• 冰島航空訂購了10架波音737，定價6.5億美 元。假設所有的飛機都會於2008底交貨，
而到時會依定價支付費用
• 請問在何種利率下，這筆款項會等值於時 間零 (2005年初) 的5.5億美元？
資料來源：“Boeing Gets Order for 10 737-800s from Icelandair Group,” Dow Jones Newswires, January 26, 3005.
4 4 --2222
解答
• 繪製現金流圖：
• 求解
i
： $550M04 05 06 07 08
$650M
F= P(1+ i)N
$650M= $550M(1+ i)4
⇒ i = $650M
$550M
⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥
1
4−1 = 4.26%
4 4 --2323
例題
• (同上例) 假設從2005年底到 2009年底，每 年交貨兩架飛機，且到時會依定價付款。
• 請問在何種利率下，這些款項會等值於時 間零 (2005年初) 的5.5億美元？
資料來源：“Boeing Gets Order for 10 737-800s from Icelandair Group,” Dow Jones Newswires, January 26, 3005.
4 4 --2424
解答
• 繪製現金流圖：
• 等值性的計算：
5
5
( / , , )
$ 5 5 0 M $ 1 3 0 M ( / , , 5 ) ( / , , 5 ) 4 . 2 3 0 7 7
(1 ) 1
4 . 2 3 0 7 7 (1 )
P A P A i N
P A i P A i
i
i i
=
=
=
⎡ + − ⎤
⎢ + ⎥ =
⎣ ⎦
$550M
04 05 06 ……..09
$130M
$130M……….
4 4 --2525
解答
• 使用內插法求解
i
• 從表格可知：
• 假設兩點間的函數為線性：
( / , , 5) P A i = 4.23077
( / , 6%, 3) P A = 4.2124, ( / , 5%, 3) P A = 4.3295
5% 6%
4.3295 4.2124 4.23077
i
4.3295− 4.23077
i− 0.05 =4.3295− 4.2124 0.06− 0.05
⇒ i = 0.5843 = 5.84%
4 4 --2626
解答
• 透過試誤法求解i
• 進行最初的猜測：
• 下次嘗試：
• 二分法：
(1+ i)5−1 i(1+ i)5
⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ = 4.23077
i=10% : (1+ i)5−1 i(1+ i)5
⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ = 3.7908
i= 5% : (1+ i)5−1 i(1+ i)5
⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ = 4.3295
數值隨利率的增加而減 低，所以這個利率太高了
太低了
i= 7.5% : (1+ i)5−1 i(1+ i)5
⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥ = 4.0459 太高了。
4 4 --2727
解答
• 繼續進行：
i= 6.25% ⇒ 4.1839 太高了。
i= 5.625% ⇒ 4.2557 太低了。
i= 5.9375% ⇒ 4.2195 太高了。
i= 5.78125% ⇒ 4.2375 太低了。
i= 5.859375 % ⇒ 4.2285 太高了。
i= 5.8203% ⇒ 4.2330 太低了，但是夠接近了。
4 4 --2828
解答
• 利用EXCEL求解
i
• 利用目標搜尋：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B C D E F
Example: Fleet Purchase Input
A $130.00 million
Period Cash Flow P $550.00 million
2004 -$550.00 Periods 5 years
2005 $130.00
2006 $130.00 Output
2007 $130.00 P/A 4.23
2008 $130.00
2009 $130.00 Interest Rate 5.84%
4 4 --2929
期數未知的等值
• 就跟決定 i 一樣
，
也可能會需要決定N
• 通常我們會試圖找出
N
的最大值或最小值，以使得某筆現金流大於等於另一筆現金流
• 這讓我們有整數解
4 4 --3030
例題
• 克萊斯勒宣布該公司將會花費4.19億美金擴 展其伊利諾州Belvidere的工廠。如果這筆成 本於時間零支付，請問要「回收」這筆投 資額，需要多少年，假設每年2億美元的淨 收益？利率為16%。
資料來源：Derpinghaus, T., “Chrysler Group Announces Plans to Invest $419M in its Belvidere, Illinois Plant,”
Dow Jones Newswires, January 26, 2005.
4 4 --3131
解答
• 繪製現金流圖：
• 等值性的計算：
( / , , )
$419M $200M( / ,16%, ) (1 0.16) 1
2.095 (0.16)(1 0.16)
N N
P A P A i N
P A N
=
=
⎡ + − ⎤=
⎢ + ⎥
⎣ ⎦
$419M
0 1 2 ……..N
$200M
$200M……….
4 4 --3232
解答
• 內插法
• 試誤法
• 利用EXCEL以求解N：
Example: Plant Investment Input
P $419.00 million
Period Cash Flow A $200.00 million
0 -$419.00 Interest Rate 16% per year
1 $200.00
2 $200.00 Output
… … P $0.00 million
N 2.75076822 years
N 3 years
(rounded)
4 4 --3333
利息因子的特性
• 研究並瞭解利息因子在極限時的特性，將會有所 幫助 – 因為這會有助於建立直覺。
• 利率因子特性表：
4 4 --3434
例題：當極限要緊時
• 投資客Warren Buffett表示，他將釋出他的財富，捐出 美金440億元財產的85%，大部分捐給比爾及梅林達蓋 茨基金會。如果這筆錢被放入某個帳戶中，則每年最 多可以花用多少錢，使這筆資金永遠不會減少？假設 這個帳戶會支付6.5%的利息。
資料來源：Loomis, C. J., “Warren Buffett gives away his fortune,” Fortune, CNNMoney.com, June 25, 2006.
4 4 --3535
解答
• 通常將此稱做永久基金或永久年金。
• 需維持的金額為：(0.85)($44B) = 374億美元。
( / , , ) ( / , 6.5%, ) (1 )
(1 ) (1 )
lim lim
(1 ) 1 1 1
(1 )
N
N N
N N N
N
A P A P i N P A P i i
i i i
i i
i
→∞ →∞
= = ∞
⎡ + ⎤
⎢ ⎥
⎡ + ⎤ ⎢ + ⎥
= ⎢⎣ + − ⎥⎦= ⎢⎢⎣ − + ⎥⎥⎦=
$37.4B( / , 6.5%, )
$37.4B(.065) 24.3
A= A P ∞
= = 億美元
因此：
每期只花用掉利息，讓本金完好無缺！
