E082 鳥與魚工作單
撰稿：李勁緯
引言：《E082 鳥與魚》是荷蘭版畫家艾薛爾在1951年2月所作的一幅作品，每隻鳥與魚的身 體為單一顏色─灰色及白色，主要繪圖工具為墨水與水彩，而我們影片裡的封面圖是艾薛爾在 1960年為一個在阿姆斯特丹的私人房子外觀所創作的牆壁磁磚裝飾，如下圖所示：
封面圖內的鳥與魚輪廓都是用正方形數學骨架演變而來拼貼成的。再仔細觀察可以發現，從左 邊的第一個鳥與魚開始往右排拼貼時，為了能拼出完整的鳥與魚輪廓，圖案是沿著邊往右、再 往上平移且移動距離剛好為正方形邊長的一半來排列出第2排的第一個鳥與魚，接著往下平移 正方形邊長的距離後便完成第2排的兩個鳥與魚。按此類推，由第二排的第一個鳥與魚開始，
往右拼出第3排的第一個鳥與魚，再往下平移出兩個鳥與魚，同理延伸出第4排有四個、第5排 有五個、第6排有六個，之後開始遞減成第7排有五個、第8排有四個…一直到第11排只剩一個 鳥與魚時就可以排出一個菱形形狀，最後裝飾上白色、黑色的長方形磁磚在外圍就如同我們封 面圖的畫面了。這些鳥與魚是不是很可愛呢？現在就讓我們來看看《E082 鳥與魚》是如何誕 生的吧！
請在電腦上點選《E082 鳥與魚.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。
一、 鳥與魚的數學與藝術
我們可以把鳥與魚的影片分成如下的四幕：
第一幕：影片由平行四邊形鋪滿構成數學舞台拉開序幕，而這平行四邊形正是鳥 與魚的數學骨架。
第二幕：將數學舞台的一個平行四邊形放大，從這平行四邊形剪下五小塊後，依 數學原理的平移貼到正確的位置，即裁貼出鳥與魚。
第三幕：將鳥與魚外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依 各種適當角度將表演的鳥與魚們互相密合。
第四幕：銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將鳥與魚一隻一隻放 到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊、無空 隙、反覆且連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。
1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？
□ 正方形 □ 平行四邊形 □ 矩形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？
□ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的鳥與魚？
□ 兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的鳥與魚們有哪些特色？
□ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣
二、 如何從數學骨架裁貼出鳥與魚
綜合下面兩個方式即可裁貼出鳥與魚，方式如下：
甲、 將平行四邊形剪下五個小區塊 A , B , C , D , E，並將這五個小區塊貼到正確 的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d；E → e
A a
B b
C
c D
d
E
e
乙、 如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的平移：
(1) A → a ：將 A 區塊往上平移到 a (2) B → b ：將 B 區塊往上平移到 b (3) C → c ：將 C 區塊往左平移到 c (4) D → d ：將 D 區塊往下平移到 d (5) E → e ：將 E 區塊往右平移到 e
裁貼出鳥與魚後可以發現：平行四邊形的三個頂點分別在鳥的嘴巴和魚頭的交 接處、鳥的翅膀與魚鰭，這就是鳥與魚在數學骨架上的正確位置。
三、 真的是鳥與魚磁磚嗎
經由數學原理裁貼後的鳥與魚有什麼令人驚艷的地方呢？我們可以由第三幕的 藝術表演觀察到經數學原理形成的鳥與魚可以彼此互相密合，有以下一種密合方 式：
(1) 鳥尾巴對魚嘴及鳥翅膀對魚尾巴的密合
這種可以互相密合、無交疊且無空隙的鳥與魚圖案，我們稱之為鳥與魚磁磚。有 了這一種密合方式後，就可以將很多個鳥與魚磁磚密鋪在平面上了。
四、 鳥與魚的鑲嵌圖
透過了解鳥與魚在數學骨架上的正確位置及一種密合方式後，即可在數學骨架上 密鋪出鳥與魚鑲嵌圖，左下圖是先將鳥與魚放在數學骨架上的正確位置，其他的 鳥與魚除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照一種密合方式密鋪。
關於《E082 鳥與魚》原圖，如下圖所示：
如右下圖所示，艾薛爾在《E082 鳥與魚》作品上使用鉛筆描出一個六邊形，在
圖所示，只要將六邊形中兩個平行且等長的邊對齊即可，這個六邊形也是《E082 鳥與魚》的數學骨架，而我們在引言和影片中，《E082 鳥與魚》的數學骨架是 正方形和平行四邊形。事實上，這三個多邊形有著相同的面積。
E082 鳥與魚回饋單
1. 仔細想想，你在哪個地方見過平行四邊形磁磚鋪設的地板？
2. 請你回想一下，每一隻鳥周遭圍繞著幾隻魚呢？（相鄰才算，只交一點不算）
□ 2隻 □ 3隻 □ 4隻 □ 5隻
3. 鳥與魚的表面積與其數學骨架平行四邊形的表面積是否一樣？
□ 是 □ 否
4. 如下圖，左邊的鳥和右邊的鳥是什麼樣的關係呢？
□ 平移 □ 旋轉 □ 翻面
5. 右下圖為艾薛爾的另一幅作品《E022 鳥與魚》，這作品也利用了平行四邊形當作數 學骨架，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出正確的數學骨架，並用找到 的數學骨架說明如何剪貼出鳥與魚。
6. 關於影片與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 又有何建議：
